1.1-橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程-(理)分析

第三章圓錐曲線與方程§1橢圓1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的汽車徽標(biāo)月球的運(yùn)行軌道橢圓的盤子橢圓的鏡子籃球在陽光下的投影從這些圖片我們看到，在我們所生活的世界中，隨處可見橢圓這種圖形.而且我們也已經(jīng)知道了橢圓的大致形狀，那么如何確切的描述橢圓呢？我們能否動手畫一個橢圓呢？探究點(diǎn)1橢圓的定義對于籃球在陽光下的投影，把太陽光看成一束平行光，如圖所示，照射在籃球上的平行光線抽象為一個斜放的圓柱，籃球面抽象為一個球面，球心記作O1，籃球面與地面的接觸點(diǎn)抽象為球與平面的切點(diǎn)F1，影子恰好是圓柱面被平面斜截的截面，截面的邊界線稱為橢圓.O1F1對于上圖所示的幾何模型，把圓柱面延伸，在截面下面也放一個與圓柱面和截面都相切，且同樣大的球，球心記作O2,該球與截面的切點(diǎn)為F2，如圖所示.O2F2F1O1兩個球與圓柱面的切點(diǎn)分別構(gòu)成了兩個圓，圓心分別是球心O1O2，若P為橢圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓柱的母線，分別交O1O2于A,B兩點(diǎn)，則PA,PF1是球O1的切線段，所以PA=PF1，同理PB,PF2是球O2的切線段，所以PB=PF2，因此，PF1+PF2=AB.又AB=O1O2，由此可以發(fā)現(xiàn)橢圓上的點(diǎn)到兩切點(diǎn)的距離之和是定值O1O2.O1F1F2O2

動手操作：將一條細(xì)繩的兩端固定在同一個定點(diǎn)上，用筆尖勾起繩子的中點(diǎn)使繩子繃直，圍繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，這時筆尖畫出的軌跡是什么圖形？平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是圓.提示：圓思考1

將細(xì)繩的兩端拉開一段距離，分別固定在不同的兩點(diǎn)F1，F(xiàn)2處，并用筆尖拉緊繩子，再移動筆尖一周，這時筆尖畫出的軌跡是什么圖形呢？M結(jié)論：筆尖畫出的軌跡是橢圓.思考2：在畫橢圓的過程中，(1)細(xì)繩的兩端的位置是固定的還是運(yùn)動的？提示：固定的.(2)繩子的長度變了沒有？為什么要拉緊繩子？提示：沒變化。保持筆尖到兩定點(diǎn)的距離和不變.(3)繩子長度與兩定點(diǎn)距離大小有怎樣的關(guān)系？提示：三點(diǎn)M，F(xiàn)1，F(xiàn)2不共線時，構(gòu)成三角形，兩邊之和大于第三邊長，可見繩子長度大于兩定點(diǎn)距離.

橢圓的定義：橢圓的定義的符號表示：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和_________（大于|F1F2|）的點(diǎn)的集合叫作橢圓.這兩個

_____叫作橢圓的焦點(diǎn)，兩個焦點(diǎn)間的距離叫作橢圓的_____.等于常數(shù)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2焦距2a>2c>0時，為橢圓.思考3：橢圓定義中為什么要求常數(shù)大于|F1F2|(即2a>2c)？提示：當(dāng)|MF1|+|MF2|=2a<|F1F2|時,動點(diǎn)M的軌跡不存在;當(dāng)|MF1|+|MF2|=2a=|F1F2|時,動點(diǎn)M的軌跡為以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的線段；只有當(dāng)2a>|F1F2|時動點(diǎn)M的軌跡才是橢圓.探究點(diǎn)2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程如圖，作直線F1F2和線段F1F2的垂直平分線,設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，根據(jù)橢圓的定義，P關(guān)于這兩條直線的對稱點(diǎn)也都在橢圓上，即這兩條直線是橢圓的對稱軸.以直線F1F2為x軸，線段F1F2

的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy,則焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(

c,0)，(c,0).橢圓和x軸，y軸分別有兩個交點(diǎn)A1，A2和B1，B2，如圖，根據(jù)橢圓的定義和橢圓的對稱性,且所以

即A1A2B2B1因?yàn)榍宜?a

有記得A1(-a,0),A2(a,0),B1(-b,0),B2(b,0)設(shè)P（x,y)是橢圓上任意一點(diǎn)，由橢圓的定義，橢圓上的點(diǎn)P滿足因?yàn)樗詢蛇吰椒健⒄?，得上式兩邊平方、整理，得即兩邊同除以a2b2得這說明橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足以上方程.我們還可以證明，這個方程每一組解對應(yīng)的點(diǎn)都在橢圓上.抽象概括：橢圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；都在橢圓上.以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)我們將方程叫作橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)是如果橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，如圖，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為用同樣的方法可以推出它的標(biāo)準(zhǔn)方程為其中yOxF1F2M(0,-c)(0,c)思考交流OxyF1F2M(-c,0)(c,0)提示：在橢圓的方程中，由可見，當(dāng)a為定值時，隨c的增大，b減小，橢圓變扁；隨c的減小，b增大，橢圓越接近于圓.即隨著焦距2c的增大，橢圓變扁；焦距減小，橢圓越接近于圓.1.當(dāng)橢圓定義中的常數(shù)2a為定值時，焦距2c的變化與橢圓形狀的變化有怎樣的關(guān)系？2.回顧橢圓方程的求解過程，有哪些主要步驟？第一步：根據(jù)橢圓的對稱性建立坐標(biāo)系；提示：第二步：設(shè)出橢圓上任意一點(diǎn)；第三步：把橢圓定義用等式表示；第四步：把等式中的距離用坐標(biāo)表示；第五步：把得到的方程化簡；第六步：說明橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)適合所求方程，以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在橢圓上.例1已知B,C是兩個定點(diǎn)，且的周長等于22，求頂點(diǎn)A滿足的一個軌跡方程.解：由已知得

由定義可知點(diǎn)A的軌跡是一個橢圓，且即所以如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，使x軸經(jīng)過B,C兩點(diǎn)，原點(diǎn)O為BC的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)A在直線BC上，即y=0時，A，B，C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，因此點(diǎn)A滿足的一個軌跡方程是提醒：求點(diǎn)的軌跡問題，要結(jié)合具體的情況剔除不滿足條件的點(diǎn).BCA例2已知橢圓的兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為并且經(jīng)過點(diǎn)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為解法1由橢圓的定義知所以又所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為解法2因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，又c=2，得解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【變式練習(xí)】求經(jīng)過點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解析：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時，設(shè)橢圓方程為將的坐標(biāo)代入橢圓方程，得解得與矛盾，舍去.

當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時，設(shè)橢圓方程為將的坐標(biāo)代入橢圓方程，得解得故所求的橢圓方程為【提升總結(jié)】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的解題步驟：（1）確定焦點(diǎn)的位置.（2）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（3）用待定系數(shù)法確定a，b的值，寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.θaOMyx證明:將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入方程有所以

在橢圓上.

的幾何意義如圖所示.例3求證：在橢圓上.1.動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1(-4,0)，F(xiàn)2(4,0)的距離和是8，則動點(diǎn)P的軌跡為（）A.橢圓B.線段F1F2C.直線F1F2D.無軌跡B2.已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,則焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A.(1,0)B.(0,1)C.(±1,0)D.(0,±1)解析：由標(biāo)準(zhǔn)方程得a2=4,b2=3,∴c2=a2-b2=1，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±1,0).C3.已知橢圓的兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0,-3)(0,3)，橢圓上的點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離的和等于8.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解析:由題意知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，故可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為由題意