3.4基本不等式課件

*3.4基本不等式*

這是2002年在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)．會(huì)標(biāo)根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車(chē)，代表中國(guó)人民熱情好客。*思考：這會(huì)標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形？思考：你能否在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系？探究1*ab1、正方形ABCD的面積S=＿＿＿＿＿２、四個(gè)直角三角形的面積和S’

=＿＿３、S與S’有什么樣的不等關(guān)系？

探究１：S>S′即問(wèn)：那么它們有相等的情況嗎？>(a≠b)*ADBCEFGHba猜想：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，我們有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。ABCDE(FGH)ab>(a≠b)(a＝b)＝*思考：你能給出不等式的證明嗎？證明：（作差法）當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。*知識(shí)點(diǎn)1：重要不等式：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，總有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立文字?jǐn)⑹鰹?兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍.適用范圍：a,b∈R問(wèn)題一*問(wèn)題一替換后得到：即：即：你能證明這個(gè)不等式嗎？問(wèn)題二*證明：（做差法）①當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),①中的等號(hào)成立.所以問(wèn)題二證明不等式：*若a>0，b>0，則當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立.知識(shí)點(diǎn)2：基本不等式在數(shù)學(xué)中，我們把叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)；文字?jǐn)⑹鰹椋簝蓚€(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).適用范圍：a>0,b>0*你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?問(wèn)題三Rt△ACD∽R(shí)t△DCB，ABCDEabO如圖,AB是圓的直徑,O為圓心，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn),AC=a,BC=b.過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?DC=______①如何用a,b表示OD?OD=______*你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?問(wèn)題三②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD與CD的大小關(guān)系怎樣?OD_____CD＞≥如圖,AB是圓的直徑,O為圓心，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn),AC=a,BC=b.過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.幾何解釋?zhuān)喊霃讲恍∮谙议L(zhǎng)的一半ADBEOCab*例1（1）用籬笆圍一個(gè)面積為100㎡的矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短是多少？解：設(shè)舉行菜園的長(zhǎng)為m,寬為m,則，籬笆的長(zhǎng)為m.由可得等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。此時(shí)，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為10m，所用籬笆最短為40m;*例1（1）用籬笆圍一個(gè)面積為100㎡的矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短是多少？該題是為定值100，則當(dāng)時(shí)，和取得最小值20所以都是正數(shù)，則有若（積為定值），則當(dāng)時(shí)，和取得最小值（基本不等式與最值）*(2)一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大.最大面積是多少？解：設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為m寬為m,則矩形菜園的面積為㎡由可得當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.此時(shí)，矩形菜園的長(zhǎng)、寬都為9m,菜園的面積最大，最大面積是81㎡.*(2)一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大.最大面積是多少？該題是定值18,則當(dāng)時(shí),積取得最大值81所以，都是正數(shù)，則有若（和為定值）,則當(dāng)時(shí),積取得最大值（基本不等式與最值）*知識(shí)點(diǎn)三：基本不等式與最值已知都為正數(shù)，則有（1）若（和為定值），則當(dāng)時(shí)，積取得最大值_______（2）若（積為定值），則當(dāng)時(shí)，和取得最小值_______*變式練習(xí)：1.x>0,當(dāng)x取什么值，的值最??？最小是多少？解：所以當(dāng)時(shí)，,的值最小為2.*2.用20cm長(zhǎng)的鐵絲折成一個(gè)面積最大的矩形，應(yīng)當(dāng)怎樣折？解：設(shè)矩形的長(zhǎng)寬分別為cm,則,

,面積為由得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，矩形的長(zhǎng)、寬分別為5cm，面積取得最大值為25.*例2某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體無(wú)蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m.如果池底每平方米的造價(jià)為150元,池壁每平方米的造價(jià)為120元，怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？解：設(shè)底面的長(zhǎng)為xm,寬為ym,水池總造價(jià)為Z元.根據(jù)題意,有

由容積為4800m3，可得因此由基本不等式與不等式的性質(zhì)，可得即*當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立.

所以，將水池的地面設(shè)計(jì)成邊長(zhǎng)為40m的正方形時(shí)總造價(jià)最低,最低總造價(jià)是297600元.變式練習(xí)：做一個(gè)體積為32m3，高為2m的長(zhǎng)方體紙盒，底面的長(zhǎng)與寬取什么值時(shí)用紙最少？解：設(shè)底面的長(zhǎng)、寬分別為m,用紙S㎡.則當(dāng)且僅當(dāng)m時(shí)，用紙最少為64㎡.*小結(jié)：求最值時(shí)注意把握“一正，二定，三相等”已知

x,y

都是正數(shù),P,S

是常數(shù).(1)xy=P

x+y≥2P(當(dāng)且僅當(dāng)