8.解線性方程組的迭代法收斂性省公開課一等獎全國示范課微課金獎?wù)n件_第1頁
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文檔簡介

迭代法收斂性鄒昌文第1頁迭代法矩陣寫法A=-L-UD第2頁Jacobi迭代陣第3頁Gauss-Seidel迭代陣第4頁迭代法收斂性/ConvergenceofIterativemethods/收斂條件充分條件:||B||<1必要條件:？定義設(shè)：AAkk=

lim是指ijkijkaa=

)(lim對全部1

i,j

n成立。等價于對任何算子范數(shù)有第5頁定義定理第6頁對任意非零向量成立定理設(shè)存在唯一解，則從任意出發(fā)，迭代收斂

0

kB證實：Bk

0||Bk||0“”：對任意非零向量有“”：取則第i位對任意非零向量成立從任意出發(fā)，記，則ask

收斂那什么條件可確保Bk

收斂呢？第7頁定理

Bk0

(B)<1證實：“

”若

是Beigenvalue,則

k是Bkeigenvalue。

則[

(B)]k=[max|

|]k=|

mk|

(Bk)

||Bk||0

(B)<1

“

”首先需要一個引理/Lemma/對任意

>0,存在算子范數(shù)||·||使得||A||

(A)+

。

由

(B)<1可知存在算子范數(shù)||·||使得||B||<1。||Bk||||B||k0ask

Bk

0迭代從任意向量出發(fā)收斂Bk0

(B)<1證實：對A做Jordan分解，有，其中，，

i為Aeigenvalue。令，則有易證：是由導(dǎo)出算子范數(shù)。所以只要取

<

，就有||A||

<

(A)+

。第8頁定理第9頁第10頁注：第11頁定理

（充分條件）若A為嚴格對角占優(yōu)陣

/strictlydiagonallydominantmatrix/則解Jacobi和Gauss-Seidel迭代均收斂。證實：首先需要一個引理/Lemma/若A為SDD陣，則det(A)0，且全部aii0。證實：若不然，即det(A)=0，則A是奇異陣。存在非零向量使得記顯然我們需要對Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代分別證實：任何一個|

|1都不可能是對應(yīng)迭代陣特征根，即|IB|0

。Jacobi:BJ=D

1(

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