4.4二項(xiàng)式定理（第2課時）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

4.4

二項(xiàng)式定理第2課時二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)第4章計(jì)數(shù)原理湘教版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊課標(biāo)要求1.能運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)分析處理二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì);2.理解和掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),并會簡單的應(yīng)用.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過知識點(diǎn)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對稱性二項(xiàng)式系數(shù)f(r)關(guān)于直線r=對稱,即f(r)=f(n-r).在二項(xiàng)展開式中,與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,即單調(diào)性與最大值二項(xiàng)式系數(shù)f(r)從兩端向中間逐漸增大,且當(dāng)n是偶數(shù)時,展開式的項(xiàng)數(shù)n+1是奇數(shù),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

取得最大值;當(dāng)n是奇數(shù)時,展開式的項(xiàng)數(shù)n+1是偶數(shù),中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),相等,且同時取得最大值性質(zhì)內(nèi)容各二項(xiàng)式系數(shù)的和由二項(xiàng)式定理得(a+b)n=,令a=b=1,則

=2n.即(a+b)n的展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和,都等于2n-1,即

=2n-1名師點(diǎn)睛二項(xiàng)式系數(shù)與二項(xiàng)展開式中某一項(xiàng)的系數(shù)是不同的概念,特別地,(a+b)n(a>0,b>0)的展開式中,各項(xiàng)的系數(shù)即對應(yīng)的各二項(xiàng)式系數(shù);(a-b)n(a>0,b>0)的展開式中,各項(xiàng)的系數(shù)的絕對值即對應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù).過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(2)二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大項(xiàng)與二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)相同.(

)2.結(jié)合教材內(nèi)容,說明楊輝三角的主要特點(diǎn).××提示(1)在同一行中,每行兩端都是1,與這兩個1等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等.(2)在相鄰的兩行中,除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和,即重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一“楊輝三角”的理解【例1】在如圖所示的三角形數(shù)陣中,從第3行開始,每一行除1以外,其他每一個數(shù)字都是其上一行的左、右兩個數(shù)字之和.若在此數(shù)陣中存在某一行,滿足該行中有三個相鄰的數(shù)字之比為4∶5∶6,則這一行是第

行.

98規(guī)律方法

“楊輝三角”問題解決的一般方法

變式訓(xùn)練1以下排列的數(shù)是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的幾何排列,在我國南宋時期楊輝所著的《詳解九章算法》一書中曾列出過.那么,第9行第8個數(shù)是

.

36探究點(diǎn)二求二項(xiàng)展開式中系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)【例2】在()8的展開式中,(1)求系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng);(2)求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);(3)求系數(shù)最大的項(xiàng);(4)求系數(shù)最小的項(xiàng).解得5≤r≤6.故系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)和第7項(xiàng).(2)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng),即為第5項(xiàng),(3)由(1)知,展開式中的第6項(xiàng)和第7項(xiàng)系數(shù)的絕對值最大,而第6項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù),第7項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù),規(guī)律方法

二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)與展開式系數(shù)最大項(xiàng)的求法(1)求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng),根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),當(dāng)n為奇數(shù)時,中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大;當(dāng)n為偶數(shù)時,中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.(2)若n的值較小,可以借助二項(xiàng)式定理將(a+b)n(n∈N+)展開,根據(jù)展開式各項(xiàng)的特征找到系數(shù)最大的項(xiàng).若n的值較大,且b>0,可以設(shè)Tr是系數(shù)最大的變式訓(xùn)練2在(x-1)11的展開式中,系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)為

.

-462角度1求二項(xiàng)式系數(shù)和、各項(xiàng)系數(shù)和【例3】已知()n的展開式中,各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為64,則n等于(

)A.4 B.5

C.6 D.7C規(guī)律方法

求二項(xiàng)式系數(shù)和、各項(xiàng)系數(shù)和的求解方法

(2)對形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N+)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和,常用賦值法,只需令x=1即可;對(ax+by)n(a,b∈R,n∈N+)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和,只需令x=y=1即可.變式訓(xùn)練3若(x+3y)n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和等于(7a+b)10的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和,則n的值為

.

5解析

(7a+b)10的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為

.令(x+3y)n中x=y=1,可得各項(xiàng)系數(shù)之和為4n.由題設(shè)知,4n=210,即22n=210,解得n=5.角度2求奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和【例4】若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,求:(1)a1+a2+…+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6.解

(1)令x=0,則a0=-1;令x=1,得a7+a6+…+a1+a0=27=128,①所以a1+a2+…+a7=129.(2)令x=-1,得-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=(-4)7,②由①-②得2(a1+a3+a5+a7)=128-(-4)7=16

512,∴a1+a3+a5+a7=8

256.(3)由①+②得2(a0+a2+a4+a6)=128+(-4)7=-16

256,∴a0+a2+a4+a6=-8

128.變式探究本題中已知條件不變,求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|的值.解

由于(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0中,a0,a2,a4,a6均為負(fù)值,而a1,a3,a5,a7均為正值,因此|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=a7-a6+a5-a4+…-a0.由(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,可得(1-3x)7=-(3x-1)7=-a7x7-a6x6-…-a1x-a0.令x=-1得47=a7-a6+a5-a4+…-a0,所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=16

384.規(guī)律方法

求二項(xiàng)式中項(xiàng)的系數(shù)的和與差的方法技巧若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1),偶次項(xiàng)系本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識清單:二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì):對稱性、單調(diào)性、二項(xiàng)式系數(shù)的和.2.方法歸納:觀察、歸納法求解“楊輝三角”有關(guān)的問題,賦值法求二項(xiàng)展開式的系數(shù)和、二項(xiàng)式系數(shù)的和,解方程組法求解展開式的奇次項(xiàng)、偶次項(xiàng)系數(shù)的和(差),解不等式組法求解展開式中系數(shù)的最大(小)項(xiàng).3.注意事項(xiàng):二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值與n的奇偶性有關(guān),求二項(xiàng)式中項(xiàng)的系數(shù)的和與差時要注意根據(jù)所求式子的特征準(zhǔn)確賦值.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)1234567891011121314A級必備知識基礎(chǔ)練1.已知(1+x)n的展開式中,第3項(xiàng)與第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則二項(xiàng)式系數(shù)和是(

)A.212

B.211

C.210

D.29A解析

因?yàn)?1+x)n的展開式中,第3項(xiàng)與第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,即

,所以n=12,故(1+x)n的二項(xiàng)式系數(shù)和是212.故選A.12345678910111213142.已知(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,則a0-a1+a2-…+a6-a7=(

)A.1 B.-1 C.2

D.-2B解析

因?yàn)?1+2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,令x=-1,得a0-a1+a2-…+a6-a7=[1+2×(-1)]7=-1,故選B.12345678910111213143.在()n的展開式中,所有奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為1024,則中間項(xiàng)系數(shù)是(

)A.330 B.462

C.682

D.792B解析

∵二項(xiàng)展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n,而所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和與所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和相等,故由題意得

=1

024,解得n=11.即二項(xiàng)展開式共12項(xiàng),中間項(xiàng)為第6項(xiàng)、第7項(xiàng),其系數(shù)為

=462.1234567891011121314A12345678910111213145.(多選題)下列關(guān)于(a+b)10的說法中正確的是(

)A.展開式中的各二項(xiàng)式系數(shù)之和為1024B.展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大C.展開式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D.展開式中第6項(xiàng)的系數(shù)最小AB解析

根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),知(a+b)10的展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)之和為210=1

024,故A正確;(a+b)10的展開式中,二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是中間項(xiàng),即第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,故B正確,C錯誤;易知展開式中各項(xiàng)的系數(shù)與對應(yīng)二項(xiàng)式系數(shù)相等,故第6項(xiàng)的系數(shù)最大,故D錯誤.故選AB.12345678910111213146.若(3-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,則|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=

.

45解析

令x=1,則25=a0+a1+a2+…+a5,令x=-1,則45=a0-a1+a2+…-a5,12345678910111213147.(x-2y)100展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為

.

0解析

令x=y=1,則(1-2)100=1,故(x-2y)100展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1.1234567891011121314B級關(guān)鍵能力提升練D12345678910111213149.若(1+x)3(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,則a0+a2+a4+a6=(

)A.8 B.6

C.5

D.4D解析

令x=1,可得a0+a1+a2+…+a7=(1+1)3(1-2)4=8,令x=-1,可得a0-a1+a2+…-a7=(1-1)3(1+2)4=0,兩式相加可得,2(a0+a2+a4+a6)=8,所以a0+a2+a4+a6=4,故選D.123456789101112131410.(多選題)關(guān)于()6的展開式,則(

)A.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為128B.所有項(xiàng)系數(shù)和為1C.常數(shù)項(xiàng)為70D.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)BD1234567891011121314故C錯誤;由題可得,二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng),故D正確.故選BD.123456789101112131411.(多選題)在(1-4x)8的展開式中,下列結(jié)論正確的是(

)A.第5項(xiàng)的系數(shù)最大B.所有項(xiàng)的系數(shù)和為38C.所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為-27D.所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為27BD1234567891011121314123456789101112131412.(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則a=

.

3解析

設(shè)f(x)=(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,令x=1,則a0+a1+a2+…+a5=f(1)=16(a+1),①令x=-1,則a0-a1+a2-…-a5=f(-1)=0,②①-②得,2(a1+a3+a5)=16(a+1),所以2×32=16(a+1),解得a=3.123456789101112131413.在①a1=35;②

=32(m∈N+);③展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大值為7m這三個條件中任選一個,補(bǔ)充在下面問題中.已知(1+mx)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,且

.

(1)求m的值;(2)求a1+a3+a5+a7的值(結(jié)果可以保留指數(shù)形式).1234567891011121314所以2m=32,解得m=5.若選條件③,因?yàn)檎归_式中二項(xiàng)式系數(shù)最大值為7m,(