2018中考專題相似三角形1

第頁2018中考數(shù)學(xué)專題相似形（共40題）1．如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點P為射線BD，CE的交點．（1）求證：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠EAC=90°時，求PB的長；2．如圖，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，連接AD，作BF⊥AD分別交AD于E，AC于F．（1）如圖1，若BD=BA，求證：△ABE≌△DBE；（2）如圖2，若BD=4DC，取AB的中點G，連接CG交AD于M，求證：①GM=2MC；②AG2=AF?AC．3．如圖，在銳角三角形ABC中，點D，E分別在邊AC，AB上，AG⊥BC于點G，AF⊥DE于點F，∠EAF=∠GAC．（1）求證：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．4．如圖，點E是正方形ABCD的邊BC延長線上一點，連結(jié)DE，過頂點B作BF⊥DE，垂足為F，BF分別交AC于H，交CD于G．（1）求證：BG=DE；（2）若點G為CD的中點，求的值．5．（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，AE⊥BF于點M，求證：AE=BF；（2）如圖2，將（1）中的正方形ABCD改為矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于點M，探究AE及BF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．6．如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，點P是AC延長線上一點，且PD⊥AD．（1）證明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC及BD相交于點E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的長．7．△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的頂點E及△ABC的斜邊BC的中點重合，將△DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，線段DE及線段AB相交于點P，線段EF及射線CA相交于點Q．（1）如圖①，當(dāng)點Q在線段AC上，且AP=AQ時，求證：△BPE≌△CQE；（2）如圖②，當(dāng)點Q在線段CA的延長線上時，求證：△BPE∽△CEQ；并求當(dāng)BP=2，CQ=9時BC的長．8．如圖，在矩形ABCD中，E為AB邊上一點，EC平分∠DEB，F(xiàn)為CE的中點，連接AF，BF，過點E作EH∥BC分別交AF，CD于G，H兩點．（1）求證：DE=DC；（2）求證：AF⊥BF；（3）當(dāng)AF?GF=28時，請直接寫出CE的長．9．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，過點B的直線MN∥AC，D為BC邊上一點，連接AD，作DE⊥AD交MN于點E，連接AE．（1）如圖1，當(dāng)∠ABC=45°時，求證：AD=DE；（2）如圖2，當(dāng)∠ABC=30°時，線段AD及DE有何數(shù)量關(guān)系？并請說明理由．10．如圖1，邊長為2的正方形ABCD中，E是BA延長線上一點，且AE=AB，點P從點D出發(fā)，以每秒1個單位長度沿D→C→B向終點B運動，直線EP交AD于點F，過點F作直線FG⊥DE于點G，交AB于點R．（1）求證：AF=AR；（2）設(shè)點P運動的時間為t，①求當(dāng)t為何值時，四邊形PRBC是矩形？②如圖2，連接PB．請直接寫出使△PRB是等腰三角形時t的值．11．如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，延長CB至點F，使CF=CA，連接AF，∠ACF的平分線分別交AF，AB，BD于點E，N，M，連接EO．（1）已知BD=，求正方形ABCD的邊長；（2）猜想線段EM及CN的數(shù)量關(guān)系并加以證明．12．將兩塊全等的三角板如圖1擺放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．（1）將圖1中△A1B1C繞點C順時針旋轉(zhuǎn)45°得圖2，點P1是A1C及AB的交點，點Q是A1B1及BC的交點，求證：CP1=CQ；（2）在圖2中，若AP1=a，則CQ等于多少？（3）將圖2中△A1B1C繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到△A2B2C（如圖3），點P2是A2C及AP1的交點．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為多少度時，有△AP1C∽△CP1P2？這時線段CP1及P1P2之間存在一個怎樣的數(shù)量關(guān)系？13．把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點C及E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點B勻速移動；當(dāng)點P移動到點B時，點P停止移動，△DEF也隨之停止移動．DE及AC交于點Q，連接PQ，設(shè)移動時間為t（s）．（1）用含t的代數(shù)式表示線段AP和AQ的長，并寫出t的取值范圍；（2）連接PE，設(shè)四邊形APEQ的面積為y（cm2），試探究y的最大值；（3）當(dāng)t為何值時，△APQ是等腰三角形．14．△ABC，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，一條直線DE及邊AC相交于點D，及邊AB相交于點E．（1）如圖①，若DE將△ABC分成周長相等的兩部分，則AD+AE等于多少；（用a、b、c表示）（2）如圖②，若AC=3，AB=5，BC=4．DE將△ABC分成周長、面積相等的兩部分，求AD；（3）如圖③，若DE將△ABC分成周長、面積相等的兩部分，且DE∥BC，則a、b、c滿足什么關(guān)系？15．已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，∠PAQ=45°，將∠PAQ繞著正方形的頂點A旋轉(zhuǎn)，使它及正方形ABCD的兩個外角∠EBC和∠FDC的平分線分別交于點M和N，連接MN．（1）求證：△ABM∽△NDA；（2）連接BD，當(dāng)∠BAM的度數(shù)為多少時，四邊形BMND為矩形，并加以證明．16．如圖，在銳角△ABC中，D，E分別為AB，BC中點，F(xiàn)為AC上一點，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于點M．（1）點G在BE上，且∠BDG=∠C，求證：DG?CF=DM?EG；（2）在圖中，取CE上一點H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的長．17．△ABC中，AB=AC，點D、E、F分別在BC、AB、AC上，∠EDF=∠B．（1）如圖1，求證：DE?CD=DF?BE（2）D為BC中點如圖2，連接EF．①求證：ED平分∠BEF；②若四邊形AEDF為菱形，求∠BAC的度數(shù)及的值．18．如圖，在△ABC中，點P是AC邊上的一點，過點P作及BC平行的直線PQ，交AB于點Q，點D在線段BC上，聯(lián)接AD交線段PQ于點E，且=，點G在BC延長線上，∠ACG的平分線交直線PQ于點F．（1）求證：PC=PE；（2）當(dāng)P是邊AC的中點時，求證：四邊形AECF是矩形．19．如圖，已知△ABC中，AC=BC，點D、E、F分別是線段AC、BC、AD的中點，BF、ED的延長線交于點G，連接GC．（1）求證：AB=GD；（2）如圖2，當(dāng)CG=EG時，求的值．20．如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC上的點，線段BE、CD相交于點O，且∠DCB=∠EBC=∠A．（1）求證：△BOD∽△BAE；（2）求證：BD=CE；（3）若M、N分別是BE、CE的中點，過MN的直線交AB于P，交AC于Q，線段AP、AQ相等嗎？為什么？21．如圖，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE及AC交于點M，EF及AC交于點N，動點P從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，伴隨點P的運動，矩形PEFG在射線AB上滑動；動點K從點P出發(fā)沿折線PE﹣﹣EF以每秒1個單位長的速度勻速運動．點P、K同時開始運動，當(dāng)點K到達(dá)點F時停止運動，點P也隨之停止．設(shè)點P、K運動的時間是t秒（t＞0）．（1）當(dāng)t=1時，KE=，EN=；（2）當(dāng)t為何值時，△APM的面積及△MNE的面積相等？（3）當(dāng)點K到達(dá)點N時，求出t的值；（4）當(dāng)t為何值時，△PKB是直角三角形？22．如圖（1），在△ABC中，AD是BC邊的中線，過A點作AE∥BC及過D點作DE∥AB交于點E，連接CE．（1）求證：四邊形ADCE是平行四邊形．（2）連接BE，AC分別及BE、DE交于點F、G，如圖（2），若AC=6，求FG的長．23．已知：在正方形ABCD中，點E、F分別是CB、CD延長線上的點，且BE=DF，聯(lián)結(jié)AE、AF、DE、DE交AB于點M．（1）如圖1，當(dāng)E、A、F在一直線上時，求證：點M為ED中點；（2）如圖2，當(dāng)AF∥ED，求證：AM2=AB?BM．24．已知，如圖1，點D、E分別在AB，AC上，且=．（1）求證：DE∥BC．（2）已知，如圖2，在△ABC中，點D為邊AC上任意一點，連結(jié)BD，取BD中點E，連結(jié)CE并延長CE交邊AB于點F，求證：=．（3）在（2）的條件下，若AB=AC，AF=CD，求的值．25．已知△ABC，AC=BC，點E，F(xiàn)在直線AB上，∠ECF=∠A．（1）如圖1，點E，F(xiàn)在AB上時，求證：AC2=AF?BE；（2）如圖2，點E，F(xiàn)在AB及其延長線上，∠A=60°，AB=4，BE=3，求BF的長．26．如圖，正方形ABCD，∠EAF=45°．交BC、CD于E、F，交BD于H、G．（1）求證：AD2=BG?DH；（2）求證：CE=DG；（3）求證：EF=HG．27．如圖，C為線段BD上一動點，過B、D分別作BD的垂線，使AB=BC，DE=DB，連接AD、AC、BE，過B作AD的垂線，垂足為F，連接CE、EF．（1）求證：AC?DF=BF?BD；（2）點C運動的過程中，∠CFE的度數(shù)保持不變，求出這個度數(shù)；（3）當(dāng)點C運動到什么位置時，CE∥BF？并說明理由．28．如圖，在△ABC中，點D在邊AB上（不及A，B重合），DE∥BC交AC于點E，將△ADE沿直線DE翻折，得到△A′DE，直線DA′，EA′分別交直線BC于點M，N．（1）求證：DB=DM．（2）若=2，DE=6，求線段MN的長．（3）若=n（n≠1），DE=a，則線段MN的長為（用含n的代數(shù)式表示）．29．如圖，已知四邊形ABCD和四邊形DEFG為正方形，點E在線段DC上，點A、D、G在同一直線上，且AD=3，DE=1，連接AC、CG、AE，并延長AE交OG于點H．（1）求證：∠DAE=∠DCG．（2）求線段HE的長．30．如圖，△ABC中，點E、F分別在邊AB，AC上，BF及CE相交于點P，且∠1=∠2=∠A．（1）如圖1，若AB=AC，求證：BE=CF；（2）若圖2，若AB≠AC，①（1）中的結(jié)論是否成立？請給出你的判斷并說明理由；②求證：=．31．如圖1，在銳角△ABC中，D、E分別是AB、BC的中點，點F在AC上，且滿足∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于點M．（1）證明：DM=DA；（2）點G在BE上，且∠BDG=∠C，如圖2，求證：△DEG∽△ECF；（3）在圖2中，取CE上一點H，使得∠CFH=∠B，若BG=5，求EH的長．32．如圖，正方形ABCD中，邊長為12，DE⊥DC交AB于點E，DF平分∠EDC交BC于點F，連接EF．（1）求證：EF=CF；（2）當(dāng)=時，求EF的長．33．如圖，已知在△ABC中，P為邊AB上一點，連接CP，M為CP的中點，連接BM并延長，交AC于點D，N為AP的中點，連接MN．若∠ACP=∠ABD．（1）求證：AC?MN=BN?AP；（2）若AB=3，AC=2，求AP的長．34．如圖，已知AC、EC分別為四邊形ABCD和EFCG的對角線，點E在△ABC內(nèi)，∠CAE+∠CBE=90°，當(dāng)四邊形ABCD和EFCG均為正方形時，連接BF．（1）求證：△CAE∽△CBF；（2）若BE=1，AE=2，求CE的長．35．如圖①，矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，將∠MPN繞點P從PB處開始按順時針方向旋轉(zhuǎn)，PM交邊AB（或AD）于點E，PN交邊AD（或CD）于點F，當(dāng)PN旋轉(zhuǎn)至PC處時，∠MPN的旋轉(zhuǎn)隨即停止．（1）特殊情形：如圖②，發(fā)現(xiàn)當(dāng)PM過點A時，PN也恰巧過點D，此時，△ABP△PCD（填“≌”或“～”）；（2）類比探究：如圖③，在旋轉(zhuǎn)過程中，的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．36．如圖，點M是△ABC內(nèi)一點，過點M分別作直線平行于△ABC的各邊，所形成的三個小三角形△1、△2、△3（圖中陰影部分）的面積分別是1、4、25．則△ABC的面積是．37．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，CO⊥AB于點O，D是線段OB上一點，DE=2，ED∥AC（∠ADE＜90°），連接BE、CD．設(shè)BE、CD的中點分別為P、Q．（1）求AO的長；（2）求PQ的長；（3）設(shè)PQ及AB的交點為M，請直接寫出|PM﹣MQ|的值．38．尤秀同學(xué)遇到了這樣一個問題：如圖1所示，已知AF，BE是△ABC的中線，且AF⊥BE，垂足為P，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c．求證：a2+b2=5c2該同學(xué)仔細(xì)分析后，得到如下解題思路：先連接EF，利用EF為△ABC的中位線得到△EPF∽△BPA，故，設(shè)PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分別表示出來，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理計算，消去m，n即可得證（1）請你根據(jù)以上解題思路幫尤秀同學(xué)寫出證明過程．（2）利用題中的結(jié)論，解答下列問題：在邊長為3的菱形ABCD中，O為對角線AC，BD的交點，E，F(xiàn)分別為線段AO，DO的中點，連接BE，CF并延長交于點M，BM，CM分別交AD于點G，H，如圖2所示，求MG2+MH2的值．39．如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，∠AED=∠B，射線AG分別交線段DE，BC于點F，G，且．（1）求證：△ADF∽△ACG；（2）若，求的值．40．如圖，四邊形中ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，P為對角線AC延長線上的任意一點，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K．求證：K是線段MN的中點．參考答案及試題解析（共40題）1．（2019?阿壩州）如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點P為射線BD，CE的交點．（1）求證：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠EAC=90°時，求PB的長；【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE．∴△ADB≌△AEC．∴BD=CE．（2）解：①當(dāng)點E在AB上時，BE=AB﹣AE=1．∵∠EAC=90°，∴CE==．同（1）可證△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠PEB=∠AEC，∴△PEB∽△AEC．∴PB=．②當(dāng)點E在BA延長線上時，BE=3．∵∠EAC=90°，∴CE==．同（1）可證△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠BEP=∠CEA，∴△PEB∽△AEC．∴PB=．綜上所述，PB的長為或．2．（2019?常德）如圖，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，連接AD，作BF⊥AD分別交AD于E，AC于F．（1）如圖1，若BD=BA，求證：△ABE≌△DBE；（2）如圖2，若BD=4DC，取AB的中點G，連接CG交AD于M，求證：①GM=2MC；②AG2=AF?AC．【解答】證明：（1）在Rt△ABE和Rt△DBE中，，∴△ABE≌△DBE；（2）①過G作GH∥AD交BC于H，∵AG=BG，∴BH=DH，∵BD=4DC，設(shè)DC=1，BD=4，∴BH=DH=2，∵GH∥AD，∴GM=2MC；②過C作CN⊥AC交AD的延長線于N，則CN∥AG，∴△AGM∽△NCM，由①知GM=2MC，∴2NC=AG，∵∠BAC=∠AEB=90°，∴∠ABF=∠CAN=90°﹣∠BAE，∴△ACN∽△BAF，∵AB=2AG，∴2CN?AG=AF?AC，∴AG2=AF?AC．3．（2019?杭州）如圖，在銳角三角形ABC中，點D，E分別在邊AC，AB上，AG⊥BC于點G，AF⊥DE于點F，∠EAF=∠GAC．（1）求證：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．【解答】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB，∵∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，∴∠EAF=∠GAC，∴△EAF∽△CAG，4．（2019?眉山）如圖，點E是正方形ABCD的邊BC延長線上一點，連結(jié)DE，過頂點B作BF⊥DE，垂足為F，BF分別交AC于H，交CD于G．（1）求證：BG=DE；（2）若點G為CD的中點，求的值．【解答】解：（1）∵BF⊥DE，∴∠GFD=90°，∵∠BCG=90°，∠BGC=∠DGF，∴∠CBG=∠CDE，在△BCG及△DCE中，∴△BCG≌△DCE（ASA），∴BG=DE，（2）設(shè)CG=1，∵G為CD的中點，∴GD=CG=1，由（1）可知：△BCG≌△DCE（ASA），∴CG=CE=1，∴由勾股定理可知：DE=BG=，∵sin∠CDE==，∴GF=，∵AB∥CG，∴△ABH∽△CGH，∴BH=，GH=，5．（2019?河池）（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，AE⊥BF于點M，求證：AE=BF；（2）如圖2，將（1）中的正方形ABCD改為矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于點M，探究AE及BF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C，AB=BC．∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF．在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；（2）解：AE=BF，理由：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C，∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF，∴△ABE∽△BCF，∴AE=BF．6．（2019?泰安）如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，點P是AC延長線上一點，且PD⊥AD．（1）證明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC及BD相交于點E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的長．【解答】（1）證明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD+∠BDC=90°，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ADC+∠BDC=90°，∵PD⊥AD，∴∠ADC+∠PDC=90°，∴∠BDC=∠PDC；（2）解：過點C作CM⊥PD于點M，∵∠BDC=∠PDC，∴CE=CM，∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，∴△CPM∽△APD，設(shè)CM=CE=x，∵CE：CP=2：3，∴PC=x，∵AB=AD=AC=1，解得：x=，故AE=1﹣=．7．（2019?天水）△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的頂點E及△ABC的斜邊BC的中點重合，將△DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，線段DE及線段AB相交于點P，線段EF及射線CA相交于點Q．（1）如圖①，當(dāng)點Q在線段AC上，且AP=AQ時，求證：△BPE≌△CQE；（2）如圖②，當(dāng)點Q在線段CA的延長線上時，求證：△BPE∽△CEQ；并求當(dāng)BP=2，CQ=9時BC的長．【解答】（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC，∵AP=AQ，∴BP=CQ，∵E是BC的中點，∴BE=CE，在△BPE和△CQE中，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）解：∵△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，∴∠BEP=∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∵BP=2，CQ=9，BE=CE，∴BE2=18，∴BE=CE=3，∴BC=6．8．（2019?綏化）如圖，在矩形ABCD中，E為AB邊上一點，EC平分∠DEB，F(xiàn)為CE的中點，連接AF，BF，過點E作EH∥BC分別交AF，CD于G，H兩點．（1）求證：DE=DC；（2）求證：AF⊥BF；（3）當(dāng)AF?GF=28時，請直接寫出CE的長．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DCE=∠CEB，∵EC平分∠DEB，∴∠DEC=∠CEB，∴∠DCE=∠DEC，∴DE=DC；（2）如圖，連接DF，∵DE=DC，F(xiàn)為CE的中點，∴DF⊥EC，∴∠DFC=90°，在矩形ABCD中，AB=DC，∠ABC=90°，∴BF=CF=EF=EC，∴∠ABF=∠CEB，∵∠DCE=∠CEB，∴∠ABF=∠DCF，在△ABF和△DCF中，∴△ABF≌△DCF（SAS），∴∠AFB=∠DFC=90°，∴AF⊥BF；（3）CE=4．理由如下：∵AF⊥BF，∴∠BAF+∠ABF=90°，∵EH∥BC，∠ABC=90°，∴∠BEH=90°，∴∠FEH+∠CEB=90°，∵∠ABF=∠CEB，∴∠BAF=∠FEH，∵∠EFG=∠AFE，∴△EFG∽△AFE，∴=，即EF2=AF?GF，∵AF?GF=28，∴EF=2，∴CE=2EF=4．9．（2019?雨城區(qū)校級自主招生）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，過點B的直線MN∥AC，D為BC邊上一點，連接AD，作DE⊥AD交MN于點E，連接AE．（1）如圖1，當(dāng)∠ABC=45°時，求證：AD=DE；（2）如圖2，當(dāng)∠ABC=30°時，線段AD及DE有何數(shù)量關(guān)系？并請說明理由．【解答】（1）證明：如圖1，過點D作DF⊥BC，交AB于點F，則∠BDE+∠FDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠FDE+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠C=45°，∵M(jìn)N∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=135°，∵∠BFD=45°，DF⊥BC，∴∠BFD=45°，BD=DF，∴∠AFD=135°，∴∠EBD=∠AFD，在△BDE和△FDA中∴△BDE≌△FDA（ASA），∴AD=DE；（2）解：DE=AD，理由：如圖2，過點D作DG⊥BC，交AB于點G，則∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，∴∠C=60°，∵M(jìn)N∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=120°，∵∠ABC=30°，DG⊥BC，∴∠BGD=60°，∴∠AGD=120°，∴∠EBD=∠AGD，∴△BDE∽△GDA，在Rt△BDG中，=tan30°=，∴DE=AD．10．（2019?深圳模擬）如圖1，邊長為2的正方形ABCD中，E是BA延長線上一點，且AE=AB，點P從點D出發(fā)，以每秒1個單位長度沿D→C→B向終點B運動，直線EP交AD于點F，過點F作直線FG⊥DE于點G，交AB于點R．（1）求證：AF=AR；（2）設(shè)點P運動的時間為t，①求當(dāng)t為何值時，四邊形PRBC是矩形？②如圖2，連接PB．請直接寫出使△PRB是等腰三角形時t的值．【解答】（1）證明：如圖，在正方形ABCD中，AD=AB=2，∵AE=AB，∴AD=AE，∴∠AED=∠ADE=45°，又∵FG⊥DE，∴在Rt△EGR中，∠GER=∠GRE=45°，∴在Rt△ARF中，∠FRA=∠AFR=45°，∴∠FRA=∠RFA=45°，∴AF=AR；（2）解：①如圖，當(dāng)四邊形PRBC是矩形時，則有PR∥BC，∴AF∥PR，∴△EAF∽△ERP，∴，即：由（1）得AF=AR，解得：或（不合題意，舍去），∵點P從點D出發(fā)，以每秒1個單位長度沿D→C→B向終點B運動，∴（秒）；②若PR=PB，過點P作PK⊥AB于K，設(shè)FA=x，則RK=BR=（2﹣x），∵△EFA∽△EPK，即：=，解得：x=±﹣3（舍去負(fù)值）；∴t=（秒）；若PB=RB，則△EFA∽△EPB，∴BP=AB=×2=∴CP=BC﹣BP=2﹣=，∴（秒）．綜上所述，當(dāng)PR=PB時，t=；當(dāng)PB=RB時，秒．11．（2019?江漢區(qū)校級模擬）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，延長CB至點F，使CF=CA，連接AF，∠ACF的平分線分別交AF，AB，BD于點E，N，M，連接EO．（1）已知BD=，求正方形ABCD的邊長；（2）猜想線段EM及CN的數(shù)量關(guān)系并加以證明．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴△ABD是等腰直角三角形，∴2AB2=BD2，∵BD=，∴AB=1，∴正方形ABCD的邊長為1；（2）CN=2EM證明方法一、理由：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA=OC∵CF=CA，CE是∠ACF的平分線，∴CE⊥AF，AE=FE∴EO為△AFC的中位線∴EO∥BC∴在Rt△AEN中，OA=OC∴EO=OC=AC，∴CM=EM∵CE平分∠ACF，∴∠OCM=∠BCN，∵∠NBC=∠COM=90°，∴△CBN∽△COM，∴CN=CM，即CN=2EM．證明方法二、∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC=45°=∠DBC，由（1）知，在Rt△ACE中，EO=AC=CO，∴∠OEC=∠OCE，∵CE平分∠ACF，∴∠OCE=∠ECB=∠OEC，∴EO∥BC，∴∠EOM=∠DBC=45°，∵∠OEM=∠OCE∴△EOM∽△CAN，∴CN=2CM．12．（2019?濟(jì)寧二模）將兩塊全等的三角板如圖1擺放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．（1）將圖1中△A1B1C繞點C順時針旋轉(zhuǎn)45°得圖2，點P1是A1C及AB的交點，點Q是A1B1及BC的交點，求證：CP1=CQ；（2）在圖2中，若AP1=a，則CQ等于多少？（3）將圖2中△A1B1C繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到△A2B2C（如圖3），點P2是A2C及AP1的交點．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為多少度時，有△AP1C∽△CP1P2？這時線段CP1及P1P2之間存在一個怎樣的數(shù)量關(guān)系？．【解答】（1）證明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，∴∠B1CQ=∠BCP1=45°；又B1C=BC，∠B1=∠B，∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）∴CQ=CP1；（2）解：如圖：作P1D⊥AC于D，∵∠A=30°，∴P1D=AP1；∵∠P1CD=45°，∴=sin45°=，∴CP1=P1D=AP1；又AP1=a，CQ=CP1，∴CQ=a；（3）解：當(dāng)∠P1CP2=∠P1AC=30°時，由于∠CP1P2=∠AP1C，則△AP1C∽△CP1P2，所以將圖2中△A1B1C繞點C順時針旋轉(zhuǎn)30°到△A2B2C時，有△AP1C∽△CP1P2．這時==，∴P1P2=CP1．13．（2019?惠陽區(qū)模擬）把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點C及E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點B勻速移動；當(dāng)點P移動到點B時，點P停止移動，△DEF也隨之停止移動．DE及AC交于點Q，連接PQ，設(shè)移動時間為t（s）．（1）用含t的代數(shù)式表示線段AP和AQ的長，并寫出t的取值范圍；（2）連接PE，設(shè)四邊形APEQ的面積為y（cm2），試探究y的最大值；（3）當(dāng)t為何值時，△APQ是等腰三角形．【解答】（1）解：AP=2t∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，∴∠CQE=45°=∠DEF，∴CQ=CE=t，∴AQ=8﹣t，t的取值范圍是：0≤t≤5；（2）過點P作PG⊥x軸于G，可求得AB=10，SinB=，PB=10﹣2t，EB=6﹣t，∴PG=PBSinB=（10﹣2t）∴y=S△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE==∴當(dāng)（在0≤t≤5內(nèi)），y有最大值，y最大值=（cm2）（3）若AP=AQ，則有2t=8﹣t解得：（s）若AP=PQ，如圖①：過點P作PH⊥AC，則AH=QH=，PH∥BC∴△APH∽△ABC，即，解得：（s）若AQ=PQ，如圖②：過點Q作QI⊥AB，則AI=PI=AP=t∵∠AIQ=∠ACB=90°∠A=∠A，∴△AQI∽△ABC∴即，解得：（s）綜上所述，當(dāng)或或時，△APQ是等腰三角形．14．（2019?廬陽區(qū)一模）△ABC，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，一條直線DE及邊AC相交于點D，及邊AB相交于點E．（1）如圖①，若DE將△ABC分成周長相等的兩部分，則AD+AE等于多少；（用a、b、c表示）（2）如圖②，若AC=3，AB=5，BC=4．DE將△ABC分成周長、面積相等的兩部分，求AD；（3）如圖③，若DE將△ABC分成周長、面積相等的兩部分，且DE∥BC，則a、b、c滿足什么關(guān)系？【解答】解：（1）∵DE將△ABC分成周長相等的兩部分，∴AD+AE=CD+BC+BE=（AB+AC+BC）=（a+b+c）；（2）設(shè)AD=x，AE=6﹣x，∵S△ADE=AD?AE?sinA=3，即：x（6﹣x）?=3，解得：x1=（舍去），x2=，∴AD=；（3）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD=b，AE=c，∴bc=（a+b+c），∴=﹣1．15．（2019?嘉興模擬）已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，∠PAQ=45°，將∠PAQ繞著正方形的頂點A旋轉(zhuǎn)，使它及正方形ABCD的兩個外角∠EBC和∠FDC的平分線分別交于點M和N，連接MN．（1）求證：△ABM∽△NDA；（2）連接BD，當(dāng)∠BAM的度數(shù)為多少時，四邊形BMND為矩形，并加以證明．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，∵BM、DN分別是正方形的兩個外角平分線，∴∠ABM=∠ADN=135°，∵∠MAN=45°，∴∠BAM=∠AND=45°﹣∠DAN，∴△ABM∽△NDA；（2）解：當(dāng)∠BAM=22.5°時，四邊形BMND為矩形；理由如下：∵∠BAM=22.5°，∠EBM=45°，∴∠AMB=22.5°，∴∠BAM=∠AMB，∴AB=BM，同理AD=DN，∵AB=AD，∴BM=DN，∵四邊形ABCD是正方形∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠BDN=∠DBM=90°∴∠BDN+∠DBM=180°，∴BM∥DN∴四邊形BMND為平行四邊形，∵∠BDN=90°，∴四邊形BMND為矩形．16．（2019?肥城市三模）如圖，在銳角△ABC中，D，E分別為AB，BC中點，F(xiàn)為AC上一點，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于點M．（1）點G在BE上，且∠BDG=∠C，求證：DG?CF=DM?EG；（2）在圖中，取CE上一點H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的長．【解答】（1）證明：如圖1所示，∴D，E分別為AB，BC中點，∴DE∥AC∵DM∥EF，∴四邊形DEFM是平行四邊形，∴DM=EF，如圖2所示，∵D、E分別是AB、BC的中點，∴DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，∵∠AFE=∠A，∴∠BDE=∠AFE，∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，∵∠BDG=∠C，∴∠GDE=∠FEC，∴△DEG∽△ECF；∴DG?CF=DM?EG；（2）解：如圖3所示，∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，∴△BDG∽△BED，∴BD2=BG?BE，∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=∠EFH，又∵∠FEH=∠CEF，∴△EFH∽△ECF，∴EF2=EH?EC，∵DE∥AC，DM∥EF，∴四邊形DEFM是平行四邊形，∴EF=DM=DA=BD，∴BG?BE=EH?EC，∵BE=EC，∴EH=BG=1．17．（2019?肥城市模擬）△ABC中，AB=AC，點D、E、F分別在BC、AB、AC上，∠EDF=∠B．（1）如圖1，求證：DE?CD=DF?BE（2）D為BC中點如圖2，連接EF．①求證：ED平分∠BEF；②若四邊形AEDF為菱形，求∠BAC的度數(shù)及的值．【解答】（1）證明：∵△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠B+∠BDE+∠DEB=180°，∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°，∠EDF=∠B，∴∠FDC=∠DEB，∴△BDE∽△CFD，即DE?CD=DF?BE；（2）解：①由（1）證得△BDE∽△CFD，∵D為BC中點，∴BD=CD，∵∠B=∠EDF，∴△BDE～△DFE，∴∠BED=∠DEF，∴ED平分∠BEF；②∵四邊形AEDF為菱形，∴∠AEF=∠DEF，∵∠BED=∠DEF，∴∠AEF=60°，∵AE=AF，∴∠BAC=60°，∵∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°，∴△BED是等邊三角形，∴BE=DE，∵AE=DE，∴AE=AB，18．（2019?長寧區(qū)二模）如圖，在△ABC中，點P是AC邊上的一點，過點P作及BC平行的直線PQ，交AB于點Q，點D在線段BC上，聯(lián)接AD交線段PQ于點E，且=，點G在BC延長線上，∠ACG的平分線交直線PQ于點F．（1）求證：PC=PE；（2）當(dāng)P是邊AC的中點時，求證：四邊形AECF是矩形．【解答】（1）證明：∵PQ∥BC，∴△AQE∽△ABD，△AEP∽△ADC，∴PC=PE；（2）∵PF∥DG，∴∠PFC=∠FCG，∵CF平分∠PCG，∴∠PCF=∠FCG，∴∠PFC=∠FCG，∴PF=PC，∴PF=PE，∵P是邊AC的中點，∴AP=CP，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵PQ∥CD，∴∠PEC=∠DCE，∴∠PCE=∠DCE，∴∠PCE+∠PCF=（∠PCD+∠PCG）=90°，∴∠ECF=90°，∴平行四邊形AECF是矩形．19．（2019?安徽模擬）如圖，已知△ABC中，AC=BC，點D、E、F分別是線段AC、BC、AD的中點，BF、ED的延長線交于點G，連接GC．（1）求證：AB=GD；（2）如圖2，當(dāng)CG=EG時，求的值．【解答】解：（1）∵D、E分別是線段AC、BC的中點，∴DE為△ABC的中位線，∴DE∥AB，即EG∥AB，∴∠FDG=∠A，∵點F為線段AD的中點，∴AF=DF，在△ABF及△DGF中，∴△ABF≌△DGF（ASA）∴AB=GD（2）∵DE為△ABC的中位線，∴DE=AB，CE=BC=AC∵DG=AB，∴EG=DE+DG∴EG=AB∵DE∥AB，∴∠GEC=∠CBA，∵AC=BC，CG=EG∴△GEC∽△CBA即，20．（2019?蜀山區(qū)二模）如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC上的點，線段BE、CD相交于點O，且∠DCB=∠EBC=∠A．（1）求證：△BOD∽△BAE；（2）求證：BD=CE；（3）若M、N分別是BE、CE的中點，過MN的直線交AB于P，交AC于Q，線段AP、AQ相等嗎？為什么？【解答】（1）證明：∵∠BCO=∠CBO，∴∠DOB=∠BCO+CBO=2∠BCO，∵∠A=2∠BCO，∴∠DOB=∠A，∵∠ABE=∠ABE，∴△BOD∽△BAE；（2）解：延長CD，在CD延長線上取一點F，使BF=BD，∴∠BDF=∠BFD，∵∠BDF=∠ABO+∠DOB，∠BEC=∠ABO+∠A，由（1）得∠BOD=∠A，∴∠BDF=∠BEC，∴∠BFD=∠BEC，在△BFC及△CEB中，，∴△BFC≌△CEB，∴BD=BF，∴BD=CE；（3）解：AP=AQ，理由：取BC的中點G，連接GM，GN，∵M(jìn)，N分別是BE，CD的中點，∴GM，GN是中位線，∴GM∥CE，GM=CE，GN∥BD，GN=BD，∵BD=CE，∴GM=GN，∴∠3=∠4，∵GM∥CE，∴∠2=∠4，∵GN∥BD，∴∠3=∠1，∴∠1=∠2，∴AP=AQ．21．（2019?石家莊二模）如圖，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE及AC交于點M，EF及AC交于點N，動點P從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，伴隨點P的運動，矩形PEFG在射線AB上滑動；動點K從點P出發(fā)沿折線PE﹣﹣EF以每秒1個單位長的速度勻速運動．點P、K同時開始運動，當(dāng)點K到達(dá)點F時停止運動，點P也隨之停止．設(shè)點P、K運動的時間是t秒（t＞0）．（1）當(dāng)t=1時，KE=1，EN=；（2）當(dāng)t為何值時，△APM的面積及△MNE的面積相等？（3）當(dāng)點K到達(dá)點N時，求出t的值；（4）當(dāng)t為何值時，△PKB是直角三角形？【解答】解：（1）當(dāng)t=1時，根據(jù)題意得，AP=1，PK=1，∵PE=2，∴KE=2﹣1=1，∵四邊形ABCD和PEFG都是矩形，∴△APM∽△ABC，△APM∽△NEM，∴MP=，ME=，∴NE=；故答案為：1；；（2）由（1）并結(jié)合題意可得，AP=t，PM=t，ME=2﹣t，NE=﹣t，∴t×t=（2﹣t）×（﹣t），解得，t=；（3）當(dāng)點K到達(dá)點N時，則PE+NE=AP，由（2）得，﹣t+2=t，解得，t=；（4）①當(dāng)K在PE邊上任意一點時△PKB是直角三角形，即，0＜t≤2；②當(dāng)點k在EF上時，則KE=t﹣2，BP=8﹣t，∵△BPK∽△PKE，∴PK2=BP×KE，PK2=PE2+KE2，∴4+（t﹣2）2=（8﹣t）（t﹣2），解得t=3，t=4；③當(dāng)t=5時，點K在BC邊上，∠KBP=90°．綜上，當(dāng)0＜t≤2或t=3或t=4或5時，△PKB是直角三角形．22．（2019?農(nóng)安縣模擬）如圖（1），在△ABC中，AD是BC邊的中線，過A點作AE∥BC及過D點作DE∥AB交于點E，連接CE．（1）求證：四邊形ADCE是平行四邊形．（2）連接BE，AC分別及BE、DE交于點F、G，如圖（2），若AC=6，求FG的長．【解答】（1）證明：∵AE∥BC，DE∥AB．∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE=BD，又∵BD=DC，∴AE=DC，又∵AE∥DC，∴四邊形ADCE是平行四邊形．（2）解：∵四邊形ADCE是平行四邊形，AC=6，∴AG=GC=3，又∵AE∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴AF=2，∴FG=AG﹣AF=1．23．（2019?楊浦區(qū)三模）已知：在正方形ABCD中，點E、F分別是CB、CD延長線上的點，且BE=DF，聯(lián)結(jié)AE、AF、DE、DE交AB于點M．（1）如圖1，當(dāng)E、A、F在一直線上時，求證：點M為ED中點；（2）如圖2，當(dāng)AF∥ED，求證：AM2=AB?BM．【解答】（1）連接AC，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAM=∠BEM=∠BCD=90°，∠BCA=∠DCA=45°，AB=BC=CD=DA，∵BE=DF，∴CE=CF，∴∠AEB=∠F=45°，∴BE=BA=AD，在△ADM和△BEM中，，∴△ADM和△BEM，∴DM=EM，即點M為ED中點；（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAM=∠EBM=90°，AD=AB，∴△ADM∽△BEM，∵AM∥DF，AF∥DE，∴四邊形AMDF是平行四邊形，∴AM=DF，∵BE=DF，∴AM=BE，∴AM2=AB?BM．24．（2019?杭州模擬）已知，如圖1，點D、E分別在AB，AC上，且=．（1）求證：DE∥BC．（2）已知，如圖2，在△ABC中，點D為邊AC上任意一點，連結(jié)BD，取BD中點E，連結(jié)CE并延長CE交邊AB于點F，求證：=．（3）在（2）的條件下，若AB=AC，AF=CD，求的值．【解答】解：（1）∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC（2）過點D作DG∥AB交CF于點G，∴△CDG∽△CAF∵E是BD的中點，∴BE=ED，∵DG∥AB，∴∠FBE=∠EDG在△DEG及△CAF中，∴△DEG≌△BEF（AAS）∴DG=BF，（3）由（2）可得：∵AB=AC，AF=CD，∴BF2+BF?AF﹣AF2=0，∴（）2+﹣1=0，∴解得：=，25．（2019?岱岳區(qū)二模）已知△ABC，AC=BC，點E，F(xiàn)在直線AB上，∠ECF=∠A．（1）如圖1，點E，F(xiàn)在AB上時，求證：AC2=AF?BE；（2）如圖2，點E，F(xiàn)在AB及其延長線上，∠A=60°，AB=4，BE=3，求BF的長．【解答】解：（1）∵AC=BC，∴∠A=∠B∵∠BEC=∠ACE+∠A∠ACF=∠ACE+∠ECF，∴∠ACF=∠BEC∴△ACF∽△BEC∴AC2=AF?BE（2）∵∠A=60°，∴△ABC是等邊三角形∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°=∠ECF，∵∠ECB=∠ACB﹣∠ACE，∠F=∠ABC﹣∠FCB，∠ACE=∠FCB，∴∠ECB=∠F，∵∠ABC=∠A，∴△ACF∽△BEC∴AF=∴BF=AF﹣AB=26．（2019?硚口區(qū)模擬）如圖，正方形ABCD，∠EAF=45°．交BC、CD于E、F，交BD于H、G．（1）求證：AD2=BG?DH；（2）求證：CE=DG；（3）求證：EF=HG．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD為正方形∴∠ABD=∠ADB=45°，AB=AD，∵∠EAF=45°∴∠BAG=45°+∠BAH，∠AHD=45°+∠BAH，∴∠BAG=∠AHD，又∵∠ABD=∠ADB=45°，∴△ABG∽△HDA，∴BG?DH=AB?AD=AD2；（2）如圖，連接AC，∵四邊形ABCD是正方形∴∠ACE=∠ADB=∠CAD=45°，∴AC=AD，∵∠EAF=45°，∴∠EAF=∠CAD，∴∠EAF﹣∠CAF=∠CAD﹣∠CAF，∴∠EAC=∠GAD，∴△EAC∽△GAD，∴CE=DG；（3）由（2）得：△EAC∽△GAD，同理得：△AFC∽△AHB，∵∠GAH=∠EAF，∴△GAH∽△EAF，∴EF=GH．27．（2019?岱岳區(qū)一模）如圖，C為線段BD上一動點，過B、D分別作BD的垂線，使AB=BC，DE=DB，連接AD、AC、BE，過B作AD的垂線，垂足為F，連接CE、EF．（1）求證：AC?DF=BF?BD；（2）點C運動的過程中，∠CFE的度數(shù)保持不變，求出這個度數(shù)；（3）當(dāng)點C運動到什么位置時，CE∥BF？并說明理由．【解答】解：（1）∵BF⊥AD，∴∠AFB=∠BFD=90°，∴∠ABF+∠BAF=90°，∵AB⊥BC，∴∠ABF+∠DBF=90°，∴∠BAF=∠DBF，∴△ABF∽△BDF，∴=，即AB?DF=BF?BD，由AB=BC，AB⊥BC，∴AB=AC，∴AC?DF=BF?BD；（2）∵=，AB=BC、BD=DE，∵∠FBC+∠BDF=90°、∠BDF+∠EDF=90°，∴∠FBC=∠EDF，∴△FBC∽△FDE，∴∠BFC=∠DFE，又∠BFD=∠BFC+∠CFD=90°，∴∠DFE+∠CFD=90°，即∠CFE=90°，故∠CFE的度數(shù)保持不變，始終等于90°．（3）當(dāng)C為BD中點時，CE∥BF，理由如下：∵C為BD中點，∴AB=BC=CD=BD=DE，在△ABD和△CDE中，∴△ABD≌△CDE（SAS），∴∠ADB=∠CED，∵∠CED+∠ECD=90°，∴∠ADB+∠ECD=90°，∴CE⊥AD，∵BF⊥AD，∴CE∥BF．28．（2019?長春模擬）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上（不及A，B重合），DE∥BC交AC于點E，將△ADE沿直線DE翻折，得到△A′DE，直線DA′，EA′分別交直線BC于點M，N．（1）求證：DB=DM．（2）若=2，DE=6，求線段MN的長．（3）若=n（n≠1），DE=a，則線段MN的長為a﹣（n＞1）或﹣a（0＜n＜1）（用含n的代數(shù)式表示）．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠A′DE=∠DMB，由翻折可知：∠ADE=∠A′DE∵∠B=∠DMB，∴DB=DM，（2）由翻折可知：A′D=AD∵，DB=DM，∵DE∥BC，∴△A′MN∽△A′DE∵DE=6，∴MN=DE=3，（3）由翻折可知：A′D=AD∵=n，DB=DM，∴=n，當(dāng)n＞1時，∵DE∥BC，∴△A′MN∽△A′DE∵DE=a，∴MN=DE=a﹣，同理：當(dāng)0＜n＜1時，此時∴=，∴MN=，綜上所述，MN=a﹣（n＞1）或﹣a（0＜n＜1）故答案為：（3）MN=a﹣（n＞1）或﹣a（0＜n＜1）29．（2019?武漢）已知四邊形ABCD的一組對邊AD、BC的延長線交于點E．（1）如圖1，若∠ABC=∠ADC=90°，求證：ED?EA=EC?EB；（2）如圖2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=，CD=5，AB=12，△CDE的面積為6，求四邊形ABCD的面積；（3）如圖3，另一組對邊AB、DC的延長線相交于點F．若cos∠ABC=cos∠ADC=，CD=5，CF=ED=n，直接寫出AD的長（用含n的式子表示）【解答】解：（1）如圖1中，∵∠ADC=90°，∠EDC+∠ADC=180°，∴∠EDC=90°，∵∠ABC=90°，∴∠EDC=∠ABC，∵∠E=∠E，∴△EDC∽△EBA，∴ED?EA=EC?EB．（2）如圖2中，過C作CF⊥AD于F，AG⊥EB于G．在Rt△CDF中，cos∠ADC=，∴=，∵CD=5，∴DF=3，∴CF==4，∵S△CDE=6，∴?ED?CF=6，∴ED==3，EF=ED+DF=6，∵∠ABC=120°，∠G=90°，∠G+∠BAG=∠ABC，∴∠BAG=30°，∴在Rt△ABG中，BG=AB=6，AG==6，∵CF⊥AD，AG⊥EB，∴∠EFC=∠G=90°，∵∠E=∠E，∴△EFC∽△EGA，∴EG=9，∴BE=EG﹣BG=9﹣6，∴S四邊形ABCD=S△ABE﹣S△CDE=（9﹣6）×6﹣6=75﹣18．（3）如圖3中，作CH⊥AD于H，則CH=4，DH=3，∴tan∠E=，作AG⊥DF于點G，設(shè)AD=5a，則DG=3a，AG=4a，∴FG=DF﹣DG=5+n﹣3a，∵CH⊥AD，AG⊥DF，∠E=∠F，易證△AFG∽△CEH，∴a=，∴AD=5a=．30．（2019?大冶市模擬）如圖，△ABC中，點E、F分別在邊AB，AC上，BF及CE相交于點P，且∠1=∠2=∠A．（1）如圖1，若AB=AC，求證：BE=CF；（2）若圖2，若AB≠AC，①（1）中的結(jié)論是否成立？請給出你的判斷并說明理由；②求證：=．【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠EBC=∠FCB，在△BCE及△CBF中，，∴△BCE≌△CBF，∴BE=CF；（2）①成立，理由如下：作∠A的平分線交BC于點D，連結(jié)DE、DF，則∠DAF=∠DAE=∠A，∵∠1=∠2=∠A，∴∠DAF=∠DAE=∠1=∠2，∴A、B、D、F四點及A、E、D、C四點分別共圓，∴BD=DF，DE=DC，∵∠BDE=∠A，∠CDF=∠A，∴∠BDE=∠CDF，在△DEB及△DCF中，，∴△DEB≌△DCF，∴BE=CF；②由上面的證明易知△DFB及△DEC均為等腰三角形，∵∠1=∠2，∴△DFB∽△DEC，∵AD是△ABC的內(nèi)角平分線，31．（2019?大東區(qū)二模）如圖1，在銳角△ABC中，D、E分別是AB、BC的中點，點F在AC上，且滿足∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于點M．（1）證明：DM=DA；（2）點G在BE上，且∠BDG=∠C，如圖2，求證：△DEG∽△ECF；（3）在圖2中，取CE上一點H，使得∠CFH=∠B，若BG=5，求EH的長．【解答】（1）證明：如圖1所示，∵DM∥EF，∴∠AMD=∠AFE，∵∠AFE=∠A，∴∠AMD=∠A，∴DM=DA；（2）證明：如圖2所示，∵D、E分別是AB、BC的中點，∴DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，∵∠AFE=∠A，∴∠BDE=∠AFE，∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，∵∠BDG=∠C，∴∠GDE=∠FEC，∴△DEG∽△ECF；（3）解：如圖3所示，∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，∴△BDG∽△BED，∴BD2=BG?BE，∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=∠EFH，又∵∠FEH=∠CEF，∴△EFH∽△ECF，∴EF2=EH?EC，∵DE∥AC，DM∥EF，∴四邊形DEFM是平行四邊形，∴EF=DM=DA=BD，∴BG?BE=EH?EC，∵BE=EC，∴EH=BG=5．32．（2019?隨州）如圖，分別是可活動的菱形和平行四邊形學(xué)具，已知平行四邊形較短的邊及菱形的邊長相等．（1）在一次數(shù)學(xué)活動中，某小組學(xué)生將菱形的一邊及平行四邊形較短邊重合，擺拼成如圖1所示的圖形，AF經(jīng)過點C，連接DE交AF于點M，觀察發(fā)現(xiàn)：點M是DE的中點．下面是兩位學(xué)生有代表性的證明思路：思路1：不需作輔助線，直接證三角形全等；思路2：不證三角形全等，連接BD交AF于點H．…請參考上面的思路，證明點M是DE的中點（只需用一種方法證明）；（2）如圖2，在（1）的前提下，當(dāng)∠ABE=135°時，延長AD、EF交于點N，求的值；（3）在（2）的條件下，若=k（k為大于的常數(shù)），直接用含k的代數(shù)式表示的值．【解答】解：（1）如圖1，證法一：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=CD，AB∥CD，∵四邊形ABEF為平行四邊形，∴AB=EF，AB∥EF，∴CD=EF，CD∥EF，∴∠CDM=∠FEM，在△CDM和△FEM中∴△CDM≌△FEM，∴DM=EM，即點M是DE的中點；證法二：∵四邊形ABCD為菱形，∴DH=BH，∵四邊形ABEF為平行四邊形，∴AF∥BE，∵HM∥BE，∴==1，∴DM=EM，即點M是DE的中點；（2）∵△CDM≌△FEM，∴CM=FM，設(shè)AD=a，CM=b，∵∠ABE=135°，∴∠BAF=45°，∵四邊形ABCD為菱形，∴∠NAF=45°，∴四邊形ABCD為正方形，∴AC=AD=a，∵AB∥EF，∴∠AFN=∠BAF=45°，∴△ANF為等腰直角三角形，∴NF=AF=（a+b+b）=a+b，∴NE=NF+EF=a+b+a=2a+b，（4）∵==+2?=k，∴=（k﹣），∴==?+1=?+1=．33．（2019秋?故城縣期末）如圖，已知在△ABC中，P為邊AB上一點，連接CP，M為CP的中點，連接BM并延長，交AC于點D，N為AP的中點，連接MN．若∠ACP=∠ABD．（1）求證：AC?MN=BN?AP；（2）若AB=3，AC=2，求AP的長．【解答】解：（1）∵M(jìn)為CP的中點，N為AP的中點，∴MN是△ACP的中位線，∴NM∥AC，MN=AC，∴∠A=∠BNM，又∵∠ACP=∠ABD，∴△ACP∽△NBM，∴AC?MN=BN?AP；（2）∵AC=2，∴MN=AC=1，設(shè)AN=x，則AP=2x，∵AC?MN=BN?AP，∴2×1=（3﹣x）×2x，解得x1=，x2=，∴AP=3+（舍去），AP=3﹣，∴AP的長3﹣．34．（2019秋?召陵區(qū)期末）如圖，已知AC、EC分別為四邊形ABCD和EFCG的對角線，點E在△ABC內(nèi)，∠CAE+∠CBE=90°，當(dāng)四邊形ABCD和EFCG均為正方形時，連接BF．（1）求證：△CAE∽△CBF；（2）若BE=1，AE=2，求CE的長．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD和EFCG均為正方形，又∵∠ACE+∠BCE=∠BCF+∠BCE=45°，∴∠ACE=∠BCF，∴△CAE∽△CBF．（2）：∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE=∠CBF，=，又∵∠CAE+∠CBE=90°，∴∠CBF+∠CBE=90°，∴∠EBF=90°，又∵==，AE=2∴BF=，∴EF2=BE2+BF2=3，∴EF=，∵CE2=2E