2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

第二章圓錐曲線1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解圓錐曲線的實(shí)際背景,感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.2.掌握橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程.3.會(huì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)1

橢圓的定義1.定義平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之

等于

(大于|F1F2|)的點(diǎn)的集合(或軌跡)叫作橢圓.

這兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2叫作橢圓的焦點(diǎn),兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離|F1F2|叫作橢圓的焦距.2.定義的集合語(yǔ)言表述集合P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}.和常數(shù)名師點(diǎn)睛在橢圓定義中,要求常數(shù)必須大于兩定點(diǎn)F1,F2之間的距離,這是橢圓定義中非常重要的一個(gè)條件.思考辨析若平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1,F2距離之和為常數(shù)2a,試探索點(diǎn)M的軌跡圖形.提示

根據(jù)題意,得|MF1|+|MF2|=2a,①當(dāng)2a>|F1F2|時(shí),滿足橢圓的定義,可得點(diǎn)M的軌跡為以F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓;②當(dāng)2a=|F1F2|時(shí),|MF1|+|MF2|=|F1F2|,點(diǎn)M在線段F1F2上,點(diǎn)M的軌跡為線段F1F2;③當(dāng)2a<|F1F2|時(shí),|MF1|+|MF2|<|F1F2|,不存在滿足條件的點(diǎn)M.綜上所述,點(diǎn)M的軌跡為橢圓或線段或不存在.自主診斷判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面內(nèi)到F1,F2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是橢圓.(

)(2)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面內(nèi)到F1,F2兩點(diǎn)的距離之和等于6的點(diǎn)的軌跡是橢圓.(

)(3)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(-4,0),F2(4,0)兩點(diǎn)的距離之和等于點(diǎn)M(5,3)到F1,F2兩點(diǎn)的距離之和的點(diǎn)的軌跡是橢圓.(

)(4)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(-4,0),F2(4,0)距離相等的點(diǎn)的軌跡是橢圓.(

)××√×知識(shí)點(diǎn)2

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程一定是分式且分母大的在前

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程

圖形

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上焦點(diǎn)坐標(biāo)

a,b,c的關(guān)系

F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a2=b2+c2名師點(diǎn)睛1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是指當(dāng)橢圓在標(biāo)準(zhǔn)位置時(shí)的方程,所謂標(biāo)準(zhǔn)位置,就是指橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸.2.兩種橢圓

(a>b>0)的相同點(diǎn)是:它們的形狀、大小都相同,都有a>b>0,a2=b2+c2;不同點(diǎn)是:兩種橢圓的位置不同,它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不同.3.給出橢圓方程

(m>0,n>0,m≠n),判斷該方程所表示的橢圓的焦點(diǎn)位置的方法是:橢圓的焦點(diǎn)在x軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)的分母較大;橢圓的焦點(diǎn)在y軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中y2項(xiàng)的分母較大,這是判斷橢圓焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的重要方法.可簡(jiǎn)記作:焦點(diǎn)位置看大小,焦點(diǎn)跟著大的跑.思考辨析請(qǐng)?zhí)剿鰽x2+By2=1表示橢圓的條件.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)××√√2.[人教B版教材習(xí)題]設(shè)橢圓

+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F2,且P為橢圓上一點(diǎn),求|PF1|+|PF2|的值.3.[人教B版教材習(xí)題]分別根據(jù)下列條件,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)a=,b=1,焦點(diǎn)在x軸上;(2)b=3,經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,-4),焦點(diǎn)在y軸上.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】

求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)焦點(diǎn)在y軸上,且經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)(0,2)和(1,0);規(guī)律方法

求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法:根據(jù)橢圓定義,確定a2,b2的值,結(jié)合焦點(diǎn)位置寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)待定系數(shù)法:先判斷焦點(diǎn)位置,設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程形式,最后由條件確定待定系數(shù)即可.即“先定位,后定量”.當(dāng)所求橢圓的焦點(diǎn)位置不能確定時(shí),應(yīng)按焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上進(jìn)行分類討論,但要注意a>b>0這一條件.(3)當(dāng)已知橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn),求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),把橢圓的方程設(shè)成mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)的形式有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn):①列出的方程組中分母不含字母;②不用討論焦點(diǎn)所在的位置,從而簡(jiǎn)化求解過(guò)程.變式訓(xùn)練1[人教B版教材習(xí)題]分別求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1(-3,0),F2(3,0),橢圓上的點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和等于8;(2)兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1(0,-4),F2(0,4),并且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)探究點(diǎn)二橢圓定義的應(yīng)用【例2】

(1)已知F1,F2為橢圓

的左、右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn).若|F2A|+|F2B|=12,則|AB|=

.

8解析

由直線AB過(guò)橢圓的焦點(diǎn)F1,知|AB|=|F1A|+|F1B|,所以在△F2AB中,|F2A|+|F2B|+|AB|=4×5=20,又|F2A|+|F2B|=12,所以|AB|=8.★(2)如圖所示,已知?jiǎng)訄AP過(guò)定點(diǎn)A(-3,0),并且在定圓B:(x-3)2+y2=64的內(nèi)部與其內(nèi)切,求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程.解

設(shè)動(dòng)圓P和定圓B內(nèi)切于點(diǎn)M,動(dòng)圓圓心P到兩定點(diǎn)A(-3,0)和B(3,0)的距離之和恰好等于定圓半徑,即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>|AB|,所以動(dòng)圓圓心P的軌跡是以A,B為左、右焦點(diǎn)的橢圓,其中c=3,a=4,b2=a2-c2=42-32=7,其軌跡方程為規(guī)律方法

1.利用橢圓定義求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的三個(gè)步驟

2.橢圓定義的應(yīng)用要注意其適用條件,涉及與幾何圖形有關(guān)的軌跡問(wèn)題要注意特殊點(diǎn)的位置.C(2)如圖所示,在圓C:(x+1)2+y2=25內(nèi)有一點(diǎn)A(1,0).Q為圓C上任意一點(diǎn),線段AQ的垂直平分線與點(diǎn)C,Q的連線交于點(diǎn)M,當(dāng)點(diǎn)Q在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡方程.解

如圖所示,連接MA.由題意知點(diǎn)M在線段CQ上,從而有|CQ|=|MQ|+|CM|.又點(diǎn)M在AQ的垂直平分線上,則|MA|=|MQ|,故|MA|+|MC|=|CQ|=5>2c=2.又A(1,0),C(-1,0),故點(diǎn)M的軌跡是以(1,0),(-1,0)為焦點(diǎn)的橢圓,探究點(diǎn)三橢圓中的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題【例3】

已知P為橢圓

上一點(diǎn),F1,F2是橢圓的焦點(diǎn),∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面積.變式探究若將本例中“∠F1PF2=60°”變?yōu)椤啊螾F1F2=90°”,求△F1PF2的面積.規(guī)律方法

1.橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1,F2構(gòu)成的△PF1F2稱為焦點(diǎn)三角形.解關(guān)于橢圓的焦點(diǎn)三角形的問(wèn)題,通常要利用橢圓的定義,再結(jié)合正弦定理、余弦定理等知識(shí)求解.2.焦點(diǎn)三角形的常用公式(1)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)L=2a+2c.(2)在△PF1F2中,由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2.(3)設(shè)P(xP,yP),焦點(diǎn)三角形的面積

變式訓(xùn)練3設(shè)點(diǎn)P為橢圓C:上一點(diǎn),F1,F2分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn),且△PF1F2的重心為點(diǎn)G,若|PF1|∶|PF2|=3∶4,那么△GPF1的面積為(

)A.24 B.12C.8 D.6C學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)12345678910111213A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)二]已知A(-5,0),B(5,0).動(dòng)點(diǎn)C滿足|AC|+|BC|=10,則點(diǎn)C的軌跡是(

)A.橢圓 B.直線

C.線段 D.點(diǎn)C解析

由|AC|+|BC|=10=|AB|,知點(diǎn)C的軌跡是線段AB.141516123456789101112132.[探究點(diǎn)二]設(shè)P是橢圓

上一點(diǎn),點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)F1,F2的距離之差為2,則△PF1F2是(

)A.銳角三角形

B.直角三角形C.鈍角三角形

D.等腰直角三角形B解析

由橢圓定義,知|PF1|+|PF2|=2a=8,不妨設(shè)|PF1|>|PF2|,因?yàn)閨PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=5,|PF2|=3.又因?yàn)閨F1F2|=2c=4,所以由勾股定理可知△PF1F2為直角三角形.14151612345678910111213141516D123456789101112131415164.[探究點(diǎn)一](多選題)已知P為橢圓C上一點(diǎn),F1,F2為橢圓的焦點(diǎn),且|F1F2|=2,若|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是(

)BC123456789101112135.[探究點(diǎn)二]設(shè)定點(diǎn)F1(0,-3),F2(0,3),動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PF1|+|PF2|=a2-2a+7(a∈R),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(

)A.橢圓

B.線段C.橢圓或線段

D.雙曲線C解析

由題得,|F1F2|=6,|PF1|+|PF2|=a2-2a+7=(a-1)2+6≥|F1F2|=6,所以動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PF1|+|PF2|=|F1F2|或|PF1|+|PF2|>|F1F2|,則點(diǎn)P的軌跡是線段或橢圓.141516123456789101112131415166.[探究點(diǎn)一]中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓滿足下列兩個(gè)條件:①橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.

123456789101112131415167.[探究點(diǎn)三]如圖,把橢圓

的長(zhǎng)軸AB分成8等份,過(guò)每個(gè)等分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1,P2,…,P7七個(gè)點(diǎn),F是橢圓的左焦點(diǎn),則|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=

.

35解析

由已知得a=5,如圖,設(shè)E是橢圓的右焦點(diǎn),由橢圓的對(duì)稱性知|FP1|+|FP7|=|EP7|+|FP7|=2a,同理,其余兩對(duì)的和也是2a.又|FP4|=a,∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=35.1234567891011121314151612345678910111213141516C解析

因?yàn)镻是橢圓上一點(diǎn),所以△PF1F2的周長(zhǎng)=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=8,由橢圓方程得2a=6,又a2=b2+c2,解得B級(jí)關(guān)鍵能力提升練123456789101112131415169.如圖所示,一圓形紙片的圓心為O,F是圓內(nèi)一定點(diǎn),M是圓周上一動(dòng)點(diǎn),把紙片折疊使M與F重合,然后抹平紙片,折痕為CD,設(shè)CD與OM交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡是(

)A.圓

B.雙曲線

C.拋物線 D.橢圓D1234567891011121314151610.已知定圓C1:(x+5)2+y2=1,C2:(x-5)2+y2=225,動(dòng)圓C滿足與C1外切且與C2內(nèi)切,則動(dòng)圓圓心C的軌跡方程為(

)A解析

設(shè)動(dòng)圓圓心C的坐標(biāo)為(x,y),半徑為r,則|CC1|=r+1,|CC2|=15-r,所以|CC1|+|CC2|=r+1+15-r=16>|C1C2|=10,由橢圓的定義知,點(diǎn)C的軌跡是以C1,C2為焦點(diǎn)的橢圓,則2a=16,a=8,c=5,b2=82-52=39,故圓心C的軌跡方程為12345678910111213141516A123456789101112131415161234567891011121314151612.已知橢圓

的焦點(diǎn)為F1,F2,點(diǎn)P在橢圓上.若|PF1|=4,則|PF2|=

,∠F1PF2的大小為

.

2120°1234567891011121314151612345678910111213141516(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)橢圓M的左、右焦點(diǎn)分