人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課本知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課本知識(shí)點(diǎn)歸納

第21章一元二次方程

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解一元二次方程的概念

2.學(xué)會(huì)一元二次方程的解法

3.了解方程的根與系數(shù)的關(guān)系

4.掌握一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用

二、重點(diǎn)

一、一元二次方程

1.一元二次方程

含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式，其中叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一

次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)。

二、降次一一解一元二次方程

1.降次：把一元二次方程化成兩個(gè)一元一次方程的過程（不管用什么方法解一元二次方程，都

是要一元二次方程降次）

2.直接開平方法

利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適

用于解形如x2=b或的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，是b的平方根，當(dāng)時(shí)，…當(dāng)b〈0時(shí)，

方程沒有實(shí)數(shù)根。

3.配方法:配方法的理論根據(jù)是完全平方公式，把公式中的a看做未知數(shù)x,并用x代替，則

有。

配方法解一元二次方程的步驟是：①移項(xiàng)、②配方（寫成平方形式）、③用直接開方法降次、④

解兩個(gè)一元一次方程、⑤判斷2個(gè)根是不是實(shí)數(shù)根。

4、公式法：公式法是用求根公式，解一元二次方程的解的方法。

一元二次方程的求根公式：

一b±ylb~—4ac2A、八、

x=---------------------------（bz——4ac>O）

當(dāng)>0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

當(dāng)=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根。

當(dāng)＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。

5、因式分解法：先將一元二次方程因式分解，化成兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式，再使這兩

個(gè)一次式分別等于0,從而實(shí)現(xiàn)降次，這種解叫因式分解法。這種方法簡單易行，是解一元二次方

程最常用的方法。

三、一元二次方程根的判別式

根的判別式：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即

四、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，由求根公式

可算出，。

第22章二次函數(shù)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解二次函數(shù)的概念

2.學(xué)會(huì)畫二次函數(shù)的圖象

3.掌握二次函數(shù)的性質(zhì)

4.學(xué)會(huì)函數(shù)圖象的平移

5.能夠運(yùn)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題

二、重點(diǎn)

1.二次函數(shù)的解析式

①一般式：（a、b、c為常數(shù)），則稱y為x的二次函數(shù)。

②頂點(diǎn)式：

③交點(diǎn)式（與x軸）：

2.拋物線的性質(zhì)

①二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。

②a,b,c為常數(shù)，aWO,且a決定函數(shù)的開口方向，a〉0時(shí)，開口方向向上，a〈0時(shí)，開口方向向

下。a還可以決定開口大小,a越大開口就越小,a越小開口就越大。

③拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線.

④對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y

軸（即直線x=0）

⑤拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P,坐標(biāo)為P（）

當(dāng)時(shí)，P在y軸上；當(dāng)時(shí)，P在x軸上。

⑥二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)aVO時(shí)，拋物線向下開口。

a1越大，則拋物線的開口越小。

⑦一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置：

I.當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab>0）,對(duì)稱軸在y軸左；因?yàn)槿魧?duì)稱軸在左邊則對(duì)稱軸小于

0,也就是-b/2a〈0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同號(hào)

II.當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab<0）,對(duì)稱軸在y軸右。因?yàn)閷?duì)稱軸在右邊則對(duì)稱軸要大于

0,也就是-b/2a〉0,所以b/2a要小于0,所以a、b要異號(hào)

事實(shí)上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點(diǎn)處的該拋物線切線的函數(shù)解析式（一次

函數(shù)）的斜率k的值?？赏ㄟ^對(duì)二次函數(shù)求導(dǎo)得到。

⑧常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。拋物線與y軸交于（0,c）

⑨二次函數(shù)的增減性

拋物線，若a>0,當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大.若a〈0,當(dāng)時(shí)，y

隨x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小.拋物線的最值：如果a>O（a〈O）,則當(dāng)時(shí)，y

最?。ù螅┲?.

3、二次函數(shù)，，（各式中，aWO）的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸

如下表：

函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)

y=ax2x=0(y軸)(0,0)

y=ax2+k當(dāng)a>0時(shí)x=0(y軸)(0,k)

y=a{x-/z)2開口向上x=h(A.0)

當(dāng)〃<。時(shí)

y=a^x-hf+kx=h（A,左）

開口向下

b(b4ac-b2)

y=ax2+bx+cx-----

2a2a4a

4.二次函數(shù)與一元二次方程

二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax~+bx+c（awO）

當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），

即)此時(shí)，函數(shù)圖像與X軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根；函數(shù)與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的

根。

拋物線的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：

A>0,圖象與x軸交于兩點(diǎn)：(,0)和(,0)；

A=0,圖象與x軸交于一點(diǎn)：(,0)；

A<0,圖象與x軸無交點(diǎn)；

5.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個(gè)已知點(diǎn)或已知x、y的三對(duì)對(duì)應(yīng)值時(shí)，可設(shè)解析式為一般形

式：

(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或極大(小)值時(shí)，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式：.

(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)解析式為兩根式：.

6.二次函數(shù)的應(yīng)用

二次函數(shù)知識(shí)很容易與其它知識(shí)綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函

數(shù)知識(shí)為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題，往往以大題形式出現(xiàn).

第23章旋轉(zhuǎn)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解旋轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、中心對(duì)稱的概念

2.學(xué)會(huì)找旋轉(zhuǎn)角及畫中心對(duì)稱圖形

3.掌握中心對(duì)稱的性質(zhì)

4.學(xué)會(huì)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

5.了解圖形旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用

二、重點(diǎn)

一、旋轉(zhuǎn)

L定義：把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，其中0叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)

動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。

2.性質(zhì)

(1)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。

(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。

⑶旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。

二、中心對(duì)稱

L定義：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形互相重合,

那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心。

2.性質(zhì)

(1)關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形。

(2)關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分。

(3)關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)線段平行(或在同一直線上)且相等。

3.判定：如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于

這一點(diǎn)對(duì)稱。

4.中心對(duì)稱圖形：把一個(gè)圖形繞某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形互

相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)店就是它的對(duì)稱中心。

5.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的特征：兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)的符號(hào)相反，即點(diǎn)P(X,y)關(guān)

于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P'(-X,-y)

6、關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征：兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)中，x相等，y的符號(hào)相反，即

點(diǎn)P(x,y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P，(x,-y)o

7、關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征：兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)中，y相等，x的符號(hào)相反，即

點(diǎn)P(x,y)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P'(-x,y)o

第24章圓

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解圓的幾何定義與圓有關(guān)的概念

2.掌握垂徑定理、切線的判定定理、切線長定理以及圓周角定理

3.學(xué)會(huì)判斷點(diǎn)、直線、圓與圓的位置關(guān)系

4.會(huì)計(jì)算弧長、扇形的面積及圓錐的側(cè)面積和全面積

二、重點(diǎn)

一、圓的相關(guān)概念

1.圓的定義：在一個(gè)個(gè)平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋

轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)0叫做圓心，線段0A叫做半徑。

2、圓的幾何表示：以點(diǎn)0為圓心的圓記作“。0”，讀作“圓0”

二、弦、弧等與圓有關(guān)的定義

(1)弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。(如圖中的AB)

(2)直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。(如途中的CD)直徑等于半徑的2倍。

（3）半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

（4）弧、優(yōu)弧、劣弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。弧用符號(hào)表示，以

A,B為端點(diǎn)的弧記作“/”，讀作“圓弧AB”或“弧AB”。大于半圓的弧叫做優(yōu)?。ǘ嘤萌齻€(gè)字母

表示）；小于半圓的弧叫做劣?。ǘ嘤脙蓚€(gè)字母表示）

三、垂徑定理及其推論

1.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。

推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。（2）弦的垂直平分

線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦

所對(duì)的另一條弧。

推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

四、圓的對(duì)稱性

1.圓的軸對(duì)稱性：圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸。

2、圓的中心對(duì)稱性：圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形。

五、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理

1.圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。

2、弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距。

3.弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦想等，所對(duì)的弦的弦心距相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量

相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。

六、圓周角定理及其推論

1.圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。

2.圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。

推論2:半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

七、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

設(shè)。0的半徑是r,點(diǎn)P到圓心0的距離為d,則有：

d〈rO點(diǎn)P在。0內(nèi)；

d=r0點(diǎn)P在。0上；

d〉r0點(diǎn)P在。0外。

八、過三點(diǎn)的圓

1.過三點(diǎn)的圓：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。

2.三角形的外接圓：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓。

3、三角形的外心：三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，它叫做這個(gè)三

角形的外心。

4、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)(四點(diǎn)共圓的判定條件)：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)。

九、反證法

先假設(shè)命題中的結(jié)論不成立，然后由此經(jīng)過推理，引出矛盾，判定所做的假設(shè)不正確，從而得

到原命題成立，這種證明方法叫做反證法。

十、直線與圓的位置關(guān)系

直線和圓有三種位置關(guān)系，具體如下：

(1)相交：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交，這時(shí)直線叫做圓的割線，公共點(diǎn)叫

做交點(diǎn)；

(2)相切：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切，這時(shí)直線叫做圓的切線，

(3)相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離。

如果。0的半徑為r,圓心0到直線1的距離為d,那么：

直線1與。0相交Od〈r；

直線1與。0相切=d=r；

直線1與。0相離—d〉r；

十一、切線的判定和性質(zhì)

1.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

2、切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。

十二、切線長定理

1.切線長：在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長叫做這點(diǎn)到圓的切線長。

2、切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩

條切線的夾角。

十三、三角形的內(nèi)切圓

1.三角形的內(nèi)切圓：與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。

2、三角形的內(nèi)心：三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它叫做三角形的

內(nèi)心。

十四、圓和圓的位置關(guān)系

1.圓和圓的位置關(guān)系：如果兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)圓相離，相離分為外離和內(nèi)含

兩種。

如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)圓相切，相切分為外切和內(nèi)切兩種。

如果兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)圓相交。

2^圓心距：兩圓圓心的距離叫做兩圓的圓心距。

3.圓和圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定

設(shè)兩圓的半徑分別為R和r,圓心距為d,那么

兩圓外離od>R+r

兩圓外切Od=R+r

兩圓相交OR-r〈d<R+r(RNr)

兩圓內(nèi)切Od=R-r(R>r)

兩圓內(nèi)含Od<R-r(R>r)

4.兩圓相切、相交的重要性質(zhì)：如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上，它們是軸對(duì)稱圖形,

對(duì)稱軸是兩圓的連心線；相交的兩個(gè)圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。

十五、正多邊形和圓

1.正多邊形的定義：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。

2、正多邊形和圓的關(guān)系：只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就可以做出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形,

這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓。

十六、與正多邊形有關(guān)的概念

1.正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。

2.正多邊形的半徑：正多邊形的外接圓的半徑叫做這個(gè)正多邊形的半徑。

3、正多邊形的邊心距：正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個(gè)正多邊形的邊心距。

4、中心角：正多邊形的每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角叫做這個(gè)正多邊形的中心角。

十七、正多邊形的對(duì)稱性

1.正多邊形的軸對(duì)稱性：正多邊形都是軸對(duì)稱圖形。一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱

軸都通過正n邊形的中心。

2.正多邊形的中心對(duì)稱性：邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對(duì)稱圖形,它的對(duì)稱中心是正多邊形

的中心。

3、正多邊形的畫法：先用量角器或尺規(guī)等分圓，再做正多邊形。

十八、弧長和扇形面積

1.弧長公式：n。的圓心角所對(duì)的弧長1的計(jì)算公式為

2.扇形面積公式：其中n是扇形的圓心角度數(shù)，R是扇形的半徑，1是扇形的弧長。

3.圓錐的側(cè)面積：其中1是圓錐的母線長，r是圓錐的地面半徑。

4、弦切角定理：弦切角：圓的切線與經(jīng)過切點(diǎn)的弦所夾的角，叫做弦切角。

弦切角定理：弦切角等于弦與切線

夾的弧所對(duì)的圓周角。

即：ZBAC=ZADC

5.切割線定理

PA為。0切線，PBC為。0割線,

則PA?=PB-PC

第25章概率初步

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解概率、必然事件、隨機(jī)事件、不可能事件的概念

2.學(xué)會(huì)運(yùn)用列舉法求隨機(jī)事件的概率

二、重點(diǎn)

一、概率

1.隨機(jī)事件:在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件.一般的，隨

機(jī)事件發(fā)生的可能性是有大小的，不同的隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小有可能不同。

(確定事件：事先能肯定它一定會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會(huì)發(fā)生的事件

稱為不可能事件，必然事件和不可能事件都是確定的.事件分為確定事件和不確定事件(隨機(jī)事件)，

確定事件又分為必然事件和不可能事件，)

二、概率

L概率：

(1)一般地，在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率m/n會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，那

么這個(gè)常數(shù)P就叫做事件A的概率，記為P(A)=po(頻率接近概率)

(2)概率是頻率(多個(gè))的波動(dòng)穩(wěn)定值，是對(duì)事件發(fā)生可能性大小的量的表現(xiàn)。概率反映可能

性大小的一般規(guī)律。

(3)概率取值范圍：OWpWl.

(4)必然發(fā)生的事件的概率P(A)=1；不可能發(fā)生事件的概率P(A)=0.

(5)事件發(fā)生的可能性越大，概率越接近與1,事件發(fā)生的可能性越小，概率越接近于0.

二、求概率方法

一般地，如果在一次實(shí)驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含

其中的m種結(jié)果，那么事件發(fā)生的概率為P（A）=m/n0

1.列舉法:一次實(shí)驗(yàn)中，涉及1個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目有限多個(gè)，并且它們發(fā)生的

可能性都相等，把可能的結(jié)果都列出來，求P（A）=m/n的方法。

2.列表法：當(dāng)一次實(shí)驗(yàn)要涉及2個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多，并且它們發(fā)生的可能

性都相等，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，采用列表法。（頻率等于概率）

（1）當(dāng)試驗(yàn)中存在兩個(gè)元素且出現(xiàn)的所有可能的結(jié)果較多時(shí)，我們常用列表的方式，列出所有

可能的結(jié)果，再求出概率.

（2）列表的目的在于不重不漏地列舉出所有可能的結(jié)果求出n,再從中選出符合事件A或B的

結(jié)果數(shù)目叫求出概率.

3.樹狀法：當(dāng)一次實(shí)驗(yàn)要涉及3個(gè)或更多的因素，列表法就不方便了，為不重不漏地列出所有

可能的結(jié)果，通常采用樹形圖法.（頻率等于概率）

樹形圖列舉法一般是選擇一個(gè)元素再和其他元素分別組合，依次列出，象樹的枝丫形式，最末

端的枝丫個(gè)數(shù)就是總的可能的結(jié)果n.

4.游戲公平性（1）判斷游戲公平性需要先計(jì)算每個(gè)事件的概率，然后比較概率的大小，概率

相等就公平，否則就不公平.

三、利用頻率估計(jì)概率

1.利用頻率估計(jì)概率（頻率接近概率）

（1）大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來越小,

根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值P就是這個(gè)事件

的概率.

（2）用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來越精確.

（3）當(dāng)實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個(gè)或結(jié)果個(gè)數(shù)很多，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等

時(shí)，一般通過統(tǒng)計(jì)頻率來估計(jì)概率.

2.模擬實(shí)驗(yàn)

（1）在一些有關(guān)抽取實(shí)物實(shí)驗(yàn)中通常用摸取卡片代替了實(shí)際的物品或人抽取，這樣的實(shí)驗(yàn)稱為

模擬實(shí)驗(yàn).

（2）模擬實(shí)驗(yàn)是用卡片、小球編號(hào)等形式代替實(shí)物進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，或用計(jì)算機(jī)編號(hào)等進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，目的在

于省時(shí)、省力，但能達(dá)到同樣的效果.

（3）模擬實(shí)驗(yàn)只能用更簡便方法完成，驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)?zāi)康?，但不能改變?shí)驗(yàn)?zāi)康?，這部分內(nèi)容根據(jù)《新

課標(biāo)》要求，只要設(shè)計(jì)出一個(gè)模擬實(shí)驗(yàn)即可.

指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的技能

指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)是指在課堂教學(xué)中，教師以學(xué)生學(xué)習(xí)的心理過程為依據(jù)，為學(xué)生的自

主學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)有利環(huán)境，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)作用，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行指導(dǎo)和引導(dǎo)，

從而達(dá)到教學(xué)目標(biāo)的行為方式。在課程教學(xué)中，對(duì)學(xué)生進(jìn)行

學(xué)習(xí)指導(dǎo)主要從以下幾個(gè)方面來討論。

1.指導(dǎo)集體學(xué)習(xí)

集體學(xué)習(xí)的優(yōu)點(diǎn)吸引著很多教師。一般來講，采用集體學(xué)習(xí)策略所需要的準(zhǔn)備時(shí)間

和教學(xué)時(shí)間都相對(duì)較少

典型的集體學(xué)習(xí)包括:講授、討論、辯論、演示和指導(dǎo)。

(1)講授。講授是教師通過語言系統(tǒng)連貫地向?qū)W生傳授知識(shí)、技能的方法，是使學(xué)

生接受人類已有的間接知識(shí)快速達(dá)到人類發(fā)展的最前沿的一種快捷方式。從教師的角

度看，講授是一種以教師為中心的傳授方法，從學(xué)生的角度看，講授是一種教師以“專家”

的角色與學(xué)生分享知識(shí)的方法。講授經(jīng)常用來提供必要的基礎(chǔ)知識(shí)，運(yùn)用講授教師可以

通過合乎邏輯的分析、論證，生動(dòng)形象的描述，啟發(fā)誘導(dǎo)性的設(shè)疑、解釋,使學(xué)生在較短

的時(shí)間內(nèi)獲得較為全面系統(tǒng)的知識(shí)，并把知識(shí)教學(xué)、情感教育、開發(fā)智力有效地結(jié)合，

融為一體。使用講授時(shí)既要注意學(xué)生的聽講技巧和注意廣度，也要注意教師的講授技巧

和身體語言

(2)討論。討論是學(xué)生在教師指導(dǎo)下為解決某個(gè)問題而進(jìn)行探討、辨明是非真?zhèn)我?/p>

獲取知識(shí)的一種方法。討論是教師在教學(xué)過程中，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)和學(xué)生的實(shí)際，

提出具有啟發(fā)性、思考性的討論題，組織學(xué)生討論的一種方法討論的過程是:提出問題，

設(shè)立情景。根據(jù)問題，學(xué)生自學(xué)。劃分小組，進(jìn)行討論。課堂討論，全班交流。歸納總結(jié)，

得出結(jié)論

討論的目的是交流，參與者可以展示自己的知識(shí)，說明自己的理解以及表達(dá)自己的

觀點(diǎn)。這是以學(xué)生為中心的策略，教師在其中承擔(dān)“促進(jìn)者”的角色。參與交流的過程

就是學(xué)生分享自己知識(shí)的過程。討論前要做好討論的準(zhǔn)備工作教師要設(shè)計(jì)好討論的課

題，要提出具體的要求,使學(xué)生作好討論發(fā)言的準(zhǔn)備。討論的問題要有吸引力，使學(xué)生積

極主動(dòng)地參與討論。討論時(shí)要善于對(duì)學(xué)生啟發(fā)引導(dǎo)，既要使學(xué)生積極主動(dòng)自由地發(fā)表意

見，又要使學(xué)生圍繞課題，聯(lián)系實(shí)際進(jìn)行持之有據(jù)，言之有理的爭論。討論后作好討論小

結(jié)。總結(jié)要承前啟后，語言要簡潔。采用討論的策略、選擇恰當(dāng)?shù)闹黝}，應(yīng)該了解每個(gè)

學(xué)生的能力，考慮學(xué)生的年級(jí)、年齡以及理解該話題和參與討論的能力。確定進(jìn)行開放

式討論還是讓學(xué)生舉手發(fā)言，指導(dǎo)學(xué)生遵守討論規(guī)則，避免少數(shù)學(xué)生“控制”討論等，

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)討論的內(nèi)容，讓每個(gè)學(xué)生輪流說出一個(gè)從討論中得出的觀點(diǎn)。但是，在討

論的過程中，有時(shí)難以保證學(xué)生完全參與；難以使學(xué)生始終圍繞同

主題進(jìn)行討論;教師難以確定是否應(yīng)該干預(yù)；學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)不足或者對(duì)該主題的

理解不夠深入等。為了避免出現(xiàn)學(xué)生“不參與”或“被動(dòng)參與”以及討論時(shí)的跑題”，

教師有必要進(jìn)行規(guī)則的訓(xùn)練，只有遵守規(guī)則，討論的效果才會(huì)改進(jìn)

(3)辯論。辯論源于有爭議的問題。它是以學(xué)生為中心的集體學(xué)習(xí)，教