中學(xué)數(shù)學(xué)思維主意叢書走向數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)知識資料蔣聲

千里之行，始于足下朽木易折，金石可鏤Word-可編輯中學(xué)數(shù)學(xué)思維主意叢書主編王梓坤張乃達編委(以姓氏筆畫為序)王梓坤過伯祥楊世明張乃達蔣聲本冊作者蔣聲序早在1995年8月,大象出版社(原河南教誨出版社)在揚州舉辦了一個座談會,邀請十余位教學(xué)水平很高的數(shù)學(xué)教師參加,商討出版一套“中學(xué)數(shù)學(xué)思維主意叢書”。與會同仁認為,這是一個寬裕創(chuàng)見的倡議,因而得到大家熱烈贊許。提供一套既有較濃厚的理論基礎(chǔ),又寬裕文采和啟發(fā)性、可讀性的關(guān)于數(shù)學(xué)思維的參考書,對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),無疑會是異常有益的;而更主要的,廣大的中學(xué)生們,將在形象思維、邏輯推理和嚴密計算等方面,學(xué)到無數(shù)的東西。這對未來無論做什么工作,都會受益無窮?；叵胛覀兦嗌倌陼r期學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情景,總會有幾分樂趣幾分驚奇。做出了幾道難題是樂趣,而驚奇則來自主意的長進。記得小學(xué)算雞兔同籠,必須東拼西湊,多一只兔便比雞多了兩條腿,好不容易才干做出一題。而學(xué)過代數(shù),這類問題便變得極為容易。做幾何題也一樣,必須詳細問題詳細解決,而學(xué)過解析幾何后便有了普通的程序可循。至于算圓的面積,倘若不用積分便會相當(dāng)麻煩。由此可見,主意的長進對科學(xué)的發(fā)展是何等重要。以上是對學(xué)習(xí)現(xiàn)成的東西而言。倘若要舉行科研,從事創(chuàng)新、發(fā)現(xiàn)或發(fā)現(xiàn),那就更應(yīng)重視主意,異常是思維主意。沒有新思想,沒有新主意,要超過前人是很艱難的。有鑒于此,一些優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家便諄諄告誡學(xué)生們,要異常重視學(xué)習(xí)主意和研究主意。美國聞名數(shù)學(xué)家G.Pólya寫過好幾種關(guān)于數(shù)學(xué)思想主意的書,如《怎樣解題》、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》、《數(shù)學(xué)與預(yù)測》,后來都成為世界名著,很受歡迎。學(xué)習(xí)任何一門科學(xué),都有控制知識和培養(yǎng)能力兩方面。普通說來,前者比較容易。因為知識已經(jīng)成熟,而且大都已經(jīng)過前人收拾,成為循序漸進的教材。但能力則不然,那是捉摸不定、視之無形的東西,主要靠自己去思考,去探索,去總結(jié),去刻苦鍛煉。教師的培養(yǎng)固然重要,但只能起輔導(dǎo)作用。只可意會,不可言傳,而偶爾甚至連意會都做不到。正如游泳,只靠言傳是絕對學(xué)不會的。這是對受業(yè)人而說的。至于教師,則應(yīng)無保留地傳授自己的經(jīng)驗和體味,盡量縮短學(xué)生學(xué)習(xí)的時光。中國有句古詩:“鴛鴦繡出憑君看,不把金針度與人。”意思是說知識可以輸出,但能力不可傳授。前一句話意思很好,后一句應(yīng)改為“急把金針度與人”。這套叢書,正是專門傳授金針的。普通的科學(xué)研究主意,可分為演繹與歸納兩大類。在數(shù)學(xué)中,演繹極為重要,而歸納則基本上用不上,除了C.F.Gauss等人偶爾通過看見數(shù)列以提出一些數(shù)論中的預(yù)測而外。不過自從計算機發(fā)現(xiàn)后,這種情況已大為改觀?；煦鐚W(xué)主要靠計算機而發(fā)展起來,數(shù)學(xué)模擬也主要靠計算機。再者,以往數(shù)學(xué)中極少實驗,還是因為計算機的廣泛使用,現(xiàn)在不少數(shù)學(xué)系已有了實驗室,異常是統(tǒng)計實驗室?？梢云诖?計算機對改變數(shù)學(xué)的面貌,對改善數(shù)學(xué)的思維主意,都會起到越來越大的作用。在此之前,我國已經(jīng)出版了幾本關(guān)于數(shù)學(xué)主意的書,它們都各有特色。如就規(guī)模之大,選題之廣,論述之精而言,這套叢書大概是盛況空前、蔚為大觀的。我們希翼它在振興我國的科學(xué)事業(yè)和培養(yǎng)數(shù)學(xué)人才中,將會起到令人鼓勵的作用。王輝坤99.7.6.引言“發(fā)現(xiàn)”,是一個美好的詞.發(fā)現(xiàn)引人注目.在長篇大論里驟然看見“發(fā)現(xiàn)”二字,讀者的眼睛頓時為之一亮.電視劇的人物對話里飄過來“發(fā)現(xiàn)”二字,電視機前的觀眾趕緊安寧下來,電視機旁的過客也好奇地探過頭來.發(fā)現(xiàn)了什么呢?發(fā)現(xiàn)使人鼓勵.一宗迷案發(fā)現(xiàn)偵破線索,辦案人頃刻間忘懷了疲勞,忘懷了饑渴.一道難題發(fā)現(xiàn)解法,解題者趕緊變愁容為笑容,樂滋滋地說:“這個題目真?zhèn)X筋!”眾里尋她千,“發(fā)現(xiàn)”本來在此處,多么愉快,多么歡喜!發(fā)現(xiàn)令人神往.法國聞名數(shù)學(xué)家彭加勒有一天夜晚違抗習(xí)慣,喝了黑咖啡,久久不能入眠,各種主意紛至沓來,結(jié)果在第二天早晨發(fā)現(xiàn)了一類新的高等超越函數(shù).倘若我今晚喝一杯濃濃的雀巢咖啡,會不會發(fā)生奇跡呢?在各種各樣的發(fā)現(xiàn)里,最容易臨近的是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn).因為數(shù)學(xué)就在我們身旁.生活中到處有圖形,時時講數(shù)量.生活離不開分析、判斷、推理,生活需要插上想象的翅膀.形和數(shù)是數(shù)學(xué)的研究對象,從感性到理性的思量是數(shù)學(xué)的長處.數(shù)學(xué)不但是各行各業(yè)必不可少的工具,數(shù)學(xué)還有林的幽靜,霧的朦朧,山的崎嶇,曲的和睦,舞的韻律,詩的想象.各行各業(yè)的發(fā)現(xiàn),都是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的街坊,可以將數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的邏輯借來參考.瀏覽數(shù)學(xué)體面不需要門票,拈一支筆,鋪一張紙,捧一本書,就可以憑借生活經(jīng)驗,登上數(shù)學(xué)之舟揚帆試航.數(shù)學(xué)是大眾的數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)熱烈歡迎所有賓客觀光,數(shù)學(xué)給每一位辛勤勞動者提供豐厚的報償.現(xiàn)在這本書的目的,就是探討通往數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的道路.練字從臨事開始.打開第一章,我們就開始進入角色,順次扮演歐幾里得、笛卡兒、牛頓和高斯歷代數(shù)學(xué)四大名家,以今天的心境,唱那古老的歌謠,走馬觀花,尋訪舊時的機遇,體味發(fā)現(xiàn)的心情.然后我們回到自己的生活,自己的學(xué)習(xí)和工作,研究怎樣從大家認識的中學(xué)數(shù)學(xué)環(huán)境出發(fā),打開辟現(xiàn)的門戶,踏上發(fā)現(xiàn)的道路,向發(fā)現(xiàn)要潛力,向發(fā)現(xiàn)要時光.因為尋求發(fā)現(xiàn)而提高素質(zhì),因為獲得發(fā)現(xiàn)而減輕負擔(dān).排除日常的煩惱,探討身邊的問題,疏通秘訣的源泉,清掃登攀的階梯.例題有解法又有主意,問題談背景也談前景,既贊賞前臺演出效果,又參觀后臺決定過程.希翼能對中學(xué)數(shù)學(xué)教師、中學(xué)生、師范院校數(shù)學(xué)系學(xué)生和業(yè)余興趣者有所協(xié)助.在決定本書內(nèi)容的過程中,參考了無數(shù)有關(guān)書籍和文章,借此機會,謹向這些資料的作者和譯者表示由衷的謝謝.本書話題,說古論今,通上貫下,意義重大,難度也很大.學(xué)海無涯,作者才疏學(xué)淺,勉力為之,不過拋磚引玉而已.書中疏漏及錯誤在所難免,誠實期待各方面專家和朋友們的熱烈指正.森聲1997年5月目錄引言(1)一、重訪數(shù)學(xué)偉大時刻(1)1.倘若你是歐幾里得(1)2.倘若你是笛卡兒(13)3.倘若你是牛頓(20)4.倘若你是高斯(29)二、各種數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)(37)1.小發(fā)現(xiàn)小改進(37)2.重新發(fā)現(xiàn)定理(48)3.解決遺留問題(56)4.新方向新課題(63)三、好漢實用武之地(68)1.中學(xué)生(68)2.中學(xué)數(shù)學(xué)教師(84)3.大學(xué)生和研究生(96)4.業(yè)余興趣者(106)四、千里之行始于足下(118)1.磨礪智慧之劍(118)2.博覽參考文獻(122)3.認定大致方向(126)4.小心探索前進(130)主要參考書目(145)一、重訪數(shù)學(xué)偉大時刻在謀求發(fā)展時,人們常說,要抓住機遇.要想在數(shù)學(xué)上有所發(fā)現(xiàn),也必須及時抓住機遇.小機遇常有,大機遇難逢.數(shù)學(xué)史上有多次重大發(fā)現(xiàn)機遇,本章將考慮其中的四次.設(shè)想我們恰好生逢其時,分離充當(dāng)大數(shù)學(xué)家歐幾里得、笛卡兒、牛頓和高斯的角色,那么我們將會怎樣作出發(fā)現(xiàn),怎樣理解發(fā)現(xiàn),以及怎樣向后人推薦發(fā)現(xiàn)呢?1.倘若你是歐幾里得(1)老朋友歐幾里得在數(shù)學(xué)故事和有關(guān)數(shù)學(xué)史的書籍、文章里,常常推薦古代希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得和他的名著《幾何原本》.《幾何原本》大約完成于公元前300年左右,最初是手抄本,1482年開始有印刷版本,至圖1歐幾里得字.除去《圣經(jīng)》,世界上沒有其它書籍擁有過這樣多的讀者.《幾何原本》里有代數(shù)也有幾何,其中的幾何部分被用來作為中學(xué)幾何教材藍本長達兩千多年.直到現(xiàn)在,中學(xué)《幾何》課本里仍有許多《幾何原本》的足跡.歐幾里得的偉大身影跨越時空,陪今已累計出版了1000多種不同的版本,被翻譯成各種文伴現(xiàn)代中學(xué)生成長.在大學(xué)數(shù)學(xué)課程里,歐幾里得的名字常與“空間”、“幾何”、“算法”等連結(jié)成數(shù)學(xué)名詞,浮上在教師和學(xué)生們的嘴邊和筆下.寫得多、說得多了,圖個方便,就來個長姓短讀,把歐幾里得簡稱為歐氏,盡管他并不姓歐.在群星璀璨的歷代數(shù)學(xué)家中,歐幾里得顯得異常平易近人.很多人在說起歐幾里得的時候,像是議論一位老朋友那樣認識和親切.(2)從羽毛球談起羽毛球是不是球?有人說羽毛球固然是球,有人說羽毛球絕對不是球.這是概念的商議,邏輯的交鋒.幾何最考究概念的嚴密,邏輯的清晰.倘若幾何大師歐幾里得還在,請他來做裁判,誰是誰非,趕緊就能見分曉了.現(xiàn)在你來飾演歐幾里得.請你判定,“羽毛球是球”和“羽毛球不是球”這兩個命題,誰對誰錯?這個裁判不好當(dāng).倘若判定“不是球”,數(shù)學(xué)系的學(xué)生一致鼓掌,體育系的學(xué)生卻群起襲擊,說你一竅不通.倘若判定“是球”,體育系的學(xué)生把你高高舉起,數(shù)學(xué)系的學(xué)生卻惱怒譴責(zé),說你滿口胡言.穩(wěn)扎穩(wěn)打,小心為妙.首先宣布:結(jié)論分為兩點.第一點,兩個命題都是準確的!話音未落,掌聲雷動.體育系歡度自己的勝利,因為命題“羽毛球是球”準確;數(shù)學(xué)系也歡度自己的勝利,因為命題“羽毛球不是球”也準確.可是,歡呼的人群中,會閃現(xiàn)越來越多的疑惑目光.兩個互相矛盾的命題,怎么可能同時都是準確的呢?不等掌聲平息,你趕緊接著大聲說:第二點,但是,雙方的命題講述都有關(guān)鍵性的省略.殘破地說,第一個命題應(yīng)該講述成“羽毛球運動是球類運動”.命題準確,但是把關(guān)鍵詞“運動”省略了,容易地說成“羽毛球是球”.第二個命題,殘破的說法是:“羽毛球的形狀不是球形的.”命題準確,但是省略了關(guān)鍵詞“形狀”,容易地說成“羽毛球不是球”.總之,“羽毛球運動是球類運動”,“羽毛球的形狀不是球形的”,這兩個命題,都是準確命題!全場再次響起長時光熱烈的暴風(fēng)雨般的掌聲.疑團已經(jīng)所有解開.只因說話過分容易,造成概念含糊,互相混淆,引起棘手.多說幾個字,澄清了概念,避免了誤解,用小小的棘手消去了大大的棘手.由此可見,要能保證邏輯嚴密,首先必須概念確切.要用一絲不茍的鄭重定義,把概念解釋得清清晰楚,明明了白.倘若你生活在歐幾里得時代,你代替歐幾里得為幾何學(xué)埋下基石,那么你所要做的第一件事,就是下定義,像《幾何原本》那樣,力求把必須的概念都解釋得毫不含糊.(3)這圖不是那圖下面是一個幽默小故事.一位家長希翼兒子成為美術(shù)家,要求他的兒子天天要畫三幅圖.兒子欣然愿意,當(dāng)天一會兒就交卷了.第一張紙上用圓規(guī)畫了一個圓,兒子解釋說,這是乒乓球.第二張紙上也畫了一個圓,兒子說它是玻璃球.第三張紙上畫的還是一個圓,這次兒子的解釋說是鉛球.家長啟發(fā)說,三種球的質(zhì)地不同,乒乓球掉在地磚上彈起老高,玻璃球掉在地磚上跌得粉碎,鉛球掉在地磚上砸壞了地面.你的圖上能看出這些區(qū)別嗎?兒子回答說,用什么材料做球,誰撞壞了誰,天然有人去管,我不管.我畫圖只要注重形狀、大小和位置關(guān)系.于是家長笑了起來,說:看來應(yīng)該指望你成為數(shù)學(xué)家了!這個小故事說明了美術(shù)的圖與幾何的圖有什么不同.美術(shù)的圖更貼近生活,力求表現(xiàn)實物的色彩、質(zhì)感、神韻,等等.幾何的圖經(jīng)過了抽象概括,只考慮形狀、大小和相關(guān)位置這三方面的個性.因而,一幅幾何圖形的適用范圍,比一幅美術(shù)圖形的適用范圍廣泛得多.數(shù)學(xué)是研究形和數(shù)的,其中有關(guān)形的問題主要是在幾何里研究.倘若你像歐幾里得那樣生活在古代希臘的亞歷山大里亞城,幾何學(xué)理論將在你手里出生,那么你就要下功夫,把圖形概念琢磨透徹.(4)點無大小線無寬在歐幾里得的《幾何原本》里,最初7個定義是關(guān)于點、線、面的.下面是這些定義的內(nèi)容.一面看定義,一面就可以設(shè)想,倘若你是歐幾里得,你會不會這樣下定義?定義1點是沒有部分的那種東西.定義2線是沒有寬度的長度.定義3一條線的兩端是點.定義4直線是同其中各點看齊的線.定義5面是惟獨長度和寬度的那種東西.定義6面的邊緣是線.定義7平面是與其上直線看齊的那種面.這些定義固然古老,卻不很陌生.首先是定義6“面的邊緣是線”和定義3“一條線的兩端是點”.這使我們想起現(xiàn)行初中《幾何》課本里的講法:“面與面交接的地方,形成線”,“線和線相交的地方是點”.文字稍有不同,意思大體相近.第二是定義1、2、5剩下的定義4和7,說法有些別扭,意思卻很容易理解.上體育課的時候,教師喊一聲“向右看齊”,一排排本來歪歪扭扭的隊伍轉(zhuǎn)眼之間都調(diào)節(jié)成為直線;瓦工在房屋磚墻上抹水泥,手拿一根比長尺寬些厚些長些的木板,在水泥表面刮來刮去,就把水泥層的表面刮得平平整整.歐幾里得當(dāng)初這樣講述直線定義和平面定義,或許也是從類似的生活現(xiàn)象中受到了啟發(fā).歐幾里得的這幾個定義里,最容易使人感到費解的,是點無大小、線無寬.倘若你是歐幾里得,你會不會說點沒有大小呢?在現(xiàn)實生活里,一聽說外邊下雨,趕緊有人問:雨點大不大?因為這雨點的大小,對于出門的人至關(guān)重要.倘若雨點微不足道,上街可以冒險不帶雨具.雨點大起來了,行人要打傘,騎車要穿雨披.驟然間電光閃閃,雷聲隆隆,下起傾盆大雨,嚇得人們一個個趕緊奔到附近寬大屋檐下面躲雨.事實上,不但雨點有大有小,現(xiàn)實生活中的點都是有一定大小的.在生活中,說到“點”,普通是指一塊很小的地方.但是偶爾也會比較大.例如,“考點設(shè)在某個小學(xué)”,這時的點有一個小學(xué)大.“在某個地區(qū)試點”,這時的點有一個地區(qū)大.在定義里規(guī)定點沒有大小,使人在感情上難以采納.另一方面,幾何命題“兩直線相交于一點”,既可應(yīng)用于窗紗的兩根細塑料絲互相交織,又可應(yīng)用于兩條鐵道干線在某個城市交會.在幾何學(xué)里規(guī)定點“沒有大小”,正是為了使幾何點的性質(zhì)與大小無關(guān),因而能夠廣泛應(yīng)用于現(xiàn)實社會各種各樣大大小小的點.把科學(xué)性和可采納性結(jié)合起來,描繪點的概念,可以這樣說:點表示位置,不考慮大小.類似地,可以說:線不考慮寬度,面不考慮厚度.把“沒有”改成“不考慮”,一詞之差,感覺大不同.順便說說,上面這些關(guān)于點、線、面的講述,都僅僅是描述,而不是鄭重的定義.因為在初等幾何里,點、線、面都是最基本的概念,它們排在所有幾何概念的最前列,沒有比它們更前的定義可以用來定義它們,只能靠它們?nèi)ザx后面的各種概念.(5)長尺畫長線“長尺畫長線,短尺畫短線.”上面這句話的準確性毫無疑問.“長直尺畫長直線,短直尺畫短直線.”話里加進了四個“直”字.倘若在日常生活里這樣說,交談雙方往往都覺得無可非議.但是倘若在幾何教師面前說出來,教師一定會說,不能這樣講,應(yīng)該說,長直尺畫長線段,短直尺畫短線段.因為在《幾何》課本里寫著:一根拉得很緊的線,給我們以直線的形象.直線是向兩方無限延伸著的.短短兩行課文,經(jīng)過了千錘百煉.“一根拉得很緊的線.”人人見過,不錯,有這么一回事,怎么樣啊?“給我們以直線的形象.”妙極了,不說“是”,而說“給我們以……的形象”.拉緊的線不是直線,但是提供了一種形象,讓你看到,直線差不多就是這個樣子.于是在心理上感到滿意,覺得已經(jīng)基本控制直線概念,只差一點點細節(jié)說明了.還差點兒什么呢?說說看!“直線是向兩方無限延伸著的.”哦,知道了,就這樣,不必再說,不用再問,不需再想.可是,哪里知道,這“無限延伸”厲害得很.直線既然無限延伸,就沒有長短之分.無論用多長的尺去量直線,無論往哪個方向量過去,無論繼續(xù)量多少年多少代,總是量呀量呀量不完.這是幾何用語和生活用語的又一個顯然不同.生活中談起直線,不言而喻,那是直的線.線有長短,直的線固然也有長短.但是在幾何學(xué)里,把“直”字和“線”字連在一起,組成專門術(shù)語,賦予新的含義,規(guī)定它不但是直的線,而且理想化,認為它向兩側(cè)無限伸展.不是普通地舒展,而是無限地舒展,永無止境.這種手法不是幾何的發(fā)現(xiàn),平時生活里司空見慣.“冰”字和“棒”字連在一起,成為“冰棒”,冰棒并不就是冰的棒;“雪”字和“糕”字連在一起,成為“雪糕”,雪糕也不等于雪的糕.直線不同于直的線,徹低可以理解.在幾何里,可以量長度的是線段,它是直線在其兩點之間的部分.生活中所說的直線,往往相當(dāng)于幾何里的線段.去問問歐幾里得,為什么他把直線概念搞得這樣玄乎?但是歐幾里得直搖頭,他的直線概念大眾化,一點兒也不玄.事實上,歐幾里得《幾何原本》里的直線定義,我們在前面已經(jīng)看到了.《幾何原本》的定義3說,“一條線的兩端是點”,這就默認一條線總是有兩個端點,因而歐幾里得的線是有限長的.接下來在定義4里說,“直線是同其中各點看齊的線”,直線既然是線的一種,在歐幾里得眼里,固然也是有限長的.“直線是向兩方無限延伸著的”這句話,《幾何原本》里根本沒有,是功是過,歐幾里得概不承擔(dān).真是難以置信.這樣基本的觀點,歐幾里得居然沒有想到?那么他怎樣定義平行線呢?一查便知.《幾何原本》里的平行線定義是這樣的:定義23平行直線是這樣的一些直線,它們在同一平面內(nèi),而且往兩個方向無限延伸后在兩個方向上都不會相交.在歐幾里得的平行線定義里,要說直線往兩個方向無限延伸,還要在兩個方向上都不會相交.倘若直線本身是往兩側(cè)無限延伸的,就不需要再延伸,平行線的定義就可以說得簡短些.作為對照,再看看我們現(xiàn)時所用初中《幾何》課本里的平行線定義:在同一平面內(nèi),不相交的兩條直線叫做平行線.倘若你是歐幾里得,由你來執(zhí)筆編著《幾何原本》,你定義直線的時候,會采取哪種觀點?有限長,還是無限延伸?興許多數(shù)人贊成把直線定義成向兩側(cè)無限延伸的,這樣更方便些.例如,平行線的定義,包括標(biāo)點在內(nèi),《幾何原本》中的定義有46個字,而現(xiàn)在《幾何》課本里的定義惟獨21個字,字數(shù)減少為不到一半,講述得反而更清晰了.歐幾里得已經(jīng)想到了點無大小線無寬,理想化、抽象化達到了很高的程度.怎么就不繼續(xù)發(fā)揮想象力,設(shè)想直線無限舒展呢?可能因為“無限”是一個異常難用數(shù)學(xué)方式定量描寫的概念.在歐幾里得時代,甚至連作為無限不循環(huán)小數(shù)的無理數(shù)都不能接受.直到今天,固然已經(jīng)有了關(guān)于無限的鄭重數(shù)學(xué)理論,在涉及無限時,還必須謹慎從事,一不小心就會把有限運算的性質(zhì)誤用到無限,導(dǎo)致錯誤.(6)有錢難買歐氏尺畫直線要用直尺,古今中外,都是如此.直尺和圓規(guī)這兩樣,是歐幾里得作圖的所有工具.可是,走遍百貨公司、超級市場和文化用品商店,卻買不到符合歐幾里得標(biāo)準的直尺.不是一時缺貨,而是根本就沒有廠家生產(chǎn).按照歐幾里得的標(biāo)準,直尺應(yīng)該是什么樣的呢?歐幾里得的直尺,是單邊無刻度直尺.就是說,這種尺沒有刻度,而且惟獨一邊是直的,可以用這一邊畫直線,另一邊不能用.難怪沒有廠家生產(chǎn).要是工廠做出這種尺來,哪一家商店愿意進貨?就算有店家勉強愿意進了幾根,哪一位學(xué)生哪一位家長肯買?就算有學(xué)生好奇,買來一根單邊無刻度直尺,怎么好意思在教室里使用這種原始文具呢?直到20世紀中期,尺規(guī)作圖理論還是平面幾何的一個重要篇章.尺規(guī)作圖法中的畫圖工具只允許使用圓規(guī)和單邊無刻度直尺,還必須鄭重按照歐幾里得的作圖規(guī)矩.這套規(guī)矩來源于《幾何原本》中的前面三條公設(shè):公設(shè)1可從任一點到任一點作直線.公設(shè)2可將有限直線不斷沿直線延伸.公設(shè)3能以任一點為圓心和任一距離為半徑作圓.固然,歐幾里得還默認了,當(dāng)兩直線相交,或向來線與一個圓相交,或兩個圓相交時,交點可以作出.倘若你是歐幾里得,你會不會這樣限制作圖工具和作圖規(guī)矩呢?按照中國的文化傳統(tǒng),大概我們更傾向于“無規(guī)矩不能成方圓”.“規(guī)”和“矩”是中國古代的兩種畫圖工具.在一些漢代的圖畫中,畫著伏羲手里拿規(guī),女媧手里拿矩.畫中的規(guī),類似于現(xiàn)在的圓規(guī),可以畫圓;畫中的矩,是拐形角尺,有點像大寫字母L,可以畫直線和直角.而且,大概我們更傾向于使用帶有刻度的角尺.因為既然可以用圓規(guī),就能在角尺的邊上刻出等距離的刻度.我們還決定把L形角尺那一橫的兩邊做成互相平行,一堅的兩邊也做成互相平行.這樣做并不艱難,因為有了畫直角的工具以后,平行線是很容易畫的.有道是“工欲善其事,必先利其器”.先由發(fā)明畫圖工具的師傅精心制作,提供精巧方便的圓規(guī)和角尺,使畫圖的人省時省力省腦筋,何樂而不為?這樣一來,就不會有傷腦筋的尺規(guī)作圖法,代替它的將是更強大更有效更方便的“規(guī)矩作圖法”.倘若你認為歐幾里得還應(yīng)該更開明一些,關(guān)于畫圖工具的規(guī)定最好是展開的,允許人們添加自選畫圖工具,那么三角板、量角器和繪圖模板也都合法,因而將會受到更多實際畫圖者的歡迎.這樣的作圖理論,可望永遠保持青春活力.在現(xiàn)行初中《幾何》課本里,畫圖工具是直尺、圓規(guī)、量角器和三角板.這樣規(guī)定,符合目前學(xué)生的學(xué)習(xí)條件.(7)串珠成線幾十顆大大小小的珍珠,串成一串項鏈,彎一個小指頭就能把它輕輕提起來.倘若不小心扯斷了串珠的線,項鏈就不再是項鏈,而變成一堆到處亂滾的珍珠,不容易拿起,倒容易走失.《幾何原本》把眾多的準確幾何命題編織成邏輯的鏈條,就把大大小小的幾何明珠加工組成一件輝煌奪目的無價之寶.從此幾何不再是一個平平時常的題庫,而已升高為嚴密的幾何學(xué)理論.以后陸續(xù)建立的其它數(shù)學(xué)理論分支,也都有了可以效法的榜樣.編織邏輯鏈條的主意,是先規(guī)定一些基本概念,列出一些不加論證就承認它們準確的命題,就是通常所說的公理;然后用基本概念去定義后面浮上的所有概念,用公理去證實后面浮上的所有定理.《幾何原本》是對歐幾里得時代希臘已有數(shù)學(xué)知識的總結(jié),所以既包含幾何內(nèi)容,又包含代數(shù)內(nèi)容.《幾何原本》的開始,在列舉20多個定義以后,寫下了5個公設(shè)和5個公理.歐幾里得的5個公理是關(guān)于代數(shù)的,如“等量加等量,總量仍相等”,“整體大于部分”,等等.5個公設(shè)是關(guān)于幾何的公理.其中的前3條公設(shè)是關(guān)于作圖的,上面已經(jīng)推薦過.后面兩條公設(shè)如下:公設(shè)4所有直角彼此相等.公設(shè)5若向來線與兩直線相交,且若同側(cè)所交兩內(nèi)角之和小于兩直角,則兩直線無限延伸后必相交于該側(cè)的一點.實際上,歐幾里得明確列出的公設(shè)太少,在他后來證實的過程中常常不自覺地利用直觀,默認一些顯然的事實,而這些顯然事實既然作為論證的基礎(chǔ),固然也應(yīng)該列為公理.倘若你是歐幾里得,有記者向你采訪,請教為什么定理的準確性不用實驗證實,而是用推理證實,你怎樣解釋呢?因為用推理論證有一個很大的益處:只要確信作為幾何學(xué)出發(fā)點的少數(shù)公理已被人類持久實踐反復(fù)檢驗準確無誤,就能保證在這基礎(chǔ)上通過邏輯推理得到的所有定理也都準確,可以擔(dān)心大膽地應(yīng)用于實踐,而不必每個定理都去單獨做實驗檢驗若干遍,從而節(jié)約無數(shù)人力、物力、財力.研究物理、化學(xué)、生物、藥學(xué)等等,都需要大量經(jīng)費購買實驗設(shè)備和器材,合用的設(shè)備和器材常常很難買到,消耗藥品要不斷補充,儀器設(shè)備要常常維修,各種棘手事情無數(shù).研究數(shù)學(xué)相對說來要節(jié)約得多,其中一個關(guān)鍵,就是數(shù)學(xué)可以用理論證實代替反復(fù)實驗,提供確實無疑的結(jié)果.推理論證的思想和范例,正是從歐幾里得《幾何原本》開始的.2.倘若你是笛卡兒(1)偶爾做個數(shù)學(xué)家笛卡兒是第一個出色的近代哲學(xué)家,是近代生物學(xué)的奠基人,是第一流的物理學(xué)家,但只偶爾地是個數(shù)學(xué)家.笛卡兒創(chuàng)立解析幾何,在數(shù)學(xué)史上是一個劃時代的發(fā)現(xiàn).但是笛卡兒并沒有專門為解析幾何寫書.他的解析幾何工作,只是作為三個附錄之一,附在他的一本哲學(xué)書后面而發(fā)表的.解析幾何附錄名為《幾何》,另外兩個附錄分離是《折光》和《隕星》.這本哲學(xué)書的名字很長,通常簡稱為《主意論》,全名是《更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的主意論》,1637年出版.這一年被看成解析幾何學(xué)出生之年.圖2笛卡兒笛卡兒1596年生于法國.父親是法官,自己上大學(xué)讀的是法律,畢業(yè)后當(dāng)了律師.在大學(xué)時代,笛卡兒博覽群書,其中包括哲學(xué)、物理學(xué)、天文學(xué)和數(shù)學(xué)方面的無數(shù)名著.1617年投筆從戎,過了9年時斷時續(xù)的軍旅生活,其間到過無數(shù)地方,增強了豐富的知識,并且向來堅持研究.1625年回到巴黎,1628年移居荷蘭.1649年應(yīng)邀擔(dān)任瑞典女王的私人教師,1650年病逝.一通百通.對一門學(xué)科鉆研透徹了,對其它學(xué)科的基本思想就比較容易了解.笛卡兒發(fā)現(xiàn),數(shù)學(xué)研究的主意異常有效,能給其它學(xué)科的研究主意帶來無數(shù)有益啟示.所以,他在哲學(xué)書《主意論》中,把數(shù)學(xué)附錄放在重要地位.這個濃縮成106頁的數(shù)學(xué)附錄是笛卡兒惟一藏匿辟表的數(shù)學(xué)著作,卻成為世界數(shù)學(xué)發(fā)展史中的一個重大里程碑,從此變量走進了數(shù)學(xué).笛卡兒還有另外一些數(shù)學(xué)思想,沒有藏匿辟表,是在和其他數(shù)學(xué)家的接觸和通信中表達出來的.(2)游客和導(dǎo)游有幾位久居鬧市穿梭于高樓大廈車水馬龍之間的朋友,假日同去一處體面秀媚的公園里小聚.波光粼粼,鳥語花香,奇石異樹,曲徑芳亭,賞心悅目,美不勝收.走到一處,忽見那邊一群游客眾星拱月,團團繞著一位口若懸河的導(dǎo)游,聽得津津有趣.于是也湊一番熱烈,擠過去聽上幾句.只聽到幾句也是好的.本來,在普通游客眼中,石頭就是石頭,假山就是假山.可是導(dǎo)游能告訴你,這石頭的韻味是瘦、透、漏,這片假山分成了春、夏、秋、冬四景.仔細體味下來,還真的是那么一回事.于是才明了,真正是“外行看熱烈,內(nèi)行看門道”.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),也有游客式的學(xué)法和導(dǎo)游式的學(xué)法.數(shù)學(xué)的游客注重結(jié)果,數(shù)學(xué)的導(dǎo)游著眼于主意.主意和結(jié)果互相依存.從獲得結(jié)果的過程中,可以概括總結(jié)出所用的數(shù)學(xué)思維主意;反過來,控制了若干常用的數(shù)學(xué)思維主意,就不怕題目千變?nèi)f化,能夠隨機應(yīng)變,觸景生情,拿出自己的主意來,解決新問題,發(fā)現(xiàn)新結(jié)果.笛卡兒就是一位學(xué)海導(dǎo)游.不但是數(shù)學(xué)導(dǎo)游、而且是科學(xué)導(dǎo)游,哲學(xué)導(dǎo)游.笛卡兒通過研究數(shù)學(xué)主意,總結(jié)出一些普遍原則,可以用來在任何領(lǐng)域里獲取準確的知識.他把這些原則寫進了《思想的指導(dǎo)法則》書中.下面就是笛卡兒總結(jié)出來的幾條原則:不要承認任何事物是真的,除非它在思想上明了清晰到毫無疑問的程度;要把艱難分成一些小的難點;要由簡到繁,依次舉行;要列舉并審查推理的步驟,要做得徹底,使毫無遺漏的可能.倘若你是笛卡兒,你有幸長生不老,精神抖撒地向今天有志于發(fā)現(xiàn)的人們推薦獲取知識的原則,會不會依然推薦以上四條?這就需要以今天的眼光,重新考察笛卡兒的四原則.第一條原則的要點是確實無疑.惟獨無可挑剔不容置疑清晰到極點的事實,才干確信它是準確的.任何“大膽預(yù)測”,必須陪同著“小心求證”.說到“顯然”、“易知”、“不妨設(shè)”這類常用套話的時候,都要沉著地想一想,是否真的顯然、真的容易、真的無妨?其實這些地方倒是最容易出差錯的.第二條原則講的是凝聚難點.數(shù)學(xué)把復(fù)雜圖形容易地分解成點、線、面、體的組合,把復(fù)雜課題分解成若干子課題,把復(fù)雜函數(shù)分解成一連串容易函數(shù)的復(fù)合函數(shù),都是為了凝聚難點.實際問題多半是錯綜復(fù)雜的,通過凝聚難點,可以化難為易.第三條原則的要點是循序漸進.由簡到繁,由易到難,由淺到深,由近到遠.遵循這樣的天然順序,去探索新知識、發(fā)現(xiàn)新結(jié)果,才干事半功倍.欲速則不達.好高騖遠,往往一事無成.研究數(shù)學(xué)是這樣,做其它事情也是這樣.第四條原則是“嚴”字當(dāng)頭.鄭重,嚴密,嚴謹.因為有這三嚴把關(guān),數(shù)學(xué)的產(chǎn)品才被公認為信得過,數(shù)學(xué)才被一切需要精密計算的場合拿來做得力工具.做其它事情,要想做好,也都需要這三嚴把關(guān).總之,確實無疑、凝聚難點、循序漸進和“嚴”字當(dāng)頭,這些都是切實有效的思維原則,值得尋求數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的人參考,也值得所有尋求科學(xué)發(fā)現(xiàn)的人參考.過去這樣,現(xiàn)在這樣,未來還是這樣.無數(shù)人讀過當(dāng)代數(shù)學(xué)家波利亞寫的書《數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)》和《怎樣解題》,從波利亞的思想里學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維主意.數(shù)學(xué)家能發(fā)現(xiàn)普通人不能發(fā)現(xiàn)的重要結(jié)果,不僅因為他們工作異常勤奮,而且因為他們有好的數(shù)學(xué)思維主意.波利亞是這樣,其他數(shù)學(xué)家也是這樣.笛卡兒的四條原則,在今天看來,依然像優(yōu)秀導(dǎo)游的講解一樣,能使眾多數(shù)學(xué)游客獲得啟示.(3)讓代數(shù)協(xié)助歐幾里得倘若你是笛卡兒,你善于將不學(xué)生科不同分支融會貫通,互相為用,你發(fā)現(xiàn)17世紀的代數(shù)已經(jīng)是那樣強大有力,想要利用代數(shù)來協(xié)助幾何.那么,你首先考慮的協(xié)助對象是誰?歐幾里得!因為當(dāng)初歐幾里得開創(chuàng)幾何學(xué)時,代數(shù)還停歇在經(jīng)驗階段,自顧不暇,想幫幾何的忙也幫不上.16世紀和17世紀代數(shù)大發(fā)展,有了一整套方便而有效的普通主意,鳥槍換炮,今非昔比.這時候異常想幫幫老朋友歐幾里得,來一點代數(shù)法作圖、代數(shù)法證實幾何題,諸如此類,略表心意.你很有眼力.笛卡兒確實首先想到了讓代數(shù)協(xié)助歐幾里得.笛卡兒的《幾何》,是從用代數(shù)法解答古典的尺規(guī)作圖問題開始的.這些作圖題,有些來源于歐幾里得的《幾何原本》,有些來源于其他人的工作.先前,因為歐幾里得的尺規(guī)作圖法工具容易得近于簡陋,規(guī)矩鄭重到過分死板,即使一些看上去似乎應(yīng)該很容易的作圖題,用幾何主意解答起來,也時常需要走遷回路、過九曲橋,巧添輔助線,出奇制勝.現(xiàn)在,改用代數(shù)主意,就方便得多了.只要把作圖問題歸結(jié)成求一個線段長,設(shè)它為x,按照條件列出關(guān)于x的方程,解出x,然后按照x的計算公式設(shè)計適當(dāng)?shù)淖鲌D步驟.這樣一個解題模式,可以到處套用,容易控制,又省腦筋,解題過程通常也比較容易.興許因為笛卡兒的解析幾何工作名聲太響,也因為尺規(guī)作圖理論在人們心目中的印象日漸稀薄,笛卡兒《幾何》中關(guān)于代數(shù)法解答尺規(guī)作圖問題的研究,很少成為現(xiàn)代人的話題.不過,對于有志發(fā)現(xiàn)的朋友,想要揣摩笛卡兒怎么會想到創(chuàng)立解析幾何,了解這段前奏曲,可能有些啟發(fā).(4)讓代數(shù)協(xié)助阿波羅尼倘若你是笛卡兒,你讓代數(shù)幫過歐幾里得之后,下一位協(xié)助的對象將會是誰呢?阿波羅尼!古代希臘幾何方面最聞名的工作,除去歐幾里得的13卷《幾何原本》而外,就要算到阿波羅尼的8卷巨著《圓雉曲線》.幫過了歐幾里得,接下來固然輪到協(xié)助阿波羅尼了.這次你又說對了.笛卡兒在《幾何》里,用代數(shù)主意研究過平面幾何作圖問題以后,轉(zhuǎn)而用代數(shù)主意研究圓雉曲線.阿波羅尼大約生活在公元前262公?元前190年,出生在中亞細亞,青年時期到希臘的亞歷山大里亞城學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),后來留在那里研究數(shù)學(xué)和天文,他最主要的著作是《圓雉曲線》,也有一些其它作品.在平面幾何里,他的名字因為阿波羅尼圓和阿波羅尼作圖問題而被人們認識.但是他最重要的研究工作是圓雉曲線,并且因此而被譽為大幾何學(xué)家.在阿波羅尼以前,已經(jīng)有人對圓雉曲線做過一些研究.但是阿波羅尼把這方面的研究變得系統(tǒng)化,而且越發(fā)深人,得到了豐盛的結(jié)果.阿波羅尼用同一個圓雉,被不同位置的平面去截,分離得到橢圓、拋物線和雙曲線,由此進而發(fā)現(xiàn)這些曲線的許多幾何性質(zhì).我們現(xiàn)在從高中《平面解析幾何》課本里學(xué)到的圓雉曲線幾何性質(zhì),包括橢圓和雙曲線的光學(xué)性質(zhì),大部分具有悠久的歷史,因為阿波羅尼早已把它們寫進了《圓雉曲線》書中.不過,阿波羅尼研究和論述圓雉曲線,是用幾何的語言,而不是坐標(biāo)的語言.用坐標(biāo)研究圓雉曲線,是從笛卡兒《幾何》開始的.笛卡兒引進坐標(biāo)系以后,發(fā)現(xiàn)橢圓、拋物線和雙曲線的方程都是二次的.我們現(xiàn)在偶爾說“圓雉曲線”,偶爾說“二次曲線”,兩個名詞隨便用,因為它們代表著同樣的一些曲線.但若從睹物思人的角度來看,這兩個等價的數(shù)學(xué)名詞使我們分離想起兩位不同的數(shù)學(xué)家:從“圓雉曲線”聯(lián)想到阿波羅尼,從“二次曲線”聯(lián)想到笛卡兒.(5)讓代數(shù)與幾何比翼齊飛倘若你是笛卡兒,你揮舞手中的代數(shù)法寶,幫過了歐幾里得,幫過了阿波羅尼,下一步想做什么事呢?三次曲線!圓雉曲線是二次的,把二次曲線研究清晰了,接下來天然很想知道,什么曲線是三次的呢?這一次你又和笛卡兒本人想到一處去了.笛卡兒為了用代數(shù)主意研究古典的幾何問題,引進了坐標(biāo)系,把曲線和方程聯(lián)系起來.對于平面幾何中的直線和圓,方程是一次的或異常形式下的二次的.對于圓雉曲線,方程是二次的.笛卡兒在《幾何》中的下面一步是考慮曲線按照方程次數(shù)的分類.然后再考慮一些進一步的幾何作圖問題,它們導(dǎo)致三次或更高次的方程.這樣一來,解析幾何學(xué)的輪廓,就已清晰地展示在世人面前.固然笛卡兒研究解析幾何是從研究歐幾里得和阿波羅尼開始,但是解析幾何并不只是容易地用代數(shù)語言復(fù)述前人的幾何工作.笛卡兒把所有能用方程表示的曲線都收進了幾何.點沿著曲線運動,對應(yīng)著坐標(biāo)在滿意方程的條件下變化.笛卡兒在幾何與代數(shù)之間架起一座寬闊的長橋,使本來并列的兩大數(shù)學(xué)分支緊密連結(jié),獲得無限生機.幾何學(xué)接納了所有能用方程表示的曲線,不但使幾何學(xué)理論能有更多更廣更重要的應(yīng)用,而且為了研究這些新的曲線和各種有關(guān)曲線的普通問題,激起后人發(fā)明多種具有更大威力的數(shù)學(xué)方法,包括代數(shù)主意、幾何主意、分析主意、拓撲主意,等等.峰回路轉(zhuǎn),柳暗花明,無限體面在前頭!3.倘若你是牛頓(1)站在巨人肩上喜歡臨摹名人名言字帖練字的朋友,常有機會抄錄到下面一段格言:倘若說我看得遠,那是因為我站在巨人們的肩上.字帖上在這句話的后面,印著一個如雷貫耳的名字:牛頓.牛頓的力學(xué)三大定律,圖3牛頓牛頓的萬有引力定律,是準確計算天體軌道的依據(jù).牛頓和萊布尼茲發(fā)現(xiàn)的微積分,構(gòu)成了高等數(shù)學(xué)課程的核心部分.牛頓發(fā)現(xiàn)白色光是由七種色彩的光混合而成,奠定了科學(xué)的光學(xué)理論.僅僅以上四項成就中的是力學(xué)和機械運動理論的基石.任何一項,都足以使一個人的名字在科學(xué)史上永放光芒.而牛頓卻能將它們集于一身,并且還有許多其它重要的科學(xué)發(fā)現(xiàn).人人欽佩牛頓站得很高很高,看得很遠很遠.而牛頓卻謙虛地表示,他是站在巨人的肩上,因為巨人是那樣巍峨,他才干從更高的視點,看到更遠的奧秘,作出更多的貢獻.牛頓1642年生于英國的一個小村莊,父親在他出生之前就已去世.他讀的小學(xué)和中學(xué)很普通,當(dāng)初也看不出他有什么出眾才華,只不過是對機械設(shè)計感興趣.1661年考取劍橋大學(xué),有機會閱讀許多重要的數(shù)學(xué)、物理學(xué)和天文學(xué)書籍,并且自己動手做實驗.牛頓剛結(jié)束大學(xué)課程,就碰上倫敦地區(qū)鼠疫流行,劍橋大學(xué)被迫停辦兩年.牛頓回到故鄉(xiāng),在安寧的農(nóng)村度過了1665年和1666年.這段時光里,他用心致志從事研究,發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律,獲得了解決微積分問題的普通主意,通過實驗發(fā)現(xiàn)了白色光的分解.只圖暫避瘟神劍,豈料碩果積滿倉,真是因禍得福了.1667年,牛頓返校,取得碩士學(xué)位,并被選為劍橋大學(xué)三一學(xué)院研究員,1669年開始擔(dān)任教授.1692年以后,因為神經(jīng)健美,停止了數(shù)學(xué)的發(fā)明性工作.1695年離開大學(xué),擔(dān)任造幣廠監(jiān)察.1703年開始,向來擔(dān)任英國皇家學(xué)會會長.1705年被授予爵士稱號.1727年逝世,英國政府為他舉行了隆重的國葬.(2)快的怎會追不上慢的速度慢的走在前面,快的走在后面,那快的總算要追上慢的.可是卻有人說,快的永遠追不上慢的.古代希臘流傳一個聞名的奇談怪論,叫做“阿其里”,就是這樣說的.阿其里是古代希臘傳說中跑得很快的神.怪論斷言,有一只爬得很慢的烏龜在阿其里前面一段距離,那么阿其里永遠也追不上烏龜.因為倘若起初阿其里在A處,烏龜在他前面的B處,那么阿其里為了追逐烏龜,必須先到達B.可是當(dāng)阿其里追到B處時,烏龜已經(jīng)爬到B前面的一點C.當(dāng)阿其里追到C處時,烏龜又到達C前面的一點D.如此無限繼續(xù),永無止境.所以阿其里永遠也追不上烏龜.這個怪論是公元前5世紀住在意大利的茲諾提出的,因為古代希臘哲學(xué)家亞里斯多德在他的書《物理》中記載并且駁斥它而被流傳下來.倘若你是牛頓,你發(fā)現(xiàn)了微積分,你是處理無限過程的專家,又是運動學(xué)的權(quán)威,你怎樣解釋阿其里追逐烏龜?shù)膯栴}呢?關(guān)于運動的問題,總要涉及時光、速度、路程三要素.在阿其里怪論中,著重考慮一連串的位置變化,這是從路程著眼.阿其里跑得很快,烏龜爬得很慢,這里也有了速度的條件.但是徹低沒有談到時光,三要素里缺少了一個.實際上是存心不談時光,才顯得振振有詞的形狀.其實這是一個容易的行程問題.設(shè)阿其里的速度是V,烏龜?shù)乃俣仁莢,開始追逐時兩者的距離是a,那么追上烏龜所需的時光是t在追逐過程中,阿其里跑過的總路程是b茲諾把有限的長度b拆成無窮多個小長度的和,相應(yīng)地也就把有限的時光t拆成無窮多個小時光段的和.但是他只說拆了長度,不說拆了時光,進而拿“拆成的時光段數(shù)無窮”冒充“時光t無窮”,偷換概念,從而得出錯誤的結(jié)論.有限長度b怎么能分割成無限多個小長度的和呢?那是因為分成的小線段長度越來越短,無限趨近于0.中國古代也有無限分割的例子,說的是:一尺之棰,日取其半,萬世不竭.這段話是春秋戰(zhàn)國時代的書《莊子?天下篇》里記載的.其中的“捶”字,讀音和“錘”相同,意思是短木棍.一根一尺長的木棍,第一天拿走它的一半,以后天天拿走前一天剩下的一半,千秋萬代,永遠拿不完.初聽起來似乎不可思議,仔細想想,說得一點兒也不錯.從理論上說,日復(fù)一日,所剩長度越來越短,卻永不為0.固然,還要補充一句:日復(fù)一日,所剩長度無限趨近于0.把這種“無限趨近于”的主意發(fā)展成鄭重的數(shù)學(xué)理論,就產(chǎn)生了極限論.極限論是微積分學(xué)的基礎(chǔ)部分.在中學(xué)不開設(shè)微積分課程時,高中代數(shù)課里也講一點點極限初步知識,殘破的極限理論還是要在高等數(shù)學(xué)課程里講授.(3)小的哪能等于大的0比1小.但是有人說,0=1無中生有?這是可以找到數(shù)學(xué)按照的,證實如下.設(shè)A則A==等式兩邊同減去A,趕緊得到0倘若你是牛頓,你能通過微積分深刻了解無窮過程,請你說說看,這樣從0到1的變形錯在哪里?錯在把無限多項相加當(dāng)成有限項相加一樣對待.算術(shù)和代數(shù)里的加法,是從兩個數(shù)相加開始,可以推廣到有限多個數(shù)相加.去括號、消去律等運算定律,都只適用于有限多項的運算.可是這里的運算卻是無窮多項的和,不能隨意套用通常的運算律.倘若認為無限和可以像普通有限和一樣對待,成了習(xí)慣,就有可能得出“0=1”這類“無中生有隨意一串無窮多個數(shù),總可以形式上寫出它們的和式,例如x這種形式的和式叫做一個無窮級數(shù).無窮多個運算是不可能實際舉行的,只能通過有窮認識無窮.所以,取級數(shù)前n項的和,記為XnX倘若當(dāng)項數(shù)n無限增大時,Xn有一個有限的極限值X,就說這個無窮級數(shù)收玫,并且它的和是XX倘若當(dāng)n無限增大時,Xn沒有極限,或者趨于無窮,就說這個無窮級數(shù)發(fā)散.發(fā)散的級數(shù)沒有和,因而不能參加無窮多個1,形式地相加,得到的無窮級數(shù)是發(fā)散的,不能把它當(dāng)成一個數(shù)A,不能讓A參加運算,更不能對A誤用通常的運算律.即使是收玫的無窮級數(shù),也不都能添括號、去括號,也不總是能隨意調(diào)動級數(shù)中各項的位置.關(guān)于無窮級數(shù)的理論,是微積分學(xué)中一個重要部分.把有限加法向無限推廣,例如從有限小數(shù)到無限小數(shù),就在不知不覺中向微積分學(xué)走來.(4)定的可以逼近變的自從小學(xué)數(shù)學(xué)開始,就做過各種行程問題、流水問題、工程問題,題目里面的走路速度和干活速度總是一定的.倘若有變化,也是順?biāo)倥c逆水速不同,上山速與下山速不同,走的速度與奔走速度不同,等等.總而言之,那些問題,在一定時光間隔里,速度是常數(shù),簡稱為勻速.在勻速運動問題中,速度v、運動時光t和走過的路程s三者之間有一個容易關(guān)系:v對于變速運動,上面的關(guān)系不再成立.倘若你是牛頓,大數(shù)學(xué)家兼大物理學(xué)家,有人邀請你分析百米賽跑健將在跑道各點的速度變化,你會怎樣做呢?首先要取得數(shù)據(jù).為此,可以先沿著跑道,每隔一定距離插一面標(biāo)有距離數(shù)字的小旗,再讓攝像師坐在摩托車后面,和奔走的運動員并肩而行,不停地跟蹤拍攝.按照裁判員提供的成績,知道了這位運動員跑徹低程所用的時光.將這盤延續(xù)拍攝的錄像帶裝進錄像機,通過反復(fù)播放,可以從屏幕圖像中的小旗知道運動員跑過的距離,從錄像機計數(shù)器的數(shù)字變化知道所用的時光,因而可以求出運動員起跑后t秒所跑距離s與t之間的函數(shù)關(guān)系,記為s為了決定在途中某點A處的速度v,可以在A點附近另取一點B,把從A到B的路程記為Δs,所用的時光記為Δt.這一小段時光里可以近似認為是勻速的.所以,拿這一小段路程,除以相應(yīng)的一小段時光,所得的商,可以作為速度vv把時光間隔取得越小,近似值的誤差越小.令時光間隔無限趨近于0,跑過的路程也相應(yīng)地?zé)o限趨近于0,兩者之比的極限是一個決定的值,天然就是“在一點”的速度概念確實切含義:v簡記為v這樣得到的v值也依賴于t值,所以v也是t的一個函數(shù),把它記成v函數(shù)ft叫做Ftf反過來,函數(shù)Ft叫做ft倘若考慮曲線y=fx導(dǎo)數(shù)和原函數(shù)是微積分學(xué)中關(guān)鍵性的基本概念.從生活中常見現(xiàn)象出發(fā),很天然地把我們帶到微積分的研究.以上從短跑和錄像引出導(dǎo)數(shù)概念時的思量主意,叫做局部近似.在一小塊局部范圍內(nèi),近似地用常速的代替變速的,直的代替彎的,容易的代替復(fù)雜的.范圍越小,誤差越小.讓范圍無限縮小而趨近于一點,配合極限論,得到確切的結(jié)果.局部近似是微積分學(xué)的基本思想之一,它使我們能夠有效地研究復(fù)雜曲線曲面和復(fù)雜函數(shù),成為人類認識天然的強大數(shù)學(xué)工具.(5)普通的歸結(jié)成異常的在牛頓以前,已經(jīng)有不少人對于一些異常曲線考慮過切線問題.牛頓把微積分學(xué)變成理論,是因為他以普通形式提出問題和解決了問題.在笛卡兒創(chuàng)立解析幾何以后,下一個天然的步驟是研究隨意曲線的切線斜率.無論從幾何的考慮,還是從函數(shù)變化或運動學(xué)的考慮,都能導(dǎo)致導(dǎo)數(shù)的普通概念.但是要從普遍形式下來研究導(dǎo)數(shù),首先必須找出一整套計算導(dǎo)數(shù)的普通法則,而不是像以前那樣依賴于個別函數(shù)或個別曲線的異常性質(zhì).倘若你是牛頓,你決定怎樣擬定計劃,來發(fā)明全套計算隨意函數(shù)導(dǎo)數(shù)的普通法則呢?可以拿出許多常見的復(fù)雜函數(shù)式來對照和分析,尋找個性.在眼睛面前重復(fù)次數(shù)最多的,是加、減、乘、除運算符號,以及表示開方的根號.所以,在全套計算導(dǎo)數(shù)的法則里,首先應(yīng)該考慮和、差、積、商的求導(dǎo)法則.至于開方,它是乘方的逆運算.最好有專門講乘方的導(dǎo)數(shù)和方根的導(dǎo)數(shù)求法的公式,這些是常常要查的.第二,還有各種函數(shù)的符號也常在眼睛面前晃來晃去.常常遇到的函數(shù)符號,不外乎是冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù),也就是通?？偡Q為基本初等函數(shù)的那些.看來,應(yīng)該分離求出各個基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),把結(jié)果擴散抄在一張紙上,成為導(dǎo)數(shù)表,放在手邊,隨時可以查閱.這么多基本初等函數(shù),每一個的導(dǎo)數(shù)都直接按定義求極限,工作量太大.能不能想主意少做些計算?通過看見,發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),三角函數(shù)與反三角函數(shù)互為反函數(shù),雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)互為反函數(shù).能不能找到一個關(guān)系式,把一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和它的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來?倘若能找到反函數(shù)求導(dǎo)公式,就可以事半功倍,省勁多了.有了導(dǎo)數(shù)表,要計算函數(shù)y=sinx的導(dǎo)數(shù),只要直接查公式就行.可是,函數(shù)可以試一試換元.令y那么可以利用導(dǎo)數(shù)表得到y(tǒng)對u的導(dǎo)數(shù)和u對x的導(dǎo)數(shù).還差一步:怎樣利用這些輔助導(dǎo)數(shù)最后得到y(tǒng)對x的導(dǎo)數(shù)?由此可見,還有一個重要環(huán)節(jié),需要研究復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.現(xiàn)在的法則已經(jīng)基本上配套了.不過,從應(yīng)用的角度看,幾何上,曲線的方程并不總是把y顯然寫成x的函數(shù).在圓、橢圓和雙曲線的方程里,y和x都寫在方程的同一邊,要想顯然解出y,有時還比較棘手.所以需要有一種求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的法則.還有無數(shù)時候,用參數(shù)方程表示曲線異常方便.所以,當(dāng)函數(shù)用參數(shù)式表示時,也要有相應(yīng)的求導(dǎo)法則.到此刻為止,已經(jīng)擬出計劃,配好一大套公式和法則.按照計劃,逐個求出所需的公式和法則,就可以用來計算大多數(shù)常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù).固然,免不了還有些怪函數(shù),異常是函數(shù)定義中可能存在少數(shù)異常別扭的點,普通主意不能適用,那就只好抱歉,請直接按定義計算,或者自己另想異常主意解決了.品味過少許開創(chuàng)微積分的滋味,此地不必久留.讓我們揮手告別牛頓,去拜訪另一位數(shù)學(xué)大師.4.倘若你是高斯(1)天才出于勤奮無數(shù)人在小學(xué)時代就已知道了高斯的名字.這是因為,從科普書刊里,常能看到大數(shù)學(xué)家高斯小時候巧妙速算的故事:在18世紀德國一所鄉(xiāng)村小學(xué)的三年級教室里,教師讓學(xué)生們計算1題目剛剛說完,學(xué)生高斯趕緊把準確答案寫到小石板上,交上來了.這個故事常被現(xiàn)代的教師和家長推薦給學(xué)會了四則運算的小朋友,鼓勵他們從小愛科學(xué).高斯1777年生于德國一個普通農(nóng)民的家庭.家境清貧,學(xué)習(xí)刻苦,成績優(yōu)異.因為才華出眾,得到一位公爵的欣賞和資助,1795年進人哥廷根大學(xué)學(xué)習(xí).1798年畢業(yè)后,進人另一所大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí),并在那里取得博士學(xué)位.大學(xué)生活第一年,他就解決了按照尺規(guī)作圖法作正十七邊形的問題.這是兩千年未能解決的尺規(guī)作圖難題,被高斯利用復(fù)數(shù),通過解出一個十七次的方程,曲徑通幽,得到了出人意料的解答.高斯在多年的研究中,涉及數(shù)學(xué)的無數(shù)方面,被譽為歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一.初中代數(shù)課程里,當(dāng)圖4高斯相等實根,而不說惟獨一個根?這與高斯證實的代數(shù)基本定理有關(guān).代數(shù)基本定理斷言,在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),倘若把k重根算成k個相等的根,那么每個n次方程恰好有n個根.這也意味著在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),n次多項式總能分解成n個一次式的乘積.代數(shù)基本定理是這樣的重要,甚至一元二次方程的判別式為0時,為什么說方程有兩個連在數(shù)學(xué)里到處露一手的集合觀點見了它也要退避三舍,沒有人議論整式方程的解集.在中學(xué)數(shù)學(xué)比賽問題里,常碰到一些數(shù)論初步知識.數(shù)論能夠從零散的結(jié)果發(fā)展成為系統(tǒng)的理論,是從1801年高斯的《算術(shù)研究》開始的.高斯不但收拾了前人的成績,還添進自己的許多常用概念、記號和重要定理.在按如實驗數(shù)據(jù)概括經(jīng)驗公式時,常用的最小二乘法,也是高斯發(fā)現(xiàn)的.高斯因為舉行大地測量的實際需要,研究曲面的普通性質(zhì).他在1827年發(fā)表的論文《曲面性質(zhì)的普通研究》,是微分幾何學(xué)的獨立宣言.從此,曲線和曲面的研究不再停歇于微積分的容易幾何應(yīng)用,曲面幾何成為平面幾何通過彎曲化得到的天然推廣.平面幾何的許多定理都能通過考慮曲率因素而推廣到曲面.每一種曲面都有它自己的幾何,存在無窮多種不同的曲面幾何.忽如一夜春風(fēng)來,千樹萬樹梨花開.多少年來惟獨一種幾何,現(xiàn)在驟然間遍地春筍,冒出無窮多種幾何,空前的興旺,空前的繁榮.這樣就把歐幾里得時代的小幾何、小空間概念拓廣成大幾何、大空間概念.這是一項意義深遠的數(shù)學(xué)觀念革命.發(fā)展到今天,數(shù)學(xué)成為一個整體,不學(xué)生科之間千門萬戶,路路相通.一篇代數(shù)論文或函數(shù)論的研究論文,可能從標(biāo)題到內(nèi)容都是講的幾何.反過來,一篇幾何論文,常常是算式滿紙,圖形全無.高斯又是一位物理學(xué)家.物理中的磁學(xué)部分,有一種常用度量單位,叫做高斯,就是為了紀念他對磁學(xué)的貢獻.高斯還是一位出色的天文學(xué)家.他在星體軌道計算和天文學(xué)其它領(lǐng)域中的成就,使他名揚世界.俄國發(fā)來邀請,選他做俄國的通訊院士,聘他為俄國的大學(xué)教授,希翼他到俄國的天文臺工作.結(jié)果還是德國留住了高斯,從1807年開始,高斯擔(dān)任哥廷根大學(xué)的數(shù)學(xué)和天文學(xué)教授,兼任哥廷根大學(xué)天文臺的臺長.俄國的彼得堡科學(xué)院推薦高斯為名譽院士,其它國家的科學(xué)機構(gòu)和科學(xué)院紛紛給他寄來學(xué)位證書.高斯寬裕發(fā)明性,工作勤奮,著作極多,但是他要錘煉到無懈可擊才藏匿辟表,所以生前發(fā)表的只是他實際所得成績的一小部分.例如,高斯曾經(jīng)自立地發(fā)現(xiàn)了雙曲幾何,其中的三角形內(nèi)角之和是小于180度的.不過,高斯沒有藏匿辟表這方面的工作,因為恐怕會有無數(shù)習(xí)慣于歐幾里得幾何的人一時不能理解,因而群起襲擊.1855年高斯逝世以后,人們懷著極大的興趣研究這位偉大學(xué)者的遺稿.直到第二次世界大戰(zhàn)前夕,才由母校哥廷根大學(xué)的學(xué)者們把高斯的作品徹低收拾出來,出版了11卷《高斯全集》.(2)皮尺的功勞倘若你是高斯,請你來主持大范圍的地形測量,并且按照測量數(shù)據(jù)繪制地圖,你會覺得要在理論上做些什么決定呢?要研究曲面!大范圍的地面,通常會有高低起伏.即使是在一望無際的大草原上擺弄測量標(biāo)桿,方圓百米以內(nèi),固然是風(fēng)吹草低見牛羊,平平坦坦好愉快,可是極目眺望,卻只見天蒼蒼,野茫茫,遠方的崇山峻嶺全然不見蹤影,都消隱在地平線的下方.倘若果然是地平如鏡,為何不見群峰高聳人云?事實上,發(fā)達的航海事業(yè)已經(jīng)告訴人們,大地更近于球形,而不是平的.歐幾里得的平面幾何已經(jīng)不能滿意時代需要,應(yīng)該拿曲面代替平面,研究相應(yīng)的曲面幾何.平面幾何中,直線是一種最基本最常見的圖形.在普通的曲面上,固然不能指望存在本來意義下的直線.不過,能否找到一種類似于直線的基本而又常見的曲面圖形呢?測量用的皮尺可以協(xié)助解決這個問題.在平地上,要量地面兩點間的直線距離,可以在兩點之間拉緊一根皮尺,看看皮尺上的讀數(shù)就行了.類似地,在一個曲面S上,可以利用皮尺量出兩點A、B之間沿曲面的最短距離.取得最短距離的這條曲線,叫做曲面S上連結(jié)點A和B的一條測地線,又叫最短線.“測地線”在平面幾何中說,“兩點之間,直線最短”.而在曲面幾何中,則是“兩點之間,測地線最短”.從這個意義上,測地線概念可看成直線概念在曲面上的推廣.在花瓶或茶壺的凸起部分,兩點之間拉緊一根橡皮筋,這橡皮筋就會穩(wěn)定在曲面上的一個決定的位置,橡皮筋曲線就是曲面在這兩點間的一條最短線.這個生活常識暗示,在一定條件下,曲面上兩點之間有且惟獨一條測地線相連.在平面幾何中,相應(yīng)的定理是:平面內(nèi)過不同兩點有且惟獨一條直線.由此可見,曲面幾何中的測地線,地位相當(dāng)于平面幾何中的直線.(3)車燈的貢獻倘若你是高斯,你的曲面幾何中已經(jīng)有了測地線概念,那么你覺得下一步最需要的是什么概念?角!測地線是平面幾何中直線概念的推廣.直線概念推廣過來了,射線、線段和線段長的概念也都跟著過來了.因為長度和角度常常在平面幾何問題中結(jié)伴而行,可見下一步需要把角的概念推廣到曲面幾何.平面幾何中的角,是從一點引出的兩條射線所成的圖形.曲面上的角,是否也把它定義成從一點引出的兩條測地線所成的圖形呢?這樣定義,是依葫蘆畫瓢,機械模仿,把角的概念原封不動,照搬過來.但是曲面和平面情況不同.平面上看兩個角是否相等,可以將其中一個角的一邊沿平面移動到與另一個角的一邊重合,并且頂點與頂點重合,然后看另外一邊是否重合.可是在曲面上卻不能舉行這樣的比較,因為普通說來,一條測地線不可能無變形地沿著曲面移動而保持時時到處與曲面接觸.所以曲面上的角的概念不能從平面幾何照搬.其實,在微積分中已經(jīng)建立了現(xiàn)成的工具.隨意兩條曲線的交角,可定義成它們在交點處的切線之間的夾角.從直觀上看,當(dāng)汽車夜晚沿著彎曲山道行駛時,在每一點處,汽車前燈射出的光柱,指明了彎路在這一點的方向.倘若有兩條彎路在一點交錯,每條路上各有一輛汽車,恰好同時開到交點,那么兩車各自射出的前燈光柱在夜空畫出一個明亮的角,這就是兩條彎曲山路的交角.曲線在一點處的切線方向,可以用微分法計算.因而,兩條曲線交角的大小,是一個可用微分法算出的數(shù).要看曲面上的兩個角是否相等,只要看它們的大小是否相等.(4)身在山中倘若你是高斯,在你的曲面幾何中有了相當(dāng)于直線、長度和角的概念,你是否還希翼有進一步的概念?固然!至少還要有三角形概念.其實這概念并不復(fù)雜,曲面上三個點和連結(jié)每兩點的測地線弧組成的圖形,叫做測地三角形.它是平面幾何三角形概念的直接推廣.有了測地三角形概念,最想研究它的什么性質(zhì)?內(nèi)角和!在平面幾何中,三角形的內(nèi)角和總是等于180度.推廣到曲面,測地三角形的內(nèi)角之和,天然要隨曲面的彎曲情況而變化.從直覺上容易理解,在凸曲面上,測地三角形的內(nèi)角和可能大于180度;而在凹曲面上,測地三角形的內(nèi)角和可能小于180度.測地三角形的內(nèi)角和與曲面的彎曲情況有什么確切的數(shù)量關(guān)系,研究起來,就不是一件容易的事情了.其結(jié)果,得到了微分幾何中聞名的高斯-邦尼定理.高斯關(guān)于曲面的普通理論,最了不起的地方,就是能從曲面內(nèi)部認識曲面的一大套幾何性質(zhì).人們常引用宋代文學(xué)家蘇軾的詩句:“不識廬山真面目,只緣身在此山中.”但是高斯的曲面幾何卻告訴我們,身在此山中,能識崎嶇路.曲面有一些性質(zhì)確實需要從它與外部空間的聯(lián)系中考察,這些叫做曲面的外在性質(zhì).但是也有另外一系列重要性質(zhì),不需要離開曲面,就能定義和計算,叫做曲面的內(nèi)蘊性質(zhì).研究曲面內(nèi)蘊性質(zhì)的幾何理論,叫做曲面的內(nèi)蘊幾何,也就是以上所說的曲面幾何.曲面幾何的出生,說明幾何學(xué)的觀念可以大大推廣.幾何學(xué)只要研究一些對象之間的幾何邏輯,例如與中學(xué)平面幾何、立體幾何定理有某種類似之處的性質(zhì),不必限制在平面幾何和立體幾何原有的小圈子里面.有人說,什么餅他都愛吃.于是朋友拿來體育室的鐵餅,說,“你吃呀”,他只好雙手捂嘴直笑.“餅”字的偏旁是“食”字旁,原意應(yīng)該是扁扁圓圓的食品,是能吃的.后來人們把“餅”的觀念擴充,凡是餅狀的東西都可以叫做餅,不一定是能吃的.于是有了鐵餅、泥餅、煤餅等等,說話方便,又很形象.同樣地,從高斯的曲面論開始,“空間”觀念擴充了,只要能研究幾何邏輯的,不一定要像本來意義那樣看得見摸得著的.當(dāng)人們像習(xí)慣鐵餅一樣習(xí)慣廣義的空間觀念,幾何學(xué)就進人了全新的時代.曲面和平面一樣,有長、寬兩度,是二維的,用坐標(biāo)系表示時,需要兩個自立坐標(biāo).平面幾何推廣后,得到曲面幾何.有無窮多種不同的曲面,因而有無窮多種不同的二維幾何學(xué).平面幾何學(xué)只是二維幾何中最容易最基本的一種,是元老,是先鋒,是初階,但不是全部.1854年,德國數(shù)學(xué)家黎曼把高斯的主意從兩個坐標(biāo)推廣到n個坐標(biāo),更把二維彎曲空間的幾何學(xué)推廣到n維,叫做黎曼幾何學(xué).1915年愛因斯坦發(fā)表廣義相對論,提出適應(yīng)于高速時代的科學(xué)的空間、時光和引力理論,所用的數(shù)學(xué)工具就是黎曼幾何.幾何學(xué)還發(fā)展起無數(shù)各種各樣的分支,獲得許多意想不到的應(yīng)用,這里就不一一細說了.“兩岸猿聲啼不住,輕舟已過萬重山.”帶著參加意識,我們拜訪了歐幾里得、笛卡兒、牛頓和高斯,沿著大師們的足跡,初步體驗了開創(chuàng)幾何學(xué)、解析幾何學(xué)、微積分學(xué)和微分幾何學(xué)的滋味.通過重訪歷史偉大時刻,可以看出,許多重大數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的完成,雖有各種偶爾因素,卻也有相當(dāng)大的必然性成分.尤其從基本思路看去,更是大勢所趨,一旦條件成熟,天然水到渠成.二、各種數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)在本章中,我們將要推薦四種類型的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn),其中的每一種都能在中學(xué)數(shù)學(xué)里找到,并且大部分可作為中學(xué)數(shù)學(xué)研究文章的題材.1.小發(fā)現(xiàn)小改進大發(fā)現(xiàn)難逢,小發(fā)現(xiàn)常有.平時結(jié)合工作和學(xué)習(xí),常常有些小發(fā)現(xiàn)、小改進,有了充足的知識堆積、經(jīng)驗堆積和能力堆積,一旦面臨重大發(fā)現(xiàn)機遇,才干眼明手快,當(dāng)機立斷,胸有成竹,馬到勝利.(1)發(fā)現(xiàn)難題解法一道數(shù)學(xué)題,自己動手把它解出來,這解法徹低是自己自立發(fā)現(xiàn)的.這就是一種最基本、最實用、最常見的發(fā)現(xiàn).做數(shù)學(xué)研究總要解決問題.不管是別人提出的問題,還是自己提出的問題,都必須設(shè)法解答.所以,善于發(fā)現(xiàn)解法,是走向數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的第一步.下面是一個發(fā)現(xiàn)難題解法的例子.例1求證:tg這道題的結(jié)論緊湊,數(shù)據(jù)容易,見了它就想試一試,試兩下就會皺眉頭.因為它很異常,沒有現(xiàn)成的解法實例可以參考.通過看見,發(fā)現(xiàn)等式右邊的根號最難處理.由此想到,可試用平主意,證實等式左邊的平方等于11.證實記左邊那么A>0A===+=+=?=?=+=++===∴即左邊例1原是一本老書《霍伯蘇三角》中的一道習(xí)題,后來在一些雜志上有文章專門研究它的解法,思路巧妙蜿蜒,證實過程很長.這里的解法,在平方的思路下,運用“線性化”的技巧,盡量往正弦和余弦的一次式轉(zhuǎn)化,造成相消的機會,證實過程相對說來容易得多.目前還不知道是否有更容易的證法.(2)發(fā)現(xiàn)好的解法一道數(shù)學(xué)題往往可以找到多種解法.倘若善于發(fā)現(xiàn)其中好的解法,意義就更大.這里所謂“好”的解法,并不等于通常所說的“巧解”.什么解法是“好”的呢?先來看一道例題.例2對于隨意實數(shù)x,證實不等式5分析1上式的左邊、中間和右邊分離是3個實數(shù),可以看成數(shù)軸上的3個點A、P和B.問題歸結(jié)為證實點P位于A和B之間(可與端點重合).把P看成線段AB的一個分點,只要證實它不是外分點.為此,可試證分比證法1設(shè)上式左邊、中間和右邊的數(shù)分離對應(yīng)于數(shù)軸上的點A、P和B,點P把有向線段AB分成的分比是λ====≥這就證實了P不是線段AB5分析2要比較兩數(shù)的大小,可以比較它們的差.證法2通過比較不等號兩邊的數(shù)的差,得到2=≤2=≥以上兩式中,等式成立的條件分離是x=0和x=2.這樣就證實了,對于隨意實數(shù)5當(dāng)x=0時上式右邊的等式成立,x單獨看證法1,印象很好,覺得思路異常巧妙.再看證法2,又覺得更勝一籌.最突出的優(yōu)點是結(jié)論殘破,式中兩個“≤”里的等式能否成立,何時成立,全考慮到了.相比之下,證法1的結(jié)論卻不夠殘破,因為證實過程中用到了定比的定義式λ它的分母PB不能為0,因而實際上從開始就把點P與B第二,兩種證法的篇幅差不多,證法2只用常規(guī)的配主意,思路容易,少費神,節(jié)約能量消耗.如今是奔騰的時代,需要做的事情太多,能夠花的時光太少;消耗腦力的地方太多,閉目養(yǎng)神的機會太少;忙中有錯的遺憾太多,萬無一失的幸運太少.所以,當(dāng)今時代對解題好主意的要求,首先要節(jié)約時光,第二要少花腦筋,第三要不易出錯.從實惠著眼,解答例2,寧愿采用大眾化的解法2,既容易,又保險,何樂不為?好鋼用在刀口上,省下精力對付難題,那樣更合算.(3)發(fā)現(xiàn)漏誤數(shù)學(xué)考究嚴密.但是,教學(xué)中倘若過分拘泥嚴密,就會在細節(jié)渲染上用筆太多,不但乏味、累贅,而且喧賓奪主,沖淡主題.所以在數(shù)學(xué)書刊中常常采取變通主意,適當(dāng)降低鄭重性的要求,例如幾何題中借助直觀,代數(shù)和三角題中不考慮定義域的變化,等等.這樣一來,就有可能帶來疏漏和錯誤.越是寬裕發(fā)明性的工作,產(chǎn)生疏漏或錯誤的可能性越大.漏誤并不害怕,只要能發(fā)現(xiàn)它,改正它.彌補了缺陷之后,剩下的就都是優(yōu)點了.按照一種思路解題產(chǎn)生的漏誤,沿原思路反復(fù)檢查,不一定能夠察覺.換一個角度思量,往往有助于發(fā)現(xiàn)毛病.下面的例子具有一定的代表性.例3求證cos=原解法設(shè)arcsinx=sin設(shè)arccostgarcsincossin設(shè)arctgsinarccostgcos設(shè)arctgcosarctgtgsin設(shè)arcsecsinarctgsec所以原等式成立.新解法設(shè)arcsinarccosarctgarctgarcsec所要證實的等式可以簡寫成k由arctgf=?再利用sinG=h,得到h另一方面,由arcsech=h不存在同時滿意以上兩式的實數(shù)h,所以本題等式左邊函數(shù)的定義域是空集,等式無意義.原題有誤.將原解法與新解法比較,可以看出,原解法不考慮三角式變形前后定義域的變化,每一步變形實際上都只限于在參加變形各函數(shù)的公共定義域里舉行.因為只考慮變形,不問定義域如何,按照本來思路無論查多少遍,也查不出定義域是空集的毛病.新解法的基本出發(fā)點,是看到題目涉及的函數(shù)太多,它們的值域和定義域互相牽制,難以保證徹低相容.所以首先考慮相容性,不料果然發(fā)現(xiàn)了疏漏.因為大多數(shù)三角變形都會引起定義域的改變,倘若每一步變形都細致說明定義域有無變化,勢必使解題過程累贅臃腫,亂紛紛不知所云.所以,通常在三角變形過程中,概不考慮定義域的變化.這種習(xí)慣做法,在多數(shù)情況下利大于弊,不過要沿途留心溝溝坎坎,防止出差錯.其實,例3原題的構(gòu)思很好,只不過在編題過程中,構(gòu)作復(fù)合函數(shù)時,沒有檢查定義域.這種技術(shù)上的小問題,稍加修改就能解決.正因為題目的構(gòu)思巧妙,才干持久廣泛流傳,而且今后這種題型還有可能得到新的發(fā)展和變化.(4)發(fā)現(xiàn)聯(lián)系數(shù)學(xué)研究的基本精神是尋找普遍邏輯.要能發(fā)現(xiàn)邏輯,首先要善于發(fā)現(xiàn)不同事物之間的聯(lián)系.1°葉落歸根每年升學(xué)考試和每次數(shù)學(xué)比賽以后,都有一些數(shù)學(xué)教師寫文章講聯(lián)系,指出哪些試題或比賽題來源于課本哪一冊哪一頁的哪一道例題或習(xí)題.這些研究,意義不只是發(fā)現(xiàn)一道或幾道值得注重的題目,更重要的是有力地證實了,試題雖有千變?nèi)f化,歸根結(jié)底要以課本為根據(jù).學(xué)得好,不怕考.只要平時基礎(chǔ)打得牢,思路辨得清,技巧用得活,提高了數(shù)學(xué)素質(zhì),就不怕試題和比賽題出花樣,總能考出水平,取得好成績.猜考題總是被動挨打,提高素質(zhì)才干培養(yǎng)主動精神.一個寬裕主動精神的人,才干適應(yīng)發(fā)明性的工作,有所發(fā)現(xiàn),有所發(fā)現(xiàn),開辟前人沒有走過的路.2°編題成串發(fā)現(xiàn)某些常見問題之間的聯(lián)系,并且把它們按適當(dāng)順序編織成串,也是一件有益的工作.在多數(shù)情形下,所發(fā)現(xiàn)的是解題主意上的聯(lián)系.于是在同一種主意的標(biāo)題下面,收集到若干例題.然后按照運用解法時的技巧變化,細分成一些小組.再將組間和組內(nèi)按適當(dāng)方式排序,例如常見的在前,容易的在前,基本的在前,等等.這時還只是原料的容易堆積,需要舉行加工.通過將各題進一步互相比較,可以發(fā)現(xiàn),對于怎樣的條件和結(jié)論,可以應(yīng)用這種解題主意,在應(yīng)用方式上需要有些怎樣的變化.把這些發(fā)現(xiàn)記載下來,就對一種解題主意獲得比較透徹的了解.第二,一題引用另一題的結(jié)論,是另一種比較常見的聯(lián)系.解答乙題用到甲題的結(jié)論,解答丙題也用到甲題的結(jié)論,解答丁題又用到甲題的結(jié)論.這說明甲題是一道基本題.基本題固然不像課本中的定理那樣可以直接引用,但是可以作為一種定式,就像下棋的定式一樣,記牢它的條件、結(jié)論和解法要點,一旦在解題過程中遇到某種認識的定式,便可輕車熟路,接應(yīng)回家.還有一種比較常見的,