2025高考數(shù)學一輪復習-8.2.2-第2課時-離散型隨機變量的方差與標準差【課件】

第2課時離散型隨機變量的方差與標準差第8章8.2.2離散型隨機變量的數(shù)字特征1.理解取有限個值的離散型隨機變量的方差及標準差的概念.2.能計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解決一些實際問題.學習目標在一次選拔賽中，甲、乙兩射手在同一條件下進行射擊，分布列如下：射手甲擊中環(huán)數(shù)8,9,10的概率分別為0.2,0.6,0.2；射手乙擊中環(huán)數(shù)8,9,10的概率分別為0.4，0.2，0.4.如果你是教練，如何比較兩名射手的射擊水平，選拔誰呢？通過本節(jié)課的學習，我們就會得到答案.導語隨堂演練課時對點練一、離散型隨機變量的方差與標準差二、離散型隨機變量方差的性質(zhì)三、方差的應用內(nèi)容索引一、離散型隨機變量的方差與標準差問題1

A，B兩臺機床同時加工口罩，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時，出次品的概率如下表：

A機床

B機床次品數(shù)X10123P0.70.20.060.04次品數(shù)X20123P0.80.060.040.10試想利用什么指標可以比較A，B兩臺機床的加工質(zhì)量？提示

E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.它們的均值相等，只根據(jù)均值無法區(qū)分這兩臺機床的加工水平.可以利用樣本方差，它可以刻畫樣本數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性.知識梳理設離散型隨機變量X的均值為μ，其概率分布表如下：其中，pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1.(1)方差：D(X)＝σ2＝

.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn(4)意義：方差刻畫了隨機變量X與其均值μ的

.平均偏離程度注意點：(1)離散型隨機變量的方差或標準差越小，隨機變量的取值越集中；方差或標準差越大，隨機變量的取值越分散.(2)離散型隨機變量的方差的單位是隨機變量本身的單位的平方，標準差與隨機變量本身的單位相同.例1

甲、乙兩人進行定點投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對方投籃；第一次由甲投籃，已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為

.在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為X，求X的概率分布、均值及標準差.解

由題意，得X的所有可能取值為0,1,2，故X的概率分布為反思感悟

求離散型隨機變量的方差的方法(1)根據(jù)題目條件先求概率分布.(2)由概率分布求出均值，再由方差公式求方差，當概率分布中的概率值是待定常數(shù)時，應先由概率分布的性質(zhì)求出待定常數(shù)再求方差.跟蹤訓練1

已知隨機變量ξ的概率分布為ξ0123P0.10.20.30.4求其方差和標準差.解

E(ξ)＝0.1×0＋0.2×1＋0.3×2＋0.4×3＝2，所以D(ξ)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.2＋(2－2)2×0.3＋(3－2)2×0.4＝1，二、離散型隨機變量方差的性質(zhì)問題2

若隨機變量X的方差為D(X

)，Y＝aX＋b(a，b為常數(shù))，你能推導出D(X

)與D(Y

)的關(guān)系嗎？提示

E(Y)＝aE(X

)＋b，∴D(Y)＝D(aX＋b)＝[ax1＋b－aE(X

)－b]2p1＋[ax2＋b－aE(X

)－b]2p2＋…＋[axn＋b－aE(X

)－b]2pn＝[ax1－aE(X

)]2p1＋[ax2－aE(X

)]2p2＋…＋[axn－aE(X

)]2pn＝a2D(X

).知識梳理(1)設a，b為常數(shù)，則D(aX＋b)＝

.(2)D(c)＝0(其中c為常數(shù)).a2D(X

)例2

已知隨機變量X的概率分布為(1)求D(X)的值；解

∵Y＝3X－2，∴D(Y)＝D(3X－2)＝9D(X)＝5，10解析

設P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q，反思感悟求隨機變量Y＝aX＋b方差的方法(1)先求Y的概率分布，再求其均值，最后求方差；(2)應用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解.跟蹤訓練2

已知X的概率分布如下.(1)求X2的概率分布；(2)計算X的方差；(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差.D(Y)＝16D(X)＝11.三、方差的應用例3

甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ，η，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán)，且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的概率分布；解

由題意得，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.因為乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2，所以乙射中7環(huán)的概率為1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的概率分布如表所示.ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)求ξ，η的均值與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù).解

由(1)得，E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96，D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η)，說明甲射擊的環(huán)數(shù)的均值比乙高，且成績比較穩(wěn)定，所以甲比乙的射擊技術(shù)好.反思感悟均值、方差在決策中的作用(1)均值：均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高.(2)方差：方差反映了離散型隨機變量取值的離散波動程度，方差越大越不穩(wěn)定.(3)在決策中常結(jié)合實際情形依據(jù)均值、方差做出決斷.跟蹤訓練3

甲、乙兩個野生動物保護區(qū)有相同的自然環(huán)境，且候鳥的種類和數(shù)量也大致相同，兩個保護區(qū)每個季度發(fā)現(xiàn)違反保護條例的事件次數(shù)的概率分布分別為X0123P0.30.30.20.2Y012P0.10.50.4試評定這兩個保護區(qū)的管理水平.解

甲保護區(qū)內(nèi)違反保護條例的次數(shù)X的均值和方差分別為E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保護區(qū)內(nèi)違反保護條例的次數(shù)Y的均值和方差分別為E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因為E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，所以兩個保護區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)現(xiàn)違反保護條例的事件的平均次數(shù)相同，但甲保護區(qū)內(nèi)違反保護條例的事件次數(shù)相對分散且波動較大，乙保護區(qū)內(nèi)違反保護條例的事件次數(shù)更加集中和穩(wěn)定，相對而言，乙保護區(qū)的管理更好一些.1.知識清單：(1)離散型隨機變量的方差、標準差.(2)離散型隨機變量的方差的性質(zhì).(3)方差的應用.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸.3.常見誤區(qū)：方差公式套用錯誤.課堂小結(jié)隨堂演練12341.設隨機變量X的方差D(X)＝1，則D(2X＋1)的值為A.2B.3C.4D.5√解析

D(2X＋1)＝4D(X)＝4×1＝4.12342.有甲、乙兩種水稻，測得每種水稻各10株的分蘗數(shù)據(jù)，計算出樣本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分別為D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估計A.甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊B.乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊C.甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同D.甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度不能比較√12343.下列說法中正確的是A.離散型隨機變量X的均值E(X)反映了X取值的概率的平均值B.離散型隨機變量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平C.離散型隨機變量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平D.離散型隨機變量X的方差D(X)反映了X取值的概率的平均值√解析

E(X)反映了X取值的平均水平，D(X)反映了X取值的離散程度.4.已知離散型隨機變量X的概率分布如下表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，則a＝____，b＝_____.X－1012Pabc1234課時對點練基礎鞏固12345678910111213141516A.8 B.15

C.16 D.32√2.(多選)設離散型隨機變量X的概率分布為12345678910111213141516√√解析

由題意知，12345678910111213141516123456789101112131415163.由以往的統(tǒng)計資料表明，甲、乙兩名運動員在比賽中的得分情況為現(xiàn)有一場比賽，應派哪位運動員參加較好A.甲

B.乙

C.甲、乙均可

D.無法確定√X1(甲得分)012P0.20.50.3X2(乙得分)012P0.30.30.412345678910111213141516解析

∵E(X1)＝E(X2)＝1.1，D(X1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D(X2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D(X1)<D(X2)，即甲比乙得分穩(wěn)定，故派甲運動員參加較好.12345678910111213141516A.D(X1)>D(X2)B.D(X1)＝D(X2)C.D(X1)<D(X2)D.D(X1)與D(X2)的大小關(guān)系與x1，x2，x3，x4的取值有關(guān)√解析

由題意可知E(X1)＝E(X2)，又由題意可知，X1的波動性較大，從而有D(X1)>D(X2).12345678910111213141516√12345678910111213141516∴x2＝4－2x1，∴x1＋x2＝3.12345678910111213141516A.p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B.p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C.p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D.p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2√12345678910111213141516A選項的方差D(X)＝0.65；B選項的方差D(X)＝1.85；C選項的方差D(X)＝1.05；D選項的方差D(X)＝1.45.所以選項B的情形對應樣本的標準差最大.123456789101112131415167.有兩臺自動包裝機甲與乙，包裝質(zhì)量分別為隨機變量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，則自動包裝機____的質(zhì)量較好.解析

因為E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包裝機的質(zhì)量穩(wěn)定.乙12345678910111213141516123456789101112131415169.已知隨機變量ξ的概率分布如下表：12345678910111213141516(2)設η＝2ξ＋3，求E(η)，D(η).1234567891011121314151610.某投資公司在2021年年初準備將1000萬元投資到“低碳”項目上，現(xiàn)有兩個項目供選擇：針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由.12345678910111213141516解若按“項目一”投資，設獲利X1萬元，則X1的概率分布為若按“項目二”投資，設獲利X2萬元，12345678910111213141516則X2的概率分布為∴E(X1)＝E(X2)，12345678910111213141516D(X1)<D(X2)，這說明雖然項目一、項目二獲利均值相等，但項目一更穩(wěn)妥.綜上所述，建議該投資公司選擇項目一投資.綜合運用1234567891011121314151611.隨機變量X滿足P(X＝m)＝m，P(X＝1－m)＝1－m，隨機變量Y＝1－X，則A.E(X)≥E(Y)，D(X)≥D(Y)B.E(X)≥E(Y)，D(X)＝D(Y)C.E(X)≤E(Y)，D(X)≥D(Y)D.E(X)≤E(Y)，D(X)＝D(Y)√12345678910111213141516解析

∵P(X＝m)＝m，P(X＝1－m)＝1－m，∴E(X)＝m2＋(1－m)2，∵Y＝1－X，∴E(Y)＝1－E(X)＝2m(1－m).由基本不等式可知E(X)≥E(Y).又D(Y)＝D(1－X)＝D(X)，故選B.1234567891011121314151612.已知隨機變量ξ的概率分布為若E(ξ)＝2，則D(ξ)的最小值等于A.0B.2C.4D.無法計算√12345678910111213141516即m＋2n＝6.當n＝2時，D(ξ)取得最小值，此時m＝2，不符合題意，故D(ξ)無法取得最小值.1234567891011121314151613.隨機變量ξ的概率分布如下：ξ－101Pabc12345678910111213141516解析

由題意得2b＝a＋c，

①a＋b＋c＝1，

②1234567891011121314151614.根據(jù)以往的經(jīng)驗，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如表所示.降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延誤天數(shù)Y02610若歷史氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9，則工期延誤天數(shù)Y的均值是___，工期延誤天數(shù)Y的方差為____.39.812345678910111213141516解析

由已知條件和概率的加法公式知，P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.所以隨機變量Y的概率分布為Y02610P0.30.40.20.112345678910111213141516故E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延誤天數(shù)Y的方差為9.8.拓廣探究1234567891011121314151615.編號為1,2,3的三位學生隨意入座編號為1,2,3的三個座位，每位學生坐一個座位，設與座位編號相同的學生的人數(shù)是ξ，則E(ξ)＝____，D(ξ)＝___.1112345678910111213141516解析

ξ