2025版新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)本章達(dá)標(biāo)檢測(cè)含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE10本章達(dá)標(biāo)檢測(cè)(滿分:150分;時(shí)間:120分鐘)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.函數(shù)f(x)=ln(x+1)A.(-1,+∞) B.(-1,2)∪(2,+∞)C.(-1,2) D.[-1,2)∪(2,+∞)2.已知a=20.2,b=20.3,c=0.20.3,則 ()A.b>a>c B.a>b>cC.b>c>a D.a>c>b3.由表格中的數(shù)據(jù),可以推斷方程ex-3x-2=0的一個(gè)根所在的區(qū)間是 ()x01234ex12.727.3920.0954.603x+22581114A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)4.某種藥物的含量在病人血液中以每小時(shí)20%的比例遞減.現(xiàn)醫(yī)生為某病人注射了2000mg該藥物,那么x小時(shí)后病人血液中這種藥物的含量為 ()A.2000(1-0.2x)mg B.2000·0.8xmgC.2000(1-0.2x)mg D.2000·0.2xmg5.已知關(guān)于x的方程x2-(2m-8)x+m2-16=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2滿意x1<32<x2,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 (A.m<4 B.-12<m<4C.72<m<4 D.-12<6.函數(shù)y=2x+1x37.已知函數(shù)f(x)=lnx,x>0,-ln(-x),x<0,A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-1,0)∪(0,1)C.(-∞,-e)∪(0,e) D.(-∞,-1)∪(0,1)8.若函數(shù)f(x)=ax,x≥1,4-a2x+2,x<1,且滿意對(duì)隨意的實(shí)數(shù)x1,x2(x1A.(1,+∞) B.(1,8) C.(4,8) D.[4,8)二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得3分,有選錯(cuò)的得0分)9.若0<m<n<1,則 ()A.log4m<log4n B.3n<3mC.logm3<logn3 D.14m10.設(shè)函數(shù)f(x)=2x,對(duì)于隨意的x1,x2(x1≠x2),下列式子成立的是 ()A.f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)B.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)C.f(D.fx1+11.設(shè)函數(shù)y=ln(x2-x+1),則下列命題中正確的是 ()A.函數(shù)的定義域?yàn)镽B.函數(shù)是增函數(shù)C.函數(shù)的值域?yàn)镽D.函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=1212.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若對(duì)隨意x∈D,都存在y∈D,使得f(y)=-f(x)成立,則稱函數(shù)f(x)為“M函數(shù)”.下列所給出的函數(shù)中是“M函數(shù)”的有 ()A.y=x2 B.y=1xC.y=2x-1 D.y=ln(x三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.將答案填在題中橫線上)13.log233×log32=14.把物體放在冷空氣中冷卻,假如物體原來的溫度是θ1℃,空氣的溫度是θ0℃,tmin后物體的溫度θ(℃)可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-0.24t求得.把溫度是100℃的物體,放在10℃的空氣中冷卻tmin后,物體的溫度是40℃,那么t的值約等于.(保留兩位小數(shù),參考數(shù)據(jù):ln3≈1.099)

15.已知x,y∈R,在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算xy=xy+x+y-1,則24=,函數(shù)f(x)=2x42x的最小值為.(本小題第一空2分,其次空3分)

16.已知函數(shù)f(x)=x2-2x+logaax-1在1,32內(nèi)恒小于零四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)=log2(x2+a+x)(a∈R)滿意f(x)+f(-(1)求a的值;(2)若函數(shù)g(x)=2f(-x)+1-x2+1,證明:g(x2-x)≤18.(本小題滿分12分)計(jì)算下列各式的值.(1)(32×3)6+(-2025)(2)log23×log34×log45×log254.19.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=a12|x|+b的圖象過原點(diǎn),且無限接近直線(1)求該函數(shù)的解析式,并推斷該函數(shù)的奇偶性;(2)若不等式m·[1-f(x)]>14x+1對(duì)隨意的x∈[-2,2]恒成立,求m20.(本小題滿分12分)某食品廠對(duì)蘑菇進(jìn)行深加工,每千克蘑菇的成本為20元,并且每千克蘑菇的加工費(fèi)為t元(t為常數(shù),且2≤t≤5),設(shè)該食品廠每千克蘑菇的出廠價(jià)為x元(25≤x≤40),依據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,日銷售量q(單位:千克)與ex成反比,每千克蘑菇的出廠價(jià)為30元時(shí),日銷售量為100千克.(1)求該工廠的日銷售利潤y(單位:元)關(guān)于每千克蘑菇的出廠價(jià)x(單位:元)的函數(shù)關(guān)系式;(2)若t=5,當(dāng)每千克蘑菇的出廠價(jià)x為多少元時(shí),該工廠的日銷售利潤y為100e4元?21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+9.(1)當(dāng)a≤0時(shí),設(shè)g(x)=f(2x),證明:函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增;(2)若?x∈[1,2],f(2x)≤0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)若函數(shù)f(x)在(-3,9)上有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x2+(m-2)x-m,g(x)=f(x)x,且函數(shù)y=f((1)求g(x)的解析式;(2)若不等式g(lnx)-nlnx≥0在1e2,1上恒成立,(3)若函數(shù)y=g(log2(x2+4))+k·2log2(x2+4

答案全解全析一、單項(xiàng)選擇題1.B由題意得x+1>0,x-2≠0,所以x>-1且x≠2,即f(x)2.Ac=0.20.3<1<a=20.2<b=20.3,∴b>a>c.故選A.3.C設(shè)f(x)=ex-3x-2,由題表知,f(0)、f(1)、f(2)均為負(fù)值,f(3)、f(4)均為正值,且f(x)的圖象是一條連綿不斷的曲線,因此方程ex-3x-2=0的一個(gè)根所在的區(qū)間為(2,3),故選C.4.B由題意知,該種藥物的含量在病人血液中以每小時(shí)20%的比例遞減,給某病人注射了2000mg該藥物,x個(gè)小時(shí)后病人血液中這種藥物的含量為y=2000·(1-20%)x=2000·0.8x(mg),故選B.5.D設(shè)f(x)=x2-(2m-8)x+m2-16,由題意可得,f32<0,即322-(2m-8)×32+m2-16<0,即4m2-12m-7<0,解得-12<m<6.B易得函數(shù)y=2x+1x34x+1為奇函數(shù),選項(xiàng)C錯(cuò)誤;當(dāng)x>0時(shí),y>0,選項(xiàng)D錯(cuò)誤;當(dāng)x=4時(shí),y=211287.D當(dāng)m>0時(shí),-m<0,所以f(m)+2f(-m)=lnm-2lnm>0,即-lnm>0,解得0<m<1.當(dāng)m<0時(shí),-m>0,所以f(m)+2f(-m)=-ln(-m)+2ln(-m)>0,即ln(-m)>0,解得m<-1.綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,-1)∪(0,1),故選D.8.D∵對(duì)隨意的實(shí)數(shù)x1,x2(x1≠x2),都有f(x1∴函數(shù)f(x)=ax,x≥1,4-a2x+2,二、多項(xiàng)選擇題9.AD因?yàn)閥=log4x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且0<m<n<1,所以log4m<log4n,故A正確;因?yàn)閥=3x在R上單調(diào)遞增,且0<m<n<1,所以3n>3m,故B錯(cuò);取m=14,n=12,知logm3>logn3,故C錯(cuò);由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知D正確.故選10.ACDf(x1+x2)=2x1+x2,f(x1)·f(x2)=2x1·2x2=2x1+x2=f(x1+x2),所以A成立;f(x1·x2)=2x1·x2,f(x1)+f(x2)=2x1+2x2≠2x1·x2=f(x1·x2),所以B不成立;易知函數(shù)f(x)=2x在R上是單調(diào)遞增函數(shù),11.ADA正確,∵x2-x+1=x-122+34B錯(cuò)誤,函數(shù)y=ln(x2-x+1)在x>12時(shí)是增函數(shù),在x<12C錯(cuò)誤,由x2-x+1=x-122+34≥34可得y=ln(x2-∴函數(shù)的值域?yàn)閘n3D正確,函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=12對(duì)稱.故選12.BD依題意得,若b是f(x)的值域中的數(shù),則-b也是值域中的數(shù),即f(x)的值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,選項(xiàng)A中函數(shù)的值域?yàn)閇0,+∞),不是“M函數(shù)”;選項(xiàng)B中函數(shù)的值域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),是“M函數(shù)”;選項(xiàng)C中函數(shù)的值域?yàn)?0,+∞),不是“M函數(shù)”;選項(xiàng)D中函數(shù)的值域?yàn)镽,是“M函數(shù)”.故選BD.解題模板精確理解題意是解題的關(guān)鍵.“對(duì)隨意x∈D,都存在y∈D,使得g(y)=f(x)成立”的含義是“f(x)的值域是g(y)的值域的子集”.本題中“對(duì)隨意x∈D,都存在y∈D,使得f(y)=-f(x)成立”,意思是若s在函數(shù)f(x)的值域內(nèi),則-s也在函數(shù)f(x)的值域內(nèi),從而解決問題.三、填空題13.答案1解析log233×log32=13log23×log32=14.答案4.58解析由題意可得40=10+(100-10)·e-0.24t,化簡(jiǎn)可得e-0.24t=13,∴-0.24t=ln1∴0.24t=ln3≈1.099,∴t≈4.58.15.答案13;7解析由已知得24=2×4+2+4-1=13.函數(shù)f(x)=2x42x=4+2x+42x-1=3+2x+42x≥3+22x所以函數(shù)f(x)=2x42x的最小值為716.答案1解析f(x)=x2-2x+logaax-1在1,32內(nèi)恒小于零,即(x-1)2<loga(x-1)對(duì)于x∈1,32恒成立,畫出函數(shù)y=(x-1)2與y=loga(x-1)的圖象(圖略四、解答題17.解析(1)因?yàn)閒(x)+f(-x)=0,所以log2(x2+a+x)+log2((-x)2則log2a=0,則a=1. (5分)(2)證明:由(1)知f(x)=log2(x2+1+所以g(x)=2log2(x2+1-則g(x2-x)=1-x2+x=-x-122+54≤18.解析(1)(32×3)6+(-2025=108+1-7+π-3 (4分)=99+π. (6分)(2)原式=log23×(2log32)×12log25=lg3lg2×lg2lg3×lg5lg2×lg2lg5=119.解析(1)依題意得b=1, (2分)由f(0)=0得a+1=0,解得a=-1. (4分)因此f(x)=-12|x且f(-x)=-12|-x|+1=-12|x|+1=f(x),故函數(shù)f(2)不等式m·[1-f(x)]>14x+1可化為m>依題意知m>14x+112|x|對(duì)隨意的令y=14x+112|x|,x∈[-2,2],則令t=12x,當(dāng)x∈[0,2]時(shí),t∈14,1,y=t2+1t=t+1t,當(dāng)t=14時(shí),y當(dāng)x∈[-2,0)時(shí),t∈(1,4],y=t2+1t-1=當(dāng)t=4時(shí),y取得最大值,最大值為68. (11分)綜上,m的取值范圍為m>68. (12分)20.解析(1)設(shè)日銷售量q=kex(25≤x≤40,k為常數(shù)),則ke30=100,∴k=100e30∴日銷售量q=100e30ex(25≤x≤∴y=100e30(x-20-t)(2)當(dāng)t=5時(shí),y=100e30(x令y=100e4,則x-25=ex-26, (8分)畫出函數(shù)y=x-25與y=ex-26的圖象如圖所示,由圖可得方程x-25=ex-26的解為x=26, (11分)∴當(dāng)每千克蘑菇的出廠價(jià)為26元時(shí),該工廠的日銷售利潤為100e4元. (12分)21.解析(1)證明:g(x)=f(2x)=4x-2a·2x+9, (1分)任取x1,x2∈R,且x1<x2,則g(x2)-g(x1)=4x2-2a·2x2+9-(4x=4x2-4x1-2a(2x2-2x1)=(2x2-2x=(2x2-2x1)(2x2+2∵函數(shù)y=2x在R上單調(diào)遞增,∴2x2>2x1,即又2x2+2x1>0,a≤0,∴2x∴(2x2-2x1)(2x2+2x1-2a)>0,∴g(∴函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增. (4分)(2)設(shè)t=2x(1≤x≤2),則2≤t≤4,?x∈[1,2],f(2x)≤0恒成立,即?t∈[2,4],t2-2at+9≤0恒成立,即2a≥t+9t(t∈[2,4]),令h(t)=t+9t(t∈[2,4]), (6易得h(t)在[2,3]上單調(diào)遞減,在[3,4]上單調(diào)遞增,又h(2)=132,h(4)=254,∴h(t)的最大值為132,∴2a≥132,即∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為134,+∞(3)∵函數(shù)f(x)在(-3,9)上有兩個(gè)零點(diǎn)且f(x)=x2-2ax+9的圖象的對(duì)稱軸為直線x=a,∴-3<a<解得3<a<5.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(3,5). (12分)22.解析(1)∵f(x)=x2+(m-2)x-m,∴f(x-2)=(x-2)2+(m-2)(x-2)-m=x2+(m-6)x+8-3m. (2分)∵y=f(x-2)是偶函數(shù),∴m-6=0,∴m=6,∴f(x)=x2+4x-6,∴g(x)=x-6x+4(x≠0). (4分(2)令lnx=t,∵x∈1e2,1∵不等式g(lnx)-nlnx≥0在1e2∴g(t)-nt≥0在t∈[-2,0)上恒成立. (