2024年高考數(shù)學(xué)模擬試題（二）（新高考Ⅰ卷含答案解析）

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.設(shè)集合/=-2》一8<0},2={2,3,4,5},則/口8=()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

2.復(fù)數(shù)三的共飄復(fù)數(shù)是()

1-2

A.2+iB.-2+i

C.-2-iD.2-i

3.若4是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，且。=2,+°2與3=-3,+2g的夾角為()

A.60°B.120°c.30°D.150°

已知=7,則sin(

4.sina+V2a=()

16j5I、6J1

24247

A.—B.——c.D.

252525~25

5.某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良

的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是

A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45

6.已知42是雙曲線￡：』y2

=i的左、右頂點(diǎn),點(diǎn)M在E上，為等腰三角形,

ab1

且頂角為120°,則E的離心率為（）

A.75B.2C.V3D.V2

7.記S“為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知%>0,邑=-%，則使得S"上為的"的取值范圍為

（）

A.1<?<5,weN*B.1<M<9,eN*

C.1<<10,?GN*D.5<w<9,

8.設(shè)函數(shù)/（x）=6sin[.若存在〃x）的極值點(diǎn)為滿足/2+[“/）了<蘇，則m的取值

范圍是

A.（-00,-6）u（6,oo）

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

B.(-00,-4)u(4,oo)

C.(-oo,-2)u(2,oo)

D.(-oo,-l)u(l,co)

二、多選題

9.已知函數(shù)/'(x)=+加+6龍+c下列結(jié)論中正確的是()

A.若/■'(%)=0,則為是Ax)的極值點(diǎn)

B.3x0eR,使得了(無(wú)())=0

C.若看是/(x)的極小值點(diǎn)，則/(x)在區(qū)間(-8,X。)上單調(diào)遞減

D.函數(shù)y=〃x)的圖象是中心對(duì)稱圖形

10.下列說(shuō)法中正確的有()

A.在回歸分析中，決定系數(shù)尺2越大，說(shuō)明回歸模型擬合的效果越好

B.已知相關(guān)變量(xj)滿足回歸方程j)=9.4x+9.1,則該方程對(duì)應(yīng)于點(diǎn)(2,29)的殘差為

1.1

C.已知隨機(jī)變量"3(%⑼,若EC)=30,0?=20,則〃=45

D.以擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，經(jīng)z=lny代換后的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為2=0.3x+4,貝ij

11.已知球。是正三棱錐/-BCD的外接球，BC=3,/8=26，點(diǎn)￡在線段2。上，且

BD=3BE.過(guò)點(diǎn)E作球的截面，則所得截面圓的面積可能是()

A.兀B.2兀C.371D.4兀

三、填空題

12.在(l-2x)5.(l+3x)4的展開(kāi)式中，按x的升幕排列的第3項(xiàng)為.

13.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體48co-4片GA中，已知監(jiān)N,P分別是棱Ca，N4,3C的

中點(diǎn)，則平面刊四截正方體所得的截面面積為,若。為平面RWN上的動(dòng)點(diǎn)，且

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

直線QB,與直線。目的夾角為30。，則點(diǎn)。的軌跡長(zhǎng)度為.

14.幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,

他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：

己知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一項(xiàng)是2°，接下

來(lái)的兩項(xiàng)是2°，2、再接下來(lái)的三項(xiàng)是2°，2、22,依此類(lèi)推.求滿足如下條件的最小整

數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)幕.那么該款軟件的激活碼是.

四、解答題

15.為提高居家養(yǎng)老服務(wù)質(zhì)量，某機(jī)構(gòu)組織調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)抽取了500位老年人，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

性別需要志愿者不需要志愿者

男40160

女30270

(1)估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的比例；

(2)能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？

(3)根據(jù)(2)中的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查方法來(lái)估計(jì)該地區(qū)的老年人中，需要志愿者提

供幫助的比例？說(shuō)明理由.

2

2n(ad-be)

附：彳二一(一7^―------、八八，

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

16.在銳角AA8C中，角4夕,C的對(duì)邊分別為c,且acosC+6ssinC-6-c=0.

(1)求角A的大小；

⑵若。是線段BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，a=3,求/。的最大值.

17.如圖，在直棱柱4BC-44cl中，AA.=AC=CB=—AB,E,尸分別是棱BC,AC1.

2

的動(dòng)點(diǎn)，且8E=CF.

(1)證明：A}E1BXF,

⑵當(dāng)三棱錐G-CEF的體積取得最大值時(shí),求平面BXBF與平面BXEF的夾角的余弦值.

22

18.在直角坐標(biāo)系xQy中，橢圓G：A+4=l(a>6>0)的左，右焦點(diǎn)分別為耳巴.工也

ab

是拋物線。2：『=人的焦點(diǎn)，點(diǎn)”為G與C?在第一象限的交點(diǎn)，且|亞里|=:.

⑴求G的方程；

⑵已知過(guò)點(diǎn)的直線/與橢圓C1交于4B兩點(diǎn)，尸為線段48的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

射線。尸與橢圓交于點(diǎn)D,點(diǎn)。為直線OP上一動(dòng)點(diǎn)，且麗.而=2歷+求證：點(diǎn)。在定

直線上.

19.已矢口函數(shù)/OOucosx+lna+x).

(1)求證：/(X)在上有唯一的極大值點(diǎn)；

⑵若/(x)Vax+l恒成立，求°的值；

(3)求證：函數(shù)g(%)=/(x)r有兩個(gè)零點(diǎn).

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

1.B

【分析】求出/={%卜2<x<4},進(jìn)而求出4c反

【詳解】由——2x—8<0解得：—2<x<4,故4={%卜2<x<4},又3={2,3,4,5},

故4cB={2,3}.

故選：B.

2.B

【分析】先將復(fù)數(shù)的分母化成實(shí)數(shù)，再求其共朝復(fù)數(shù)即可.

5(-2-i)-10-5i

【詳解】——二-2-i,而_2-i的共朝復(fù)數(shù)是-2+i.

(-2+i)(-2-i)

故選：B.

3.B

【分析】先求得小后的值，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算法則求得以及￡石的模，再根據(jù)向量的夾

角公式，即可求得答案.

【詳解】因?yàn)?是夾角為60。的兩個(gè)單位向量,

~------1

所以Gq=lxlxcos60°=—,

?.,.-?-?—*—*—*—*?2—*—*?2/17

ixa-b=(2e+e)-(-3^+2e)=-6e+^-e+2e=-6+-+2=-

1221222

/一2一—一2

|a=#4%+e-e+e■+4X—F1—s/l，

x222

be1~-12C]?%+4q—J—12x—+4=y/l

7

故cos〈a,B〉=a-b21

㈤?出?行—2

由于0。44花〉4180。，故&,模=120。.

故選：B.

4.C

【分析】設(shè)￡=。+9,則a=〃-^，根據(jù)誘導(dǎo)公式可得sin(2c-m]=—cos2￡,結(jié)合二倍

66voy

角的余弦公式計(jì)算即可求解.

7T7T4

【詳解】設(shè)6=a+j貝ija=￡-9si“=?,

665

答案第1頁(yè)，共17頁(yè)

所以sin12a—己)=sin2(￡-曾-[=sin12￡-j=-cos2￡,

1久7

所以一cos2〃=一(1一2sin24=2sin2/?-l=2x；7--1=丁.

故選：C.

5.A

【詳解】試題分析：記/="一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，5="第二天空氣質(zhì)量也為優(yōu)良”，由

,、,,、P(AB}4

題意可知尸(/)=0.75,尸(/3)=0.6，所以P(B|/)==-,故選A.

考點(diǎn)：條件概率.

6.D

【分析】根據(jù)題意可得H創(chuàng)=\BM\=2a,AABM=120°,過(guò)點(diǎn)/作AW，x軸,求得”（2a,瓜）,

代入雙曲線方程求解.

因?yàn)闉榈妊切?，且頂角?20。，

所以|/卻=忸閭=2氏//9旅=120°,過(guò)點(diǎn)M作Wx軸，垂足為N,

在.Rt&BMN中,則忸N|=a,|ACV|=3a,故

代入雙曲線方程得（2。丫（△"）=[,解得/=/,即/=,2一°2,

a2b2

所以C2=2/,解得e=JL

故選：D

7.C

【分析】法一：根據(jù)條件得到。5=$9=0,卬=凡品,=89+4。=%。，再利用等差數(shù)列的通

答案第2頁(yè)，共17頁(yè)

項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式的函數(shù)性質(zhì)，即可求出結(jié)果；法二：根據(jù)條件得到為=-44,建立不

等不關(guān)系"為2%+(〃-1)4,即可求出結(jié)果.

【詳解】方法一：因?yàn)?9=-%，所以9(%廣)=9%="，得到生='=0，

設(shè)等差數(shù)列包｝的公差為d,由%=%+4d=0,得到。1=-44,又%>0,所以1<0,

所以%=為+(〃-1川=("-5)4,S"="4+"(，；—d=[(才-9ri),

又％=E，Bo=S9+4o—%o,

令M=(x-5)d,%=[(幺-9x),其圖象如圖所示

結(jié)合等差數(shù)列的前M項(xiàng)和及通項(xiàng)的函數(shù)特征,

由圖知，〃的取值范圍是lW〃V10(〃eN*).

方法二：由條件品=-〃5得9%=-。5，即。5=§9=0.

因?yàn)?〉0,所以d<0,并且有%=%+4d=0,

所以q=-4d.

由S〃，得〃％+〃(:1)、>ax+(〃—l)d,

整理得(/-9山2(2〃-10)4.

因?yàn)閐<0,所以〃2一—10,

即/_11〃+10<0,解得

所以〃的取值范圍是1W“410("eN*),

故選：C.

8.C

【詳解】由題意知：“X)的極值為±6,所以「4看)丫=3,因?yàn)?x0)=C?百cos'=0,

L」mm

答案第3頁(yè)，共17頁(yè)

所以01=丘+W，丘Z,所以血=左+!，4ez即包卜根+:2。，所以/目:，即

m2m2m112

2222

尤；+"(%)?2?+3,而已知年+["/)了〈/，所以療＞?+3,故等＞3,解得加＞2

或用＜一2,故選C

考點(diǎn)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究的極值，考查三角函數(shù)，考查一元二次不等式的解法,

考查分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.

9.BD

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)A=4/一12b＞0時(shí)，/'。)=0有兩解，列表表示出導(dǎo)數(shù)值的正

負(fù)以及函數(shù)的單調(diào)情況，當(dāng)△=4/72*0時(shí)，r?＞0,即可判斷A,B,C；證明等式

/(-y-x)+〃x)=2〃一?成立即可判斷D.

【詳解】A：因?yàn)?(x)=/+"2+6%+。，所以/'(%)=3/+2QX+6,

當(dāng)A=4/_12Z)=0時(shí)，/'(x)20,/'三)=0,則/(x)在R上單調(diào)遞增，％=-三不是極值

點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；

B：由選項(xiàng)A的分析知，函數(shù)/(X)的值域?yàn)镽,所以玉°eR,使得/'(%)=0,故B正確;

C：由選項(xiàng)A的分析知，當(dāng)A＞0時(shí)，/(無(wú))在上單調(diào)單調(diào)遞增，在(再,々)上單調(diào)遞減,

所以若與為1(X)的極小值點(diǎn)時(shí)，/⑺在(-8,X。)上先遞增再遞減，故C錯(cuò)誤；

D：

f(-:-x)+/(%)=(-T--x)3+〃(-y-1)2+b(-2三—x)+c+x3+ax2+bx+c

432ab.

=——a-------+2c,

273

|)=(-1)3+?(-|^2+^(-|^+c=^-a3-t^-+c,

則〃T-X)+〃X)=2/(_$,

所以點(diǎn)尸(-*/(-?)為＞=/(x)的對(duì)稱中心，即函數(shù)了=/(x)的圖象是中心對(duì)稱圖形，故

D正確.

故選：BD.

10.ABD

答案第4頁(yè)，共17頁(yè)

【分析】根據(jù)線性相關(guān)的相關(guān)系數(shù)的意義即可判斷A；根據(jù)線性回歸方程中殘差的算法即可

判斷B；根據(jù)二項(xiàng)分布中均值與方差的算法列方程，解之即可判斷C；將，=ce/轉(zhuǎn)化為

\ny-z=\nc+kx,即可判斷D.

【詳解】A：因?yàn)闆Q定系數(shù)火2越大，殘差平方和越小，擬合效果越好，故A正確；

B：因?yàn)橛^測(cè)值與預(yù)測(cè)值之差為殘差，

預(yù)測(cè)值3=9.4x2+9.1=27.9,殘差為29-27.9=1.1,故B正確.

C：對(duì)于二項(xiàng)分布J?3（%。）,￡0=牝=30,。?）=〃0（1-0）=20,

解得P=；,"=90,故C錯(cuò)誤.

D：對(duì)于非線性回歸方程9=。*轉(zhuǎn)化為ln9=z=lnc+Ax,

所以lnc=4,貝ijc=e%左=0.3,故D正確.

故選：ABD.

11.BCD

【分析】首先根據(jù)幾何關(guān)系確定外接球的半徑，再根據(jù)點(diǎn)E的位置，求OE,即可確定球心

到平面距離的范圍，即可求解.

【詳解】如圖，作平面BCD,。1是等邊△CB。的中心，。是正三棱錐/-BCD外接

球的球心，點(diǎn)。在NQ上，連結(jié)OE,OD,O、E,

連結(jié)交8C于點(diǎn)尸，DF=3OXF,

設(shè)該球半徑為R,貝!|CM=OD=A.

由2。=3,/8=26可得。［￡>=3*［乂：=4?>,AO{八-OQ=3,

在RtZkOQQ中，（3-&2+（6）2=尼,解得尺=2,

21

因?yàn)?30/,DB=3BE,所以QE//BF,所以歹=^BC=1,

答案第5頁(yè)，共17頁(yè)

在RtAOO,￡中，。。=/Q-尺=1,QE=1,所以O(shè)E=&,

設(shè)球心O到過(guò)點(diǎn)E的截面圓的距離為義可知d,

截面圓半徑/=尺2-/=4-/e[2,4],

所以截面圓的面積的取值范圍為[2兀,4兀],

故選：BCD.

12.-26x2

【分析】易知，展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)，二次項(xiàng)，……，故按x的升幕排列，第三項(xiàng)為

含一項(xiàng)，結(jié)合展開(kāi)式的通項(xiàng)可求解.

【詳解】解：易知，展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)、二次項(xiàng)等，故所求的項(xiàng)為V項(xiàng).

整個(gè)式子中/項(xiàng)可由(1-2x)5,(1+3x)4的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)、一次項(xiàng)與一次項(xiàng)相乘

得到，其中(1-2x)5展開(kāi)式的通項(xiàng)為&]=q(-2x)r,(1+3x＞展開(kāi)式的通項(xiàng)為=c：(3x)4；

22

故所求為：C；xC：(3x)2+ci(_2x)xC；(3x)+C^(-2x)xC：=-26x.

故答案為：-26/?

13.3732元

【分析】如圖1,過(guò)MN,尸三點(diǎn)的平面為正六邊形MEMPG,即可求解其面積；先確定四。

是以。片為軸、直線⑸。與直線8Q的夾角為30°的圓錐的母線，則點(diǎn)。的軌跡為圓錐底面

圓，求出底面圓的半徑即可.

【詳解】如圖1,擴(kuò)展過(guò)跖N,尸三點(diǎn)的平面，

圖I

可知平面產(chǎn)兒W與正方體相交的截面即為正六邊形AffiNFPG,其邊長(zhǎng)為血,

因此面積為S=6；x(后了xg=3收

答案第6頁(yè)，共17頁(yè)

由上可知，￡>q_L平面ACVP,且垂足〃為。內(nèi)的中點(diǎn),

如圖2,動(dòng)直線⑸。是以。鳥(niǎo)為軸、直線石。與直線5Q的夾角為30°的圓錐的母線，

1點(diǎn)。的軌跡為圓錐底1面圓.

,4B

圖2

因?yàn)?^BtD=?NQB\H=30°,所以底面圓的半徑強(qiáng)=1,

所以點(diǎn)。的軌跡長(zhǎng)度為2兀.

故答案為：3。；27r

14.440

【分析】由題意求得數(shù)列的每一項(xiàng)，及前"項(xiàng)和S“=2向-2-"，及項(xiàng)數(shù)，由題意可知：2向

為2的整數(shù)幕.只需將-2-〃消去即可，分別分別即可求得N的值.

【詳解】解：由題意可知:第一項(xiàng)2°，第二項(xiàng)202,第三項(xiàng)2°,2122,L,第〃項(xiàng)2。,21：21,

根據(jù)等比數(shù)列前"項(xiàng)和公式，求得每項(xiàng)和分別為：2、1,22-1，23-1?…，2"-1，

每項(xiàng)含有的項(xiàng)數(shù)為：1，2,3,…，〃，

總共的項(xiàng)數(shù)為—+2+3+—T,

所有項(xiàng)數(shù)的和為

:21-1+22-1+23-1+...+2"-1=(21+22+23+...+2")-77=^-^-?=2,,+1-2-?>

由題意可知：2向?yàn)?的整數(shù)幕，只需將-2-〃消去即可，

則①1+2+(-2-“)=0,解得：〃=1,總共有&±詈+2=3,不滿足N>100,

@1+2+4+(-2-?)=0,解得：〃=5,總共有地5)*5+3=18,不滿足N>100,

2

③1+2+4+8+(-2-")=0,解得：”=13,總共有(1+13)x13+4=95,不滿足N>100,

答案第7頁(yè)，共17頁(yè)

@1+2+4+8+16+（-2-?）=0,解得：〃=29,總共有^|^+5=440,滿足N>100,

該款軟件的激活碼440.

故答案為：440.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，等差數(shù)列與等比數(shù)列的前"項(xiàng)和，考查計(jì)算能力及數(shù)據(jù)分析

能力，屬于難題.

15.（1）14%

（2）有關(guān)

（3）答案見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)題意給數(shù)據(jù)可得需要幫助的老年人的比例估計(jì)值為二=14%；

500

（2）根據(jù)卡方的計(jì)算公式，結(jié)合獨(dú)立性檢測(cè)的思想即可下結(jié)論；

（3）由（2）可知該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)，因此先利用分層抽

樣方法調(diào)查男女比例.

【詳解】（1）調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，

因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例估計(jì)值為'匕=14%.

500

（2）零假設(shè)%：老年人是否需要志愿者提供幫助與性別無(wú)關(guān).

500x(40>270-30,160)2

Z*2?9.967>6.635=x

200x300x70x430001

所以有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān).

（3）由（2）的結(jié)論知道，該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān),

并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯的差異,

因此在調(diào)查時(shí)，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，

再把老年人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法比采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法更好.

71

⑹(1)§

(2)6+1

【分析】（1）根據(jù)正弦定理、誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式和輔助角公式化簡(jiǎn)可得

sinG-^L1,即可求解;

答案第8頁(yè)，共17頁(yè)

（2）方法一：由余弦定理可得從+o2=9①、3=七+2廠）_2,可分別用3種思路

b2+c2-bc

（思路1：利用余弦定理切入；思路2：利用正弦定理切入；思路3：利用極限思想）求出

C

的取值范圍，進(jìn)而利用換元法構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解NDmax即可；方法二:

可分別用2種思路（思路1：齊次化不等式處理；思路2：正弦定理函數(shù)處理）求出

方法三：如圖，貝”五5卜口萬(wàn)+比上府|+團(tuán)|,確定當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，求出

|砌J西即可.

【詳解】（1）acosC+y/3asinC-b-c=0，由正弦定理得

sinAcosC+A^sin24sinC=sin5+sinC，

又sinB=sin(/+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以sin4cosc+6sin4sinC=sin/cosC+cos^4sinC+sinC，

由sinC>0整理得百sin4-cos4=1,即sin^--j=—,

解得一A-—<--,又4G0，Z，

666v

所以即

665

(2)由余弦定理“2="+C2一cos/,得〃+°2一be=9①，

力02]_24力24_*

由CO=2BD得cosNBDA+cosNCD4=0，即皿十'c十力〃十一j。,

2AD4AD

儼+

解得2=；伊+321?)

AD2c?)-2=3僅丁)2?

b2+c2-be

下面用三種方法求2的取值范圍.

C

思路1:用余弦定理切入.

「2+9_〃2

因?yàn)榇?c為銳角三角形，所以cos5=c+”°>0,即C2+9_/>0,

6c

將①代入得2<2,

C

同理，由cosC>0,得

c2

故二〈一<2.

2c

答案第9頁(yè)，共17頁(yè)

思路2：用正弦定理切入.

因?yàn)椤?C為銳角三角形，所以I：；：*。一c<9。'

解得30°<C<90°,

由正弦定理得2=型芻=sin(12(rC)=色i?L

csinCsinC2tanC2

思路3：用極限方法求解.

因?yàn)榱?C為銳角三角形，

當(dāng)2—90°時(shí)，232；當(dāng)C.90°時(shí)，2

cc2

故上心3?

接下來(lái)?yè)Q元構(gòu)造函數(shù)求最值.

、八b(1,3(b2+2c2)3(X2+2)

設(shè)尤=—e彳,2,則m_^___Z_2=4-------匚2.

c<2Jtr+c~-ber-x+l

,3(f+2)\

設(shè)n〃無(wú))=———r-2,xe-52

x-x+112)

由八x)>0得丁+2工一2<0，又;<x<2,

所以g<x<6-l,由/'(尤)<0得百-1〈尤<2,

所以/(x)在(；,G-1)單調(diào)遞增，在(6-1,2)單調(diào)遞減,

故〃x)a="6-1)=4+26=(用I)2.

所以4%X=6+L

方法二：思路1,齊次化不等式處理

—?1—,2―?

由得40=—4。+—48,

33

兩邊平方得/Z)2——+—c1+—bccos60=—(b1+4c2+2bh=':上+，

9999V7b2+c2-bc

令x=2,則

C

x2+2x+43(x+l)3(x+l)=1+----------；----------<4+273

f(_________=1H-------------=1H---------------------------3

=x2—x+1x2—x+1(x+1)2—3(%+1)+3(x+1)H----------3

X+1

答案第10頁(yè)，共17頁(yè)

3

則配用1,當(dāng)川=0即尤=以1時(shí)等號(hào)成立,

故AD的最大值為V3+1.

思路2：正弦定理函數(shù)處理

—1—2—

由CD=25。，^AD=-AC+-AB,

33

i441/、

兩邊平方得/a=—〃+—，+—加cos60°=-(b2+4c2+2M.

9999V7

bc_3

又因?yàn)?2A/3,則b=2百sinB,c=2A/3sinC，

sin5sinCsin60°

代入得)

zr2=1^2+4C2+2Z?C)=273sinf2C-yj+4.

又因?yàn)椤?C為銳角三角形,

0<C<-

2ATIZra兀一兀

所以解得/〈Cv7,

7162

Q<B=--C<

32

當(dāng)2cq=5即C=工時(shí)，AD2=243sin2Y+4的最大值為4+2省,

所以/。2="+26=用1.

方法三：設(shè)8C的中點(diǎn)為EQ4BC外接圓的圓心為。，則打=前+歷,

所以府卜園+麗V時(shí)+附，

2|^o|=2r=^-=2^,所以|前|=6,

11sin/11

OE2^r2-CE2^3--=-,

44

所以O(shè)￡=Y工DE=!，所以。。=1.

22

所以/DVG+I，當(dāng)且僅當(dāng)a。,。三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)。Be為銳角三角形.

17.(1)證明見(jiàn)解析

(2)平

【分析】(1)由題意建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，設(shè)N4=NC=CS="，BE=CF=t,只

需證明福?4=0即可.

答案第11頁(yè)，共17頁(yè)

（2）由題意得到三棱錐C-C斯的體積取得最大值時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)，E,尸分別為8C,/C的

中點(diǎn)，分別求出兩平面的法向量，然后利用平面夾角的余弦公式計(jì)算即可.

【詳解】（1）由題意知在直棱柱ABC-A^Q中，zc=,可得AC2+BC2=AB1,

2

所以/C/BC,

又CG_L面/JgC,NC,BCu面NBC,所以CQ_L/C,CG_LBC,

即/C,BC,CG兩兩垂直，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系C-.，

不妨設(shè)/4=/C=CB=a,BE=CF=t,則/（a,0,0）,4（a,0,a）,尸,0,0）,3（0,a,0）,

B1（0,a,a）,￡（0,a-f,0）,

所以AXE=（——t,_a）,Bp—（%,—a,—q）,

可得4再,Bp——at—/+at+a?—0,

所以蔗_Lm，即4E_L5/

i——，2

（2）VC1-CEF=-t（a-t）a<--------=五，

當(dāng)且僅當(dāng)，=。-/,即/=￡時(shí)，有最大值，

2

此時(shí)E,尸分別為BC,/C的中點(diǎn)，小|，0；唱‘°'°［，所以麗=仁'4'0］，

由⑴可知4（0,a,a）,8（0,a,0）,所以函=［o,|,〃，麗=（|,一川，55；=（0,0,a）,

不妨設(shè)平面片￡尸的一個(gè)法向量為4=（X］，M，ZJ,

答案第12頁(yè)，共17頁(yè)

4?EF=-%；-—j1=0

則"~，令Z]=T,解得再=必=2,

■?‘*a

nx-EB]=—yl+azr=0

所以可取平面均印的一個(gè)法向量為力=（2,2,-1）,

不妨設(shè)平面4月廠的一個(gè)法向量為%=（x2,y2,z2）,

—'—■a

n,?BF=—x,-ay.=0

則:_2令%=1，解得了2=2/2=0,

n2?BB[=az2=0

所以可取平面尸的一個(gè)法向量為玩二（2,1,0）,

設(shè)平面4臺(tái)/與平面片跖的夾角為。，則cose=kos相利=咨?=二=攣,

\ny\m\3V55

所以平面BXBF與平面BXEF的夾角的余弦值為平.

2

18.（1）土Y+匕V=1

43

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）由題意，根據(jù)拋物線的定義求得進(jìn)而W/1=（,結(jié)合橢圓的定

義求出。，進(jìn)而求出"即可求解；

（2）當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)/的方程為＞=左（》-1）+1,聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理

表示%+%,%+%,得P］嘿/當(dāng)左N0時(shí)，直線。尸方程聯(lián)立橢圓方程求出

說(shuō)M和。（&,坨），結(jié)合麗.麗=2OD2化簡(jiǎn)計(jì)算可知點(diǎn)。在定直線;+g=2上;當(dāng)人=0或

后不存在時(shí)也符合以上結(jié)論.

5?

【詳解】（1）由題意得匕（1,0）,|崢|=為+1=§,解得

由于點(diǎn)河在。2上，所以yj=4x〃=1,解得力短，

33

所以嗚孚］'所以那術(shù)+1）、（當(dāng)）",

75_____

則2。=§+§=4,即。=2,又c=l,所以6=J?一02二班,

答案第13頁(yè)，共17頁(yè)

22

所以橢圓方程為土+匕=1.

43

(2)當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)/的方程為>=心》-D+1,

與橢圓方程:+：=1聯(lián)立，消去y得(4/+3)/+陽(yáng)1-左)尤+4](1-汗-3]=0.

因?yàn)辄c(diǎn)尺(1,1)在橢圓內(nèi)，所以A>0,

設(shè)/(須，必)，3值,%),則玉+尤2=坐±?，

4左+3

，/842(左一1)，、6(1-4)

%+%=左(&+9)+2(1-左)=軟2+3?2(1-左)=

44收一1)3(1-左)]

所以P4左2+3‘4左2+3)?

33

當(dāng)上/0時(shí)，kOP^--,則直線。尸的方程為y=-三x,

4k4k

與橢圓方程聯(lián)立得名=著3說(shuō)=—.

(、34k

設(shè)。(%。,%)，貝U二一萬(wàn)％0，&二一-7~歹0?

2

?------*------*-------24K/c-l)3(1—Q(\6k91

由OPOQ=2ODAk2+3'Xq+4^+3'yQ~24^+3+4A:2+3)

2

4k(k-l)xe+3(1-k)yQ=2(16A:+9)

22

n4后x°—3kyQ+3y°-Akx@=2(16k+9)

2

=>4后2芯0-3左x°j+3/0-4后1-■—yQ2^6k+9)

=、+也=2,

43

所以點(diǎn)。在定直線：+]=2上.

當(dāng)左=0時(shí)，由條件可得P(0,l),x°=0,五=3,%=0,坨=6,

則點(diǎn)。(0,6)也在直線二+乙=2上.

43

當(dāng)人不存在時(shí)，由條件可得尸(l,0),為=0,x悌=4,&=8,%=0,可知點(diǎn)。(8,0)也在直線

綜上，點(diǎn)。在定直線:+5=2上.

答案第14頁(yè)，共17頁(yè)

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的定點(diǎn)、定值、最值問(wèn)題，一般可通過(guò)聯(lián)

立方程組并消元得到關(guān)于X或y的一元二次方程，再把要求解的目標(biāo)代數(shù)式化為關(guān)于兩個(gè)的

交點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系式，該關(guān)系中含有網(wǎng)%巧+%或?yàn)?，%+%，最后利用韋達(dá)定理

把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程（或函數(shù)），從而可求定點(diǎn)、定值、最值問(wèn)題.

19.（1）證明見(jiàn)解析

⑵0=1

（3）證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）利用二次求導(dǎo)，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理討論函數(shù)/（x）的單調(diào)性，即可證明；

（2）設(shè)為（x）=/（x）-ax-l,一方面:由題意可知［〃（尤）］maxW0,則x=0是”（無(wú)）的一個(gè)極大

值點(diǎn)，即〃'（0）=0,求得4=1；另一方面：當(dāng)“=1時(shí)，利用導(dǎo)數(shù),結(jié)合不等式

cosxWl,ln（l+x）Vx討論函數(shù)〃（X）的性質(zhì)即可；

（3）由（2）,根據(jù)導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)的存在性定理可得在函數(shù)g（無(wú)）卜一：'-1,0）、［0,兀］上各有1個(gè)

零點(diǎn)；由（1）,利用放縮法計(jì)算可知g（x）在5,+◎上無(wú)零點(diǎn).

11

【詳解】（1）因?yàn)?'（X）=—s