2024年全國研究生考試數(shù)學(xué)試卷及參考答案（一）

2024考研數(shù)學(xué)(一)

試卷及解析

一、選擇題：1?10小題，每小題5分，共50分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選

項(xiàng)是符合題目要求的.

L設(shè)/(x)=￡ecos(dr,g(x)=J。e’山,則下列正確的是

A./(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)

B./(%)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)

C./(x),g(x)均為奇函數(shù)

D./(x),g(x)均為周期函數(shù)

「【答案】C

【解析】e。。",關(guān)于/是偶函數(shù)，則J。e00、,'S是奇函數(shù)，由g(x)=￡psinxe,2'd/,則

/?sin(-x).2f-sinx.2fsinx2

g(-x)=￡ed/二J。ed/,令:一〃，貝Ug(-％)=-(e"d》，

于是g(—x)=-g(x),g(x)是奇函數(shù).

2.已知「=「(國'2),。=。(%//)均連續(xù)，￡為Z=一》2—V0,y20的上側(cè),

則jjPdydz+0dzdv=

A.1:尸+:。卜學(xué)

B.用竹p+叫皿

c.加”舞卜學(xué)

N

D.「三。-叫皿

s

2.【答案】A

由轉(zhuǎn)換投影公式。

0P卜|）郎+《一同岫

0000

3.幕級(jí)數(shù)￡a“x"的和函數(shù)為ln(2+x),則￡%=

n=0n=0

11

A.——B.---

63

11

C.一D.-

63

3.【答案】A

［解析］ta(2+x)=tah+M+ln2

4

(、1一」)

---------1-?,-----------1-...

46

￡na2n=0+%+2&+3as+4%H—

n=0

11

y

2=_A=_1X1=_1

_x3836

然」4

4.設(shè)函數(shù)/（X）在區(qū)間（—1,1）上有定義，且噂/（x）=o,則

A.lim"x）-加，則/，（0）=m.

B./'（0）=%則lim/、）=m.

Clim/'（x）=m,貝y'（0）=m.

D/（0）=m,貝Ulim/'（x）=m.

4.【答案】B

【解析】由/"(O)=冽.則lim"幻―4°)=mnlim[/(%)-/(0)]=0

從而/(0)=0

于是lim/(x)=lim/(x)—〃°)=加，B選項(xiàng)正確

%一°xx—0

E

5.7Ti:atx+by+czz=dt[i=1,2,3),%=(%,b”cj,優(yōu)=(知生?！?)/m.rp2=n,

a.

則加=）n=

A.m==2.B.m=n=2.

C.m=2,〃=3.D.m=n=3.

5.【答案】B

【解析】由題意可知，匹，叫,心相交于一條直線，且不重合

axx+bYy+cxz-dx

即方程組＜=%有無窮多解，且火,處,々3兩兩不相關(guān)

a3x+b3y+c3z=d3

(、

a1

/(%,%)=2(i豐yj

故ra3=r%<3,

故加=〃=2.

?1,a,線性相關(guān)，且其中任意兩個(gè)向量均線

2a3

性無關(guān)，則

A.a=1,6w1B.a=1,6=—1

C.aw-2,b=2D.a=—2,6=2

6.【答案】D.

【解析】由

'a11、(11a、’11a、

0\—Cl1-/

./\11a0\—Cl1-a之

Z=a1必，見二fT

\17223)

-1b-106+1Q—106+16Z—1

、1a1)、0a—11—ci,、002-a?_a,

由r(apa2,a3)<2且r(a,,aj=2?wj)

故r(a],(z2,a3)=2

CiJ當(dāng)a=l時(shí)，%與%相關(guān)，不滿足題意

r11a、"11a'

011+a011+a

D當(dāng)awl時(shí)，—f

\17Z7J/06+167—100-b(a+l)-2

、00a+2/、00a+2)

故要滿足題意，則a+2=0且—b(a+l)—2=0

a——2

=><

b=2

7.設(shè)N是秩為2的3階矩陣，a是滿足力。=0的非零向量，若對(duì)滿足夕Ta=0的3維列向

量萬，均有/￡=￡,貝U

A.d的跡為2B.43的跡為5

C.42的跡為8D.42的跡為g

【答案】A

【解析】由Za=O且r（/）=2可知；1=0為特征值（且為單根），a為特征向量

由于4?=少=1/且6與a正交

所以少為特征值2=1對(duì)應(yīng)的特征向量，且2=1為二重根

fl00A

記

所以存在可逆？，使得小~尸=o10=A

、000,

所以pT/"尸=/"=/

即tr（N"）=tr（/"）=2,選A

8.設(shè)隨機(jī)變量X,y相互獨(dú)立，且X服從正態(tài)分布N（0,2）,y服從正態(tài)分布N（-2,2）,若

P[lX+Y<a\=P{X>Y],則"

A.-2-VH）.B.-2+VH）.

C.-2-V6.D.-2+V6.

8.【答案】B

【解析】E(2X+F)=2EX+EY^-2,Z>(2X+丫)=4OX+OF=4x2+2=10

2X+V+2

所以2X+T?N(—2,10),X—y~N(2,4),P<

VTo

IX—Y—1L0—2a+2i——

尸n〈一7—=1一0(—1)=0(1),^^=1,即.=9_2

【22JV10

2(l-x)

9.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為/(x)=。(“<1在X=x(O<x<l)條件下，隨機(jī)

0,其他.

變量丫服從區(qū)間(x,i)上的均勻分布，則Cov(x,y)=

A.--.B.--

3672

C.—.D.—.

7236

9.【答案】D

1

一，x<y<\2(1-x),0<x<1

【解析】由題意可知力|x(Wx)={1-x/(X)=<

0,其他

0,其他.

2,0<x<j<1,

/(x,y)

0,其他.

ifl111

EX=fr2x(1-x)dx=2-——=—

J。u3j3

E(XY)=j\j'2xydy=^

"ry

#(、L2dx=2J,0<j<1,：2

A(v)=iJoElJ2y2d.y=

[o,其他.3

Cov(xy)=---=—

4936

io.設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且均服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，令z=|x-H，則下列隨機(jī)

變量中與z同分布的是

A.X+YB.

C.2XD.X

10.【答案】D

八"(?x>0,y>0

【解析】x與丫的聯(lián)合概率密度為/。，/二力仁卜/式/^

0,其他

設(shè)z的分布函數(shù)為弓(z),則％(z)=P{Z<z}=P\\X-Y\<z}

①當(dāng)z<0時(shí)，F(xiàn)z(z)=0;

(2)當(dāng)z20時(shí),Fz(z)=P{-z<X-Y<z}=2P{0<X-Y<z}

=21加如財(cái):獷也.

=2r加叫dy_2eTzJ：加叫dy

=l-e-2z.

所以Z?E(l),從而Z與X服從相同的分布，選D.

二、填空題：11?16小題，每小題5分，共30分.

ll.lim--------g--------=6,貝1Ja=_____.

xT)x

11.【答案】a=6.

(l+tZX?)-1smxln(l+ax2)_isillxln(1+

［解析】lim^--------i--------=lim-----------------=lim--------------------^=lim?=6.

°xf0Xf0X—>0

所以a=6.

12.設(shè)函數(shù)/(M,V)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且4/Ul)=3dM+4dv,令y=/(cosx」+x2),

貝1」胃,=0

dx

12.【答案】5

【解析】由曠(l,l)=3d“+4dv,則/;(1.1)=3,/；(1.1)=4,由y=/(cosx,l+x2

則*小—對(duì)+力2,

W=[];(-sin》)+/；；?2x](-sinx)+工,(-cosx)+(壽(—sinx)+￡；?2x)?2x+￡

?-2.

因此

d2y

=和,1)(-1)+力(1,1>2=-3+8=5.

dx2

x=0

13.已知函數(shù)/(x)=x+l若/(X)=+C0S〃X,X￡[0,兀],則

2?=i

lim/sina_=

W—>00ilnx

13.【答案】—1

71

【解析】由

*Tl

an=-\f(x~)cosnxdx=-(x+l)cos?x(k=-xcosnxdx

71J—nno71o

=Ar兀

xdsinnxxsinnx\sinnxdx

7271J°〃兀L0

9

2117t21

—COS72X

nnnrmn花("1)?

44干日

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，a=則明7E

nn27i(2〃—Ip兀'_

-41

lira/sin%--limw2-sin----=limz:2?

M—>00M—>00(2〃—1)2兀n—>oo(2〃-1)2?兀兀

14.微分方程y'=-J滿足條件y(l)=0的解為

(x+y)

兀

14.【答案】arctan(x+y)二天+^

d丫

【解析】方程化為「=(X+V)2

dy

,,dxdu

u=x+y則——=----1

dydy

即—=//+］貝ijJ-—du=\dy

dy+1

arctanw=y+c

71

代x=ly=0,u=l.得c=一

94

得arctan(x+y)=y+￡

(Q+1a、

15.設(shè)實(shí)矩陣A=,若對(duì)任意實(shí)向量

IQa)

a=1,/?=1\,(aTA/}Y<aTAafiTAfi

IMUJv

均成立，則。的取值范圍是.

15.【答案】a>0

【解析】易知/丁=力=力可正交相似對(duì)角化且力的特征值為實(shí)數(shù)

即存在正交陣Q使2T4。=]=，^A=QAQT

又Va,￡有口鄧）2《『出『即,

即.@A@T肝Wa，QdQTa戶0

（a\（b\

記gTa=a,=?,。?=4=1

\aiJ

即,：/4）2〈因丁人少必丁/4

即（4%4+4%，2）2-（4。；+4姆）（4。；+4,）

/+44"；'；+44。；，：

=>24224*2%-4%2。；公+44。；，；=>44［。；b；+a；b；-2。］4%人20

z、2Cl-T1Cl22

=^>W(ab-a1b)>0^>>0^>|yl|==a+a-a-a>Q

12xaa

16.設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)每次成功的概率為p,現(xiàn)進(jìn)行3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，在至少成功1次的條件下,

4

3次試驗(yàn)全部成功的概率為—,則夕=.

2

16.【答案】p=~

【解析】設(shè)事件A：全成功，B：至少成功一次，則

P(AB)P(A)「34

P(圖8)==麗

P(B)1—(1—力13

13P3=4-4(l_p)3

整理得p(3p-2)(372+6)=0=>P=~-

三、解答題：17?22小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知平面區(qū)域。=—計(jì)算07^^<卜?.

D+y

【解析】

X

0/2%2改?=20,dxdj

2

As/x-+yg卜+F

=2扁6蝦*^.曲+J?d，甲9%rdr]

r-；r

則

1

it1ncos。

=1BdeJ]CosOcosed"11cos。，—rd0

2

1

---—f^sec0d0=—ln(sec0+tan3)=Ln(拒+1)

coseJ2202

兀[兀]sin6

A=J；inOcosedr二f2cos^--r2d3

2*171**1**71c

441

兀

1%e-11

-f-7121

-j2-

-萬-----

兀2e2C

-s兀N

41

-4

2m-

故原積分

ln(V2+l)+(V2-l)

18.已知函數(shù)/(%,力=/+，—(x+y)2+3,r為曲面z=/(x,y)在點(diǎn)(1,1,1)處的切平

面.。為「與坐標(biāo)平面所圍有界區(qū)域在x0y平面上的投影.

(1)求「的方程；(2)求/(x,y)在。上的最大值與最小值.

【解析】⑴F(x,j-z)=x3+j3-(x+y)2+3-z.

2

Fx=3x-2(x+v)

則月=3/—2(x+y)記尸(1,1,1).

Fl

乩=T?磯=f月L=T-

即F(x,y,z)在(1,1,1)處的切平面方程的法向量為(-1,-1,-1),且過(1」』)

所以(_l)(x-1)+(-l)(v-1)+(-1)(2-1)=0

即廠的方程為x+y+z=3

(2)由(l)可知：有界區(qū)域在xoy平面上的投影為：D={(x,y)\O<x<3,O<y<3-x)

f=3x2-2(x+y)=0<44

⑴在區(qū)域。內(nèi)：7，x：(［、「得唯一駐點(diǎn)：

舊=3歹-2(x+y)=0133

(ii)在x軸上，f(x,y)=xi-x2+3=g(x)(0<x<3)

2(2)

令g'(x)=3f-2x=0=>x=—.所以

(iii)在〉軸上，同理可得

(iv)在直線y=3-x,f(x,y)=x3+(3-x)3-6=/z(x)(0<x<3)

令/Z'(X)=3X2_3(3—X)2=0

端點(diǎn)片(0,0),4(3,0),6(0,3)

4417

代入各點(diǎn)，最大值/(3,0)=/(0,3)=21,最小值為/

35327

19.設(shè)函數(shù)/⑴具有2階導(dǎo)數(shù)，且/'(0)=/'⑴,/"?)日1.證明:

(1)當(dāng)xe(O,l)時(shí)，|/(x)—/(O)(l—X)—/⑴x卜^4

⑵w(°)+/⑴J

Jov7212

證明：⑴

小)=/(。)+/,(。)》弓豈2⑴

/(刈=/(1)+八1)(1)+小丹》—1)2(2)

(1-x)(1)+X(2)

^/(x)=/(0)(l-x)/(l)x/W(l-x)/'(W-l)xm

++++2x-l)2x

|/(x)-/(O)(l-x)-/(l)x|

11

x2?(l-x)+—x(l-x)92

——x(l-x)(x+1-x)

_x(l-x)

-2?

0

⑵([/(X)-〃0)(1-X)-/⑴工拉卜R/(x)dx-/(o>(1-4-/⑴，;

212

=f/(x)dx-/(0)+/(D

*u24-

20.已知有向曲線L為球面Y+/+z2=2%與平面2x—z—1=0的交線.從z軸正向往z

軸負(fù)向看去為逆時(shí)針方向，計(jì)算曲線積分

J(6xyz-yz2)dr+2x2zdy+xyzdz.

L

5爐—6x+y2+1=0.、

【解析】曲線在X0平面上的投影為人：z=0萬向?yàn)槟鏁r(shí)針，"圍成的

區(qū)域面積為。.

則原積分=￡^6xy(2x-1)-y(2x-1)2出+2x2(2x-l)dy+xy(2x-l)d(2x)

由格林公式，可得4x)—(12x2_4x_1川°=i&7=%

上挈在所以原積分為挈，

七=_2X"T+2Z“_],

21.已知數(shù)列｛XJ-NJ-ZJ滿足/=—1,%=O,Zo=2,且＜yn=-2yn_x-2zn_x,記

z

n=-6x?_1-3j?_1+3z?,1,

a?=yn寫出滿足%=Na,i的矩陣/,并求義"及苞,,以/“(〃=1,24一).

r)

Xxn-\

【解析】（1）由題意可知，?』

yn-i

\Zn-\)

/-202、

%=/%一10%0-2-2%_]

、—6-33

、Z”?

202、

故4=0-2-2

「6-33,

2+20-2

⑵由\XE-A\=02+22=2(2-1)(2+2)=0

632-3

解得4=°,%=L4=-2

I」、

當(dāng)4=0時(shí)，解得線性無關(guān)特征向量為芻=-1

id

當(dāng)4=1時(shí)，解得線性無關(guān)特征向量為或=2

、-3/

[1、

當(dāng)4=—2時(shí)，解得線性無關(guān)特征向量為&3=-2

r-21、"0、

故存在可逆矩陣尸=（。忑2，&）=-12-2使得p-，P=/=1

,1-30,、一2,

故/=尸/「7

即

、

p-210(63-2、

An=(^PAP^'=PAPx=-12-221-1

、1-30(-2門-1-10

<(-1),,+12,,-4(―1)向2"—22、(X?-2\

B+1

(-l)"2+4(―1)"2向+2-2y?=Az,-i=斤然一2

-6-33Z

7<?-2)

/(-1嚴(yán)2"-4(―1嚴(yán)2"—22、㈠'(-2)