2024年上海市高考數(shù)學(xué)模擬試卷(附答案)

2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一模擬考試

上海數(shù)學(xué)試卷

（考試時(shí)間：120分鐘，滿分：150分）

（試卷共5頁，答題紙共2頁）

一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第1?6題每題4分，第7?12題每題5分?？?/p>

生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果。）

1.函數(shù)y=’的定義域?yàn)開________.

2,—x

2.不等式|l-2x|4x的解集為.

3.準(zhǔn)線為直線x=4且頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

4.在卜-的展開式中，一項(xiàng)的系數(shù)為.（結(jié)果用數(shù)字作答）

（7YV<0

5.己知aeR,設(shè)了⑺=「尤’,若/⑷>-1,則a的取值范圍為_________.

[x-2ax,x>0

6.某校高一、高二、高三學(xué)生共1260人，為了解學(xué)生新學(xué)期適應(yīng)情況，現(xiàn)用分層抽樣的

方法進(jìn)行調(diào)查，若分別從三個(gè)年級中抽取的人數(shù)之比為1:2:3,則該學(xué)校高三的學(xué)生人

數(shù)為人.

7.在銳角△NBC中，內(nèi)角/、B、C所對應(yīng)的邊分別為a、b、c,已知/=工，3a=Sb,

3

c=2,則△NBC的面積S=.

8.某校開展選修課課程.甲乙兩位同學(xué)需要在數(shù)學(xué)、足球、籃大------7"

球、美術(shù)、音樂5門選修課中選擇2門不同的選修課來進(jìn)行學(xué)/\/

習(xí)，記隨機(jī)變量X為“甲乙兩人所選的選修課程中相同的個(gè)

數(shù)”，則X的數(shù)學(xué)期望為.口C

9.如圖，在菱形4BCD中，AB=3,E為對角線/C上一點(diǎn)，若4（滎=而且力萬?k=4,

貝I]福亞二.

10.設(shè)i為虛數(shù)單位，已知/（〃）=產(chǎn)+產(chǎn)+產(chǎn)+…+產(chǎn)。25（〃為正整數(shù)）.若”尸%,則

當(dāng)"1、”2取遍全體自然數(shù)時(shí)，/（“J+ZX%）可組成個(gè)不同的虛數(shù).

高考數(shù)學(xué)（2024）第1頁共5頁

11.某工程隊(duì)欲建造一個(gè)仿古觀景建筑，供游客觀賞.如圖所■o

示，該建筑計(jì)劃為四棱臺(tái)，底面為矩形，底面積為360平

方米，高為〃=12米，上底面中心為O.由于材料消耗的

限制，則需使上底面的頂點(diǎn)始終在以。為中心的橢圓「上，

若「的長軸長為8加米，離心率為且，則該建筑的體積的最大值為___立方米.

2

12.設(shè)存在實(shí)數(shù)OK%<工2<…42兀，若對任意的左e{1,2,3,…,7}均有：

Xk+l-xkL貝COS』+COSX，+…+C0SX8的最大值為_________.

[643J

二、選擇題（本大題共4題，共18分，第13—14題每題4分，第15—16題每題5分。每

題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑。）

13.已知集合/={Nsinx=0},B=卜,=仇左eN},則（）.

A.A匚B；B.BQA；C.A^B=0；D.A=B.

14.設(shè)a,beR,在下列各條件中，不是“-6,2”成立的充分條件的是（）.

A.a>25.ab<Q；B.問-網(wǎng)>2；

15.已知甲盒中有5個(gè)黑球，3個(gè)白球，“（a為正整數(shù)且a22）個(gè)紅球，乙盒中有3個(gè)黑

球，5個(gè)白球.先從甲盒中隨機(jī)取出兩球并放入乙盒，再從乙盒中隨機(jī)取出一球，記

事件/為“從甲盒中取出的是兩個(gè)顏色不同的球”，事件5為“從乙盒中取出的是黑

球”，則口為⑷與PCBI7）的大小關(guān)系是（）.

A.P（B\A）>P（B|A）；B.P（B|A）<P{B\A）；

C.P{B\A）=P{B\A）,D.無法判斷，需由。的取值決定.

16.對于不為常數(shù)列的無窮數(shù)列{%},其中%>0,設(shè)其前〃項(xiàng)的和為月，若{%}滿足：

對任意的a?,均存在黑，使得|a?-S,“歸％成立，則稱{??}為“可控?cái)?shù)列現(xiàn)給出下

列兩個(gè)命題：①存在等差數(shù)列為“可控?cái)?shù)列”；②存在等比數(shù)列為“可控?cái)?shù)列”.則

下列說法中正確的是（）.

A.命題①成立，命題②成立；B.命題①成立，命題②不成立；

C.命題①不成立，命題②成立；D.命題①不成立，命題②不成立.

高考數(shù)學(xué)（2024）第2頁共5頁

三、解答題（本大題共5題，滿分78分，第17-19題每題14分，第20-21題每題18

分。解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟。）

17.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

如圖，圓柱。O］的下底面直徑為3C,48為圓柱的母線，點(diǎn)

尸為疏的中點(diǎn).

（1）證明：平面平面OQ8；

（2）若圓柱的底面半徑為2,且直線/尸與平面。QP所成角

9

的正切值大小為一，求二面角N-OP-3的大小.

3

18.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

設(shè)aeR,已知/（x）=asinx+cos2無（xeD）.

（1）設(shè)口=）＜,當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，求a的值；

（2）設(shè)-14a41且D=［0,2兀］,根據(jù)a的不同取值，試討論關(guān)于x的方程〃x）=0解的

個(gè)數(shù)，并說明理由.

19.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

某果園長期種植蘋果，經(jīng)過調(diào)研發(fā)現(xiàn)，“年利潤增量y（單位：萬元）”與“投資金額x

（單位：萬元）”具有線性關(guān)系.

（1）若果園調(diào)查了10年內(nèi)“年利潤增量與“投資金額x”的關(guān)系并使用辦公表格

軟件得到擬合直線：j；=1.50%-2.99.已知變量x的方差為s；=1322,變量y的方差為

2

52=7485,求“年利潤增量y”與“投資金額x”的相關(guān)系數(shù)r的值；

（2）為了預(yù)測統(tǒng)計(jì)結(jié)果并選取合適的投資方案，該果園先選取了“2021?2025年果園

每年的投資金額與年利潤增量的關(guān)系”（見下表）.再分別選取了如下兩個(gè)模型進(jìn)行回歸分

析：模型①：y=22.80Inx-28.43,模型②：y=25.43Inx-26.92.

試問：用哪個(gè)模型得到的預(yù)測結(jié)果更可靠？請通過計(jì)算說明理由.并利用當(dāng)投資金額

為200萬元時(shí)的年利潤增量的預(yù)測值判斷該方案是否合理？

（本大題計(jì)算結(jié)果均精確到0.01）

高考數(shù)學(xué)（2024）第3頁共5頁

年份20202021202220232024

投資金額48111315

(單位：萬元)

年利潤增量6.4230.1933.6538.2840.07

(單位：萬元)

2020-2024年果園每年的投資金額與年利潤增量的關(guān)系

參考公式：線性回歸方程y=+B中回歸系數(shù)計(jì)算公式如下:

八Z(x，-x)S-y)?_

a=---------------------,b=y-ax.

￡(x,-x)2

1=1

20.(本題滿分18分，第1小題滿分3分，第2小題滿分7分，第3小題滿分8分)

22

已知橢圓「:4+4=1(。>6>0)的左右焦點(diǎn)分別為月(-6,0)、不瓜0),點(diǎn)P

ab

是r上的一點(diǎn)，直線I:V3x-y-6"?=0(meR).

(1)當(dāng)6=C時(shí)，已知/恰好經(jīng)過「的右頂點(diǎn)/,求〃?的值；

(2)當(dāng)加=6時(shí)，若尸同時(shí)是/上一點(diǎn)且/為隼=烏，求a的值；

6

a

(3)設(shè)直線Pg交/于0,對每一個(gè)給定的加eR,任意滿足入?2+1)的實(shí)數(shù)心

都有成立.則加在變化時(shí)，求|0周的最小值.

高考數(shù)學(xué)(2024)第4頁共5頁

21.(本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分)

對于定義域?yàn)镽的函數(shù)y=/(x).若給定閉區(qū)間D=R,存在aeD,對于任意的

xeD,現(xiàn)給出如下定義：①若/則記/(a)=M,(D)；②若f(a)Wf(x),

則記1/(a)=mz(D).

(1)若/(x)=e'-x,設(shè)D=[l,2],求M/(D)與嗎(D)的值；

(2)設(shè)a>0,f(x)=-x3+kx1,g(x)=(2左-3)x+(2-左).若對任意的Dq[0,1],均

有MJD)2Mg(D)成立，求左的取值范圍；

(3)已知對任意的DuR,MJD)與%(D)均存在.證明：“/(無)為R上的嚴(yán)格增

函數(shù)或嚴(yán)格減函數(shù)”的充要條件為“對于任意兩個(gè)不同的D1,D?uR,"7(DJw%(D?)與

m/DJ豐m/D2)至少其中一個(gè)成立

高考數(shù)學(xué)(2024)第5頁共5頁

2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一模擬考試

上海數(shù)學(xué)試卷

答案要點(diǎn)及評分標(biāo)準(zhǔn)

說明：

1.本解答列出試題的解法，如果考生的解法與所列解法不同，可參照解答中評分標(biāo)準(zhǔn)

的精神進(jìn)行評分.

2.評閱試卷，應(yīng)堅(jiān)持每題評閱到底，不要因?yàn)榭忌慕獯鹬谐霈F(xiàn)錯(cuò)誤而中斷對該題的

評閱.當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤，影響了后繼部分，但該步以后的解答未改變這一

題的內(nèi)容和難度時(shí)，可視影響程度決定后面部分的給分，這時(shí)原則上不應(yīng)超過后面部分應(yīng)

給分?jǐn)?shù)之半，如果有較嚴(yán)重的概念性錯(cuò)誤，就不給分.

解答

一、（第1題至第12題，其中第1題至第6題每題4分，第7題至第12題每題5分）

1.{x\x^2}2.1,13.y2=-l6x4.605.6.630

34

7.—J3r8.-9.-110.611.304012.2

25

二、（第13題至第16題，其中第13題至第14題每題4分，第15題至第16題每題5分）

號

題13141516

號

代BCDC

三、（第17題至第21題）

17.［證］（1）因?yàn)槭遣康闹悬c(diǎn)，BC為直徑,所以0尸，。8……2分

又因?yàn)镹3為母線，所以48,平面CP8,又因?yàn)镺Pu平面CP3,進(jìn)而，OP,

因?yàn)镺PVAB,所以。尸_L平面。QB........4分

因?yàn)镺Pu平面/。尸，進(jìn)而得證平面平面0Q3.……6分

（2）由（1）證明可得：。尸，平面0a3,因?yàn)?。au平面，故OP，。。，

因?yàn)榍?。尸_LN。，PODOO|=O，故NO_L平面尸....8分

高考模擬數(shù)學(xué)答案（2024）第1頁共6頁

7

因此為直線4P與平面OQ尸所成角，進(jìn)而得tan/4PQ=§,解得：01P=3,

又可得：。。］=”……10分

因?yàn)?B_L平面20尸，即平面403_1_平面20尸，進(jìn)而可得

//O8為4-O尸一3的二面角....12分

此時(shí)tan//08=J,

2

C

即A-OP-B的二面角的大小為arctan.14分

2

18.［W］⑴因?yàn)?(x)為偶函數(shù)，即/(X)=/(T)……2分

ITTT

取。=—ED,-C=——GD,代入解得：a=0.......4分

22

當(dāng)Q=0時(shí)，cos2x=cos(-2x),因止匕Q=0........6分

(2)原函數(shù)可化簡為：/(x)=tzsinx+l-2sin2x.......7分

情況一：當(dāng)。=±1時(shí)，/(x)=0,可解得在區(qū)間［0,2兀］上存在3個(gè)解……9分

情況二：當(dāng)一1<Q<1時(shí)，令/=sinx￡［-l,l］,f(t)=at+1-It2,令〃/+1-2/=0,

可解得：”-a+，j+8,1-，廣"，顯然％隨著。的增大而增大且％>0,

根據(jù)韋達(dá)定理：4%=-3，L同樣隨著。的增大而增大……12分

此時(shí)—</2<1>又因?yàn)椋?sinxe,f?=sinxe在區(qū)間［0,2兀］

各存在2個(gè)零點(diǎn)；因此當(dāng)時(shí)，在區(qū)間［0,2兀］上存在4個(gè)解.……14分

19.［解］(1)根據(jù)方差公式可得：

10_10

王(為7)2-療

S,2=3------------=1233,sf=上--------=7485,

1010

10_10

化簡可得：￡(%<)2=12330,￡(%-1)2=74850,……2分

i=li=l

根據(jù)回歸系數(shù)公式可得：

高考模擬數(shù)學(xué)答案(2024)第2頁共6頁

E(匹-x)(%-y)

10__

化簡可得：￡(%4)(%-1)=19830.……4分

i=\

10__

￡(--%)(-7)

代入相關(guān)系數(shù)公式：7'=口0'0口0"063.……6分

」?七一工)2￡(%-y)2

(2)模型①：y=22.801nx-28.43,將回歸方程的預(yù)測值與實(shí)際值整理如下:

年份20202021202220232024

預(yù)測值3.1818.9826.2430.0533.31

實(shí)際值6.4230.1933.6538.2840.07

102

因此可得模型①的最小擬合誤差為：Qi=￡(%/)?298.73.....8分

1=1

模型②：=25.43Inx-26.92,將回歸方程的預(yù)測值與實(shí)際值整理如下:

年份20202021202220232024

預(yù)測值8.3325.9634.0638.3041.94

實(shí)際值6.4230.1933.6538.2840.07

102

:。2二X、

因此可得模型②的最小擬合誤差為匕一y)p24.83..,.1..0.分

Z=1

因此根據(jù)最小擬合誤差的大小情況來看：。＞。2,因此用模型②預(yù)測效果更好……12分

若投資金額為200萬元時(shí)，此時(shí)年利潤預(yù)測值為107.81萬元，低于投資金額，因而導(dǎo)致有

財(cái)產(chǎn)的虧損，故該方案不合理.……14分

20.［解］(1)當(dāng)6=遙，解得點(diǎn)4(3,0),

代入直線方程36-O-百加=0,解得=3........4分

(2)當(dāng)加=百，直線/經(jīng)過鳥.同時(shí)/的傾斜角為g.……5分

高考模擬數(shù)學(xué)答案(2024)第3頁共6頁

情況一：當(dāng)尸在x軸上方時(shí)，則/兩g=/用當(dāng)=,所以|鳥尸|=|6段=26,

因此解得陽尸|=6,因?yàn)槭?T上，故歸周+|P聞=2-故”3+6.……7分

情況二:當(dāng)尸在x軸下方時(shí),則是含有30°的直角三角形,故閨尸|=6,\FP\=4g,

NFXPF22

因?yàn)槭赥上，故|尸耳|+|"|=2°,故”3+26.……10分

b2x2+a2y2=a2b2

(3)聯(lián)立，,可得方程：(3a2+b2)x2-6ma2x+(3ma2-=0,

y=d3x-d3m

可得該方程判別式:公=12。2-12/+*代入戶=。2-3,化簡為A=16.2-12/_12,

而加223/一1,故A=16/_12加2一i2〈0,即/與「相離或相切.……12分

3

在/上任取。i且設(shè)苞在/的投影為4,故里。區(qū)閨。|，

即給定加時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)外Q_U時(shí)，|苞。|為最小值……14分

又因?yàn)楫?dāng)優(yōu)<-、《/-1,〃?>、《/-],同@隨加增大而增大，

故當(dāng)且僅當(dāng)％2=：°2一1時(shí)，住@為最小值16分

3-V3mI9I—33

由此可得：d=J-------'-=-a,代入可得：-ffl2-6V3m+—=0,

2244

解得：m=:48,而加>G，故加=；4c,此時(shí)=1+J.......18分

21.［解］⑴因?yàn)榘藊)=/-l,故/(x)在［1,2］上為嚴(yán)格增函數(shù)，

因止匕〃/(D)=/(2)=e2-2,my.(D)=/(l)=e-l.……2分+2分

(2)因?yàn)閒\x)=-3x2+2kx,而/'(1)=-3+2左，

因?yàn)?(x)=k-1,g(l)=I,故g(x)是/(X)在X=1處的切線

2

而/(x)存在極值點(diǎn)西=0,x2=-k,而左>0,可得到如下情況:

2

x=037z27、

(0丁)X=-K(在，+8)

2

<0二0>0二0<0

/(X)/極小值極大值/

6分

高考模擬數(shù)學(xué)答案(2024)第4頁共6頁

情況一：當(dāng)1之3時(shí)，此時(shí)％40,巾=/($)='尤，"g([0』)=g($)=$2-34+2,

此時(shí)場([0,1])>%([0,巾，不符題意舍去.……8分

22

情況二：當(dāng)左時(shí)，此時(shí)/⑴與g(x)在上(0話左)均為嚴(yán)格增函數(shù)，

Y3_3工+2

因此當(dāng)"f(D)上Me(D)時(shí)，/(x)2g(x)恒成立，因此左2—5——:---=〃(%),

而〃(x)>0在[0,1]上成立，進(jìn)而上2〃⑴=3,故左23.……10分

(3)先證明必要性：若〃x)為R上的嚴(yán)格增函數(shù)，則任取Dj=,],4],D2=[。2也]，

M/(Dl)=f(bl),Mf(D2)=f(b2),叼(口)=/(%)，嗎■0)=/4)，因?yàn)镈^D?，

所以%>仿或％<4或的>與或的<與，因?yàn)?(X)為R上的嚴(yán)格增函數(shù)，所以可得：

/(?1)>/(/?!)或/⑷)</(幻或/&)>/電)或/(?2)</@2)，所以不難可得：

/3)7/(d)，/(。2)r/伯2)，所以或加/(D1)W加/色)成立.

同時(shí)對/(X)為R上的嚴(yán)格減函數(shù)，同理可證.……13分

下面證明充分性：當(dāng)M/(DI)WM/(D2)與，W(D1?嗎'(D2)其中一式成立時(shí)，/(X)不可能

為常值函數(shù)，先任取D=[a,b],總有M/(D)=/(a)或嗎(D)=〃b),

假設(shè)存在與e[a,6],使得%.(D)=/圖)，記口]=|?,曲],D2=[x0,/?],

則場3)=%<坊)=%02)=/(%),因?yàn)榇嬖趩?D)=/(X]),則