2024年高考數(shù)學(xué)新增考點(diǎn)突破（解析版）

（多拿20分）2023年高考新增高頻考點(diǎn)專題突破

新增高頻考點(diǎn)1：復(fù)數(shù)的三角表示

新增高頻考點(diǎn)2：三角函數(shù)的積化和差公式

新增高頻考點(diǎn)3：三角函數(shù)的和差化積公式

新增高頻考點(diǎn)4：投影向量

新增高頻考點(diǎn)5：百分位數(shù)

新增高頻考點(diǎn)6：點(diǎn)、線、面距離公式

新增高頻考點(diǎn)7：條件概率

新增高頻考點(diǎn)8：全概率公式

新增高頻考點(diǎn)9：貝葉斯公式

新增高頻考點(diǎn)10：二項(xiàng)分布中的最大項(xiàng)

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博觀而約取厚積而薄發(fā)

參考答案與試題解析

一.復(fù)數(shù)的三角表示（共5小題）

[題目）已知復(fù)數(shù)令+令專），則的代數(shù)形式是（）

1Zi=V^cosisin,z2—V3(cos-^-+zsin4Z2

A.V6(cos-^-+zsin^-B.A/6(^COS^^-+Zsin-^~)

C.A/S*-A/3'iD.V3+V3i

:

【解析】：Zi=V2(^cos-j1-+zsin-yy^,z2V3(cos-^-+isin卷),

2必2=V6(cos-yy+isin碧)(cos*+zsin^

J.4L4UU

兀兀?兀?兀1/兀?兀??兀7L\?'I

cossin_

cos-rrv—sm7Vsm下+vC0S-TTF+Sm-^COSH1

12o12o12o126，」

V^[cos(^^+卷)+zsin

cos卷+zsi+~l

—V3"+V3-i,

故選：D.

I題目團(tuán)若復(fù)數(shù)z—r（cos6>+zsin6>）（r>0,0GJ?）,則把這種形式叫做復(fù)數(shù)z的三角形式，其中尸為復(fù)數(shù)z的

模，。為復(fù)數(shù)Z的輻角，則復(fù)數(shù)z=^+：i的三角形式正確的是（

)

A7L..-7Ln7171T—.7L,7C

A.cos丁+zsin丁B.sinf+zcosfC.cos-^-+zsin-^-D.sin^-+zcos-^-

66

【解析】：z=4+Ji的模為1,輻角為2，

z2o

則復(fù)數(shù)z=W^+]i的三角形式為cosq+isin?.

2266

故選：A.

已知復(fù)數(shù)2=35。+411。（1為虛數(shù)單位）,則（

為純虛數(shù)

A.|z|=V2B.Z2=1C.z-z=1D.z+!

【解析】：對于4,|z|=Vcos20+sin2^=1,故4錯誤，

對于B,z2=(cos。+Zsin8)2=cos?。+2sin0cos0i+i2sin2^=cos??！猻it?。+ZcosOsinOi,故8錯誤,

對于C,z?5=(cos0+zsin0)(cos。一isin。)=cos20+sin20=1,故。正確，

對于：1cos0—zsin0

D,z+=cosd+isine+=cos9+zsin<9+=2cos/故

cos0+isinff(cos。+zsin0)(cos0—isin。)

D錯誤.

故選：C.

（—卷）+（—卷）的輻角主值為（）

題目4復(fù)數(shù)z—cosZsin

c2兀D「考

A-B--c?亨

'55

【角星析】：VZ=C0S'

復(fù)數(shù)z的輻角為2E-普，介ez,

復(fù)數(shù)Z的輻角主值為2兀-普=單.

專業(yè)I專注專心第2頁（共23頁）

故選：A.

題目§任何一個復(fù)數(shù)2=a+4（其中a,bGA,i為虛數(shù)單位）都可以表示成z—r（cos6>+zsin^）（其中尸）

0,。GK）的形式,通常稱之為復(fù)數(shù)2的三角形式,法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：卜（cos。+ism0W=r\cosn0

+Zsin畫）（〃eN*），我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理.由棣莫弗定理可知,若復(fù)數(shù)（cos4+zsin4rCmE

N*）為純虛數(shù)，則正整數(shù)僅的最小值為（）

A.2B.4C.6D.8

【解析】：???復(fù)數(shù)（cos^+isin豹'"=cos喏+isin等為純虛數(shù)，

xooJoo

.m7i_.rmi.加兀_7?兀7u7

..cos-Q—-0A，sin--#（）,??-z——kit+，1eZ,

ooo2

根據(jù)冽EN*,可得正整數(shù)冽的最小值為4,此時，k=0,

故選：B.

二.三角函數(shù)的積化和差公式（共5小題）

I感目⑥設(shè)直角三角形中兩銳角為N和8,則cos/cosB的取值范圍是（）

A.（0,B.（0,1）C.［；,1）D.1）

【解析】：直角三角形中兩銳角為/和比/+2=C=爰，

則cos/cosB=:［cos（/—5）+cos（/+5）］=:cos（N—B）,

再結(jié)合"8G（一與關(guān)），

可得cos（N—8）e（0,1］,

/cos（/—B）e（0,，

故選：A.

〔題目〔7〕利用積化和差公式化簡sinasin（￡-p）的結(jié)果為（）

A.—^-［cos（ot+夕）-cos（oc—尸）］B.-^-［cos（oc+夕）+cos（（x一夕）］

C.-^-［sin（ot+0）—sin（oc—夕）］D.-^_［sin（（z+夕）+sin（（z—夕）］

【解析】：sinasin（夕—6）=sinacos/?=-y［sin（a+尸）+sin（a—砌

故選：D

［題目8］已知cosa+cos￡=：,貝!cos.；'cos"的值為十.

【解析】：?「COS6Z+COS夕=-y,

BQ=壞°s（字_丫）+COS（*+^）］-y（cos?+cos￡）=《x9

：.COS—T-COf

1

-4,

故答案為:十.

題目瓦）已知sin（a+6）?sin（W—a）=加，則COS2Q—cos?4的值為m.

【斛析】：由已矢口得：sin（a+夕）?sm（夕—a）—-----立----------=-------------------------------------=cos2a—cos2

p—m

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博觀而為取厚積而薄發(fā)

故答案為：加

1W1回已知a,"為銳角，且a-尸=卷，那么sinasinS的取值范圍是（0,空）

【解析】：?1-.=看

sinasinQ=--^-［cos(ot+/)—cos(a—⑶］=--^cos(a+夕)一~^Y~\二一"^cos(2^+卷)

?./為銳角，即0<￡V年

.?.*2尸+*濟(jì)

OOO

?—4<cos(24+4〈今

2、6/2

0<-gcos(2￡+專戶彳］<?

故答案為：(0,殍)

三.三角函數(shù)的和差化積公式(共5小題)

〔題目［11］對任意的實(shí)數(shù)a、6下列等式恒成立的是()

A.2sina?cos4=sin(a+4)+sin(a一夕)B.2cosa?sin^=sin(a+2)+cos(a一4)

C.cosa+cos/?=2sm。.sm?D.cos?-cos/?=2cos?.cos?

【解析】：sin(a+4)+sin(a一4)=sinacos夕+cosasin夕+sinacos夕—cosasin夕=2sinacos夕，

故選：A.

題目口1］在^ABC中，a,6,c分別是角4,8,C的對邊，設(shè)a+c=26,則tan4~?tan?的值為(參考公式:

sirk4+sinC=2sin幺/。cos>?。)()

A.2B.yC.3D.y

【解析】：?.?。+。=26,

由正弦定理得siru4+sinC=2sin5=2sin(Z+C),

nn-A-\-CA-C.ACAC

即2sm——cos——=4Asm—%—cos——，

在三角形中sin"；Cwo,

.A-CA+C

..COS-2=COS-2---，

日nACA.C.AC.A.C

B|Jcosot-^-cos-^-+sin^-sm-^-=2cos^-cos^—zsin-^-sin-^-，

nnr?/.CAC

即3sm-^-sin爹=cos-^-cos-^-,

即tan克tan■爭=9,

故選：D.

【題目?13〕已知sina+sin￡=磊，cosa+c。部=,，則黑二黑=--

專業(yè)I專注專心第2頁供23頁）

【角星析】：sina+sin￡=磊,可得2sin-cosa—-|y…①

cos.+cos好系，2cos字cos。

6522=625…②.

.a~\~B

①力曰si『一_21_7

(2)可信a+B—27—9?

cos^^

Q+4.a一pa-\-B

sin

sin夕一sina_2cos——一)一cos^^9_

cos￡—cosa八.a+B.a—B.a+夕7,

2sin-sin—立—

故答案為：一■y.

題目14j已知since+sin夕=9，cosa+cos/3=:，則tan(a+p)的值為—今

【角星析】：由sinot+sin夕=十，得2sincos

a；夕.，4

由cosa+cos^=；，得2cosa~\~Ba—0_\

~2~COS~23

兩式相除，得tanO12=V，

a~\~B

2tan——2X,

24

則tan(a+/)=-----------p

27

1-tai?1-

故答案為：當(dāng)

題目［■在/XAgC中a,6,c分別為//,NB,/C的對邊，若cosB+cosC=sinB+sinC,則A48C為

直角三角形.

［角軍析］：由cosB+cosC=sin5+sinC得至!j2cos"；。cos?°=2sin*.。cos#2。

兩邊同除以2cosB2c得sin—；。=cos即tan臺；。=1,

由OVBVTI,Ove,得到器Ce(0,兀),所以與C=全即B+C=￡，所以/=爰，則a/BC為

直角三角形.

故答案為:直角

四.投影向量(共5小題)

、題目E己知兩個單位向量方和書的夾角為120°,則向量方一5在向量5上的投影向量為()

A.—^~aB.—書C.D.—^-5

【解析】：因?yàn)閮蓚€單位向量方和1的夾角為120°,

所以苫?］=|司?區(qū)|cosl20°=1X1X(—\)=—y,

所以0_1).3=為.］_/=_■；--1=一■y,

故所求投影向量為(J"?二』.

由2

故選：D.

Iit兀已知平面向量4=(—2"),5=(1,1),且方，丸則萬一3在辦方向上的投影向量的坐標(biāo)為

()

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博觀而約取厚積而薄發(fā)

A.(1,1)B.(1,-1)D.(-1,-1)

【解析】：已知a—(―2"),5=(1,1),由于日J(rèn)_3,所以方i=(—2)x1+/x1=0,解得4=2,

所以2=(—2,2),5=(1,1),得石一5=(—3,1),

則(方一5)?5=(-3)x1+1x1=—2,由=Vl2+12=A/2,

(a—,S

故方一書在了方向上的投影為=^1=-V2

V27

3

得方一坂在3方向上的投影向量為一”1?(一1,一1).

72

故選：D.

I題目叵）在正A48C中，向量存在刀上的投影向量為（）

A.-^-CAB.—C.-^-CAD.—"-^-CA

【解析】：刀與刀的夾角為爭，

則cos〈春，*〉=—；,根據(jù)投影向量的定義有：下在刀上的投影向量為I與I?cos〈方，CA）--^=

-yG4.

故選：B.

I題目文設(shè)石，3是兩個單位向量，若方+5在3上的投影向量為斜，則cosS/〉=（）

A.-yB.yC.—D.

【解析】：?.?方+5在3上的投影向量為尋，

（方+5）,3T）_2m

?.?F一?面=?’

V\a\=囚=1,

由向量的夾角公式可知，cos〈方，5〉=-3，=—

同囚3

故選：A.

題目匈已知同=2|引，若方與書的夾角為120°,則％―方在方上的投影向量為（）

Q1

A.3—34B.—2~3C.—]-方D.3a

【解析】：???|方|=2的，方與坂的夾角為120°,

（2^—a）-a—2a-^—~a—2|3|?（4-團(tuán)）-cosl20°—32=-1-32,

???2》一方在方上的投影向量為：匹?亙=—蕓.

團(tuán)團(tuán)2

故選：B.

五.百分位數(shù)（共5小題）

ItM學(xué)校組織班級知識競賽,某班的8名學(xué)生的成績（單位:分）分別是：68、63、77、76、82、88、92、

93,則這8名學(xué)生成績的75%分位數(shù)是90分.

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【解析】：8名學(xué)生的成績從小到大排列為：63,68,76,77,82,88,92,93,

因?yàn)?x75%=6,所以75%分位數(shù)為第6個數(shù)和第7個數(shù)的平均數(shù)，

即，~x（88+92）=90（分）.

故答案為：90分.

:題自@為了進(jìn)一步學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，推進(jìn)科普宣傳教育，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,營造良好的學(xué)

習(xí)氛圍，不斷提高學(xué)生對科學(xué)、法律、健康等知識的了解，某學(xué)校組織高一10個班級的學(xué)生開展“紅色百

年路?科普萬里行”知識競賽.統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，10個班級的平均成績恰好成等差數(shù)列，最低平均成績?yōu)?0,公

差為2,則這10個班級的平均成績的第40百分位數(shù)為（）

A.76B.77C.78D.80

【解析】：記構(gòu)成的等差數(shù)列為{??},

則an=70+2（〃-1）=2〃+68,

V10x40%=4,

??.這10個班級的平均成績的第40百分位數(shù)為當(dāng)竺=器至=77,

故選：B.

【題目〔23〕某工廠隨機(jī)抽取20名工人,對他們某天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),數(shù)據(jù)如表，則該組數(shù)據(jù)的第

75百分位數(shù)是（）

件數(shù)7891011

人數(shù)37541

A.8.5B.9C.9.5D.10

【解析】；抽取的工人總數(shù)為20,20X75%=15,

那么第75百分位數(shù)是所有數(shù)據(jù)從小到大排序的第15項(xiàng)與第16項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，

第15項(xiàng)與第16項(xiàng)數(shù)據(jù)分別為9,10,

所以第75百分位數(shù)是缺竺■=9.5.

故選：C.

;題目衛(wèi)某校1000名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的考試成績（單位：分）,成績的頻率分布

直方圖如圖所示,則下列說法正確的是（）

A.頻率分布直方圖中a的值為0.012

B.估計(jì)這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的第60百分位數(shù)為80

C.估計(jì)這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的眾數(shù)為80

D.估計(jì)總體中成績落在［50,60）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為110

【解析】：由頻率分布直方圖可得，（°+0.01+0.03+0.035+0.01）X10=1,解得a=0.015,故/錯誤,

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博觀而約取厚積而薄發(fā)

設(shè)第60百分位數(shù)為x,

貝IJ0.1+0.015+(x-70)x0.035=0.6,解得x=80,故8正確，

估計(jì)這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的眾數(shù)為75,故C錯誤，

估計(jì)總體中成績落在［50,60)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為1000x0.01x10=100,故。錯誤.

故選：B.

題目因某個品種的小麥麥穗長度(單位：cm)的樣本數(shù)據(jù)如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、

9.9、11.2、10.6、11.7,則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為10.8.

【解析解數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?8.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、11.2、11.7,共有12個，

所以12x80%=9.6,

所以這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是第10個數(shù)即：10.8.

故答案為：10.8.

六.點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算(共3小題)

題目口目如圖，在多面體42CDE中，平面平面4BE,AD_L4B,4D〃2C,ZBAE=,AB=AD

=/￡=28C=2,尸是/￡的中點(diǎn).

(1)證明：5尸〃面COE；

(2)求點(diǎn)尸到平面CDE的距離.

【答案】(1)證明：取DE中點(diǎn)G,連接尸G,CG,

■：F,G分別為中點(diǎn)，

：.FG//AD,FG=^-AD,

JLAD//BC,BC=^-AD,：.BC//FG,BC=FG,

：.四邊形BCG歹為平行四邊形，

：.BF//CG,

又BF*平面CDE,CGC平面CDE,

.?.AF〃平面CDE.

(2)???平面ABCD±平面ABE,平面ABCDA平面ABE=AB,AD±AB,AD平面ABCD,

/.AD_L平面ABE,又NBAE=與，

則以“為坐標(biāo)原點(diǎn)，石，荔，石正方向?yàn)閤,y,z軸,可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則尸(0,1,0),C⑵0,1),0(0,0,2),E(0,2,0),

.?.也=(-2,0,1),反=(0,2,-2),星=(0,1,0),

設(shè)平面CDE的法向量4=(x,y,z),

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[CD-n=—2x+z=0

則nl一.,

[DE-n=2y-2z=Q

令x=1,解得:y=2,2=2,

n=(1,2,2),

「題目互|如圖多面體ABCDEF中，四邊形/BCD是菱形，//8C=60°,_L平面/BCD,￡/〃昉，NB=

AE=2BF=2.

（1）證明：C廣〃平面4DE；

（2）在棱EC上有一點(diǎn)M（不包括端點(diǎn)），使得平面兒必。與平面83的夾角余弦值為呼，求點(diǎn)M到平

面BC廠的距離.

【答案】（1）證明：取/E的中點(diǎn)G,連接GO,GF,

因?yàn)?尸〃及4,且8尸所以NG〃臺/且NG=8

所以四邊形/GF8是平行四邊形，

所以GF〃血

又因?yàn)?BCD是菱形，所以/8〃￡>C,且/8=OC,

所以G尸〃。C且G尸=￡>C,

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博觀而約取厚積而薄發(fā)

所以四邊形CFGD是平行四邊形，CFHDG,

又。尸《平面4DE,OGU平面4DE,

所以CF〃平面4DE；

解：(2)連接3。交/C于N,取CE中點(diǎn)P,

,/PN//AE,EA±平面/8CD,PN_L平面ABCD，且CN1BN,

:.以N為原點(diǎn)、，NC,NB,NP所在直線分別為x軸，y軸，z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)在棱EC上存在點(diǎn)M使得平面MBD與平面BCF的夾角余弦值為呼，

磯一1,0,2),8(0,V3,0),C(l,0,0),F(0,V3,1),A(-1,O,0),D(0,-V3,0)

則設(shè)由=4屈=2(—2,0,2)(0<A<l),.-.Af(l-2A,0,22),

所以詢=(1-22,B2/1),DB=(0,2VI,0),SC=(1,-V3,0),FB=(0,0,-1)

設(shè)平面DBM的二個法向量為方=(x,y,z),

.\n-DM=0f(1—2A)x+V3y+22z=0

則nl一'即nn—n，令尸°,

(n,DB=0I2V3y—0

得4=(-2九0,1-2A),

設(shè)平面FBC的一個法向量為沆=(a,6,c),

[m?BC—0fa—41)b=0?

則一，即，取6=1,

[m-FB=0I—c=0

得拓=(V3,1,0),

,I廣\m-n\_|-2V3A|_VH

\m\,同2J(-22)~+-2z)-5

解得;1=1■或/l=1,又「OV%V1,

7=。,此時Af(>0，彳)，,CM=(—,0,,

—>2VJ

.?.點(diǎn)M到平面BCF的距離d=,利=V—=與.

同23

I題目亙?nèi)鐖D，在四棱錐尸一/8。。中，底面/3?！辏緸檎叫?，尸/_1底面/8。。，尸/=/8=2,￡為線段

尸3的中點(diǎn)，尸為線段8c上的動點(diǎn).

(1)證明:平面/￡F_L平面P8C；

(2)若直線/斤與平面P/2所成的角的余弦值為了,求點(diǎn)尸到平面4所的距離.

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p

【解析】：⑴證明：因?yàn)槭琋_L底面/BCD,8CU平面/BCD,

所以PN_L8C.

因?yàn)锳BCD為正方形，所以48_L8C,

又因?yàn)镻Nn/8=/,/MU平面平面尸

所以8C_L平面尸N8.

因?yàn)?EU平面P/8,所以/E_L8C.

因?yàn)镻N=/8,E為線段尸8的中點(diǎn)，

所以

又因?yàn)镻2n2C=2,P2U平面P2C,2CU平面尸2C,

所以NE_L平面P3C.

又因?yàn)閆EU平面4EF,

所以平面4EF_L平面P2C.

⑵因?yàn)槭?,底面/BCD,48，/，以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，

以刀，石，N的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

則4(0,0,0),8(2,0,0),尸(0,0,2),E(l,0,1),

易知4=(0,1,0)是平面P/3的法向量，

沒BF=t(te[0,2]),則尸(2,30),

所以毋=(1,0,1),萬=(2,0),

所以|cos〈N，數(shù)二把回:/1—(彳丫,

\AF\\u\VV5)

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博觀而約取厚積而薄發(fā)

即/:~，得f=1,所以AF—(2,1,0),

"+45

n?AE=0,

設(shè)4=（X],為，zJ為平面AEF的法向量，則＜

n?AF=0,

所以平面/EE的法向量方=（—1,2,1）,

又因?yàn)镹=（0,0,2）,

所以點(diǎn)尸到平面/跖的距離為1="a=嚏=4,

\n\娓3

所以點(diǎn)尸到平面AEF的距離為號,

由（1）可知，/A4尸是直線/尸與平面尸45所成的角，

ABAB

所以cos/BAF=

AF^/AB2+BF25

解得8尸=故廠是3C的中點(diǎn)，

所以/斤=y/A^+BF2=V5,AE=^-PB=41,EF=y/AF2-AE2=V3,

所以AAEF的面積為品的=3AE?EF=*,

因?yàn)槭?=NB=2,APAE的面積為S^PAE=^PA?AB=1,

設(shè)點(diǎn)P到平面AEF的距離為h,

則有Vp-AEF=可&4E尸，h==Vp-PAE=了^APAE'BF=1

解得〃=亭，

所以點(diǎn)尸到平面/斯的距離為4.

七.條件概率（共8小題）

題目亙已知事件48滿足尸（，⑻=0.7,P（1）=0.3^J（）

A.P(AA5)=0.3B.尸（8⑷=0.3

C.事件43相互獨(dú)立D.事件4,2互斥

【解析】：根據(jù)題意，設(shè)尸（2）=x,

由于尸（/⑻=0.7,則P（AB）=尸⑻尸（/⑻=0.7x,

P（A）=1-P（A）=0.7,則尸⑷尸⑻=0.7x,

則有P（AB）=P（A）P⑻，事件/,2相互獨(dú)立.

不確定x的值,P（AA2）=P（AB）=0.7尤,A錯誤；

P（8|/）==x,8錯誤；

由于48相互獨(dú)立，事件4、8可能同時發(fā)生，則事件48一定不互斥，。錯誤.

故選：C.

已知尸（⑷=+，尸（3⑷=1■，尸（冽N）=?，則P⑻=_號P（A\B）=—4

【解析】：尸⑷=母,

則尸⑷=1一尸（彳）=告,

故P（B）=P（AB）+P（AB）=尸⑷尸（口/）+P⑷尸（引⑷=yx-|-+y=

專業(yè)I專注專心第2頁供23頁）

__LJ

P（AB）343

P（彳⑻==

~P（BT~19-19-

36

故答案為:

Joly

題目a研究人員開展甲、乙兩種藥物的臨床抗藥性研究實(shí)驗(yàn),事件A為“對藥物甲產(chǎn)生抗藥性”,事件B

為“對藥物乙產(chǎn)生抗藥性”，事件C為“對甲、乙兩種藥物均不產(chǎn)生抗藥性”.若P(A)=去，P⑻=1,

尸?=卷則尸(8⑷

1Uo

【解析】：由題意可知尸(c)=尸(牙n耳)=焉，則?(4u⑻=1一尸(7n豆)=1一焉=去.

又P(AU8)=尸(力)+P(B)-P(AB),

所以P(4B)=尸(4)+P⑻—P(AU⑻=4+含—磊=4，

1

則9⑷=倦=￡=率

15

故答案為:1.

「熙lH］已知某地市場上供應(yīng)的一種電子產(chǎn)品中，甲廠產(chǎn)品占80%,乙廠產(chǎn)品占20%,甲廠產(chǎn)品的合格率

是75%,乙廠產(chǎn)品的合格率是80%,則從該地市場上買到一個合格產(chǎn)品的概率是()

A.0.75B.0.8C.0.76D.0.95

【解析】：設(shè)買到的產(chǎn)品是甲廠產(chǎn)品為事件工，買到的產(chǎn)品是乙廠產(chǎn)品為事件8,

則尸(Z)=0.8,P(B)=0.2,

記事件C：從該地市場上買到一個合格產(chǎn)品，

則尸(。⑷=0.75,P(C|B)=0.8,

所以P(C)=P(/C)+P(BC)=P(N)尸(CM)+尸(2)尸(C|2)=0.8x0.75+0.2x0,8=0.76.

故選：c.

題目亙?yōu)樨S富學(xué)生的課外活動,學(xué)校羽毛球社團(tuán)舉行羽毛球團(tuán)體賽，賽制采取5局3勝制，每局都是單

打模式，每隊(duì)有5名隊(duì)員，比賽中每個隊(duì)員至多上場一次且上場順序是隨機(jī)的，每局比賽結(jié)果互不影響,

經(jīng)過小組賽后，最終甲乙兩隊(duì)進(jìn)入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲隊(duì)明星隊(duì)員M對乙隊(duì)的每

名隊(duì)員的勝率均為1，甲隊(duì)其余4名隊(duì)員對乙隊(duì)每名隊(duì)員的勝率均為y.(注：比賽結(jié)果沒有平局)

(I)求甲隊(duì)明星隊(duì)員M在前四局比賽中不出場的前提下，甲乙兩隊(duì)比賽4局，甲隊(duì)最終獲勝的概率；

(II)求甲乙兩隊(duì)比賽3局，甲隊(duì)獲得最終勝利的概率；

(III)若已知甲乙兩隊(duì)比賽3局，甲隊(duì)獲得最終勝利，求甲隊(duì)明星隊(duì)員M上場的概率.

【解析】：(I)事件8="甲乙兩隊(duì)比賽4局甲隊(duì)最終獲勝”，

事件4="甲隊(duì)第，局獲勝"，其中/=1,2,3,4,Aj相互獨(dú)立.

又甲隊(duì)明星隊(duì)員初前四局不出場，故尸(4)=；,j=1,2,3,4,

B=ZAHH+N43,4+4,2通4,所以尸⑻=C；X(f=/.

(II)設(shè)C為甲3局獲得最終勝利，。為前3局甲隊(duì)明星隊(duì)員河上場比賽，

由全概率公式知，P?=尸(C|D)P(0+P(C|力)尸(力)，

因?yàn)槊棵?duì)員上場順序隨機(jī)，故P(D)=孚=4,尸⑸=1-4=4-

專叱【專注【專業(yè)

第2頁供23頁)

博觀而約取厚積而薄發(fā)

2

尸（。⑼=（y）x年=/，P（C|D）=田3=+，

所以尸(C=/x~1~+'x[=13

103o380,

3x3

P(CD)尸(C|D)P(￡))記X59

（ni）由⑵，尸⑷c）=

P(C)~13TT-

80

iWt國某地病毒暴發(fā)，全省支援,需要從我市某醫(yī)院某科室的4名男醫(yī)生（含一名主任醫(yī)師）、5名女醫(yī)

生（含一名主任醫(yī)師）中分別選派3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生，則在有一名主任醫(yī)師被選派的條件下，兩名

主任醫(yī)師都被選派的概率為（）

【解析】：需要從我市某醫(yī)院某科室的4名男醫(yī)生（含一名主任醫(yī)師）、5名女醫(yī)生（含一名主任醫(yī)師）中分

別選派3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生，

設(shè)事件/表示“選派3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生,有一名主任醫(yī)生被選派”，B表示“選派3名男醫(yī)生和2名

女醫(yī)生，兩名主任醫(yī)師都被選派”,

犯;17

「(/)=c；c；+CC+c

20

C}c\3

P（AB）=

del—10

則在有一名主任醫(yī)師被選派的條件下,兩名主任醫(yī)師都被選派的概率為:

P(AB)6

P(2⑷=

P⑷17T7-

20

故選：D

「題目回］人工智能是研究用于模擬和延伸人類智能的技術(shù)科學(xué)，被認(rèn)為是21世紀(jì)最重要的尖端科技之

一,其理論和技術(shù)正在日益成熟，應(yīng)用領(lǐng)域也在不斷擴(kuò)大.人工智能背后的一個基本原理:首先確定先

驗(yàn)概率，然后通過計(jì)算得到后驗(yàn)概率,使先驗(yàn)概率得到修正和校對,再根據(jù)后驗(yàn)概率做出推理和決策.

基于這一基本原理，我們可以設(shè)計(jì)如下試驗(yàn)?zāi)Ｐ?有完全相同的甲、乙兩個袋子，袋子有形狀和大小完全

相同的小球,其中甲袋中有9個紅球和1個白球乙袋中有2個紅球和8個白球.從這兩個袋子中選擇一

個袋子，再從該袋子中等可能摸出一個球，稱為一次試驗(yàn).若多次試驗(yàn)直到摸出紅球，則試驗(yàn)結(jié)束.假

設(shè)首次試驗(yàn)選到甲袋或乙袋的概率均為十（先驗(yàn)概率）.

（1）求首次試驗(yàn)結(jié)束的概率；

（2）在首次試驗(yàn)摸出白球的條件下，我們對選到甲袋或乙袋的概率（先驗(yàn)概率）進(jìn)行調(diào)整.

①求選到的袋子為甲袋的概率，

②將首次試驗(yàn)摸出的白球放回原來袋子,繼續(xù)進(jìn)行第二次試驗(yàn)時有如下兩種方案:方案一,從原來袋子

中摸球;方案二,從另外一個袋子中摸球.請通過計(jì)算,說明選擇哪個方案第二次試驗(yàn)結(jié)束的概率更大.

【解析】：設(shè)試驗(yàn)一次，“取到甲袋”為事件4取到乙袋”為事件A2，“試驗(yàn)結(jié)果為紅球”為事件與，“試驗(yàn)

結(jié)果為白球”為事件當(dāng)，

1Q1711

（l）P（5j=尸（/JP（5+尸（42）P（8歷2）=9x%+^x%=苗：

所以試驗(yàn)一次結(jié)果為紅球的概率為若.

⑵①因?yàn)镠,B2是對立事件,P（Bj=1-尸㈤）=4，

專業(yè)I專注專心第2頁供23頁）

尸（4矽*日|4升(4)廿2

所以尸4由2）X

P(BJ99

20

所以選到的袋子為甲袋的概率為9；

②由①得P（為砌=1—網(wǎng)/也）=1—9

所以方案一中取到紅球的概率為：尸I=P（N"22）P（8"/I）+P（A2\B2）

P（為㈤磊+於磊=總

方案二中取到紅球的概率為:g=尸⑷昆）尸⑻4）+尸⑷9）75?㈤=普義磊+《義備=系，

因?yàn)闀?gt;/，所以方案二中取到紅球的概率更大.

ff國某企業(yè)使用新技術(shù)對某款芯片進(jìn)行試生產(chǎn).在試產(chǎn)初期,該款芯片的生產(chǎn)有四道工序，前三道工

序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測評估工序，包括智能自動檢測與人工抽檢.已知該款芯片在生產(chǎn)中，

前三道工序的次品率分別為尸產(chǎn)木，8=9，8=y.

（1）求該款芯片生產(chǎn)在進(jìn)入第四道工序前的次品率；

（2）如果第四道工序中智能自動檢測為次品的芯片會被自動淘汰，合格的芯片進(jìn)入流水線并由工人進(jìn)行

人工抽查檢驗(yàn).在芯片智能自動檢測顯示合格率為90%的條件下，求工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時，抽

檢一個芯片恰為合格品的概率.

【解析】：⑴該款芯片生產(chǎn)在進(jìn)入第四道工序前的次品率尸=1—（1—4）X（1―9）X（1―!）=

3

而.

（2）設(shè)該批次智能自動檢測合格為事件4,人工抽檢合格為事件B,

則P（A）—,P{AB）=1—磊=磊,

7

則工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時,抽檢一個芯片恰為合格品的概率尸（冽/）=絲絲=瞿=1.

尸⑷_z_，

io

八.全概率