江蘇省無錫市積余教育集團2023-2024學年八年級上學期期中數學試卷

第1頁（共1頁）2023-2024學年江蘇省無錫市積余教育集團八年級（上）期中數學試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，在每小題所給的四個選項中，只有一項是正確的，請用2B鉛筆把答題卡上相應的選項標號涂黑．）1．（3分）下列交通標志是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下面幾組數，不能作為直角三角形三邊長度的是（）A．1.5，2，2.5 B．3，4，5 C．6，8，12 D．30，40，503．（3分）如圖，AB＝DE，∠A＝∠D，要說明△ABC≌△DEF，需要添加的條件不能是（）A．∠ABC＝∠DEF B．AC⊥DE C．∠ACB＝∠DFE D．AC＝DF4．（3分）下列選項所給條件能畫出唯一△ABC的是（）A．AB＝3，AC＝5，BC＝9 B．∠A＝90°，AB＝5 C．∠A＝75°，∠B＝35°，AB＝5 D．AB＝7，BC＝5，∠A＝45°5．（3分）如圖，AC⊥BE，DE⊥BE，若△ABC≌△BDE，AC＝7，DE＝3，則CE等于（）A．3.5 B．4 C．4.5 D．56．（3分）下列說法中，說法正確的有（）（1）點P到線段兩個端點距離相等，且點P在直線l上，則直線l是該線段的垂直平分線；（2）兩個成軸對稱的圖形的對稱點一定在對稱軸的兩側；（3）到角的兩邊距離相等的點一定在這個角的角平分線上；（4）兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．（3分）如圖，△ABC中，△ABE≌ACD，∠ABC＝36°，D、E是BC邊上的兩點，且∠ADE＝2∠DAE＝72°，則圖中等腰三角形的個數是（）A．4 B．5 C．6 D．78．（3分）如圖，在Rt△ABC中，AC＝24，BC＝10，AB＝26，點D是BC邊上的動點（點D與點B、C不重合），設點O為線段AD中點，過點D作DE⊥AB，垂足為點E，連接OC、OE．若∠BAC＝40°，則在點E運動過程中∠COE的大小為（）A．70° B．80° C．90° D．100°9．（3分）如圖，AD是△ACD的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE＝DG，△ADG和△AED的面積分別為60和41，則△EDF的面積為（）A．19 B．13.5 C．9.5 D．510．（3分）如圖，C是線段AB上一點，△ACD和△BCE都是等邊三角形，AE交CD于點F，BD交CE于點G，交AE于點O．下列結論中，正確的有（）（1）DB＝AE；（2）∠AFC＝∠DGC；（3）∠AOB＝120°；（4）DG＝AF；（5）△CFG是等邊三角形．A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，不需寫出解答過程，只需把答案直接填寫在答題卡上相應的位置．）11．（3分）小明從鏡子里看到對面電子鐘的像如圖所示，則實際時間是．12．（3分）如圖，在△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠BAD，在不添加任何輔助線的前提下，依據“ASA”證明△ABC≌△ABD，需再添加一個條件是．13．（3分）直角三角形兩條直角邊的長分別為5、12，則斜邊為．14．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是AC的垂直平分線，交AC于點D，交BC于點E，∠BAE＝20°，則∠C＝．15．（3分）如圖，AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點E，S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，則AC的長是．16．（3分）如圖，CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分別為B，E，AE、BC相交于點F，若AB＝BC＝16，CF＝8，連接DF，則圖中陰影部分面積為．17．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點A、B關于直線DE對稱，BE⊥AC，AF⊥BC，則∠BEF＝．18．（3分）如圖，點E、F都在線段AB上，分別過點A、B作AB的垂線AD、BC，連接DE、DF、CE、CF，DF交CE于點G，已知DE＝CE，DE⊥CE，BF＝BC＝5，AD＝15．如果△DEG的面積為S1，△CFG的面積為S2，則S1﹣S2＝．三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區(qū)域作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟等．）19．（8分）如圖，AB＝AD，AE＝AC，∠BAE＝∠DAC，求證：BC＝DE．20．（8分）如圖，點C、F在線段BE上，∠A＝∠D，AB∥DE，BF＝EC．判斷AC和DF的關系，并說明理由．21．（10分）如圖，AB＝AE，AC＝DE，AB∥DE．①求證：AD＝BC；②若∠DAB＝80°，求∠ECB的度數．22．（10分）如圖，AD、BC相交于點O，OA＝OB，∠C＝∠D．（1）求證：△ABC≌△BAD；（2）若∠C＝90°，∠ABC＝25°，求∠CAO的度數．23．（10分）如圖，△ABC為等邊三角形，點D在邊BC的延長線上，CE平分∠ACD，CE＝BD．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）試判斷△ADE的形狀，并證明．24．（10分）如圖，△ABD和△ACE都是等邊三角形，BE，DC相交于點F，連接DE．①求證：BE＝DC；②求∠BFD的度數；③若CD⊥AB，CD＝12，AB＝5，求DE的長．25．（10分）如圖1，在△ABC中，BD⊥AC于點D，AD＝BD＝4，DC＝1，過點E作AE⊥BC于點E，交BD于點F．①求線段DF的長度；②連接DE，求證：∠DEF＝45°；③如圖2，若點P為AB的中點，點M為線段BD延長線上一動點，連接PM，過點P作PN⊥PM交線段DA延長線于點N，則S△BPM﹣S△APN的值是否發(fā)生改變？若改變，請直接寫出S△BPM﹣S△APN的變化范圍；若不改變，請直接寫出S△BPM﹣S△APN的值．

2023-2024學年江蘇省無錫市積余教育集團八年級（上）期中數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，在每小題所給的四個選項中，只有一項是正確的，請用2B鉛筆把答題卡上相應的選項標號涂黑．）1．（3分）下列交通標志是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【解答】解：A，B，C選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；D選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：D．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（3分）下面幾組數，不能作為直角三角形三邊長度的是（）A．1.5，2，2.5 B．3，4，5 C．6，8，12 D．30，40，50【分析】先分別求出兩小邊的平方和和最長的邊的平方，再看看是否相等即可．【解答】解：A、1.52+22＝2.52，符合勾股定理的逆定理，能作為直角三角形三邊長度，不符合題意；B、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，能作為直角三角形三邊長度，不符合題意；C、62+82≠122，不符合勾股定理的逆定理，不能作為直角三角形三邊長度，符合題意；D、302+402＝502，符合勾股定理的逆定理，能作為直角三角形三邊長度，不符合題意．故選：C．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，在應用勾股定理的逆定理時，應先認真分析所給邊的大小關系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關系，進而作出判斷．3．（3分）如圖，AB＝DE，∠A＝∠D，要說明△ABC≌△DEF，需要添加的條件不能是（）A．∠ABC＝∠DEF B．AC⊥DE C．∠ACB＝∠DFE D．AC＝DF【分析】根據全等三角形的判定逐一判斷即可．【解答】解：A．由∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，∠A＝∠D，可依據“ASA”判定△ABC≌△DEF，此選項不符合題意；B．由AC⊥DE無法證明△ABC≌△DEF，此選項符合題意；C．由∠ACB＝∠DFE，∠A＝∠D，AB＝DE，可依據“AAS”判定△ABC≌△DEF，此選項不符合題意；D．由AC＝DF，結合AB＝DE，∠A＝∠D可依據“SAS”判定△ABC≌△DEF，此選項不符合題意；故選：B．【點評】本題主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．4．（3分）下列選項所給條件能畫出唯一△ABC的是（）A．AB＝3，AC＝5，BC＝9 B．∠A＝90°，AB＝5 C．∠A＝75°，∠B＝35°，AB＝5 D．AB＝7，BC＝5，∠A＝45°【分析】A根據三角形的三邊關系判斷即可，B、C、D根據全等三角形的判定方法判定即可．【解答】解：A、3+5＝8＜9，不符合三角形三邊關系定理，即不能畫出三角形，故本選項不符合題意；B、根據∠A＝90°，AB＝5，只有一個角和一條邊不能畫出唯一三角形，故本選項不符合題意；C、根據∠A＝75°，∠B＝35°，AB＝5，由ASA能畫出唯一△ABC，故此選項符合題意；D、根據AB＝7，BC＝5，∠A＝45°，由SSA不能畫出唯一三角形，故本選項不符合題意；故選：C．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定，三角形的三邊關系等知識，掌握全等三角形的判定方法是解題關鍵．5．（3分）如圖，AC⊥BE，DE⊥BE，若△ABC≌△BDE，AC＝7，DE＝3，則CE等于（）A．3.5 B．4 C．4.5 D．5【分析】根據全等三角形的性質得到BE＝AC＝7，BC＝DE＝3，結合圖形根據線段的和差計算即可．【解答】解：∵△ABC≌△BDE，AC＝7，DE＝3，∴BE＝AC＝7，BC＝DE＝3，∴CE＝BE﹣BC＝7﹣3＝4，故選：B．【點評】本題考查的是全等三角形的性質，掌握全等三角形的對應邊相等是解題的關鍵．6．（3分）下列說法中，說法正確的有（）（1）點P到線段兩個端點距離相等，且點P在直線l上，則直線l是該線段的垂直平分線；（2）兩個成軸對稱的圖形的對稱點一定在對稱軸的兩側；（3）到角的兩邊距離相等的點一定在這個角的角平分線上；（4）兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】分別依據軸對稱的性質角平分線的性質以及全等三角形的判定方法，即可得出結論．【解答】解：（1）點P到線段兩個端點距離相等，且點P在直線l上，則直線l不一定是該線段的垂直平分線，原說法錯誤；（2）軸對稱圖形的對稱點不一定在對稱軸的兩側，原說法錯誤；（3）在角的內部到角的兩邊距離相等的點一定在這個角的平分線上，原說法錯誤；（4）兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等，說法正確；所以說法正確的有1個．故選：A．【點評】本題考查了軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關于這條直線（成軸）對稱．本題還考查了全等三角形的判定，角平分線的性質以及垂直平分線的性質，掌握相關定義與性質是解答本題的關鍵．7．（3分）如圖，△ABC中，△ABE≌ACD，∠ABC＝36°，D、E是BC邊上的兩點，且∠ADE＝2∠DAE＝72°，則圖中等腰三角形的個數是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】由已知條件，根據三角形內角和等于180°、角的平分線的性質求得各個角的度數，然后利用等腰三角形的判定進行找尋，注意做到由易到難，不重不漏．【解答】解：∵△ABE≌ACD，∠ABC＝36°，∴AB＝AC，AD＝AE，∴△ABC，△ADE是等腰三角形，∠ABC＝∠ACB＝36°，∴∠BAC＝108°，∵∠ADE＝2∠DAE＝72°，∴∠DAE＝36°，∵∠ABC+∠DAB＝∠ADE＝72°，∴∠DAB＝36°，∴AD＝AB，∴△ABD是等腰三角形；同理可得，△ACE是等腰三角形；∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝36°+36°＝72°，∴∠BAE＝∠AED，∴△BAE是等腰三角形；同理，△ACD是等腰三角形，∴等腰三角形△ABC，△ABD，△ADE，△ACE，△ACD，△ABE，共有6個．故選：C．【點評】本題考查了等腰三角形的性質和判定、角的平分線的性質及三角形內角和定理；由已知條件利用相關的性質求得各個角的度數是正確解答本題的關鍵，難度適中．8．（3分）如圖，在Rt△ABC中，AC＝24，BC＝10，AB＝26，點D是BC邊上的動點（點D與點B、C不重合），設點O為線段AD中點，過點D作DE⊥AB，垂足為點E，連接OC、OE．若∠BAC＝40°，則在點E運動過程中∠COE的大小為（）A．70° B．80° C．90° D．100°【分析】根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OA＝OC＝OD，OA＝OE＝OD，得到OA＝OE＝OC＝OD，即可判定點A、C、D、E在以點O為圓心的同一個圓上，根據圓周角定理得到結論．【解答】解：Rt△ABC中，AC＝24，BC＝10，AB＝26，∴∠ACB＝90°，∵點O為線段AD中點，∴OC＝OA，即OA＝OC＝OD，∵DE⊥AB，點O為線段AD中點，∴OE＝OA，即OA＝OE＝OD，∴OA＝OE＝OC＝OD，∴點A、C、D、E在以點O為圓心的同一個圓上，∴∠COE＝2∠BAC，∵∠BAC＝40°，∴∠COE＝80°，故選：B．【點評】此題考查了直角三角形斜邊上的中線性質，熟記“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”是解題的關鍵．9．（3分）如圖，AD是△ACD的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE＝DG，△ADG和△AED的面積分別為60和41，則△EDF的面積為（）A．19 B．13.5 C．9.5 D．5【分析】根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DF＝DH，然后利用“HL”證明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根據全等三角形的面積相等可得S△EDF＝S△GDH，設面積為S，然后根據S△ADF＝S△ADH列出方程求解即可．【解答】解：如圖，過點D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，∴DF＝DH，在Rt△DEF和Rt△DGH中，，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴S△EDF＝S△GDH，設△EDF的面積為S，同理：Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），∴S△ADF＝S△ADH，即41+S＝60﹣S，解得：S＝9.5，即△EDF的面積為9.5．故選：C．【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，全等三角形的判定與性質，作輔助線構造出全等三角形并利用角平分線的性質是解題的關鍵．10．（3分）如圖，C是線段AB上一點，△ACD和△BCE都是等邊三角形，AE交CD于點F，BD交CE于點G，交AE于點O．下列結論中，正確的有（）（1）DB＝AE；（2）∠AFC＝∠DGC；（3）∠AOB＝120°；（4）DG＝AF；（5）△CFG是等邊三角形．A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據題意，利用全等全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質逐項判斷分析即可．【解答】解：∵△ACD和△BCE都是等邊三角形，∴AC＝CD，∠ACD＝60°，CE＝CB，∠BCE＝60°，∴∠ACE＝∠DCB，∠DCE＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝60°，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴DB＝AE，∠EAC＝∠BDC，故（1）正確；∵∠AFC＝180°﹣∠EAC﹣∠ACD＝180°﹣∠EAC﹣60°＝120°﹣∠EAC，∠DGC＝180°﹣∠BDC﹣∠DCE＝180°﹣∠BDC﹣60°＝120°﹣∠BDC，∴∠AFC＝∠DGC，故（2）正確；∵∠AOB＝180°﹣∠EAC﹣∠CBD＝180°﹣∠BDC﹣∠CBD＝∠DCB，∠DCB＝180°﹣∠ACD＝120°，∴∠AOB＝120°，故（3）正確；在△ACF和△DCG中，，∴△ACF≌△DCG（ASA），∴AF＝DG，故（4）正確；由△ACF≌△DCG，得CF＝CG，∵∠FCG＝60°，∴△CFG是等邊三角形，故（5）正確．故選：D．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解答本題的關鍵．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，不需寫出解答過程，只需把答案直接填寫在答題卡上相應的位置．）11．（3分）小明從鏡子里看到對面電子鐘的像如圖所示，則實際時間是15：01．【分析】利用鏡面對稱的性質求解．鏡面對稱的性質：在平面鏡中的像與現實中的事物恰好順序顛倒，且關于鏡面對稱．【解答】解：根據鏡面對稱的性質，題中所顯示的時刻與10：21成軸對稱，所以此時實際時刻為15：01，故答案為：15：01．【點評】本題考查鏡面反射的原理與性質．解決此類題應認真觀察，注意技巧．12．（3分）如圖，在△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠BAD，在不添加任何輔助線的前提下，依據“ASA”證明△ABC≌△ABD，需再添加一個條件是∠ABC＝∠ABD．【分析】由于∠BAC＝∠BAD，加上AB為公共邊，所以當添加∠ABC＝∠ABD時，依據“ASA”可判斷△ABC≌△ABD．【解答】解：∵∠BAC＝∠BAD，AB＝AB，∴當添加∠ABC＝∠ABD時，△ABC≌△ABD（ASA）．故答案為：∠ABC＝∠ABD．【點評】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關鍵；選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．13．（3分）直角三角形兩條直角邊的長分別為5、12，則斜邊為13．【分析】直接根據勾股定理進行計算．【解答】解：根據勾股定理，得斜邊＝＝13．【點評】此題考查了勾股定理．熟記勾股數：5、12、13．14．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是AC的垂直平分線，交AC于點D，交BC于點E，∠BAE＝20°，則∠C＝35°．【分析】由DE是AC的垂直平分線，根據線段垂直平分線的性質，可得AE＝CE，又由在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAE＝20°，即可求得∠C的度數．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴AE＝CE，∴∠C＝∠CAE，∵在Rt△ABE中，∠ABC＝90°，∠BAE＝20°，∴∠AEB＝70°，∴∠C+∠CAE＝70°，∴∠C＝35°．故答案為：35°．【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質以及等腰三角形的性質．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用．15．（3分）如圖，AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點E，S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，則AC的長是6．【分析】作DF⊥AC于F，如圖，根據角平分線定理得到DE＝DF＝4，再利用三角形面積公式和S△ADB+S△ADC＝S△ABC得到×4×8+×4×AC＝28，然后解一次方程即可．【解答】解：作DF⊥AC于F，如圖，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF＝4，∵S△ADB+S△ADC＝S△ABC，∴×4×8+×4×AC＝28，∴AC＝6．故答案為6．【點評】本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．16．（3分）如圖，CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分別為B，E，AE、BC相交于點F，若AB＝BC＝16，CF＝8，連接DF，則圖中陰影部分面積為32．【分析】先利用等角的余角相等得到∠A＝∠C，則可根據“ASA”判斷△ABF≌△CBD，所以BF＝BD＝8，然后根據三角形面積公式計算圖中陰影部分面積．【解答】解：∵CB⊥AD，AE⊥CD，∴∠ABF＝∠CBD＝90°，∠FEC＝90°，∵∠AFB＝∠EFC，∴∠A＝∠C，在△ABF和△CBD中，，∴△ABF≌△CBD（ASA），∴BF＝BD，∵BF＝BC﹣CF＝16﹣8＝8，∴BD＝8，∴圖中陰影部分面積＝?FC?BD＝×8×8＝32．故答案為：32．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質：全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．17．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點A、B關于直線DE對稱，BE⊥AC，AF⊥BC，則∠BEF＝22.5°．【分析】根據軸對稱的性質得出BE＝AE，進而利用直角三角形的性質和三角形內角和定理解答．【解答】解：∵AB＝AC，點A、B關于直線DE對稱，∴BE＝AE，∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠ABE＝45°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝，∴∠EBF＝67.5°﹣45°＝22.5°，∵AF⊥BC，AB＝AC，∴BF＝FC，∴BF＝EF＝FC，∴∠BEF＝∠EBF＝22.5°，故答案為：22.5°．【點評】此題考查軸對稱的性質，關鍵是根據軸對稱的性質得出BE＝AE解答．18．（3分）如圖，點E、F都在線段AB上，分別過點A、B作AB的垂線AD、BC，連接DE、DF、CE、CF，DF交CE于點G，已知DE＝CE，DE⊥CE，BF＝BC＝5，AD＝15．如果△DEG的面積為S1，△CFG的面積為S2，則S1﹣S2＝50．【分析】由“SAS”可證△ADE≌△BEC，可得S△DAE＝S△CBE，AE＝BC＝5，AD＝BE＝15，由面積和差關系可求解．【解答】解：∵DE⊥CE，∴∠DEC＝90°＝∠A＝∠B，∴∠DEA+∠BEC＝90°＝∠DEA+∠ADE，∴∠ADE＝∠BEC，在△ADE和△BEC中，，∴△ADE≌△BEC（SAS），∴S△DAE＝S△CBE，AE＝BC＝5，AD＝BE＝15，∴EF＝10，∵S1﹣S2＝S△DEF﹣S△EFC，∴S1﹣S2＝×10×15﹣×10×5＝50，故答案為：50．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區(qū)域作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟等．）19．（8分）如圖，AB＝AD，AE＝AC，∠BAE＝∠DAC，求證：BC＝DE．【分析】先證出∠BAC＝∠DAE，根據SAS證明△ABC≌△ADE，即可證出BC＝DE．【解答】證明：∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC，即∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴BC＝DE．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質；證明三角形全等是解題的關鍵．20．（8分）如圖，點C、F在線段BE上，∠A＝∠D，AB∥DE，BF＝EC．判斷AC和DF的關系，并說明理由．【分析】由“AAS”可證△ABC≌△DEF，可得AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，可得AC∥DF．【解答】解：AC＝DF，AC∥DF，理由如下：∵AB∥DE，∴∠B＝∠E，∵BF＝EC，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，∴AC∥DF．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，證明三角形全等是解題的關鍵．21．（10分）如圖，AB＝AE，AC＝DE，AB∥DE．①求證：AD＝BC；②若∠DAB＝80°，求∠ECB的度數．【分析】①證△ABC≌△EAD（SAS），即可得出結論；②由全等三角形的性質得∠CBA＝∠DAE，再證∠DAE+∠CAB＝∠CBA+∠CAB＝80°，然后由三角形的外角性質即可得出結論．【解答】①證明：∵AB∥DE，∴∠E＝∠CAB，在△ABC和△EAD中，，∴△ABC≌△EAD（SAS），∴AD＝BC；②解：∵∠DAB＝80°，∴∠DAE+∠CAB＝80°，由①可知，△ABC≌△EAD，∴∠CBA＝∠DAE，∴∠DAE+∠CAB＝∠CBA+∠CAB＝80°，∴∠ECB＝∠CBA+∠CAB＝80°．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、平行線的性質以及三角形的外角性質等知識，證明三角形全等是解題的關鍵．22．（10分）如圖，AD、BC相交于點O，OA＝OB，∠C＝∠D．（1）求證：△ABC≌△BAD；（2）若∠C＝90°，∠ABC＝25°，求∠CAO的度數．【分析】（1）利用AAS證明△ABC≌△BAD即可；（2）根據三角形內角和定理求出∠CAB＝65°，根據全等三角形的性質得出∠DAB＝25°，根據角的和差求解即可．【解答】（1）證明∵OA＝OB，∴∠DAB＝∠CBA，在△ABC和△BAD中，，∴△ABC≌△BAD（AAS）；②解：∵∠C＝90°，∠ABC＝25°∴∠CAB＝65°，∵∠DAB＝∠ABC，∠ABC＝25°，∴∠DAB＝25°，∴∠CAO＝∠CAB﹣∠DAB＝40°．【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質，利用AAS證明△ABC≌△BAD是解題的關鍵．23．（10分）如圖，△ABC為等邊三角形，點D在邊BC的延長線上，CE平分∠ACD，CE＝BD．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）試判斷△ADE的形狀，并證明．【分析】（1）由等邊三角形的性質得出AB＝AC，∠B＝∠ACB＝60°，再證∠ACE＝∠B，然后由SAS即可得出結論；（2）由全等三角形的性質得出AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，再證∠DAE＝∠BAC＝60°，然后由等邊三角形的判定即可得出結論．【解答】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝60°，，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝120°，∵CE平分∠ACD，∴，∴∠B＝∠ACE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：△ADE是等邊三角形，理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE，∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠DAE＝60°，∵AD＝AE，∴△ADE是等邊三角形．【點評】本題考查了等邊三角形的性質和判定，全等三角形的判定與性質等知識；熟練掌握等邊三角形的判定與性質，證明△ABD≌△ACE是解此題的關鍵．24．（10分）如圖，△ABD和△ACE都是等邊三角形，BE，DC相交于點F，連接DE．①求證：BE＝DC；②求∠BFD的度數；③若CD⊥AB，CD＝12，AB＝5，求DE的長．【分析】①由等邊三角形的性質得AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，則∠BAE＝∠DAC＝60°+∠BAC，即可證明△BAE≌△DAC，得BE＝DC；②設AB交CD于點G，由全等三角形的性質得∠ABE＝∠ADC，則∠BFD＝∠AGF﹣∠ABE＝∠AGF﹣∠ADC＝∠BAD＝60°；③因為△ABD是等邊三角形，CD⊥AB，所以∠ADC＝∠BDC＝∠ADB＝30°，則∠ABE＝∠ADC＝30°，所以∠BDE＝∠ABD+∠ABE＝90°，而BD＝AB