向量中的隱圓問題（五大題型）（原卷版）-2025數(shù)學一輪復習（含2024年高考試題+回歸教材）

重難點突破02向量中的隱圓問題

目錄

01方法技巧與總結...............................................................2

02題型歸納與總結...............................................................3

題型一：數(shù)量積隱圓.............................................................3

題型二：平方和隱圓.............................................................3

題型三：定塞方和隱圓...........................................................4

題型四：與向量模相關構成隱圓...................................................4

題型五：線段比定值隱圓（阿氏圓）...............................................5

03過關測試.....................................................................6

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技巧一.向量極化恒等式推出的隱圓

乘積型：~PA-~PB=A

定理：平面內，若48為定點，且無?麗=2,則尸的軌跡是以“為圓心，4+：/爐為半徑的圓

證明：由應?麗=4,根據(jù)極化恒等式可知，PM2--AB2=A,所以尸加=11/爐+2,P的軌跡

4V4

是以W為圓心小+；/爐為半徑的圓.

技巧二.極化恒等式和型：PA2+PB2=A

\A,--AB2

定理：若/,2為定點，尸滿足以2+可2=m則p的軌跡是以4g中點M為圓心，J_1——為半

徑的圓。(2-；NB2>O)

證明：R42+PB-=2[PM2+^AB)2]=A,所以PAf=《——1——，即尸的軌跡是以中點”為圓

L--AB2

心，\-----2------為半徑的圓.

技巧三.定暮方和型

mPA2+PB2=n

若A,B為定點，<PA2+mPB2=n,則尸的軌跡為圓.

mPA2+nPB1=Z

證明：mPA2+PB2=〃=>m[(x+c)2+y2~\+\{x-cf+y2~\=n

=>(m+l)(x2+y2)+2c(m-l)x+(m+l)c2-n=0

222(m-l)cc2(m+V)-n八

nx+y+—-----—?x+--------——二0.

m+1m+1

技巧四.與向量模相關構成隱圓

坐標法妙解

技巧五.阿氏圓

一般地，平面內到兩個定點距離之比為常數(shù)4(4>0,4。1)的點的軌跡是圓，此圓被叫做阿氏圓.當

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2=1時，點尸的軌跡是線段N3的中垂線.

㈤2

題型歸納與總結

題型一：數(shù)量積隱圓

【典例1-1】已知平面向量落瓦1滿足同叩=lZ=2,伍-口0-2司=1,則WT的最小值為（）

—V5V7—「

AA/7nA/3A/5-A/3

IV?-D?\_y?-------------------------

222

【典例1-2】（2024?遼寧鞍山?一模）已知平面向量￡,b，之滿足葉同=同=1，若黑5=；,則

（24+c）-（3-c）的最小值為（）

A.-2B.-石C.-1D.0

【變式1-D設平面向量。3,2滿足忖=1，W=2,“與3的夾角為g,且（z-gq?伍-0=0,則口的最小值為

()

A.V3-1B.V3C.V3+1D.273

【變式1-2］（2024?遼寧沈陽?二模）已知平面向量展，h->滿足VXER,a-xb>〃一；

C

A」B.丁C.3V6-2

2

題型二：平方和隱圓

【典例2-1］已知a,b,c,d是單位向量，滿足aJ_b,m=a+2b,\m-c^+\m-d^=20^A\c-d\的最大值為

【典例2-2】己知平面向量蘇、而滿足國「+|而「=4,|瓶2=2,設能=2防+蜀，則

固右.

【變式2-1］在平面直角坐標系中，已知點/（2,0）,5（0,2）,圓C:（x-4）2+/=l,若圓C上存在點M,

使得|九〃「+|九"「=12,則實數(shù)。的取值范圍為（）

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A.[1,1+2A/2]B.[1-2V2,1+2V2]

C.[1,1+2拒]D.[1-A/2,1+A^]

【變式2-2]在平面直角坐標系xQy中，已知直線/:x+y+a=O與點”(0,2),若直線/上存在點M滿足

|M4+|MO|2=10(。為坐標原點)，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(-V5-1,V5-1)B.[-V5-1,V5-1]

C.(-272-1,272-1)D.[-2V2-1,2A/2-1]

題型三：定幕方和隱圓

【典例3-1】已知點/（TO）,3（2,0）,直線/：米--5左=0上存在點尸，使得尸父+2尸笈=9成立，則實

數(shù)上的取值范圍是.

【典例3-2］（2024?浙江?高三期末）已如平面向量￡、否、%,滿足忖=3若，忖=2,付=2,“=2，則

"..（"。日①分伍一寸的最大值為（）

A.19273B.192C.48D.4月

【變式3-1］（2024?河北衡水?高三河北衡水中學校考期中）已知平面單位向量扇的夾角為60。，向量工

滿足于-（2召+可1+^=0，若對任意的記口-苗|的最小值為跖則M的最大值為

A.\心B.C.1+—D.1+73

2424

【變式3-2］已知z，B是兩個單位向量，與2，B共面的向量己滿足-2一①+3）工+小3=0,則同的最大

值為（）

A.272B.2C.V2D.1

題型四：與向量模相關構成隱圓

【典例4-1】已知平面向量b，且口=M=1,a-b=^,向量工滿足*2￡-2可布-可，貝U

b臼“?見的最小值為（）

A.73-1B.V2-1C.V3D.y/2

Iuur,ilUUtt'i

【典例4-2】已知向量麗麗滿足囪=L阿=2,且向量礪在方方向上的投影向量為方.若動點C滿

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足國=g,則行.而的最小值為（）

1口4-276「1-V7?5-277

AA.D.----------C.L）.-------

2324

【變式4-1］（2024?高三?浙江?期末）已知石是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量工滿足

|c-a|=|,貝!1日+另一）|+2伍—3|最小值為.

【變式4-2】已知人石、c>才都是平面向量，且|a|=|2a-各|=|5a-c|=1,若=貝!］

\b-d\+\c-d\的最小值為.

【變式4-3］已知Z］是單位向量，75=0.若向量）滿足日-￡-3=1,則用的最大值是.

題型五：線段比定值隱圓（阿氏圓）

【典例5-1］已知平面向量a，b,c，滿足。=6=2,JEL|a+Z>|=2A/2,|a+A+c|=1,則fb+c|++c|

的最小值為（）

A.—B.V15C.—D.V17

22

【典例5-2】（2024?全國?模擬預測）已知平面向量￡,b,工滿足且口=1|=2,『+"+?=1,則

『+陷+2/+^的最小值為（）

A.—B.V15C.—D.V17

22

【變式5-1］已知平面向量。滿足Z_L加，且|町=|3|=2,|,-5-31=1,則修一）|+2］的最小值為

（）

A.—B.V15C.—D.V17

22

【變式5-2］（2024?高三?山東日照?期中）已知平面向量7,b，3滿足辦B，且同=忖=4,忖+3-<?|=2,

則區(qū)-4+小-曰的最小值為（）

A.4A/5B.2V17C.275D.#7

【變式5-3】已知平面向量b,工滿足：同=忖=『|=1，a-b=0,貝川21可+/-5的最小值為（）

A.—B.2C.-D.75

22

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時羊涮H

人‘八^,八JTB\

1.已知平面向量￡,及"滿足口=l,cos（〃Q=g1一4〃.5+3=0,則忸-。1的最小值是（

)

A.與1B-4C6D.6-1

若向量日滿足3-/）?-。=。，則同的最大值是（

2.已知力B是平面內兩個互相垂直的單位向量,)

A.V2B.2也

C.V3D.2

3.（2024?高三?黑龍江哈爾濱?期中）已知向量I,1是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量己滿足

（方-曰卡-2）=0,貝！］同的最大值是（）

A.V2B.也C.—D.—

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4.已知￡,刃是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量）滿足（Z-:（2各-"）=0,則『的最大值是（

A.V2B.2C.V5D.g

5.已知用而是平面內的三個單位向量，若日”則區(qū)+2司+忸+2弦詞的最小值為（）

A.729-372B.V29C.V29-2A/3D.5

6.（2024?北京朝陽?一模）在。3C中，AB=AC=2,8C=2百，點P在線段8c上.當方.而取得最小

值時，PA=（）

A.3B.—C.-D.-

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7.（2024?高三?重慶?開學考試）在同一直角坐標平面內，已知點。（0,0）,/（2,0）,8（0,2）,點尸滿足

PA-PB=0＞則而?麗的最小值為（）

A.2-272B.272-2

C.2拒+2D.-272-2

8.已知向量屋b，"滿足同=4,同=2,但弓=；,R-4（2H）=0,則7"的最小值等于（）

A.12-673B.12-473C.4D.472

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9.已知屋b，工是平面向量，）是單位向量，若非零向量Z與工的夾角為:，向量石滿足丁一6"工+8=0,

貝中一閘的最小值是（）

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A.—V2—1B.y/2+1C.~A/2+1D.2—V2

10.（2024?全國?模擬預測）已知向量Z,B滿足鼠彼=1，?冉=；,則.+,+2可的最小值為（）

A.V6+2V2B.V6+V2C.8D.2

11.已知￡,反】是平面內的三個單位向量,若力B，則歸+24+M+25一2q的最小值是.

12.已知￡扇是平面中的三個單位向量，且力=0,則忤/+g-刃的最小值是一

13.在平面內，已知非零向量。與單位向量e的夾角為。，若向量B滿足廬-6。/+8=0,則的