2021-2022學年上海市曹楊第二中學高二上學期期末數(shù)學試題（解析）

2021-2022學年上海市曹楊第二中學高二上學期期末數(shù)學試題一、單選題1．已知點在平面α上，其法向量，則下列點不在平面α上的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)法向量的定義，利用向量垂直對四個選項一一驗證即可.【詳解】對于A：記,則.因為，所以點在平面α上對于B：記,則.因為，所以點在平面α上對于C：記,則.因為，所以點在平面α上對于D：記,則.因為，所以點不在平面α上.故選：D2．實數(shù)且，，則連接，兩點的直線與圓C：的位置關系是（

）A．相離 B．相切C．相交 D．不能確定【答案】B【解析】由題意知，m，n是方程的根,再根據(jù)兩點式求出直線方程，利用圓心到直線的距離與半徑之間的關系即可求解.【詳解】由題意知，m，n是方程的根，，，過，兩點的直線方程為：，圓心到直線的距離為：，故直線和圓相切，故選：B【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，考查了計算求解能力，屬于基礎題.3．某學校隨機抽取了部分學生，對他們每周使用手機的時間進行統(tǒng)計，得到如下的頻率分布直方圖.則下列說法：①；②若抽取100人，則平均用時13.75小時；③若從每周使用時間在，，三組內的學生中用分層抽樣的方法選取8人進行訪談，則應從使用時間在內的學生中選取的人數(shù)為3.其中正確的序號是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中小矩形的面積和為1可求出，再求出頻率分布直方圖的平均值，即為抽取100人的平均值的估計值，再利用分層抽樣可確定出使用時間在內的學生中選取的人數(shù)為3.【詳解】，故①正確；根據(jù)頻率分布直方圖可估計出平均值為，所以估計抽取100人的平均用時13.75小時，②的說法太絕對，故②錯誤；每周使用時間在，，三組內的學生的比例為，用分層抽樣的方法選取8人進行訪談，則應從使用時間在內的學生中選取的人數(shù)為，故③正確.故選：B.4．連擲一枚均勻的骰子兩次，所得向上的點數(shù)分別為m，n，記，則下列說法正確的是（

）A．事件“”的概率為 B．事件“t是奇數(shù)”與“”互為對立事件C．事件“”與“”互為互斥事件 D．事件“且”的概率為【答案】D【分析】計算出事件“t＝12”的概率可判斷A；根據(jù)對立事件的概念，可判斷B；根據(jù)互斥事件的概念，可判斷C；計算出事件“t＞8且mn＜32”的概率可判斷D；【詳解】連擲一枚均勻的骰子兩次，所得向上的點數(shù)分別為m，n，則共有個基本事件，記t＝m＋n，則事件“t＝12”必須兩次都擲出6點，則事件“t＝12”的概率為，故A錯誤；事件“t是奇數(shù)”與“m＝n”為互斥不對立事件,如事件m=3,n=5，故B錯誤；事件“t＝2”與“t≠3”不是互斥事件，故C錯誤；事件“t＞8且mn＜32”有共9個基本事件，故事件“t＞8且mn＜32”的概率為，故D正確；故選：D．二、填空題5．直線的傾斜角為______．【答案】【分析】把直線方程化為斜截式，再利用斜率與傾斜角的關系即可得出．【詳解】設直線的傾斜角為．由直線化為，故，又，故，故答案為．【點睛】一般地，如果直線方程的一般式為，那么直線的斜率為，且，其中為直線的傾斜角，注意它的范圍是．6．數(shù)據(jù)：1，1，3，4，6的方差是______.【答案】3.6【分析】先計算平均數(shù)，再計算方差.【詳解】該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為故答案為：7．已知三角形OAB頂點，，，則過B點的中線長為______.【答案】【分析】先求出中點坐標，再由距離公式得出過B點的中線長.【詳解】由中點坐標公式可得中點，則過B點的中線長為.故答案為：8．用一個平面去截半徑為5cm的球，截面面積是則球心到截面的距離為_______．【答案】4cm【分析】根據(jù)圓的面積公式算出截面圓的半徑，利用球的截面圓性質與勾股定理算出球心到截面的距離．【詳解】解：設截面圓的半徑為r，截面的面積是，，可得．又球的半徑為5cm，根據(jù)球的截面圓性質，可得截面到球心的距離為．故答案為：4cm．【點睛】本題主要考查了球的截面圓性質、勾股定理等知識，考查了空間想象能力，屬于基礎題．9．若圓心坐標為的圓被直線截得的弦長為，則圓的半徑為______.【答案】【分析】利用垂徑定理計算即可.【詳解】設圓的半徑為，則，得.故答案為：.10．如圖是用斜二測畫法畫出的水平放置的正三角形ABC的直觀圖，其中，則三角形的面積為______.【答案】【分析】根據(jù)直觀圖和平面圖的關系可求出，進而利用面積公式可得三角形的面積【詳解】由已知可得則故答案為：.11．已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，則當時___________.【答案】【分析】當時，利用及求得函數(shù)的解析式.【詳解】當時，，由于函數(shù)是奇函數(shù)，故.【點睛】本小題主要考查已知函數(shù)的奇偶性以及軸一側的解析式，求另一側的解析式，屬于基礎題.12．甲、乙兩名運動員5場比賽得分的莖葉圖如圖所示，已知甲得分的極差為32，乙得分的平均值為24，則甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是______.【答案】【分析】先由極差以及平均數(shù)得出，進而得出中位數(shù).【詳解】由可得，，，因為乙得分的平均值為24，所以，所以甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是.故答案為：13．已知正三棱臺上、下底面邊長分別為1和2，高為1，則這個正三棱臺的體積為______.【答案】【分析】先計算兩個底面的面積，再由體積公式計算即可.【詳解】上底面的面積為，下底面的面積為，則這個正三棱臺的體積為.故答案為：14．如圖，SD是球O的直徑，A、B、C是球O表面上的三個不同的點，，當三棱錐的底面是邊長為3的正三角形時，則球O的半徑為______.【答案】【分析】由三棱錐是正三棱錐，利用正弦定理得出三角形外接圓的半徑，進而求出，再由余弦定理得出球O的半徑.【詳解】因為，所以平面，三棱錐是正三棱錐，設為三角形外接圓的圓心，則在上，連接，，由得出，所以，在中，，即，解得，則球O的半徑為.故答案為：15．設在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，從下列四個條件：①；②；③；④中選出三個條件，能使?jié)M足所選條件的存在且唯一的所有c的值為______.【答案】，，【分析】由①②結合正弦定理可求出，但是角不唯一，故所選條件中不能同時有①②，只能是①③④或②③④，若選①③④，結合余弦定理可求，若選②③④，結合正弦定理即可求解【詳解】由①②結合正弦定理，所以，此時角不唯一，所以故所選條件中不能同時有①②，所以只能是①③④或②③④，若選①③④，即，，，由余弦定理可得，解得，若選②③④，即，，，因為，，所以，由正弦定理得，，故答案為：，16．設數(shù)列的前n項和為，且是6和的等差中項，若對任意的，都有，則的最小值為________．【答案】【分析】先根據(jù)和項與通項關系得通項公式，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式得，再根據(jù)函數(shù)單調性得取值范圍，即得取值范圍，解得結果.【詳解】因為是6和的等差中項，所以當時，當時，因此當為偶數(shù)時，當為奇數(shù)時，因此因為在上單調遞增，所以故答案為：【點睛】本題考查根據(jù)和項求通項、等比數(shù)列定義、等比數(shù)列求和公式、利用函數(shù)單調性求值域，考查綜合分析求解能力，屬較難題.三、解答題17．已知圓C經(jīng)過、兩點，且圓心在直線上．（1）求圓C的方程；（2）若直線經(jīng)過點且與圓C相切，求直線的方程．【答案】（１）；（２）【解析】【詳解】試題分析：（1）根據(jù)圓心在弦的垂直平分線上，先求出弦的垂直平分線的方程與聯(lián)立可求得圓心坐標，再用兩點間的距離公式求得半徑，進而求得圓的方程；（2）當直線斜率不存在時，與圓相切，方程為；當直線斜率存在時，設斜率為，寫出其點斜式方程，利用圓心到直線的距離等于半徑建立方程求解出的值.試題解析：（1）依題意知線段的中點坐標是，直線的斜率為，故線段的中垂線方程是即，解方程組得，即圓心的坐標為，圓的半徑，故圓的方程是（2）若直線斜率不存在，則直線方程是，與圓相離，不合題意；若直線斜率存在，可設直線方程是，即，因為直線與圓相切，所以有，解得或．所以直線的方程是或.18．如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內部）以邊所在直線為旋轉軸旋轉得到的封閉圖形.(1)設，，求這個幾何體的表面積；(2)設G是弧DF的中點，設P是弧CE上的一點，且.求異面直線AG與BP所成角的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）將幾何體的表面積分成上下兩個扇形、兩個矩形和一個圓柱形側面的一部分組成，分別求出后相加即可；（2）先根據(jù)條件得到面，通過平移將異面直線轉化為同一個平面內的直線夾角即可(1)上下兩個扇形的面積之和為：兩個矩形面積之和為：4側面圓弧段的面積為：故這個幾何體的表面積為：(2)如下圖，將直線平移到下底面上為由，且，，可得：面則而G是弧DF的中點，則由于上下兩個平面平行且全等，則直線與直線的夾角等于直線與直線的夾角，即為所求，則則直線與直線的夾角為19．如圖，水平桌面上放置一個棱長為4的正方體的水槽，水面高度恰為正方體棱長的一半，在該正方體側面有一個小孔（小孔的大小忽略不計）E，E點到CD的距離為3，若該正方體水槽繞CD傾斜（CD始終在桌面上）.(1)證明圖2中的水面也是平行四邊形；(2)當水恰好流出時，側面與桌面所成的角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由水的體積得出，進而得出，，從而證明圖2中的水面也是平行四邊形；（2）在平面內，過點作，交于，由四邊形是平行四邊形，得出側面與桌面所成的角即側面與水面所成的角，再由直角三角形的邊角關系得出其夾角.(1)由題意知，水的體積為，如圖所示，設正方體水槽傾斜后，水面分別與棱，，，交于，，，，則，水的體積為，，即，．，故四邊形為平行四邊形，即，且又，，，四邊形為平行四邊形，即圖2中的水面也是平行四邊形；(2)在平面內，過點作，交于，則四邊形是平行四邊形，，，側面與桌面所成的角即側面與水面所成的角，即側面與平面所成的角，即為所求，而，在中，，側面與桌面所成角的為．20．已知數(shù)列滿足，，，n為正整數(shù).(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求通項公式；(2)證明：數(shù)列中的任意三項，，都不成等差數(shù)列；(3)若關于正整數(shù)n的不等式的解集中有且僅有三個元素，求實數(shù)m的取值范圍；【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析(3)【分析】（1）將所給等式變形為，根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明結論；（2）假設存在，，成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質可推出矛盾，故說明假設錯誤。從而證明原結論；（3）求出n=1,2,3,4時的情況，再結合時，，即可求得結果.(1)由已知可知，顯然有，否則數(shù)列不可能是等比數(shù)列；因為，，故可得，由得：，即有，所以數(shù)列是等比數(shù)列，且；(2)假設存在，，成等差數(shù)列，則，即，整理得，即，而是奇數(shù)，故上式左側是奇數(shù)，右側是一個偶數(shù)，不可能相等，故數(shù)列中的任意三項，，都不成等差數(shù)列；(3)關于正整數(shù)n的不等式，即，當n=1時，；當n=2時，；當n=3時，；當n=4時，，并且當時，，因關于正整數(shù)n的不等式的解集中有且僅有三個元素，故.21．已知直線，圓.(1)證明：直線l與圓C相交；(2)設l與C的兩個交點分別為A、B，弦AB的中點為M，求點M的軌跡方程；(3)在（2）的條件下，設圓C在點A處的切線為，在點B處的切線為，與的交點為Q.試探究：當m變化時，點Q是否恒在一條定直線上？若是，請求出這條直線的方程；若不是，說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)點Q恒在直線上，理由見解析.【分析】（1）求出直線過定點，得到在圓內部，故證明直線l與圓C相交；（2）設出點，利用垂直得到等量關系，整理后即為軌跡方程；（3）利用Q、A、B、C四點共圓，得到此圓的方程，聯(lián)立，求出相交弦的方程，即直線的方程