2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元速記·巧練（北師大版）第3章 概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)（知識(shí)歸納+題型突破）（解析版）-2023-2024學(xué)年學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期單元精講·速記·巧練（北師大版）

第3章概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)（知識(shí)歸納+題型突破）1.進(jìn)一步認(rèn)識(shí)頻率與概率的關(guān)系，加深對(duì)概率的理解；2.會(huì)用列表和畫(huà)樹(shù)狀圖等方法計(jì)算簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率；3.能利用重復(fù)試驗(yàn)的頻率估計(jì)隨機(jī)事件的概率；4.學(xué)會(huì)運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.一、用樹(shù)狀圖或表格求概率1.樹(shù)狀圖當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及3個(gè)或更多個(gè)因素時(shí)，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹(shù)形圖，也稱(chēng)樹(shù)形圖、樹(shù)圖.樹(shù)形圖是用樹(shù)狀圖形的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.要點(diǎn)：(1)樹(shù)形圖法適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時(shí)，求概率的問(wèn)題；(2)在用樹(shù)形圖法求可能事件的概率時(shí)，應(yīng)注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同.2.列表法當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.要點(diǎn)：（1）列表法適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時(shí)，求概率的問(wèn)題；（2）列表法適用于涉及兩步試驗(yàn)的隨機(jī)事件發(fā)生的概率.3.用列舉法求概率的一般步驟（1）列舉（列表、畫(huà)樹(shù)狀圖）事件所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，并判斷每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性是否都相等；（2）如果都相等，再確定所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的個(gè)數(shù)n和其中出現(xiàn)所求事件A的結(jié)果個(gè)數(shù)m；（3）用公式計(jì)算所求事件A的概率.即P（A）=.二、用頻率估計(jì)概率1.頻率與概率的定義頻率：在相同條件下重復(fù)n次試驗(yàn)，事件A發(fā)生的次數(shù)m與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值.概率：事件A的頻率接近與某個(gè)常數(shù)，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率，記作P（A）.2.頻率與概率的關(guān)系事件的概率是一個(gè)確定的常數(shù)，而頻率是不確定的，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，頻率的大小搖擺不定，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)增大時(shí)，頻率的大小波動(dòng)變小，并逐漸穩(wěn)定在概率附近.可見(jiàn)，概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值.要點(diǎn)：（1）頻率本身是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定，無(wú)法從根本上來(lái)刻畫(huà)事件發(fā)生的可能性的大小，在大量重復(fù)試驗(yàn)的條件下可以近似地作為這個(gè)事件的概率；（2）頻率和概率在試驗(yàn)中可以非常接近，但不一定相等；（3）概率是事件在大量重復(fù)試驗(yàn)中頻率逐漸穩(wěn)定到的值，即可以用大量重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的頻率去估計(jì)得到事件發(fā)生的概率，但二者不能簡(jiǎn)單地等同，兩者存在一定的偏差是正常的，也是經(jīng)常的.3.利用頻率估計(jì)概率當(dāng)試驗(yàn)的可能結(jié)果不是有限個(gè)，或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，一般用統(tǒng)計(jì)頻率的方法來(lái)估計(jì)概率.要點(diǎn)：用試驗(yàn)去估計(jì)隨機(jī)事件發(fā)生的概率應(yīng)盡可能多地增加試驗(yàn)次數(shù)，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，結(jié)果將較為精確.題型一列舉法求概率【例1】拋擲兩枚硬幣，出現(xiàn)“一正一反”的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】有正正，正反，反正，反反四種結(jié)果，所以P（一正一反）=，故選C．鞏固訓(xùn)練：1．從，0，，，3.5這五個(gè)數(shù)中，隨機(jī)抽取1個(gè)，則抽到無(wú)理數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：這里的無(wú)理數(shù)有，，共2個(gè)，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了列舉法求概率，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握用列舉法求概率的方法．2．從1，2，3，4，5五個(gè)數(shù)中任意取出2個(gè)數(shù)做加法，其和為偶數(shù)的概率是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】列舉出所有情況，找出和為偶數(shù)的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．【解析】從1，2，3，4，5五個(gè)數(shù)中任意取出2個(gè)數(shù)做加法，有10組：1＋2，1＋3，1＋4，1＋5，2＋3，2＋4，2＋5，3＋4，3＋5，4＋5，和為偶數(shù)的有4組：1＋3，1＋5，2＋4，3＋5，∴和為偶數(shù)的概率為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查列舉法求概率，采用列舉法求概率解題的關(guān)鍵是找出所有存在的情況，涉及到概率公式：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．題型二列表法或樹(shù)狀圖法求概率【例2】下列說(shuō)法正確的是（

）A．口袋中有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，1個(gè)紅球，它們除顏色外都相同，因?yàn)榇泄灿?種顏色的球，所以摸到紅球的概率是B．?dāng)S一枚硬幣兩次，可能的結(jié)果為兩次都是正面，一次正面一次反面，兩次都是反面，所以擲出兩次都是反面的概率為C．天氣預(yù)報(bào)“明天降水概率為10%”，是指“明天有10%的時(shí)間會(huì)下雨”D．隨意擲一枚均勻的骰子，偶數(shù)點(diǎn)朝上的概率是【答案】D【分析】根據(jù)概率公式可對(duì)A、D進(jìn)行判斷；利用畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率可對(duì)B進(jìn)行判斷，根據(jù)概率的意義可對(duì)C進(jìn)行判斷．【解析】解：A、摸到紅球的概率＝，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、畫(huà)樹(shù)狀圖為：共有4種等可能的結(jié)果數(shù)，其中擲出兩次都是反面的結(jié)果數(shù)為1，所以擲出兩次都是反面的概率＝，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、天氣預(yù)報(bào)“明天降水概率為10%”，是指有10%的可能性下雨，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、隨意擲一枚均勻的骰子，偶數(shù)點(diǎn)朝上的結(jié)果數(shù)為2、4、6，所以偶數(shù)點(diǎn)朝上的概率＝，故D選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了概率的意義，概率公式，列表法與樹(shù)狀圖法求概率：利用列表法或樹(shù)狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率．鞏固訓(xùn)練：1．在一個(gè)不透明的袋子里裝有一個(gè)黑球和一個(gè)白球，它們除顏色外都相同，隨機(jī)從中摸出一球，記下顏色后放回袋中，充分搖勻后，再隨機(jī)摸出一球，兩次都摸到白球的概率是（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，列出表格，可得4種等可能結(jié)果，其中兩次都摸到白球的有1種，再根據(jù)概率公式計(jì)算，即可求解．【解析】解：根據(jù)題意，列出表格，如下：黑白黑黑黑白黑白黑白白白一共得到4種等可能結(jié)果，其中兩次都摸到白球的有1種，∴兩次都摸到白球的概率是．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用樹(shù)狀圖或列表法求概率，明確題意，準(zhǔn)確畫(huà)出樹(shù)狀圖或列出表格是解題的關(guān)鍵．2．甲、乙、丙三位同學(xué)分別用背面完全相同、大小一致的卡片在下面制成了表示自己生肖的圖案，將三張卡片背面朝上洗勻，三人各抽一次（抽后放回，洗勻后第二人再抽），三個(gè)人抽到的生肖卡恰好是自己制作的卡片的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，三人各抽一次（抽后放回），甲乙丙三人都是從3張卡片抽一張，畫(huà)出樹(shù)狀圖即可得出答案．【解析】設(shè)甲的生肖為A，乙的生肖為B，丙的生肖為C，梳妝圖如下：共有27種等可能情況，其中符合三個(gè)人抽到的生肖卡恰好是自己制作的卡片的有1種，所以，三個(gè)人抽到的生肖卡恰好是自己制作的卡片的概率=，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了畫(huà)梳妝圖或列表求概率，根據(jù)題意畫(huà)出梳妝圖是解決本題的關(guān)鍵．3．甲口袋中有2個(gè)白球、1個(gè)紅球，乙口袋中有1個(gè)白球、1個(gè)紅球，這些球除顏色外無(wú)其他差別.分別從每個(gè)口袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球.下列事件中，概率最大的是（

）A．摸出的2個(gè)球顏色相同 B．摸出的2個(gè)球顏色不相同C．摸出的2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球 D．摸出的2個(gè)球中至少有1個(gè)白球【答案】D【分析】先畫(huà)出樹(shù)狀圖表示所有等可能的結(jié)果，再根據(jù)概率公式分別計(jì)算每種情況的概率，據(jù)此解答．【解析】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下，所有等可能的結(jié)果共6種，摸出2個(gè)球顏色相同的概率為：；摸出2個(gè)球顏色不相同的概率為：；摸出2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球的概率為：；摸出2個(gè)球中至少有1個(gè)白球的概率為：；所以概率最大的是摸出2個(gè)球中至少有1個(gè)白球，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查列表法或樹(shù)狀圖表示概率，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．4．兩張圖片除畫(huà)面不同外無(wú)其他差別，將它們從中間剪斷得到四張形狀相同的小圖片，再把這四張小圖片均勻混合在一起，從四張小圖片中隨機(jī)摸取一張，接著再隨機(jī)摸取一張，則這兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將四張小圖片分別記作A、B、C、D，首先利用列表法展示所有可能的結(jié)果數(shù)，再找出兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【解析】解：將四張小圖片分別記作A、B、C、DABCDAABACADBBABCBDCCACBCDDDADBDC共有12種情形，其中兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的情況數(shù)目有4種，所以?xún)蓮埿D片恰好合成一張完整圖片的概率為故選B【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率．列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．5．不透明的布袋里裝有紅、藍(lán)、黃三種顏色小球共40個(gè)，它們除顏色外其余都相同，其中紅色球20個(gè)，藍(lán)色球比黃色球多8個(gè)．（1）求袋中藍(lán)色球的個(gè)數(shù)．（2）求摸出1個(gè)球是黃色球的概率．（3）現(xiàn)再將2個(gè)黃色球放入布袋，攪勻后，求摸出1個(gè)球是黃色球的概率．【答案】（1）袋中藍(lán)色球的個(gè)數(shù)是14個(gè)；（2）摸出1個(gè)球是黃色球的概率；（3）摸出1個(gè)球是黃色球的概率是【分析】（1）藍(lán)色球的個(gè)數(shù)=（40-紅色球20個(gè)+8）÷2；（2）根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率；（3）先求出黃色球的個(gè)數(shù)，再除以全部情況的總數(shù)，即可求解．【解析】解：（1）（40-20+8）÷2=14（個(gè)）．答：袋中藍(lán)色球的個(gè)數(shù)是14個(gè)；（2）（20-14）÷40=．故摸出1個(gè)球是黃色球的概率；（3）（20-14+2）÷（40+2）=．故摸出1個(gè)球是黃色球的概率是．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=．6．農(nóng)歷正月十五是我國(guó)的傳統(tǒng)節(jié)日——元宵節(jié)，這一天人們有吃湯圓的習(xí)俗．今年的元宵節(jié)，圓圓爸爸給圓圓準(zhǔn)備了一碗湯圓，其中一個(gè)湯圓是花生餡的，一個(gè)湯圓是豆沙餡的，還有兩個(gè)湯圓是芝麻餡的，這四個(gè)湯圓除了餡以外，其他都一樣．(1)圓圓吃了其中兩個(gè)湯圓，求這兩個(gè)湯圓都是芝麻餡的概率；(2)圓圓吃了三個(gè)湯圓后，剩下的湯圓是芝麻餡的概率是．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意知，可列表如下，然后計(jì)算求解即可；（2）由題意知，第四個(gè)湯圓有花生餡，豆沙餡，芝麻餡，芝麻餡4種等可能的情況，根據(jù)概率的計(jì)算公式求解即可．【解析】（1）解：由題意知，可列表如下花生豆沙芝麻芝麻花生（花生，豆沙）（花生，芝麻）（花生，芝麻）豆沙（豆沙，花生）（豆沙，芝麻）（豆沙，芝麻）芝麻（芝麻，花生）（芝麻，豆沙）（芝麻，芝麻）芝麻（芝麻，花生）（芝麻，豆沙）（芝麻，芝麻）吃的兩個(gè)湯圓共有12種等可能的情況，都是芝麻餡的湯圓共有4種情況∴吃的兩個(gè)湯圓中，都是芝麻餡的概率為．（2）解：第四個(gè)湯圓有花生餡，豆沙餡，芝麻餡，芝麻餡4種等可能的情況，∴是芝麻餡的概率為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了列舉法求概率，概率的計(jì)算公式．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握求概率的方法．題型三游戲的公平性【例3】學(xué)校將舉辦主題為“愛(ài)成都?迎大運(yùn)”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，班決定在甲乙兩人中選擇一人參加，并采用如下游戲確定參加人員．如圖，一個(gè)均勻的轉(zhuǎn)盤(pán)被平均分成10等份，分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這10個(gè)數(shù)字．轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止后，指針指向的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字．甲乙兩人參與游戲：一人轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，另一人猜數(shù)，若所猜數(shù)字與轉(zhuǎn)出的數(shù)字相符，則猜數(shù)的人獲勝，否則轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的人獲勝．猜數(shù)的方法從下面三種中選一種：①猜“是奇數(shù)”或“是偶數(shù)”；②猜“是3的倍數(shù)”或“不是3的倍數(shù)”；③猜“是大于6的數(shù)”或“不是大于6的數(shù)”．如果由乙轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，甲猜數(shù)，那么為了盡可能獲勝，試說(shuō)明甲應(yīng)選擇哪一種猜數(shù)方法？怎樣猜？

【答案】為了盡可能獲勝，甲應(yīng)選第②種猜法，猜“不是3的倍數(shù)”【分析】分別求出三種方法中所有的概率，進(jìn)行比較，即可得出結(jié)論．【解析】解：方法①中∵奇數(shù)有1，3，5，7，9，共5個(gè)∴（是奇數(shù)）∵偶數(shù)有2，4，6，8，10，共5個(gè)∴（是偶數(shù)）方法②中∵3的倍數(shù)有3，6，9，共3個(gè)∴（是3的倍數(shù)）∵不是3的倍數(shù)的有1，2，4，5，7，8，10，共7個(gè)∴（不是3的倍數(shù)）方法③中∵大于6的有7，8，9，10，共4個(gè)∴（是大于6的數(shù)）∵不大于6的有，1，2，3，4，5，6，共6個(gè)∴（不是大于6的數(shù)）∵三種方法中不是3的倍數(shù)的概率最大∴為了盡可能獲勝，甲應(yīng)選第②種猜法，猜“不是3的倍數(shù)”．【點(diǎn)睛】本題考查利用概率解決游戲公平性的問(wèn)題．熟練掌握概率的公式，正確的進(jìn)行計(jì)算，是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練：1．4張相同的卡片上分別寫(xiě)有數(shù)字1、2、3、4，將卡片背面朝上，洗勻后從中任意抽取1張，將卡片上的數(shù)字作為被減數(shù)；一只不透明的袋子中裝有標(biāo)號(hào)為1、2、3的3個(gè)小球，這些球除標(biāo)號(hào)外都相同，攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，將摸到的球的標(biāo)號(hào)作為減數(shù).（1）求這兩個(gè)數(shù)的差為0的概率；（2）游戲規(guī)則規(guī)定：當(dāng)抽到的這兩個(gè)數(shù)的差為非負(fù)數(shù)時(shí)，甲獲勝；否則，乙獲勝.這樣的規(guī)則公平嗎？如果不公平，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)公平的規(guī)則，并說(shuō)明理由.【答案】（1）（兩個(gè)數(shù)的差為0）；（2）游戲不公平，設(shè)計(jì)規(guī)則：當(dāng)抽到的這兩個(gè)數(shù)的差為正數(shù)時(shí)，甲獲勝；否則，乙獲勝，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）利用列表法列舉出所有可能，進(jìn)而求出概率；（2）利用概率公式進(jìn)而得出甲、乙獲勝的概率即可得出答案．【解析】（1）用列表法表示為：被減數(shù)差減數(shù)1234101232-10123-2-101由列表法或樹(shù)狀圖可知：共有12種等可能的結(jié)果，其中“兩個(gè)數(shù)的差為0”的情況有3種，∴（兩個(gè)數(shù)的差為0）；（2）由列表法或樹(shù)狀圖可知：共有12種等可能的結(jié)果，其中“兩個(gè)數(shù)的差為非負(fù)數(shù)”的情況有9種，∴（兩個(gè)數(shù)的差為非負(fù)數(shù)）；其中“兩個(gè)數(shù)的差為負(fù)數(shù)”的情況有3種，∴（兩個(gè)數(shù)的差為負(fù)數(shù)），∴游戲不公平.設(shè)計(jì)規(guī)則：當(dāng)抽到的這兩個(gè)數(shù)的差為正數(shù)時(shí)，甲獲勝；否則，乙獲勝.因?yàn)椋▋蓚€(gè)數(shù)的差為正數(shù)），∴（兩個(gè)數(shù)的差為非正數(shù)）.【點(diǎn)睛】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)參與者取勝的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．2．第二十四屆冬奧會(huì)于2022年2月20日在北京閉幕，北京成為全球首個(gè)既舉辦過(guò)夏季奧運(yùn)會(huì)又舉辦過(guò)冬季奧運(yùn)會(huì)的城市．如圖，是四張關(guān)于冬奧會(huì)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的卡片，卡片的正面分別印有A．“花樣滑冰”、B．“高山滑雪”、C．“單板滑雪大跳臺(tái)”、D．“鋼架雪車(chē)”（這四張卡片除正面圖案外，其余都相同）．將這四張卡片背面朝上，洗勻．(1)從中隨機(jī)抽取一張，抽得的卡片恰好為“花樣滑冰”的概率為；(2)若先從中隨機(jī)抽取一張，記錄這張卡片上圖案的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目后放回，背面朝上，洗勻．再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張，請(qǐng)你用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求這兩次抽取的卡片圖案上是“單板滑雪大跳臺(tái)”和“鋼架雪車(chē)”運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的概率．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由概率公式解答；（2）用列表法表示所有等可能的結(jié)果，再計(jì)算兩次抽取的卡片圖案上是“單板滑雪大跳臺(tái)”和“鋼架雪車(chē)”運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的概率．【解析】（1）從中隨機(jī)抽取一張，抽得的卡片恰好為“花樣滑冰”的概率為，故答案為：；（2）用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：ABCDAAABACADABABBBCBDBCACBCCCDCDADBDCDDD共有16種能可能出現(xiàn)的結(jié)果情況，其中兩次抽取的卡片圖案上是“單板滑雪大跳臺(tái)”和“鋼架雪車(chē)”運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的有2種結(jié)果，所以?xún)纱纬槿〉目ㄆ瑘D案上是“單板滑雪大跳臺(tái)”和“鋼架雪車(chē)”運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查概率的簡(jiǎn)單計(jì)算，準(zhǔn)確用列表法或樹(shù)狀圖表示出事件的所有等可能結(jié)果是解題關(guān)鍵．題型四幾何概率【例4】．某游戲的規(guī)則為：選手蒙眼在一張如圖所示的正方形黑白格子紙（九個(gè)小正方形面積相等）上描一個(gè)點(diǎn)，若所描的點(diǎn)落在黑色區(qū)域，獲得筆記本一個(gè)；若落在白色區(qū)域，獲得鋼筆一支．選手獲得筆記本的概率為（

）.A． B． C． D．【答案】D【解析】試題分析：因?yàn)橐还灿?個(gè)小正方形，其中黑色小正方形有5個(gè)，所以選手獲得筆記本的概率為，故選D.考點(diǎn)：簡(jiǎn)單事件的概率.鞏固訓(xùn)練：1．分別向如圖所示的四個(gè)區(qū)域投擲一個(gè)小球，小球落在陰影部分的概率最小的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合圖形求出各個(gè)陰影部分所占的比例即為小球落在陰影部分的概率，進(jìn)行比較即可．【解析】解：A、小球落在陰影部分的概率為；B、小球落在陰影部分的概率為；C、小球落在陰影部分的概率為；D、小球落在陰影部分的概率為；小球落在陰影部分的概率最小的是A，故選：A．【點(diǎn)睛】題目主要考查概率的基本計(jì)算方法，理解題意，掌握概率的基本計(jì)算方法是解題關(guān)鍵．2．如圖，若隨機(jī)向正方形網(wǎng)格內(nèi)投針，則針尖落在陰影部分的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用割補(bǔ)法求得陰影面積，再根據(jù)幾何概率計(jì)算求值即可；【解析】解：將上邊和左邊的弓形面積補(bǔ)到下邊和右邊可得陰影面積為5×5=25，該圖形總面積為8×8=64，∴針尖落在陰影部分的概率=，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概率：事件的概率可以用部分線段的長(zhǎng)度（部分區(qū)域的面積）和整條線段的長(zhǎng)度（整個(gè)區(qū)域的面積）的比來(lái)表示．題型五概率的應(yīng)用【例5】．在智力競(jìng)答節(jié)目中，某參賽選手答對(duì)最后兩題單選題就能利通關(guān)，兩題均有四個(gè)選項(xiàng)，此選手只能排除第1題的一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)，第2題完全不會(huì)，他還有兩次“求助”機(jī)會(huì)（使用可去掉一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)），為提高通關(guān)概率，他的求助使用策略為（

）A．兩次求助都用在第1題 B．兩次求助都用在第2題C．在第1第2題各用一次求助 D．兩次求助都用在第1題或都用在第2題【答案】D【分析】根據(jù)題意，分類(lèi)討論，列舉或畫(huà)出樹(shù)狀圖列出等可能的情況，根據(jù)概率公式求出每一種情況下的概率，即可判斷．【解析】解：①若兩次求助都用在第1題，假設(shè)D選項(xiàng)是第1題的正確選項(xiàng)，選手可以排除的是A選項(xiàng)，使用兩次求助時(shí)存在三種等可能的情況：第一種：求助排除AB選項(xiàng)，還剩CD兩個(gè)選項(xiàng)，答對(duì)的概率是，第二種：求助排除AC選項(xiàng)，還剩BD兩個(gè)選項(xiàng)，答對(duì)的概率是，第三種：求助排除BC選項(xiàng)，只剩D一個(gè)選項(xiàng)，答對(duì)的概率是1，因此第一題答對(duì)的概率為：，第2題答對(duì)的概率為，故此時(shí)該選手通關(guān)的概率為：；②若在第1第2題各用一次求助，假設(shè)D選項(xiàng)是第1題的正確選項(xiàng)，選手可以排除的是A選項(xiàng)，使用一次求助時(shí)存在三種等可能的情況：第一種：求助排除A選項(xiàng)，還剩BCD三個(gè)選項(xiàng)，答對(duì)的概率是，第二種：求助排除B選項(xiàng)，還剩CD兩個(gè)選項(xiàng)，答對(duì)的概率是，第三種：求助排除C選項(xiàng)，還剩BD兩個(gè)選項(xiàng)，答對(duì)的概率是，因此第一題答對(duì)的概率為：，第2題使用一次求助后，還剩3個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)正確選項(xiàng)，因此答對(duì)的概率為，故此時(shí)該選手通關(guān)的概率為：；③兩次求助都用在第2題，畫(huà)樹(shù)狀圖如下：上層A、B、C表示第一題剩下的三個(gè)選項(xiàng)，下層A、B表示第二題剩下的二個(gè)選項(xiàng)，

共有6種等可能的結(jié)果，其中該選手通關(guān)的可能只有1種，故此時(shí)該選手通關(guān)的概率為：.∵，∴兩次求助都用在第1題或都用在第2題時(shí)，該選手通關(guān)的概率大，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查的是求概率問(wèn)題，掌握畫(huà)樹(shù)狀圖的方法、概率公式和分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想是解決此題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練：1．2018（第七屆）綿陽(yáng)之春國(guó)際車(chē)展將于2018年4月18日-22日在綿陽(yáng)國(guó)際會(huì)展中心盛大舉行．某品牌汽車(chē)為了推廣宣傳，特舉行“趣味答題闖關(guān)贏大獎(jiǎng)”活動(dòng)，參與者需連續(xù)闖過(guò)三關(guān)方能獲得終極大獎(jiǎng)．已知闖過(guò)第一關(guān)的概率為，連續(xù)闖過(guò)兩關(guān)的概率為，連續(xù)闖過(guò)三關(guān)的概率為，已經(jīng)連續(xù)闖過(guò)兩關(guān)的參與者獲得終極大獎(jiǎng)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)已經(jīng)連續(xù)闖過(guò)兩關(guān)并獲得終極大獎(jiǎng)的概率為，由獲得終極大獎(jiǎng)是在連續(xù)闖過(guò)兩關(guān)的基礎(chǔ)上再闖過(guò)第三關(guān)，則存在概率關(guān)系：連續(xù)闖過(guò)兩關(guān)的概率與過(guò)第三關(guān)的概率之積等于連續(xù)闖過(guò)三關(guān)的概率，由此等量關(guān)系可得方程，解方程即可．【解析】設(shè)已經(jīng)連續(xù)闖過(guò)兩關(guān)并獲得終極大獎(jiǎng)的概率為，由題意得，，解得：．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了概率的求法，清楚連續(xù)闖兩關(guān)的概率與過(guò)第三關(guān)的概率之積等于連續(xù)闖三關(guān)的概率是解答本題的關(guān)鍵．2．養(yǎng)魚(yú)池養(yǎng)了同一品種的魚(yú)，要大概了解養(yǎng)魚(yú)池中的魚(yú)的數(shù)量，池塘的主人想出了如下的辦法：“他打撈出80尾魚(yú)，做了標(biāo)記后又放回了池塘，過(guò)了三天，他又撈了一網(wǎng)，發(fā)現(xiàn)撈起的90尾魚(yú)中，帶標(biāo)記的有6尾．”你認(rèn)為池塘主的做法（

）A．有道理，池中大概有1200尾魚(yú) B．無(wú)道理C．有道理，池中大概有7200尾魚(yú) D．有道理，池中大概有1280尾魚(yú)【答案】A【分析】設(shè)池中大概有魚(yú)x尾，然后根據(jù)題意可列方程，進(jìn)而問(wèn)題可求解．【解析】解：設(shè)池中大概有魚(yú)x尾，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解；∴池塘主的做法有道理，池中大概有1200尾魚(yú)；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的應(yīng)用及概率，熟練掌握分式方程的應(yīng)用及概率是解題的關(guān)鍵．題型六頻率與概率的關(guān)系【例6】．下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．隨機(jī)事件的發(fā)生具有偶然性，即使反復(fù)試驗(yàn)也沒(méi)有規(guī)律可循B．隨機(jī)事件的發(fā)生具有規(guī)律性，第一次試驗(yàn)往往代表最后結(jié)果C．試驗(yàn)的次數(shù)越少，頻率的分布越集中，逐漸穩(wěn)定在一個(gè)數(shù)附近D．試驗(yàn)的次數(shù)越多，頻率的分布越集中，逐漸穩(wěn)定在一個(gè)數(shù)附近【答案】D【分析】根據(jù)隨機(jī)事件和利用頻率估計(jì)概率分別對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析，即可得出答案．【解析】A、隨機(jī)事件的發(fā)生具有偶然性，但反復(fù)試驗(yàn)也有規(guī)律可循，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、隨機(jī)事件的發(fā)生具有規(guī)律性，第一次試驗(yàn)不一定代表最后結(jié)果，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、試驗(yàn)的次數(shù)越少，頻率的分布越不集中，不一定穩(wěn)定在一個(gè)數(shù)附近，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、試驗(yàn)的次數(shù)越多，頻率的分布越集中，逐漸穩(wěn)定在一個(gè)數(shù)附近，故本選項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了隨機(jī)事件和利用頻率估計(jì)概率，熟練掌握在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近．鞏固訓(xùn)練：1．投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣次，正面向上次，下列表達(dá)正確的是（）A．的值一定是 B．的值一定不是C．越大，的值越接近 D．隨著的增加，的值會(huì)在附近擺動(dòng)，呈現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性【答案】D【分析】根據(jù)頻率與概率的關(guān)系以及隨機(jī)事件的定義判斷即可．【解析】解：投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣正面向上的概率是，而投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣正面向上是隨機(jī)事件，是它的頻率，隨著的增加，的值會(huì)在附近擺動(dòng)，呈現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)隨機(jī)事件的理解以及頻率與概率的聯(lián)系與區(qū)別．解題的關(guān)鍵是理解隨機(jī)事件是有可能發(fā)生的事件．2．從一定高度拋一個(gè)瓶蓋1000次，落地后蓋面朝下的有550次，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．蓋面朝下的頻數(shù)為550 B．該試驗(yàn)總次數(shù)是1000C．蓋面朝下的頻率為0.55 D．蓋面朝下的概率為0.5【答案】D【分析】根據(jù)頻數(shù)、頻率及用頻率估計(jì)概率解答即可．【解析】解：A、蓋面朝下的頻數(shù)是550，此選項(xiàng)正確；B、該試驗(yàn)總次數(shù)是1000，此選項(xiàng)正確；C、蓋面朝下的頻率是，此選項(xiàng)正確；D、1000次試驗(yàn)的蓋面朝下的頻率為0.55，則蓋面朝下概率約為0.55，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率的知識(shí)，解答此題關(guān)鍵是用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來(lái)越精確．3．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的硬幣m次，正面向上n次，則的值（

）A．一定是 B．隨著m的增大，在附近擺動(dòng)，呈現(xiàn)一定的穩(wěn)定性C．一定不是 D．隨著m的增大，越來(lái)越接近【答案】B【分析】利用頻率估計(jì)概率求解即可．【解析】解：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣m次，正面向上n次，則的值隨著m的增大，在附近擺動(dòng)，呈現(xiàn)一定的穩(wěn)定性，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率.4．在做拋硬幣試驗(yàn)時(shí)，拋擲n次，若正面向上的次數(shù)為m次，則記正面向上的頻率．下列說(shuō)法正確的是（）A．P一定等于 B．P一定不等于C．多拋一次，P更接近 D．隨著拋擲次數(shù)的逐漸增加，P穩(wěn)定在附近【答案】D【分析】根據(jù)頻率與概率的關(guān)系作答．【解析】解：硬幣只有正反兩面，投擲時(shí)正面朝上的概率為根據(jù)頻率與概率的關(guān)系可知投擲次數(shù)逐漸增加，穩(wěn)定在附近故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率.大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是事件的概率．題型七用頻率估計(jì)概率【例7】．在一個(gè)不透明的盒子中裝有紅球、白球、黑球共40個(gè)，這些球除顏色外無(wú)其他差別，在看不見(jiàn)球的條件下，隨機(jī)從盒子中摸出一個(gè)球記錄顏色后放回．經(jīng)過(guò)多次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在30%左右，則盒子中紅球的個(gè)數(shù)約為（

）A．12 B．15 C．18 D．23【答案】A【分析】由題意可設(shè)盒子中紅球的個(gè)數(shù)x，則盒子中球的總個(gè)數(shù)x，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在30%左右，根據(jù)頻率與概率的關(guān)系可得出摸到紅球的概率為30%，再根據(jù)概率的計(jì)算公式計(jì)算即可．【解析】解：設(shè)盒子中紅球的個(gè)數(shù)x，根據(jù)題意，得：解得x=12，所以盒子中紅球的個(gè)數(shù)是12，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用頻率估計(jì)概率以及概率求法的運(yùn)用，利用概率的求法估計(jì)總體個(gè)數(shù)，利用如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P(A)=；頻率與概率的關(guān)系生：一般地，在大量的重復(fù)試驗(yàn)中，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù)p，我們稱(chēng)事件A發(fā)生的概率為p．鞏固訓(xùn)練：1．甲、乙兩名同學(xué)在一次用頻率去估計(jì)概率的實(shí)驗(yàn)中，統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率繪出的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則符合這一結(jié)果的實(shí)驗(yàn)可能是（

）A．?dāng)S一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點(diǎn)的概率B．拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面的概率C．任意寫(xiě)一個(gè)整數(shù)，它能被3整除的概率D．從一個(gè)裝有2個(gè)白球和1個(gè)紅球的袋子中任取一球，取到白球的概率【答案】C【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可知，試驗(yàn)結(jié)果在0.33附近波動(dòng)，即其概率，計(jì)算四個(gè)選項(xiàng)的概率，約為0.33者即為正確答案．【解析】解：A、擲一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點(diǎn)的概率為，故此選項(xiàng)不符合題意；B、擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率為，故此選項(xiàng)不符合題意；C、任意寫(xiě)一個(gè)整數(shù)，它能被3整除的概率為，故此選項(xiàng)符合題意；D、從一個(gè)裝有2個(gè)白球和1個(gè)紅球的袋子中任取一球，取到白球的概率為，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率．用到的知識(shí)點(diǎn)為：頻率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．同時(shí)此題在解答中要用到概率公式．2．如圖是用計(jì)算機(jī)模擬拋擲一枚啤酒瓶蓋試驗(yàn)的結(jié)果，下面有四個(gè)推斷，其中最合理的（）A．當(dāng)投擲次數(shù)是時(shí)，計(jì)算機(jī)記錄“凸面向上”的頻率是，所以“凸面向上”的概率是B．若再次用計(jì)算機(jī)模擬此實(shí)驗(yàn)，則當(dāng)投擲次數(shù)為時(shí)，“凸面向上”的頻率一定是C．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，“凸面向上”的頻率總在附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)“凸面向上”的概率是D．當(dāng)投擲次數(shù)是次以上時(shí)，“凸面向上”的頻率一定是．【答案】C【分析】根據(jù)圖形和各個(gè)小題的說(shuō)法可以判斷是否正確，從而可以解答本題．【解析】解：A、當(dāng)投擲次數(shù)是時(shí)，計(jì)算機(jī)記錄“凸面向上”的頻率是，所以“凸面向上”的頻率是，概率不一定是，故A選項(xiàng)不符合題意；B、若再次用計(jì)算機(jī)模擬此實(shí)驗(yàn)，則當(dāng)投擲次數(shù)為時(shí)，“凸面向上”的頻率不一定是，故B選項(xiàng)不符合題意；C、隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，“凸面向上”的頻率總在附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)“凸面向上”的概率是，故C選項(xiàng)符合題意；D、當(dāng)投擲次數(shù)是次以上時(shí)，“凸面向上”的頻率不一定是，故D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，解答本題的關(guān)鍵是明確概率的定義，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．3．某水果超市為了吸引顧客來(lái)店購(gòu)物，設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)，開(kāi)展有獎(jiǎng)購(gòu)物活動(dòng)．顧客購(gòu)買(mǎi)商品滿元就能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的機(jī)會(huì)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止時(shí)，指針落在“一袋蘋(píng)果”的區(qū)域就可以獲“一袋蘋(píng)果”的獎(jiǎng)品；指針落在“一盒櫻桃”的區(qū)域就可以獲得“一盒櫻桃”的獎(jiǎng)品．下表是該活動(dòng)的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的次數(shù)落在“一袋蘋(píng)果”區(qū)域的次數(shù)落在“一袋蘋(píng)果”區(qū)域的頻率下列說(shuō)法不正確的是（

）A．當(dāng)很大時(shí)，估計(jì)指針落在“一袋蘋(píng)果”區(qū)域的頻率大約是B．轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)次，一定有次獲得“一盒櫻桃”C．如果轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)次，指針落在“一盒櫻桃”區(qū)域的次數(shù)大約有次D．假如你去轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)一次，獲得“一袋蘋(píng)果”的概率大約是【答案】B【分析】根據(jù)圖表可求得指針落在“一袋蘋(píng)果”區(qū)域的概率，另外概率是多次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，因此不能說(shuō)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)10次，一定有3次獲得“一盒櫻桃”．【解析】解：A、頻率穩(wěn)定在0.7左右，故用頻率估計(jì)概率，指針落在“一袋蘋(píng)果”區(qū)域的頻率大約是0.70，故A選項(xiàng)不符合題意；B、隨機(jī)事件，結(jié)果不確定，故B選項(xiàng)符合題意；C、指針落在“一盒櫻桃”區(qū)域的概率為0.30，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)2000次，指針落在“一盒櫻桃”區(qū)域的次數(shù)大約有2000×0.3=600次，故C選項(xiàng)不符合題意；D、轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)一次，獲得“一袋蘋(píng)果”的概率大約是0.70，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題要理解用面積法求概率的方法，注意概率是多次實(shí)驗(yàn)得到的一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的值．4．2022年3月12日是我國(guó)第44個(gè)植樹(shù)節(jié)，某林業(yè)部門(mén)為了考察某種幼樹(shù)在一定條件下的移植成活率，在同等條件下，對(duì)這種幼樹(shù)進(jìn)行大量移植，并統(tǒng)計(jì)成活情況，下表是這種幼樹(shù)移植過(guò)程中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：幼樹(shù)移植數(shù)（棵）100100050008000100001500020000幼樹(shù)移植成活數(shù)（棵）________8934485722489831344318044幼樹(shù)移植成活的頻率0.8700.8930.897________0.8980.8960.902(1)請(qǐng)你幫助計(jì)算并填寫(xiě)好表格中所缺數(shù)據(jù)，估計(jì)該種幼樹(shù)在此條件下移植成活的概率是________；（結(jié)果精確到0.1）(2)若某林業(yè)部門(mén)今年在該地區(qū)共移植這種幼樹(shù)10萬(wàn)棵，則該地區(qū)成活約________棵這種幼樹(shù)．【答案】(1)87，0.903，0.9(2)9萬(wàn)【分析】（1）大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率；（2）用（1）中的概率乘以總數(shù)即可．【解析】（1）解：，，幼樹(shù)移植數(shù)20000棵時(shí)，成活的頻率為0.902，估計(jì)幼樹(shù)移植成活的概率為0.902，精確到0.1，即為0.9．故答案為：87，0.903，0.9．（2）由（1）可知，這批幼樹(shù)的成活率約為0.9，（棵）．故答案為：9萬(wàn)．【點(diǎn)睛】本題考查了用大量試驗(yàn)得到的頻率來(lái)估計(jì)事件的概率，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即為概率．5．在一個(gè)不透明的口袋里裝有若干個(gè)相同的紅球，為了估計(jì)袋中紅球的數(shù)量，七年級(jí)（2）班學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室分組做摸球試驗(yàn)：每組先將10個(gè)與紅球大小、形狀完全相同的白球裝入袋中，攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球并記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)，下面是全班各小組的匯總數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表：摸球次數(shù)15030060090012001500摸到白球的頻數(shù)63123247365484603摸到白球的頻率(1)表中的________；(2)請(qǐng)估計(jì)當(dāng)摸球次數(shù)s很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近________（精確到）(3)試估算摸到紅球的概率是________（精確到）(4)試估算這個(gè)不透明的口袋中紅球的個(gè)數(shù)．【答案】(1)(2)(3)(4)這個(gè)不透明的口袋中紅球有15個(gè)【分析】（1）根據(jù)題目表中的數(shù)據(jù)，直接計(jì)算摸到白球的頻率即可得到答案；（2）從表中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，摸到白球的頻率穩(wěn)定在左右；（3）先利用頻率估計(jì)概率可得摸到白球的概率，再利用1減去摸到白球的概率即可得；（4）根據(jù)紅球的概率公式得到相應(yīng)方程求解即可．【解析】（1）解：由表中數(shù)據(jù)可知摸到白球的頻率；故答案為：；（2）解：由表格中計(jì)算的頻率過(guò)程可知，當(dāng)摸球次數(shù)s很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近；故答案為：；（3）解：由題意得：摸到白球的概率為，則摸到紅球的概率是，故答案為：；（4）解：設(shè)紅球的個(gè)數(shù)為x，根據(jù)題意，得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，答：這個(gè)不透明的口袋中紅球有15個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率估計(jì)概率，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，組成整體的幾部分的概率之和為1．題型八概率在統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用【例8】．為了解國(guó)家“雙減”政策的落實(shí)情況，我市某校隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生在家完成作業(yè)的時(shí)間，按時(shí)間長(zhǎng)短劃分為，，，四個(gè)等級(jí)，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)圖中所給信息解答下列問(wèn)題：

(1)扇形統(tǒng)計(jì)圖中________，________；(2)求等級(jí)所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)，并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；(3)為更好地落實(shí)國(guó)家“雙減”政策，從等級(jí)的甲、乙、丙、丁4名學(xué)生中，隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加“雙減”座談，請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求恰好抽到甲和丙兩人的概率．【答案】(1)10；5(2)，圖見(jiàn)解析(3)【分析】（1）由C等級(jí)的人數(shù)及其所占百分比可得總?cè)藬?shù)，分別用A、D等級(jí)人數(shù)除以總?cè)藬?shù)即可求解；（2）總?cè)藬?shù)減去A、C、D等級(jí)的人數(shù)求得B等級(jí)的人數(shù)，據(jù)此補(bǔ)全圖形，用B等級(jí)的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)求出B等級(jí)人數(shù)所占百分比，最后用乘以B等級(jí)人數(shù)所占百分比即可；（3）畫(huà)樹(shù)狀圖列出所有等可能結(jié)果，再利用概率公式計(jì)算可得．【解析】（1）解：本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)為（人）．等級(jí)所占的百分比為，等級(jí)所占的百分比為，故答案為：10；5；（2）等級(jí)的人數(shù)為，∴等級(jí)所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為，條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：

（3）畫(huà)樹(shù)狀圖為：

共有12種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，其中恰好抽到甲和丙兩人的結(jié)果有2種，∴（抽到甲和丙兩人），∴恰好抽到甲和丙兩人的概率為．【點(diǎn)睛】本題主要考查條形統(tǒng)計(jì)圖以及列表法與樹(shù)狀圖法．條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù)，熟知各項(xiàng)目數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)之和等于總數(shù)．當(dāng)有兩個(gè)元素時(shí)，可用樹(shù)形圖列舉，也可以列表列舉．鞏固訓(xùn)練：1．某校為了解學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行抽樣調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果整理后繪制了以下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表（如下圖所示）．學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)情況統(tǒng)計(jì)表平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)x/min人數(shù)學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)情況扇形統(tǒng)計(jì)圖

根據(jù)以上提供的信息，解答下列問(wèn)題：(1)本次調(diào)查共抽取了______名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)表中______．(2)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)．(3)若全校共有名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“”的學(xué)生人數(shù)，(4)該校某同學(xué)從《朝花夕拾》《紅巖》《駱駝祥子》《西游記》四本書(shū)中選擇兩本進(jìn)行閱讀，這四本書(shū)分別用相同的卡片，，，標(biāo)記，先隨機(jī)抽取一張卡片后不放回，再隨機(jī)抽取一張卡片，請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法，求該同學(xué)恰好抽到《朝花夕拾》和《西游記》的概率．【答案】(1)100，30(2)(3)名(4)【分析】（1）將組的人數(shù)除以其百分比即可求出抽取的人數(shù)；將抽取的人數(shù)乘以組的百分比即可求出的值；（2）將組的人數(shù)除以抽取的人數(shù)，再乘以即可求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)；（3）將組的人數(shù)除以抽取的人數(shù)，再乘以即可估計(jì)平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“”的學(xué)生人數(shù)；（4）用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法列舉出所有等可能的結(jié)果，從中找出恰好抽到《朝花夕拾》和《西游記》的結(jié)果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．【解析】（1）解：∵組的人數(shù)為，占比為，且，∴本次調(diào)查共抽取了名學(xué)生；∵組占比，，∴，故答案為：，．（2）解：∵樣本中平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“”有名，且，∴扇形統(tǒng)計(jì)圖中學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為．（3）解：∵樣本中平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“”的學(xué)生人數(shù)為人，且（名），∴估計(jì)平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“”的學(xué)生人數(shù)為名．（4）解：《朝花夕拾》《紅巖》《駱駝祥子》《西游記》這四本書(shū)分別用相同的卡片，，，標(biāo)記，畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

一共有種等可能的情況，其中恰好抽到《朝花夕拾》即和《西游記》即有種可能的情況，∴．【點(diǎn)睛】本題考查扇形統(tǒng)計(jì)圖，用樣本估計(jì)總體，用列表法和畫(huà)樹(shù)狀圖法求等可能事件的概率，能從統(tǒng)計(jì)圖表中獲取有用信息，掌握用列表法和畫(huà)樹(shù)狀圖法求等可能事件的概率的方法是解題的關(guān)鍵．2．自從2021年7月國(guó)家出臺(tái)“雙減”政策以來(lái)，全國(guó)各地紛紛響應(yīng)落實(shí)該政策．某學(xué)校在課后托管時(shí)間里開(kāi)展了“音樂(lè)、體育、演講、美術(shù)”四項(xiàng)社團(tuán)活動(dòng)，學(xué)校從全校1200名學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行“你最喜歡哪一種社團(tuán)活動(dòng)”的問(wèn)卷調(diào)查每人必選且只選一種，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題：(1)參加調(diào)查的學(xué)生共有______人；條形統(tǒng)計(jì)圖中m的值為_(kāi)_____；扇形統(tǒng)計(jì)圖中的度數(shù)為_(kāi)_____；(2)根據(jù)調(diào)查結(jié)果，請(qǐng)估計(jì)該校1200名學(xué)生中最喜歡“音樂(lè)”社團(tuán)的約有多少人；(3)現(xiàn)從“演講”社團(tuán)里表現(xiàn)優(yōu)秀的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中隨機(jī)選取兩名參加演講比賽，請(qǐng)求出恰好選中甲和乙兩名同學(xué)的概率．【答案】(1)60，11，(2)(3)【分析】（1）利用即可求出參加問(wèn)卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)．根據(jù)，即可得出答案；（2）用該校總?cè)藬?shù)乘以樣本中最喜歡“音樂(lè)”社團(tuán)的占比即可．（3）畫(huà)樹(shù)狀圖列出所有等可能的結(jié)果，再找出恰好選中甲、乙兩名同學(xué)的結(jié)果，利用概率公式可得出答案．【解析】（1）人，，，故答案為：60，11，；（2）（人），參加調(diào)查的學(xué)生共有60人；條形統(tǒng)計(jì)圖中m的值為11；扇形統(tǒng)計(jì)圖中的度數(shù)為；根據(jù)調(diào)查結(jié)果，可估計(jì)該校1200名學(xué)生中最喜歡“音樂(lè)”社團(tuán)的約有200人；故答案為：（3）畫(huà)樹(shù)狀圖如圖：共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好選中甲、乙兩名同學(xué)的結(jié)果有2種，恰好選中甲、乙兩名同學(xué)的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體、列表法與樹(shù)狀圖法，熟練掌握條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體以及列表法與樹(shù)狀圖法求概率是解答本題的關(guān)鍵．3．為培養(yǎng)學(xué)生熱愛(ài)美，發(fā)現(xiàn)美的藝術(shù)素養(yǎng)，我校開(kāi)展了藝術(shù)選修課．學(xué)生根據(jù)自己的喜好選擇一門(mén)藝術(shù)項(xiàng)目：A書(shū)畫(huà)，B攝影，C泥塑，D紙藝．張老師隨機(jī)對(duì)該校部分學(xué)生的選課情況進(jìn)行調(diào)查后，制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．

根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表提供的信息，解答下列問(wèn)題：(1)張老師調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是_____，其中選擇“泥塑”選修課在的扇形統(tǒng)計(jì)圖中圓心角的度數(shù)為_(kāi)____；(2)若該校學(xué)生共有900人，請(qǐng)估計(jì)全校選修“攝影”的學(xué)生人數(shù)；(3)現(xiàn)有4名學(xué)生，其中2人選修書(shū)畫(huà)，1人選修攝影，1人選修泥塑，張老師要從這4人中任選2人了解情況，請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表的方法，求所選2人都是選修書(shū)畫(huà)的概率．【答案】(1)72，(2)200人(3)【分析】（1）根據(jù)喜歡B，C，D的人數(shù)及所占比例即可求出調(diào)查的學(xué)生總數(shù)，選擇“泥塑”的人數(shù)與總?cè)藬?shù)之比乘以360度即為對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)；（2）該校學(xué)生總數(shù)乘以選修“攝影”的學(xué)生人數(shù)所占比例即可求解；（3）畫(huà)樹(shù)狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，找出符合條件的結(jié)果數(shù)，再由概率公式計(jì)算即可．【解析】（1）解：張老師調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為：（人），選擇“泥塑”選修課在的扇形統(tǒng)計(jì)圖中圓心角的度數(shù)為：，故答案為：72，；（2）解：（人），答：估計(jì)全校選修“攝影”的學(xué)生人數(shù)為200人；（3）解：把選修書(shū)畫(huà)的2人記為A，B，選修攝影的1人記為C，選修泥塑的1人記為D，畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

共有12種等可能的結(jié)果，其中所選2人都是選修書(shū)畫(huà)的結(jié)果有2種，因此所選2人都是選修書(shū)畫(huà)的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、利用樣本估計(jì)總體、列表或畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率等，解題的關(guān)鍵是將條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖中的信息進(jìn)行關(guān)聯(lián)．4．春節(jié)期間，根據(jù)國(guó)乒故事改編的《中國(guó)乒乓之絕地反擊》展現(xiàn)了面對(duì)困境，中國(guó)男乒如何走出低谷的勵(lì)志故事．在此精神的鼓舞下，某中學(xué)準(zhǔn)備組織一場(chǎng)乒乓球友誼賽．為了了解本校學(xué)生對(duì)乒乓球技巧的掌握情況，中國(guó)乒乓先從七年級(jí)和八年級(jí)學(xué)生中各隨機(jī)抽取10人進(jìn)行測(cè)試，滿分100分，成績(jī)分析過(guò)程如下：Ⅰ收集數(shù)據(jù)：測(cè)試成績(jī)?nèi)缦拢浩吣昙?jí)：84、65、80、100、80、95、73、78、80、80八年級(jí)：85、100、75、60、85、100、95、60、85、70Ⅱ整理、描述數(shù)據(jù)：七年級(jí)12a2八年級(jí)223b分析數(shù)據(jù)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)七年級(jí)81.5c80八年級(jí)81.585d根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：(1)______；______；______；______；(2)請(qǐng)對(duì)七、八年級(jí)各抽取的10名同學(xué)的競(jìng)賽成績(jī)作出評(píng)價(jià)（“眾數(shù)”“中位數(shù)”或“平均數(shù)”中的一個(gè)方面評(píng)價(jià)即可）．(3)從以上20名學(xué)生中選出成績(jī)最好的5人，隨機(jī)抽取2名學(xué)生作展示，請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法