人教版七年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三專題5.11相交線與平行線章末八大題型總結(jié)(拔尖篇)(學(xué)生版+解析)

專題5.11相交線與平行線章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1平行線在三角板中的運用】 1【題型2平行線在折疊中的運用】 3【題型3旋轉(zhuǎn)使平行】 4【題型4利用平行線求角度之間的關(guān)系】 5【題型5利用平行線解決角度定值問題】 8【題型6平行線的閱讀理解類問題】 10【題型7平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】 12【題型8平行線與動點的綜合應(yīng)用】 13【題型1平行線在三角板中的運用】【例1】（2023下·浙江溫州·七年級?？计谥校⒁桓敝苯侨前迦鐖D1，擺放在直線MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC=90°，∠DEC=60°，∠ABC=90°，∠BAC=45°），保持三角板EDC不動，將三角板ABC繞點C以每秒5°的速度，順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為t秒，當AC與射線CN重合時停止旋轉(zhuǎn)．

(1)如圖2，當AC為∠DCE的角平分線時，直接寫出此時t的值；(2)當AC旋轉(zhuǎn)至∠DCE的內(nèi)部時，求∠DCA與∠ECB的數(shù)量關(guān)系．(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，當三角板ABC的其中一邊與ED平行時，請直接寫出此時t的值．【變式1-1】（2023下·河南安陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，將一副三角板中的兩個直角頂點C疊放在一起，其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°．(1)觀察猜想，∠BCD與∠ACE的數(shù)量關(guān)系是________；∠BCE與∠ACD的數(shù)量關(guān)系是________；(2)類比探究，若按住三角板ABC不動，順時針繞直角頂點C轉(zhuǎn)動三角形DCE，試探究當∠ACD等于多少度時CE//AB，畫出圖形并簡要說明理由；(3)拓展應(yīng)用，若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度數(shù)；并直接寫出此時DE與AC的位置關(guān)系．【變式1-2】（2023上·湖南長沙·七年級?？计谀┤鐖D，兩個形狀，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如圖放置，PA、PB與直線MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)．（1）①如圖1，∠DPC＝度．②我們規(guī)定，如果兩個三角形只要有一組邊平行，我們就稱這兩個三角形為“孿生三角形”，如圖1，三角板BPD不動，三角板PAC從圖示位置開始每秒10°逆時針旋轉(zhuǎn)一周（0°<旋轉(zhuǎn)<360°），問旋轉(zhuǎn)時間t為多少時，這兩個三角形是“孿生三角形”．（2）如圖3，若三角板PAC的邊PA從PN處開始繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速3°/秒，同時三角板PBD的邊PB從PM處開始繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速2°/秒，在兩個三角板旋轉(zhuǎn)過程中，（PC轉(zhuǎn)到與PM重合時，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動）．設(shè)兩個三角板旋轉(zhuǎn)時間為t秒，以下兩個結(jié)論：①∠CPD∠BPN為定值；②∠BPN+∠CPD【變式1-3】（2023上·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，將三角板ABC與三角板ADE擺放在一起，其中∠ACB=30°，∠DAE=45°，∠BAC=∠D=90°，固定三角板ABC，將三角板ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當點E落在射線AC的反向延長線上時，即停止旋轉(zhuǎn)．(1)如圖2，當邊AC落在∠DAE內(nèi)，①∠CAD與∠BAE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？試說明理由；②過點A作射線AF，AG，若∠CAF=13∠CAD，∠BAG=(2)設(shè)△ADE的旋轉(zhuǎn)速度為3°/秒，旋轉(zhuǎn)時間為t，若它的一邊與△ABC的某一邊平行（不含重合情況），試寫出所有符合條件的t的值．【題型2平行線在折疊中的運用】【例2】（2023下·浙江溫州·七年級校聯(lián)考期中）如圖，已知長方形紙片ABCD，點E和點F分別在邊AD和BC上，且∠EFC=37°，點H和點G分別是邊AD和BC上的動點，現(xiàn)將點A，B，C，D分別沿EF，GH折疊至點N，M，P，K，若MN∥PK，則∠KHD的度數(shù)為（）A．37°或143° B．74°或96° C．37°或105° D．74°或106°【變式2-1】（2023下·福建寧德·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將一條長方形彩帶ABCD進行兩次折疊，先沿折痕MN向上折疊，再沿折痕AM向背面折疊，若要使兩次折疊后彩帶的夾角∠2=26°，則第一次折疊時∠1應(yīng)等于°．

【變式2-2】（2023下·浙江溫州·七年級溫州市第十二中學(xué)校聯(lián)考期中）已知M，N分別是長方形紙條ABCD邊AB，CD上兩點（AM>DN），如圖1所示，沿M，N所在直線進行第一次折疊，點A，D的對應(yīng)點分別為點E，F(xiàn)，EM交CD于點P；如圖2所示，繼續(xù)沿PM進行第二次折疊，點B，C的對應(yīng)點分別為點G，H，若∠1=∠2，則∠CPM的度數(shù)為（

）

A．74° B．72° C．70° D．68°【變式2-3】（2023下·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知四邊形紙片ABCD的邊AB∥CD，E是邊CD上任意一點，△BCE沿BE折疊，點C落在點

(1)觀察發(fā)現(xiàn)：如圖①所示：∠C=60°，∠FED=45°，則∠ABF=______．(2)拓展探究：如圖②，點F落在四邊形ABCD的內(nèi)部，探究∠FED，∠ABF，∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)遷移應(yīng)用：如圖③，點F落在邊CD的上方，則（2）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明：若不成立，請寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明．【題型3旋轉(zhuǎn)使平行】【例3】（2023下·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）在一次課外活動中，小明將一副直角三角板如圖放置，E在AC上，，，．小明將ADE從圖中位置開始，繞點按每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，第秒時，邊與邊平行．【變式3-1】（2023下·河北唐山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，分別將木條a，b與固定的木條c釘在一起，，，順時針轉(zhuǎn)動木條a，下列選項能使木條a與b平行的是（

）

A．旋轉(zhuǎn)30° B．旋轉(zhuǎn)50° C．旋轉(zhuǎn)80° D．旋轉(zhuǎn)130°【變式3-2】（2023下·安徽六安·七年級統(tǒng)考期末）兩塊不同的三角板按如圖1所示擺放，邊與邊重合，，接著如圖2保持三角板不動，將三角板繞著點（點不動）按順時針（如圖標示方向）旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，逐漸增大，當?shù)谝淮蔚扔跁r，停止旋轉(zhuǎn)，在此旋轉(zhuǎn)過程中，時，三角板有一條邊與三角板的一條邊恰好平行．

【變式3-3】（2023下·河北唐山·七年級統(tǒng)考期中）如圖（1），在三角形ABC中，，BC邊繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周回到原來的位置．在旋轉(zhuǎn)的過程中（圖（2），使，則（）A． B． C．或 D．或【題型4利用平行線求角度之間的關(guān)系】【例4】（2023下·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）點A，C，E在直線l上，點B不在直線l上，把線段AB沿直線l向右平移得到線段CD．（1）如圖1，若點E在線段AC上，求證：∠B+∠D=∠BED；（2）若點E不在線段AC上，試猜想并證明∠B，∠D，∠BED之間的等量關(guān)系；（3）在（1）的條件下，如圖2所示，過點B作PB//ED，在直線BP，ED之間有點M，使得∠ABE=∠EBM，∠CDE=∠EDM，同時點F使得∠ABE=n∠EBF，∠CDE=n∠EDF，其中n≥1，設(shè)∠BMD=m，利用（1)中的結(jié)論求∠BFD的度數(shù)（用含m，n的代數(shù)式表示）．【變式4-1】（2023下·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）甲同學(xué)在學(xué)完《相交線與平行線》后，想通過折鐵絲的方式進一步探索相交線與平行線的知識，他的具體操作步驟如下：第一步：將一根鐵絲AB在C，D，E處彎折得到如下圖①的形狀，其中AC∥DE，第二步：將DE繞點D旋轉(zhuǎn)一定角度，再將BE繞點E旋轉(zhuǎn)一定角度并在BE上某點F處彎折，得到如下圖②的形狀．第三步：再拿出另外一根鐵絲彎折成∠G，跟前面彎折的鐵絲疊放成如下圖③的形狀．請根據(jù)上面的操作步驟，解答下列問題：(1)如圖①，若∠C=2∠D，求∠E；(2)如圖②，若AC∥BF，請判斷∠C，∠D，∠E，(3)在（2）的條件下，如圖③，若∠ACD=3∠DCG，∠DEF=3∠DEG，設(shè)∠D=x，∠F=y，求∠G．（用含x，y的式子表示）【變式4-2】（2023下·安徽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線m∥n，Rt△ABC中∠ACB=90°，Rt△ABC的邊AC、AB與直線m相交于D、E兩點，邊

(1)將Rt△ABC如圖1位置擺放，如果∠ADE=46°，則∠CFG=______；(2)將Rt△ABC如圖2位置擺放，H為AC上一點，∠HFG+∠CFG=180°，請寫出∠HFG與∠ADE(3)將Rt△ABC如圖3位置擺放，若∠EDC=140°，延長AC交直線n于點K，點P是射線EG上一動點，探究∠PDK，∠DPK【變式4-3】（2023下·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）【問題情境】如圖1，AB∥CD，直線EG交AB于點H，交CD于點G，點F在直線AB上．直接寫出∠E,∠EFH,∠EGD之間的數(shù)量關(guān)系為

【實踐運用】如圖2，AB∥CD，直線EG交AB于點H，交CD于點G，點F在直線AB上．FT平分∠EFH，GM平分∠EGC，若∠E=40°，求

【拓廣探索】如圖3，AB∥CD，直線EG交AB于點H，交CD于點G，點P為平面內(nèi)不在直線AB，CD，EG上的一點，若∠BHP=x，∠DGP=y，則∠HPG=（直接寫出答案，用x，

【題型5利用平行線解決角度定值問題】【例5】（2023下·河南商丘·七年級統(tǒng)考期末）已知AB∥CD，P是截線MN上的一點，MN與CD，AB分別交于E，

(1)如圖（1），P在AB、CD之間，若∠EFB=50°，∠EDP=35°，求∠MPD的度數(shù)；(2)如圖（1），當點P在線段EF上運動時，∠CDP與∠ABP的平分線交于Q，則∠Q∠DPB(3)如圖（2），當點P在線段FE的延長線上運動時，∠CDP與∠ABP的平分線交于Q，∠Q∠DPB【變式5-1】（2023下·福建龍巖·七年級?？茧A段練習）如圖1，點A、D分別在射線BM、CN線上，BM∥CN，BM⊥BC于點B，AE平分∠BAD交BC于點E，連接DE，∠1+∠2=90°．

(1)求證：AE⊥ED；(2)求證：DE平分∠ADC；(3)如圖2，∠EAM和∠EDN的平分線交于點F，試猜想∠F的值是否為定值，若是，請予以證明；若不是，請說明理由．【變式5-2】（2023下·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，已知∠EFH=90°，點A，C分別在射線FE和FH上，在∠EFH內(nèi)部作射線AB，CD，使AB平行于CD．(1)如圖1，若FAB=150°，求∠HCD的度數(shù)；(2)小穎發(fā)現(xiàn)，在∠EFH內(nèi)部，無論FAB如何變化，∠FAB?∠HCD的值始終為定值，請你結(jié)合圖2求出這一定值；(3)①如圖3，把圖1中的∠EFH=90°改為∠EFH=120°，其他條件不變，請直接寫出∠FAB與∠HCD之間的數(shù)量關(guān)系；②如圖4，已知∠EFG+∠FGC=α，點A，C分別在射線FE，GH上，在∠EFG與∠FGH內(nèi)部作射線AB，CD，使AB平行于CD，請直接寫出∠FAB與∠HCD之間的數(shù)量關(guān)系．【變式5-3】（2023下·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，已知直線l1∥l2，點A、B在直線l1上，點C、D在l2上，線段AD交線段(1)求證：∠ABE+∠EDC=60°；(2)如圖2，當F、G分別在線段AE、EC上，且∠ABF=2∠FBE，∠EDG=2∠GDC，標記∠BFE為∠1，∠BGD為∠2．①若∠1?∠2=16°，求∠ADC的度數(shù)；②當k=________時，k∠1+∠2為定值，此時定值為________．【題型6平行線的閱讀理解類問題】【例6】（2023下·江蘇泰州·七年級泰州市海軍中學(xué)?？茧A段練習）【注重閱讀理解】閱讀以下材料：已知點B，D分別在AK和CF上，且CF∥(1)如圖1，若∠CDE=22°，∠DEB=75°，則∠ABE的度數(shù)為______；(2)如圖2，BG平分∠ABE，GB延長線與∠EDF的平分線交于H點，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度數(shù)．(3)保持（2）中所求的∠DEB的度數(shù)不變，如圖3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，則【變式6-1】（2023下·湖北孝感·七年級統(tǒng)考期末）[課題學(xué)習]：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能．

[閱讀理解]：如圖1，已知點A是BC外一點，連接AB，AC，求∠BAC+∠B+∠C的度數(shù)．（1）閱讀并補充下面推理過程．解：過點A作ED∥BC，所以∠B=_________，又因為∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°所以∠B+∠BAC+∠C=180°．[解題反思]：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將∠BAC，∠B，∠C“湊”在一起，得到角的關(guān)系，使問題得到解決．[方法運用]：（2）如圖2，已知AB∥ED，求[深化拓展]：（3）已知AB∥CD，點C在D的右側(cè)，∠ADC=70°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直線交于點E，點E在AB與①如圖3，若∠ABC=60°，則∠BED=__________°；②如圖4，點B在點A的右側(cè)，若∠ABC=n°，則∠BED=________°．（用含n的代數(shù)式表示）【變式6-2】（2023下·山東煙臺·六年級統(tǒng)考期末）課題學(xué)習：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能．(1)閱讀理解：如圖，已知點A是BC外一點，連接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度數(shù)．閱讀并補充下面推理過程．

解：過點A作ED∥BC，所以∠B=，∠C=又因為∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，所以∠B+∠BAC+∠C=180°．

解題反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將∠BAC、∠B、∠C“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決．(2)方法運用：如圖1，已知AB∥CD，求(3)深化拓展：已知直線AB∥CD，點P為平面內(nèi)一點，連接PA、①如圖2，已知∠A=50°，∠D=140°，請直接寫出∠APD的度數(shù)；②如圖3，請判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【變式6-3】（2023下·河南商丘·七年級永城市實驗中學(xué)?？计谀╅喿x材料：如圖1，若AB//CD，則∠B+∠D=∠BED．理由：如圖，過點E作EF//AB，則∠B=∠BEF．因為AB//CD，所以EF//CD，所以∠D=∠DEF，所以∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D．交流：（1）若將點E移至圖2所示的位置，AB//CD，此時∠B、∠D、∠E之間有什么關(guān)系？請說明理由．探究：（2）在圖3中，AB//CD，∠E+∠G、∠B+∠F+∠D又有何關(guān)系？應(yīng)用：（3）在圖4中，若AB//CD，又得到什么結(jié)論？請直接寫出該結(jié)論．【題型7平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】【例7】（2023下·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期末）如圖1是一盞可折疊臺燈．圖2、圖3是其平面示意圖，支架AB、BC為固定支撐桿，支架OC可繞點C旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)．已知燈體頂角∠DOE=52°，頂角平分線OP始終與OC垂直．

(1)如圖2，當支架OC旋轉(zhuǎn)至水平位置時，OD恰好與BC平行，求支架BC與水平方向的夾角∠θ的度數(shù)；(2)若將圖2中的OC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)15°到如圖3的位置，求此時OD與水平方向的夾角∠OQM的度數(shù)．【變式7-1】（2023下·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）光在不同介質(zhì)中的傳播速度不同，因此當光線從空氣射向水中時，會發(fā)生折射，如圖，在空氣中平行的兩條入射光線，在水中的兩條折射光線也是平行的，若水面和杯底互相平行，且∠1=122°，則∠2=．

【變式7-2】（2023下·七年級單元測試）如圖，某工程隊從A點出發(fā)，沿北偏西67°方向修一條公路AD，在BD路段出現(xiàn)塌陷區(qū)，就改變方向，在B點沿北偏東23°的方向繼續(xù)修建BC段，到達C點又改變方向，使所修路段CE//AB，求∠ECB的度數(shù).【變式7-3】（2023下·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）探照燈、汽車燈等很多燈具的光線都與平行線有關(guān)，如圖所示是一探照燈碗的剖面，從位于O點的燈泡發(fā)出的兩束光線OB，OC，經(jīng)燈碗反射以后平行射出，其中∠ABO=38°，∠DCO=78°，則∠BOC的度數(shù)是°【題型8平行線與動點的綜合應(yīng)用】【例8】（2023下·北京通州·七年級統(tǒng)考期末）已知：直線，點G為直線CD上一定點，點E是直線AB上一動點，連結(jié)EG．在EG的左側(cè)分別作射線EM、GN，兩條射線相交于點F，設(shè)．(1)當，時，如圖1位置所示，求的度數(shù)（用含有的式子表示），并寫出解答過程；(2)當時，過點G作EG的垂線．①請在圖2中補全圖形；②直接寫出直線與直線CD所夾銳角的度數(shù)______（用含有的式子表示）．【變式8-1】（2023下·海南省直轄縣級單位·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，已知直線AMBG，點C為射線BG上一動點，過點C作CDAB交AM于點D，點E在線段AB上，∠DCE＝90°，點F在線段AD上，∠FCG＝90°，點H在線段BC上，∠AHG＝90°，∠ECF＝60°．(1)寫出一個與∠ADC相等的角（寫一個即可）；(2)如圖2，求∠BCD的度數(shù)；(3)若點F是直線AM上的一點，點H是直線BG上的一點，在點C的運動過程中（點C不與點B、H重合），求∠BAF的度數(shù)．【變式8-2】（2023下·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，M，N分別是直線AB，CD上一點，點E在直線AB，CD之間．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，F(xiàn)是EM上一點，NE平分，F(xiàn)H平分，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，P為直線MN上一動點（不與點N重合），過點P作交直線CD于點G，∠PNG的角平分線和∠PGC的角平分線交于點O，則∠O的度數(shù)為______（直接寫出結(jié)果）．【變式8-3】（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱德強學(xué)校校考期中）點在射線上，點、為射線上兩個動點，滿足，，平分．(1)如圖，當點在右側(cè)時，求證：；(2)如圖，當點在左側(cè)時，求證：；(3)如圖，在的條件下，為延長線上一點，平分，交于點，平分，交于點，連接，若，，則的度數(shù)是多少．專題5.11相交線與平行線章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1平行線在三角板中的運用】 1【題型2平行線在折疊中的運用】 15【題型3旋轉(zhuǎn)使平行】 21【題型4利用平行線求角度之間的關(guān)系】 25【題型5利用平行線解決角度定值問題】 36【題型6平行線的閱讀理解類問題】 45【題型7平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】 55【題型8平行線與動點的綜合應(yīng)用】 59【題型1平行線在三角板中的運用】【例1】（2023下·浙江溫州·七年級校考期中）將一副直角三角板如圖1，擺放在直線MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC=90°，∠DEC=60°，∠ABC=90°，∠BAC=45°），保持三角板EDC不動，將三角板ABC繞點C以每秒5°的速度，順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為t秒，當AC與射線CN重合時停止旋轉(zhuǎn)．

(1)如圖2，當AC為∠DCE的角平分線時，直接寫出此時t的值；(2)當AC旋轉(zhuǎn)至∠DCE的內(nèi)部時，求∠DCA與∠ECB的數(shù)量關(guān)系．(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，當三角板ABC的其中一邊與ED平行時，請直接寫出此時t的值．【答案】(1)3(2)∠ECB?∠DCA=15°(3)15或24或33【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義求出∠ACE=12∠DCE=15°（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)得：∠ACE=5t，表示出∠DCA=30°?5t，∠ECB=45°?5t，即可得出∠ECB?∠DCA=15°；（3）分三種情況進行討論，分別畫出圖形，求出t的值即可．【詳解】（1）解：如圖2，∵∠EDC=90°，∠DEC=60°，

∴∠DCE=30°，∵AC平分∠DCE，∴∠ACE=1∴t=15答：此時t的值是3；（2）解：當AC旋轉(zhuǎn)至∠DCE的內(nèi)部時，如圖3；

由旋轉(zhuǎn)得：∠ACE=5t，∴∠DCA=30°?5t，∠ECB=45°?5t，∴∠ECB?∠DCA=45°?5t（3）解：分三種情況：①當AB∥

此時BC與CD重合，t=30+45②當AC∥

∵AC∥∴∠ACD=∠D=90°，∴∠ACE=90°+30°=120°，t=120÷5=24；③當BC∥

∵BC∥DE∴∠BCD=∠CDE=90°∴∠ACD=90°+30°+45°=165°∴t=165÷5=33綜上，t的值是15或24或33．故答案為：15或24或33．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角平分線的計算，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，注意分類討論．【變式1-1】（2023下·河南安陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，將一副三角板中的兩個直角頂點C疊放在一起，其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°．(1)觀察猜想，∠BCD與∠ACE的數(shù)量關(guān)系是________；∠BCE與∠ACD的數(shù)量關(guān)系是________；(2)類比探究，若按住三角板ABC不動，順時針繞直角頂點C轉(zhuǎn)動三角形DCE，試探究當∠ACD等于多少度時CE//AB，畫出圖形并簡要說明理由；(3)拓展應(yīng)用，若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度數(shù)；并直接寫出此時DE與AC的位置關(guān)系．【答案】(1)∠BCD=∠ACE，∠BCE+∠ACD=180°(2)當∠ACD=60°或120°時，CE//AB(3)∠ACD=45°，AC⊥DE或AC//DE【分析】（1）由三角板的特點可知∠ACB=∠DCE=90°，即可求出∠BCD=∠ACE．再根據(jù)∠BCE=∠ACB+∠ACE，∠ACD=∠DCE?∠ACE，即可求出∠BCE+∠ACD=180°；（2）分類討論結(jié)合平行線的性質(zhì)即可求解；（3）由（1）∠BCE+∠ACD=180°，即可求出∠ACD=45°，再分類討論結(jié)合平行線的判定和性質(zhì)即可得出DE與AC的位置關(guān)系．【詳解】（1）∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB?∠ACD=∠DCE?∠ACD，即∠BCD=∠ACE．∵∠BCE=∠ACB+∠ACE，∠ACD=∠DCE?∠ACE，∴∠BCE+∠ACD=∠ACB+∠DCE=90°+90°=180°．故答案為：∠BCD=∠ACE，∠BCE+∠ACD=180°；（2）分類討論：①如圖1所示，∵CE//AB，∴∠ACE=∠BAC=30°，∴∠ACD=∠DCE?∠ACE=90°?30°=60°；②如圖2所示，∵CE//AB，∴∠BCE=∠B=60°，∴∠ACD=360°?∠ACB?∠DCE?∠BCE=360°?90°?90°?60°=120°．綜上可知當∠ACD=60°或120°時，CE//AB；（3）根據(jù)（1）可知∠BCE+∠ACD=180°，∴3∠ACD+∠ACD=180°，∴∠ACD=45°．分類討論：①如圖3所示，∵∠ACD=45°，∴∠BCD=45°=∠CDE，∴BC//DE．∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，∴AC⊥DE；②如圖4所示，∵∠ACD=45°，∴∠ACD=45°=∠CDE，∴AC//DE．【點睛】本題考查三角板中的角度計算，平行線的判定和性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵．【變式1-2】（2023上·湖南長沙·七年級?？计谀┤鐖D，兩個形狀，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如圖放置，PA、PB與直線MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)．（1）①如圖1，∠DPC＝度．②我們規(guī)定，如果兩個三角形只要有一組邊平行，我們就稱這兩個三角形為“孿生三角形”，如圖1，三角板BPD不動，三角板PAC從圖示位置開始每秒10°逆時針旋轉(zhuǎn)一周（0°<旋轉(zhuǎn)<360°），問旋轉(zhuǎn)時間t為多少時，這兩個三角形是“孿生三角形”．（2）如圖3，若三角板PAC的邊PA從PN處開始繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速3°/秒，同時三角板PBD的邊PB從PM處開始繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速2°/秒，在兩個三角板旋轉(zhuǎn)過程中，（PC轉(zhuǎn)到與PM重合時，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動）．設(shè)兩個三角板旋轉(zhuǎn)時間為t秒，以下兩個結(jié)論：①∠CPD∠BPN為定值；②∠BPN+∠CPD【答案】（1）①90；②t為3s或6s或9s或18s或21s或24s或27s；（2）①正確，②錯誤，證明見解析．【分析】（1）①由平角的定義，結(jié)合已知條件可得：∠DPC=180°?∠CPA?∠DPB,從而可得答案；②當BD//PC時，有兩種情況，畫出符合題意的圖形，利用平行線的性質(zhì)與角的和差求解旋轉(zhuǎn)角，可得旋轉(zhuǎn)時間；當PA//BD時，有兩種情況，畫出符合題意的圖形，利用平行線的性質(zhì)與角的和差關(guān)系求解旋轉(zhuǎn)角，可得旋轉(zhuǎn)時間；當AC//DP時，有兩種情況，畫出符合題意的圖形，利用平行線的性質(zhì)與角的和差關(guān)系求解旋轉(zhuǎn)角，可得旋轉(zhuǎn)時間；當（2）分兩種情況討論：當PD在MN上方時，當PD在MN下方時，①分別用含t的代數(shù)式表示∠CPD,∠BPN，從而可得∠CPD∠BPN的值；②分別用含t的代數(shù)式表示∠CPD,∠BPN，得到∠BPN+∠CPD是一個含t【詳解】解：（1）①∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，∴∠DPC＝180﹣30﹣60＝90°，故答案為90；②如圖1﹣1，當BD∥PC時，∵PC∥BD，∠DBP＝90°，∴∠CPN＝∠DBP＝90°，∵∠CPA＝60°，∴∠APN＝30°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時間為3秒；如圖1﹣2，當PC∥BD時，∵PC//BD,∠∴∠CPB＝∠DBP＝90°，∵∠CPA＝60°，∴∠APM＝30°，∵三角板PAC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為180°+30°＝210°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時間為21秒，如圖1﹣3，當PA∥BD時，即點D與點C重合，此時∠ACP＝∠BPD＝30°，則AC∥BP，∵PA∥BD，∴∠DBP＝∠APN＝90°，∴三角板PAC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為90°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時間為9秒，如圖1﹣4，當PA∥BD時，∵∠DPB＝∠ACP＝30°，∴AC∥BP，∵PA∥BD，∴∠DBP＝∠BPA＝90°，∴三角板PAC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為90°+180°＝270°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時間為27秒，如圖1﹣5，當AC∥DP時，∵AC∥DP，∴∠C＝∠DPC＝30°，∴∠APN＝180°﹣30°﹣30°﹣60°＝60°，∴三角板PAC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為60°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時間為6秒，如圖1﹣6，當AC//∵AC//∴∠DPA=∠PAC=90°，∠DPN+∠DPA=180°?30°+90°=240°，∴三角板PAC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為240°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時間為24秒，如圖1﹣7，當AC∥BD時，∵AC∥BD，∴∠DBP＝∠BAC＝90°，∴點A在MN上，∴三角板PAC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為180°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時間為18秒，當AC//BP時，如圖1-3，1-4，旋轉(zhuǎn)時間分別為：9s，綜上所述：當t為3s或6s或9s或18s或21s或24s或27s時，這兩個三角形是“孿生三角形”；（2）如圖，當PD在MN上方時，①正確，理由如下：設(shè)運動時間為t秒，則∠BPM＝2t，∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝30°﹣2t，∠APN＝3t．∴∠CPD＝180°﹣∠DPM﹣∠CPA﹣∠APN＝90°﹣t，∴∠BPN=2∠CPD=180°?2t,∴∠CPD∠BPN②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD隨著時間在變化，不為定值，結(jié)論錯誤．當PD在MN下方時，如圖，①正確，理由如下：設(shè)運動時間為t秒，則∠BPM＝2t，∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝2t?30°,∠APN＝3t．∴∠CPD＝360°?∠CPA?∠APN?∠DPB?∠BPN=360°?60°?3t?30°?(180°?2t)=90°?t∴∠BPN=2∠CPD=180°?2t,∴∠CPD∠BPN②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD隨著時間在變化，不為定值，結(jié)論錯誤．綜上：①正確，②錯誤．【點睛】本題考查的是角的和差倍分關(guān)系，平行線的性質(zhì)與判定，角的動態(tài)定義（旋轉(zhuǎn)角）的理解，掌握分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023上·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，將三角板ABC與三角板ADE擺放在一起，其中∠ACB=30°，∠DAE=45°，∠BAC=∠D=90°，固定三角板ABC，將三角板ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當點E落在射線AC的反向延長線上時，即停止旋轉(zhuǎn)．(1)如圖2，當邊AC落在∠DAE內(nèi)，①∠CAD與∠BAE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？試說明理由；②過點A作射線AF，AG，若∠CAF=13∠CAD，∠BAG=(2)設(shè)△ADE的旋轉(zhuǎn)速度為3°/秒，旋轉(zhuǎn)時間為t，若它的一邊與△ABC的某一邊平行（不含重合情況），試寫出所有符合條件的t的值．【答案】(1)①∠BAE?∠CAD=45°（或∠BAE=∠CAD+45°），理由見解析；②105°(2)5或15或35或45或50【分析】（1）①由角的和差關(guān)系可得∠BAE+∠CAE=90°，∠CAD+∠CAE=45°，再把兩式相減即可得到結(jié)論；②先求解∠FAE=45°?∠DAF=45°?43∠CAD，-∠EAG=∠BAE+∠BAG=43∠BAE，結(jié)合（2）分5種情況討論：如圖，當AD∥BC時，如圖，當DE∥AB時，如圖，當DE∥【詳解】（1）解：①∠BAE?∠CAD=45°（或∠BAE=∠CAD+45°）；理由如下：∠BAE+∠CAE=90°，∠CAD+∠CAE=45°，兩式相減得：∠BAE?∠CAD=45°，②∵∠CAF=13∴∠FAE=45°?∠DAF=45°?4∵∠BAG=1∴∠BAG=1∴∠EAG=∠BAE+∠BAG=4∴∠FAG=∠FAE+∠EAG，=45°?=45°+=45°+4（2）如圖，當AD∥∴∠DAC=∠ACB=30°，∠EAC=45°?30°=15°，∴t=15如圖，當DE∥∴∠BAC+∠ADE=180°，則∠ADE=90°，此時∠CAE=∠DAE=45°，∴t=45如圖，當DE∥∴∠BMA=∠D=90°，∠AMC=180°?90°=90°，∴∠MAC=90°?30°=60°，∴∠EAC=45°+60°=105°，∴t=105如圖，當DE∥∴∠ADE=∠BAC=90°，即A，B，D共線，∴∠CAE=90°+45°=135°，∴t=135如圖，當AE∥∴∠EAB=∠B=60°，∴∠EAC=60°+90°=150°，∴t=150【點睛】本題考查的是角的和差運算，角的倍分關(guān)系，角的旋轉(zhuǎn)定義的理解，平行線的性質(zhì)，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．【題型2平行線在折疊中的運用】【例2】（2023下·浙江溫州·七年級校聯(lián)考期中）如圖，已知長方形紙片ABCD，點E和點F分別在邊AD和BC上，且∠EFC=37°，點H和點G分別是邊AD和BC上的動點，現(xiàn)將點A，B，C，D分別沿EF，GH折疊至點N，M，P，K，若MN∥PK，則∠KHD的度數(shù)為（）A．37°或143° B．74°或96° C．37°或105° D．74°或106°【答案】D【分析】分兩種情況討論，①當PK在AD上方時，延長MN、KH相交于點Q，根據(jù)MN∥PK，推出EN∥KQ，得到∠AEN=∠AHQ，求出∠AEN的度數(shù)，再根據(jù)∠KHD=∠AHQ即可求解；②當PK在BC下方時，延長MN、HK相交于點O，根據(jù)MN∥PK，推出【詳解】解：①當PK在AD上方時，延長MN、KH相交于點Q，如圖所示∵MN∴∠K=∠Q∵∠K=90°∴∠Q=90°∵∠MNE=90°∴∠MNE=∠Q∴EN∴∠AEN=∠AHQ∵∠EFC=37°，AD∴∠AEF=∠EFC=37°∵翻折∴∠AEF=∠NEF=37°∴∠AEN=74°∴∠AHQ=74°∵∠KHD=∠AHQ∴∠KHD=74°②當PK在BC下方時，延長MN、HK相交于點O，如圖所示∵MN∴∠O=∠OKP=90°∵∠MNE=90°∴∠MNE=∠O∴EN∴∠AEN=∠AHO∵∠EFC=37°，AD∴∠AEF=∠EFC=37°∵翻折∴∠AEF=∠NEF=37°∴∠AEN=74°∴∠AHO=74°∵∠AHO+∠KHD=180°∴∠KHD=106°故選D．【點睛】本題考查了翻折、平行線的判定和性質(zhì)、對頂角等知識點，分情況討論，畫出對應(yīng)圖形進行求解是解答本題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023下·福建寧德·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將一條長方形彩帶ABCD進行兩次折疊，先沿折痕MN向上折疊，再沿折痕AM向背面折疊，若要使兩次折疊后彩帶的夾角∠2=26°，則第一次折疊時∠1應(yīng)等于°．

【答案】77【分析】如圖所示，根據(jù)平行的性質(zhì)可以得出答案．【詳解】解：如圖：

∵折疊，∴∠1=∠5，∴∠3+2∠5=∠3+2∠1=180°，∴∠1=1∵彩帶兩邊平行，∴∠3=∠4=∠6，∵折疊，彩帶兩邊平行，∴∠2=∠PEF=∠PMF=∠6，∴∠3=∠2=26°，∴∠1=1故答案為：77．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023下·浙江溫州·七年級溫州市第十二中學(xué)校聯(lián)考期中）已知M，N分別是長方形紙條ABCD邊AB，CD上兩點（AM>DN），如圖1所示，沿M，N所在直線進行第一次折疊，點A，D的對應(yīng)點分別為點E，F(xiàn)，EM交CD于點P；如圖2所示，繼續(xù)沿PM進行第二次折疊，點B，C的對應(yīng)點分別為點G，H，若∠1=∠2，則∠CPM的度數(shù)為（

）

A．74° B．72° C．70° D．68°【答案】B【分析】由翻折的性質(zhì)和長方形的性質(zhì)可得出：∠AMN=∠NMP=∠1=∠2，∠CPM=∠HPM，據(jù)此可得∠AMP=2∠1，∠GMP=3∠1，再根據(jù)HP∥GM得∠HPM+∠GMP=180°，根據(jù)CP∥BM得∠CPM=∠AMP=2∠1，據(jù)此可求出∠1=36°，進而可求出∠CPM的度數(shù)．【詳解】解：由翻折的性質(zhì)得：∠AMN=∠NMP，∠CPM=∠HPM，∵四邊形ABCD為長方形，∴AB∥CD，∴∠AMN=∠1，∴∠NMP=∠1，又∵∠1=∠2，∴∠AMN=∠NMP=∠1=∠2，∴∠AMP=2∠1，∠GMP=3∠1，∵HP∥GM，∴∠HPM+∠GMP=180°，即：∠HPM+3∠1=180°，∵CP∥BM，∴∠CPM=∠AMP=2∠1，∴∠HPM=∠CPM=2∠1，∴2∠1+3∠1=180°，∴∠1=36°，∴∠CPM=2∠1=72°．故選：B．【點睛】此題主要考查了圖形的翻折變換和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是準確識圖，利用圖形翻折性質(zhì)及平行線的性質(zhì)準確的找出相關(guān)的角的關(guān)系．【變式2-3】（2023下·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知四邊形紙片ABCD的邊AB∥CD，E是邊CD上任意一點，△BCE沿BE折疊，點C落在點

(1)觀察發(fā)現(xiàn)：如圖①所示：∠C=60°，∠FED=45°，則∠ABF=______．(2)拓展探究：如圖②，點F落在四邊形ABCD的內(nèi)部，探究∠FED，∠ABF，∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)遷移應(yīng)用：如圖③，點F落在邊CD的上方，則（2）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明：若不成立，請寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】(1)15°(2)∠FED+(3)不成立，數(shù)量關(guān)系應(yīng)為：∠ABF?∠FED=∠C，證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合平行線的性質(zhì)，算出∠ABC，再結(jié)合折疊、四邊形內(nèi)角和，算出∠FBC，最后根據(jù)∠ABF=∠ABC?∠FBC計算即可；（2）過點F作MN∥CD，交AD于點M，交BC于點N，由平行線的性質(zhì)可得∠FED=∠EFN，根據(jù)平行公理的推論可得MN∥AB，繼而得到（3）過點F作GH∥CD，由平行線的性質(zhì)可得∠FED=∠HFE，根據(jù)平行公理的推論可得GH∥【詳解】（1）解：∵AB∥CD，△BCE沿BE折疊，點C落在點F的位置，∠C=60°，∴∠ABC=180°?∠C=120°，（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）∠FEC=180°?∠FED=135°，∠F=∠C=60°，∴∠FBC=360°?∠F?∠C?∠FEC=360°?60°?60°?135°=105°，（四邊形內(nèi)角和為360°）∴∠ABF=∠ABC?∠FBC=120°?105°=15°，故答案為：15°（2）解：如下圖，過點F作MN∥CD，交AD于點M，交BC

則∠FED=∠EFN，∵AB∥∴MN∥∴∠NFB=∠ABF，∴∠FED+由折疊的性質(zhì)得，∠EFB=∠C∴∠FED（3）解：如下圖，過點F作GH∥CD，則

∵AB∥∴GH∥∴∠ABF=∠HFB=∠HFE+由折疊的性質(zhì)得，∠BFE=∠C∴∠ABF=∠FED+∠C【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平行公理的推論．掌握折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型3旋轉(zhuǎn)使平行】【例3】（2023下·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）在一次課外活動中，小明將一副直角三角板如圖放置，E在AC上，，，．小明將ADE從圖中位置開始，繞點按每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，第秒時，邊與邊平行．【答案】或【分析】分兩種情況：①DE在AB上方；②DE在AB下方，畫出相應(yīng)的圖形，利用平行線的性質(zhì)即可求得答案．【詳解】①當DE在AB上方，∵，∠B=60°，∠D=45°，∴∠BAC=30°，∠E=45°，∵AB∥DE，∴∠BAE=∠E=45°，∴∠CAE=∠BAC+∠BAE=75°，∴旋轉(zhuǎn)時間為：（秒）；②當DE在AB下方，∵，∠B=60°，∠D=45°，∴∠BAC=30°，∠E=45°，∵AB∥DE，∴∠BAE+∠E=180°，∴∠BAE=180°-∠E=135°，∴∠CAE=∠BAE-∠BAC=105°，∴旋轉(zhuǎn)角度為：360°-∠CAE=255°，∴旋轉(zhuǎn)時間為：（秒），綜上所述：在旋轉(zhuǎn)過程中，第或秒時，邊與邊平行，故答案為：或．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是對DE的位置進行討論，畫出相應(yīng)圖形解答．【變式3-1】（2023下·河北唐山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，分別將木條a，b與固定的木條c釘在一起，，，順時針轉(zhuǎn)動木條a，下列選項能使木條a與b平行的是（

）

A．旋轉(zhuǎn)30° B．旋轉(zhuǎn)50° C．旋轉(zhuǎn)80° D．旋轉(zhuǎn)130°【答案】A【分析】根據(jù)平行線的判定定理即可求解．【詳解】解：在圖中標注出，如圖所示：

若，則故應(yīng)將木條a順時針轉(zhuǎn)動30°故選：A【點睛】本題考查平行線的判定定理．根據(jù)題意選擇合適的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023下·安徽六安·七年級統(tǒng)考期末）兩塊不同的三角板按如圖1所示擺放，邊與邊重合，，接著如圖2保持三角板不動，將三角板繞著點（點不動）按順時針（如圖標示方向）旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，逐漸增大，當?shù)谝淮蔚扔跁r，停止旋轉(zhuǎn)，在此旋轉(zhuǎn)過程中，時，三角板有一條邊與三角板的一條邊恰好平行．

【答案】或【分析】分和兩種情況求解．【詳解】當時，∵，∴，∵，；當時，∵，；故答案為：或．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角板中的計算，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023下·河北唐山·七年級統(tǒng)考期中）如圖（1），在三角形ABC中，，BC邊繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周回到原來的位置．在旋轉(zhuǎn)的過程中（圖（2），使，則（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】結(jié)合旋轉(zhuǎn)的過程可知，因為位置的改變，與∠A可能構(gòu)成內(nèi)錯角，也有可能構(gòu)成同旁內(nèi)角，所以需分兩種情況加以計算即可．【詳解】解：如圖（2），當時，∵，∴．∴．如圖（2），當時，∵，∴∴．綜上可得，當或時，．故選：C．【點睛】本題考查了平行線的判定、分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識點，根據(jù)在旋轉(zhuǎn)過程中的不同位置，進行分類討論是解題的關(guān)鍵．【題型4利用平行線求角度之間的關(guān)系】【例4】（2023下·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）點A，C，E在直線l上，點B不在直線l上，把線段AB沿直線l向右平移得到線段CD．（1）如圖1，若點E在線段AC上，求證：∠B+∠D=∠BED；（2）若點E不在線段AC上，試猜想并證明∠B，∠D，∠BED之間的等量關(guān)系；（3）在（1）的條件下，如圖2所示，過點B作PB//ED，在直線BP，ED之間有點M，使得∠ABE=∠EBM，∠CDE=∠EDM，同時點F使得∠ABE=n∠EBF，∠CDE=n∠EDF，其中n≥1，設(shè)∠BMD=m，利用（1)中的結(jié)論求∠BFD的度數(shù)（用含m，n的代數(shù)式表示）．【答案】（1）見解析；（2）當點E在CA的延長線上時，∠BED=∠D-∠B；當點E在AC的延長線上時，∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D；（3）m【分析】（1）如圖1中，過點E作ET∥AB．利用平行線的性質(zhì)解決問題．（2）分兩種情形：如圖2-1中，當點E在CA的延長線上時，如圖2-2中，當點E在AC的延長線上時，構(gòu)造平行線，利用平行線的性質(zhì)求解即可．（3）利用（1）中結(jié)論，可得∠BMD=∠ABM+∠CDM，∠BFD=∠ABF+∠CDF，由此解決問題即可．【詳解】解：（1）證明：如圖1中，過點E作ET∥AB．由平移可得AB∥CD，∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠BET+∠DET=∠B+∠D．（2）如圖2-1中，當點E在CA的延長線上時，過點E作ET∥AB．∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠DET-∠BET=∠D-∠B．如圖2-2中，當點E在AC的延長線上時，過點E作ET∥AB．∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D．（3）如圖，設(shè)∠ABE=∠EBM=x，∠CDE=∠EDM=y，∵AB∥CD，∴∠BMD=∠ABM+∠CDM，∴m=2x+2y，∴x+y=12m∵∠BFD=∠ABF+∠CDF，∠ABE=n∠EBF，∠CDE=n∠EDF，∴∠BFD=n?1nx+n?1ny=【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會條件常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題，屬于中考常考題型．【變式4-1】（2023下·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）甲同學(xué)在學(xué)完《相交線與平行線》后，想通過折鐵絲的方式進一步探索相交線與平行線的知識，他的具體操作步驟如下：第一步：將一根鐵絲AB在C，D，E處彎折得到如下圖①的形狀，其中AC∥DE，第二步：將DE繞點D旋轉(zhuǎn)一定角度，再將BE繞點E旋轉(zhuǎn)一定角度并在BE上某點F處彎折，得到如下圖②的形狀．第三步：再拿出另外一根鐵絲彎折成∠G，跟前面彎折的鐵絲疊放成如下圖③的形狀．請根據(jù)上面的操作步驟，解答下列問題：(1)如圖①，若∠C=2∠D，求∠E；(2)如圖②，若AC∥BF，請判斷∠C，∠D，∠E，(3)在（2）的條件下，如圖③，若∠ACD=3∠DCG，∠DEF=3∠DEG，設(shè)∠D=x，∠F=y，求∠G．（用含x，y的式子表示）【答案】(1)∠E=60°(2)∠C+∠CDE=∠DEF+∠F，理由見解析(3)∠G=【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠C+∠D=180°，根據(jù)解題得出∠D=60°，進而根據(jù)CD∥（2）過點D,E分別作AC的平行線DN,EM，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠MED=∠NDE設(shè)∠MED=∠NDE=α，進而根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠C+∠CDE+α=180°，∠DEF+α+∠F=180°，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論可得∠ACD+x=∠DEF+y，∠G+∠ACG=∠F+∠GEF，根據(jù)已知∠ACD=3∠DCG，∠DEF=3∠DEG，可得∠G+2【詳解】（1）解：∵AC∥∴∠C+∠D=180°，∵∠C=2∠D，∴3∠D=180解得：∠D=60°，∵CD∥∴∠E=∠D=60°；（2）解：如圖所示，過點D,E分別作AC的平行線DN,EM，∴EM∥∴∠MED=∠NDE，設(shè)∠MED=∠NDE=α，又∵AC∥∴AC∥DN，∴∠C+∠CDE+α=180°，∠DEF+α+∠F=180°，∴∠C+∠CDE=∠DEF+∠F，；（3）∵∠D=x，∠F=y，∠C+∠CDE=∠DEF+∠F，即∠ACD+x=∠DEF+y，∴∠DEF?∠ACD=x?y，由（2）可得∠G+∠ACG=∠F+∠GEF，∵∠ACD=3∠DCG，∠DEF=3∠DEG，∴∠G+2即∠G+2∴∠G=y+2∴∠G=2【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023下·安徽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線m∥n，Rt△ABC中∠ACB=90°，Rt△ABC的邊AC、AB與直線m相交于D、E兩點，邊

(1)將Rt△ABC如圖1位置擺放，如果∠ADE=46°，則∠CFG=______；(2)將Rt△ABC如圖2位置擺放，H為AC上一點，∠HFG+∠CFG=180°，請寫出∠HFG與∠ADE(3)將Rt△ABC如圖3位置擺放，若∠EDC=140°，延長AC交直線n于點K，點P是射線EG上一動點，探究∠PDK，∠DPK【答案】(1)∠CFG=136°(2)∠HFG+∠ADE=90°，理由見解析(3)∠PDK+∠DPK?∠PKG=140°或∠PDK+∠DPK+∠PKG=140°【分析】（1）過點C作CH∥m，由m∥n知，CH∥m∥n，則可得∠ACH=∠ADE=46°，（2）過點C作CQ∥m，則CQ∥m∥n，則（3）分點P在線段EG上或EG的延長線上兩種情況考慮即可求得．【詳解】（1）解：過點C作CH∥∵m∥∴CH∥∴∠ACH=∠ADE=46°，∠HCB+∠CFG=180°，∵∠ACB=90°，∴∠HCB=90°?46°=44°，∴∠CFG=180°?∠HCB=136°；

故答案為：136°；（2）解：∠HFG+∠ADE=90°，理由如下：過點C作CQ∥m，則

∴∠ADE=∠ACQ，∵∠HFG+∠CFG=180°，∴∠QCF=∠HFG，

∵∠ACQ+∠QCF=90°，∴∠HFG+∠ADE=90°，（3）解：過點P作PM∥m，則①點P在線段EG上時，如圖，

∴∠DPM=∠EDP=∠EDC?∠PDK=140°?∠PDK，∠MPK=∠PKG，∴∠DPK=∠DPM+∠MPK=140°?∠PDK+∠PKG，∴∠PDK+∠DPK?∠PKG=140°；②點P在線段EG的延長線上時，如圖，

∵PM∥∴∠KPM=∠PKG，∵∠PDE=∠EDC?∠PDK=140°?∠PDK，∠DPM=∠DPK+∠KPM=∠DPK+∠PKG，∴∠DPK+∠PKG=140°?∠PDK，即∠PDK+∠DPK+∠PKG=140°，綜上：∠PDK+∠DPK?∠PKG=140°或∠PDK+∠DPK+∠PKG=140°．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理推論，角的和差關(guān)系，構(gòu)造平行線是本題的關(guān)鍵，注意分類討論．【變式4-3】（2023下·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）【問題情境】如圖1，AB∥CD，直線EG交AB于點H，交CD于點G，點F在直線AB上．直接寫出∠E,∠EFH,∠EGD之間的數(shù)量關(guān)系為

【實踐運用】如圖2，AB∥CD，直線EG交AB于點H，交CD于點G，點F在直線AB上．FT平分∠EFH，GM平分∠EGC，若∠E=40°，求

【拓廣探索】如圖3，AB∥CD，直線EG交AB于點H，交CD于點G，點P為平面內(nèi)不在直線AB，CD，EG上的一點，若∠BHP=x，∠DGP=y，則∠HPG=（直接寫出答案，用x，

【答案】【問題情境】∠EGD=∠FEH+∠EFH；【實踐運用】∠FMG的度數(shù)為70°；【拓廣探索】∠HPG的大小為x?y或y?x或x+y或360°?x?y．【分析】問題情境：如圖，作EQ∥AB，而AB∥實踐運用：設(shè)∠EFT=x，F(xiàn)T平分∠EFH，可得∠EFT=∠TFH=∠AFM=x，由（1）得：∠EGD=∠EFH+∠E=2x+40°，可得∠MGC=12∠HCG=70°?x．過點M作MK∥AB，則MK拓廣探索：對P點的位置有六種可能，再分情況畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合的方法解題即可．【問題情境】如圖，作EQ∥AB，而∴EQ∥

∴∠EGD=∠QEG=∠EHB,∠QEF=∠EFB，∵∠FEH=∠QEG?∠QEF，∴∠FEH=∠EHB?∠EFH，∴∠EGD=∠FEH+∠EFH．【實踐運用】設(shè)∠EFT=x，F(xiàn)T平分∠EFH，∴∠EFT=∠TFH=∠AFM=x，

由（1）得：∠EGD=∠EFH+∠E=2x+40°，∴∠HCG=140°?2x．∵GM平分∠EGC．∴∠MGC=1過點M作MK∥AB，則∴∠FMK=∠AFM=x．∵MK∥∴∠KMG=∠MGC=70°?x，∴∠FMG=∠KMG+∠FMK=70°?x+x=70°．【拓廣探索】對P點的位置有六種可能，①如圖所示，作PQ∥AB，而

∴PQ∥AB∥CD，而∴∠DGP=∠QPG=y，∠BHP=∠QPH=x，∴∠HPG=∠QPG?∠HPQ=y?x，②如圖所示，作PQ∥AB，而

∴PQ∥∴∠DGP=∠QPG=y，∠BHP=∠QPH=x，∴∠HPG=∠QPG+∠HPQ=y+x，③如圖所示，作PQ∥AB

∴PQ∥AB∥CD，而∴∠DGP=∠QPG=y，∠BHP=∠QPH=x，∴∠HPG=∠HPQ?∠QPG=x?y，④如圖所示，作PQ∥AB，而AB∥CD,記

∴PQ∥AB∥CD，而∴∠QPG=180°?∠DGP=180°?y，∠QPH=180°?∠PHB=180°?x，∴∠HPG=∠GPQ?∠QPH=180°?y?180°+x=x?y，⑤如圖所示，作PQ∥AB

∴PQ∥AB∥CD，而∴∠QPG=180°?∠DGP=180°?y，∠QPH=180°?∠PHB=180°?x，∴∠HPG=∠GPQ+∠QPH=180°?y+180°?x=360°?x?y，⑥如圖所示，作PQ∥AB

∴PQ∥AB∥CD，而∴∠QPG=180°?∠DGP=180°?y，∠QPH=180°?∠PHB=180°?x，∴∠HPG=∠QPH?∠GPQ=180°?x?180°+y=y?x，綜上：∠HPG的大小為x?y或y?x或x+y或360°?x?y．【點睛】本題考查的是平行公理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，掌握“利用平行線的性質(zhì)探究角與角之間的數(shù)量關(guān)系”是解本題的關(guān)鍵．【題型5利用平行線解決角度定值問題】【例5】（2023下·河南商丘·七年級統(tǒng)考期末）已知AB∥CD，P是截線MN上的一點，MN與CD，AB分別交于E，

(1)如圖（1），P在AB、CD之間，若∠EFB=50°，∠EDP=35°，求∠MPD的度數(shù)；(2)如圖（1），當點P在線段EF上運動時，∠CDP與∠ABP的平分線交于Q，則∠Q∠DPB(3)如圖（2），當點P在線段FE的延長線上運動時，∠CDP與∠ABP的平分線交于Q，∠Q∠DPB【答案】(1)15°(2)是定值，∠Q(3)是，1【分析】（1）過點P作PG∥AB，利用平行線的性質(zhì)進行角得相關(guān)計算可求（2）由（1）的結(jié)論結(jié)合角平分線的性質(zhì)可以解決問題；（3）過點P作PG∥AB，過點Q作QH∥AB，由平行線性質(zhì)得∠DPG=∠CDP，∠BPG=∠ABP，從而得【詳解】（1）解：（1）如圖，當點P在線段AB，CD之間時，過點P作PG∥

∵AB∥CD，∴PG∥∵∠EFB=50°，∠EDP=35°∴∠EPG=∠EFB=50°，∠DPG=∠EDP=35°．∴∠MPD=∠EPG?∠DPG=50°?35°=15°．（2）解：∠Q∠DPB如圖，

由（1）知AB∥∴∠DPG=∠CDP，∠BPG=∠ABP，∴∠DPB=∠DPG+∠BPG=∠CDP+∠ABP，同理可得∠Q=∠CDQ+∠ABQ，又∵DQ、BQ分別平分∠CDP，∠ABP，∴∠CDQ=12∠CDP∴∠Q=∠CDQ+∠ABQ=1∴∠Q∠DPB（3）解：如圖，過點P作PG∥AB，過點Q作

∵AB∥∴PG∥CD

∴∠DPG=∠CDP，∠BPG=∠ABP，∴∠DPB=∠BPG?∠DPG=∠ABP?∠CDP，同理可得∠BQD=∠ABQ?∠CDQ，又∵DQ、BQ分別平分∠CDP與∠ABP，∴∠CDQ=12∠CDP∴∠BQD=∠ABQ?∠CDQ=1∴∠BQD∠DPB【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，及角平分線的定義，運用角的和與差解決問題，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023下·福建龍巖·七年級校考階段練習）如圖1，點A、D分別在射線BM、CN線上，BM∥CN，BM⊥BC于點B，AE平分∠BAD交BC于點E，連接DE，∠1+∠2=90°．

(1)求證：AE⊥ED；(2)求證：DE平分∠ADC；(3)如圖2，∠EAM和∠EDN的平分線交于點F，試猜想∠F的值是否為定值，若是，請予以證明；若不是，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)∠F為定值，∠F=135°，理由見解析【分析】（1）過點E作EG∥BM，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等，得出（2）根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補，得出∠BAD+∠CDA=180°，再將各個角代入計算，得出∠1+∠2+∠1+∠5=180°（3）過點F作FH∥BM，∠AFH=α，∠DFH=β，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠α+∠β=∠6+∠7，由于∠EAM和∠EDN的平分線交于點F，所以∠α+∠β=【詳解】（1）證明：如圖1，

過點E作EG∥BM，則∵BM∥∴EG∥∴∠4=∠2，∴∠3+∠4=∠1+∠2=90°，∴∠AED=90°，∴AE⊥ED．（2）證明：∵AE平分∠BAD，∴∠BAD=2∠1，∵BM∥CN，∴∠BAD+∠CDA=180°，∴2∠1+∠CDA，=2∠1+∠2+∠5=180°，=∠1+∠2∵∠1+∠2=90°，∴∠1+∠5=90°，∴∠5=∠2，∴DE平分∠ADC．（3）∠F為定值．證明：如圖2，過點F作FH∥BM，設(shè)∠AFH=α，

∵BM∥∴FH∥∴∠α+∠β=∠6+∠7，∵∠EAM和∠EDN的平分線交于點F，∴∠α+∠β=1=180°?45°=135°，∴∠F=∠α+∠β=135°，∴∠F為定值，∠F=135°，故答案為：∠F=135°．【點睛】本題主要考查垂線、角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握垂垂線的概念和角平分線的性質(zhì)及角的和差計算等知識點．【變式5-2】（2023下·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，已知∠EFH=90°，點A，C分別在射線FE和FH上，在∠EFH內(nèi)部作射線AB，CD，使AB平行于CD．(1)如圖1，若FAB=150°，求∠HCD的度數(shù)；(2)小穎發(fā)現(xiàn)，在∠EFH內(nèi)部，無論FAB如何變化，∠FAB?∠HCD的值始終為定值，請你結(jié)合圖2求出這一定值；(3)①如圖3，把圖1中的∠EFH=90°改為∠EFH=120°，其他條件不變，請直接寫出∠FAB與∠HCD之間的數(shù)量關(guān)系；②如圖4，已知∠EFG+∠FGC=α，點A，C分別在射線FE，GH上，在∠EFG與∠FGH內(nèi)部作射線AB，CD，使AB平行于CD，請直接寫出∠FAB與∠HCD之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)60°(2)90°(3)①∠FAB?∠HCD=60°，②∠FAB?∠HCD=360°?α【分析】（1）過點F作FM∥AB，可以求出∠1=30°，結(jié)合AB∥CD，可以得到AB∥CD，即可求出∠HCD的度數(shù)；（2）過點F作FN∥AB，結(jié)合已知AB∥CD可以得出FN∥CD，進而得到∠HCD=∠2，即可求出，∠FAB?∠HCD的值；（3）①根據(jù)題意畫出對應(yīng)的圖形，結(jié)合平行線的性質(zhì)和判定即可得到∠FAB與∠HCD之間的數(shù)量關(guān)系；②根據(jù)題意畫出對應(yīng)的圖形，添加適當?shù)妮o助線，結(jié)合平行線的性質(zhì)與判定即可正確解答．【詳解】（1）過點F作FM∥AB∴∠FAB+∠1=180°∵∠FAB=150°∴∠1=30°∵AB∥CD∴MN∥CD∴∠HCD=∠2∵∠1+∠2=90°∴∠HCD=∠2=90°?∠1=60°（2）過點F作FN∥AB∴∠FAB+∠1=180°∴∠1=180°?∠FAB∵AB∥CD∴FN∥CD∴∠HCD=∠2∵∠1+∠2=90°∴180°?∠FAB+∠HCD=90°∴∠FAB?∠HCD=90°（3）①∠FAB?∠HCD=60°②∠FAB?∠HCD=360°?α【點睛】本題主要考查的是平行線模型，根據(jù)題意畫出對應(yīng)的圖形，添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023下·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，已知直線l1∥l2，點A、B在直線l1上，點C、D在l2上，線段AD交線段(1)求證：∠ABE+∠EDC=60°；(2)如圖2，當F、G分別在線段AE、EC上，且∠ABF=2∠FBE，∠EDG=2∠GDC，標記∠BFE為∠1，∠BGD為∠2．①若∠1?∠2=16°，求∠ADC的度數(shù)；②當k=________時，k∠1+∠2為定值，此時定值為________．【答案】(1)證明見解析(2)①36°；②2；140°【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)解答即可；（2）①設(shè)∠FBE=a，∠GDC=b，則∠ABF=2a，∠EDG=2b，結(jié)合平行線的性質(zhì)，利用方程的思想方法，依據(jù)已知條件列出方程組即可求解；②利用①中的方法，設(shè)∠FBE=a，∠GDC=b，則∠ABF=2a，∠EDG=2b，通過計算k∠1+∠2，令計算結(jié)果中的a的系數(shù)為0即可求得結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，作EF∥l∴∠FED=∠EDC，∵l1∴EF∥l∴∠ABE=∠BEF，∵∠BED=60°，∴∠ABE+∠EDC=∠BEF+∠FED=∠BED=60°（2）設(shè)∠FBE=a，∠GDC=b，∵∠ABF=2∠FBE，∠EDG=2∠GDC，∴∠ABF=2a，∠EDG=2b，∵l1∴∠BAD=∠ADC=3b，∠ABC=∠BCD=3a，由（1）可得：∠1=2a+3b，∠2=3a+b，∠BED=3a+3b=60°，∴a+b=20°，∴∠1=60°?a，∠2=20°+2a，①∵∠1?∠2=16°，∴60°?a?20°+2a∴a=8°，b=12°，∴∠ADC=3b=36°；②k=2，定值為140°，理由如下：k∠1+∠2=k=60°k?ka+20°+2a=當k=2時，k∠1+∠2=140°，∴當k=2時，k∠1+∠2為定值，此時定值為140°．故答案為：2；140°．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)．利用方程或方程組的思想解答是解題的關(guān)鍵．【題型6平行線的閱讀理解類問題】【例6】（2023下·江蘇泰州·七年級泰州市海軍中學(xué)?？茧A段練習）【注重閱讀理解】閱讀以下材料：已知點B，D分別在AK和CF上，且CF∥(1)如圖1，若∠CDE=22°，∠DEB=75°，則∠ABE的度數(shù)為______；(2)如圖2，BG平分∠ABE，GB延長線與∠EDF的平分線交于H點，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度數(shù)．(3)保持（2）中所求的∠DEB的度數(shù)不變，如圖3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，則【答案】(1)53°(2)100°(3)不變；40°【分析】（1）過點E作ES∥CF，根據(jù)CF∥（2）延長DE，交AB于點M，則∠DEB=∠EMB+∠EBM，利用平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)計算即可．（3）過點E作EQ∥DN，則【詳解】（1）解：如圖1，過點E作ES∥∵CF∥∴ES∥∴∠CDE=∠DES，∠SEB=∠ABE，∴∠CDE+∠ABE=∠DES+∠SEB=∠DEB，∵∠CDE=22°，∠DEB=75°，∴∠ABE=∠DEB?∠CDE=75°?22°=53°．故答案為：53°．（2）解：如圖2，延長DE，交AB于點M，則∠DEB=∠EMB+∠EBM，∵CF∥AK，BG平分∴∠EMB=180°?∠MDF，∠EBM=2∠ABG=2∠HBN，∠MDH=∠HDF=∠HNK=12∠MDF∵∠HBN+∠DHB=∠HNK，∴∠DEB=(180°?∠MDF)+2∠HBN=180°?∠MDF+2×1∴∠DEB=180°?∠MDF+∠MDF?2∠DHB=180°?2∠DHB，∵∠DEB?∠DHB=60°，∴∠DEB=180°?2(∠DEB?60°)，∴3∠DEB=300°，解得∠DEB=100°．（3）解：過點E作EQ∥DN，則根據(jù)（1）得，∠DEB=∠CDE+∠ABE，∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，∴∠DEB=2∠NDE+180°?2∠EBM，∵∠DEB=100°，∴∠EBM?∠NDE=40°，∵EQ∥∴∠DEQ=∠NDE，∴∠EBM=40°+∠DEQ，∵EQ∥∴EQ∥∴∠EBM+∠PBM+∠BEQ=180°，∴40°+∠DEQ+∠PBM+∠BEQ=180°，∴40°+∠DEB+∠PBM=180°，∴∠PBM=180°?100°?40°=40°，∴∠PBM的度數(shù)不變，值為40°．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，角的平分線定義，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023下·湖北孝感·七年級統(tǒng)考期末）[課題學(xué)習]：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能．

[閱讀理解]：如圖1，已知點A是BC外一點，連接AB，AC，求∠BAC+∠B+∠C的度數(shù)．（1）閱讀并補充下面推理過程．解：過點A作ED∥BC，所以∠B=_________，又因為∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°所以∠B+∠BAC+∠C=180°．[解題反思]：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將∠BAC，∠B，∠C“湊”在一起，得到角的關(guān)系，使問題得到解決．[方法運用]：（2）如圖2，已知AB∥ED，求[深化拓展]：（3）已知AB∥CD，點C在D的右側(cè)，∠ADC=70°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直線交于點E，點E在AB與①如圖3，若∠ABC=60°，則∠BED=__________°；②如圖4，點B在點A的右側(cè)，若∠ABC=n°，則∠BED=________°．（用含n的代數(shù)式表示）【答案】（1）∠EAB，∠DAC；（2）360°；（3）①65°，②215°?【分析】（1）根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等即可得出結(jié)論；（2）過點C作CF∥AB，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠D=∠FCD和∠B=∠BCF，然后根據(jù)已知得出結(jié)果；（3）①過點E作EF∥AB，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等即可求出∠BED的度數(shù)；②過點E作EH∥AB，根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補可求出∠BEH=180°?n°【詳解】解：（1）如圖1過點A作ED∥

∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，∴∠B+∠BAC+∠C=180°，故答案為：∠EAB，∠DAC；（2）如圖2，過點C作CF∥

∵AB∥∴CF∥∴∠D=∠FCD，∵CF∥∴∠B=∠BCF，∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°，∴∠B+∠BCD+∠D=360°；（3）①如圖，過點E作EF∥AB

∵AB∴AB∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=60°，∠ADC=70°，∴∠ABE=12∠ABC=30°∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°；②過點E作EH∥AB，

∴∠ABE+∠BEH=180°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∴∠BEH=180°?n°∵AB∴HE∴∠HED=∠EDC∵DE平分∠ADC∴∠HED=∠EDC=∴∠BED=∠BEH+∠HED=180°?n°故答案為：①65°；②215°?n°【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，正確添加輔助線是解答本題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023下·山東煙臺·六年級統(tǒng)考期末）課題學(xué)習：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能．(1)閱讀理解：如圖，已知點A是BC外一點，連接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度數(shù)．閱讀并補充下面推理過程．

解：過點A作ED∥BC，所以∠B=，∠C=又因為∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，所以∠B+∠BAC+∠C=180°．

解題反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將∠BAC、∠B、∠C“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決．(2)方法運用：如圖1，已知AB∥CD，求(3)深化拓展：已知直線AB∥CD，點P為平面內(nèi)一點，連接PA、①如圖2，已知∠A=50°，∠D=140°，請直接寫出∠APD的度數(shù)；②如圖3，請判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【答案】(1)∠EAB；∠DAC(2)∠B+∠BPD+∠D=360°(3)①90°；②∠PAB+∠CDP?∠APD=180°，理由見解析【分析】（1）根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等即可得出結(jié)論；（2）過點P作PF∥AB，根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補得出∠D+∠FPD=180°，（3）①∠APD的度數(shù)為90°，過點P作PG∥AB，根據(jù)平行線性質(zhì)求得∠APG=50°，∠GPD=40°，即可求得∠APD的度數(shù)；②∠PAB+∠CDP?∠APD=180°，過點P作PF∥AB，根據(jù)平行線性質(zhì)得到【詳解】（1）解：過點A作ED∥∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，又因為∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，所以∠B+∠BAC