人教版2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)6.3.3 余角和補(bǔ)角（教學(xué)設(shè)計(jì)）

6.3.3余角和補(bǔ)角1.在具體的現(xiàn)實(shí)情境中，認(rèn)識(shí)一個(gè)角的余角與補(bǔ)角，掌握余角和補(bǔ)角的性質(zhì).2.了解方位角，能確定具體物體的方位.3.進(jìn)一步提高學(xué)生的抽象概括能力，空間觀念的認(rèn)識(shí)和知識(shí)運(yùn)用的能力，學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單的邏輯推理，并能對(duì)問(wèn)題的結(jié)論進(jìn)行合理的猜想.4.體會(huì)觀察、歸納、推理對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)中獲取數(shù)學(xué)猜想和論證的重要作用，初步理解數(shù)學(xué)中推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和結(jié)論的確定性，能在獨(dú)立思考和小組交流中獲益.【教學(xué)重點(diǎn)】認(rèn)識(shí)角的互余、互補(bǔ)關(guān)系及其性質(zhì)，確定方位角.【教學(xué)難點(diǎn)】通過(guò)簡(jiǎn)單的推理，歸納出余角、補(bǔ)角的性質(zhì)，并能用規(guī)范的語(yǔ)言描述性質(zhì).一、情境導(dǎo)入,初步認(rèn)識(shí)問(wèn)題（1）用量角器量出圖中的兩個(gè)角的度數(shù)，并求出這兩個(gè)角的和.（2）說(shuō)出一副三角尺中各個(gè)角的度數(shù).（3）觀察兩個(gè)銳角的大小之間的數(shù)量特征.【教學(xué)說(shuō)明】這一問(wèn)題的提出，使學(xué)生對(duì)所涉及的抽象概念和它們之間的數(shù)量關(guān)系及其形象有大致的了解.能營(yíng)造輕松和諧的學(xué)習(xí)氛圍，自然導(dǎo)入新課.二、思考探究，獲取新知探究1（1）在一副三角板中，每塊都有一個(gè)角是90°，那么其余兩個(gè)角的和是多少？（2）已知∠1=36°，∠2=54°，那么∠1+∠2=？【教學(xué)說(shuō)明】讓學(xué)生獨(dú)立思考，并進(jìn)行小組交流，歸納出下面的結(jié)論.【歸納結(jié)論】一般情況下，如果兩個(gè)角的和等于90°（直角），我們就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角.例如，∠1與∠2互為余角，∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角.探究2（1）觀察如圖所示的兩個(gè)角，你能猜想∠1+∠2等于多少度？（2）如果∠1=144°，∠2=36°，那么∠1+∠2=？【教學(xué)說(shuō)明】讓學(xué)生獨(dú)立思考，并進(jìn)行小組交流，歸納出下面的結(jié)論，教師可操作多媒體，移動(dòng)∠1，使∠1、∠2頂點(diǎn)和一邊重合，引導(dǎo)學(xué)生觀察∠1、∠2的另一邊，觀察到兩角的另一條邊成一條直線，驗(yàn)證學(xué)生的結(jié)論.【歸納結(jié)論】如果兩個(gè)角的和等于180度（平角），就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角.試一試教材第138~139頁(yè)練習(xí).【教學(xué)說(shuō)明】讓學(xué)生獨(dú)立完成，并由三個(gè)學(xué)生進(jìn)行板書，其余同學(xué)進(jìn)行小組交流并進(jìn)行小組評(píng)價(jià).教師巡視學(xué)生完成練習(xí)的情況，并給予適當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià).探究3如圖所示，下面方格圖中∠1與∠3有什么關(guān)系？∠1與∠2，∠3與∠4有什么關(guān)系？【教學(xué)說(shuō)明】教師首先操作多媒體，演示方格圖.然后讓學(xué)生觀察圖形，小組交流觀察得到結(jié)果：∠1=∠3，∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°.接著教師移動(dòng)或旋轉(zhuǎn)圖中各角，對(duì)學(xué)生觀察的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，進(jìn)一步提出問(wèn)題：∠2與∠4有什么關(guān)系？學(xué)生觀察思考后得出∠2=∠4，教學(xué)中，向?qū)W生說(shuō)明，以上從觀察圖形得出的結(jié)論，還應(yīng)從理論上說(shuō)明其理由，最終師生共同歸納出下面的結(jié)論.【歸納結(jié)論】1.同角（等角）的補(bǔ)角相等.2.同角（等角）的余角相等.試一試1.如果∠AOB+∠BOC=90°，又∠BOC與∠COD互余，那么∠AOB與∠COD的關(guān)系是（）A.互余B.互補(bǔ)C.相等D.不能確定2.教材第137～138頁(yè)例3【教學(xué)說(shuō)明】第1題較為簡(jiǎn)單，讓學(xué)生口答，應(yīng)選C.第2題為教材中的例題，教師應(yīng)先讓學(xué)生回顧前一小節(jié)中角平分線的定義，再讓學(xué)生找出余角.探究4教材第138頁(yè)例4.【教學(xué)說(shuō)明】教師用多媒體演示教材圖4.3-16（1），講解方位角和表示方位的射線，在學(xué)生完成題中的問(wèn)題后操作多媒體演示畫圖過(guò)程.講解時(shí)應(yīng)講清楚方位角是以正北或正南方向的射線為一個(gè)角的始邊，而表示物體運(yùn)動(dòng)的方向的射線是角的另一邊.三、典例精析，掌握新知例1比一比，看誰(shuí)填得快.【答案】依次填：85°、175°；60°、150°；48°、138°；36°、126°；27°37′、117°37′；11°36′52″、101°36′52″.例2(1)若互余兩角的差為20°，求這兩個(gè)角中較小的角的補(bǔ)角的度數(shù)；（2）若一個(gè)角的余角比這個(gè)角的補(bǔ)角的一半還少4°，求這個(gè)角的余角的度數(shù).解：（1）設(shè)這兩個(gè)角中較小的角的度數(shù)為x°，較大的角的度數(shù)為(90-x)°.則（90-x）-x=20.解得x=35.所以180°-35°=145°.即這兩個(gè)角中較小的角的補(bǔ)角是145°.（2）設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為x°.則90-x=1/2（180-x）-4.解得x=8.余角為90°-8°=82°.即這個(gè)角的余角為82°.例3有兩個(gè)角,若第一個(gè)角割去它的1/3后與第二個(gè)角互余,若第一個(gè)角補(bǔ)上它的2/3后與第二個(gè)角互補(bǔ),求這兩個(gè)角的度數(shù).【分析】本題依題意可這樣理解，第二個(gè)角的余角是第一個(gè)角的3/2(因?yàn)榈谝粋€(gè)割去1/3后與第二個(gè)互余)，故設(shè)第二個(gè)角為x，則3/2(90-x)是第一個(gè)角的度數(shù)，再依第二個(gè)等量關(guān)系列方程.解：設(shè)第二個(gè)角為x，則依題意知第一個(gè)角為3/2(90-x)，3/2(90-x)(1+2/3)+x=180，解得x=30，3/2(90-x)=90.∴第一個(gè)角為90°，第二個(gè)角為30°.【教學(xué)說(shuō)明】解這類題的關(guān)鍵是把這個(gè)角的補(bǔ)角、余角準(zhǔn)確地用關(guān)于這個(gè)角的代數(shù)式表示出來(lái),再利用補(bǔ)角和余角的關(guān)系建立方程求解.例4海上，緝私艇B發(fā)現(xiàn)離它500海里處停著一艘可疑船只A（如圖），立即趕往檢查.現(xiàn)請(qǐng)你確定緝私艇的航線方向，畫出示意圖.解：如圖所示，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)，表示正北方向的射線為角的一邊，畫40°的角，使它的另一邊AB落在東與北之間，射線AB的方向就是北偏東40°，即可疑船只A所在的方向.四、運(yùn)用新知，深化理解1.66°角的余角是______.2.如圖，若∠1+∠2=180°，∠3+∠2=180°，則∠1=______，依據(jù)是____________.3.教材第139頁(yè)習(xí)題4.3第8題.4.如圖，一輛汽車在馬路上由西向東行駛，∠AOB=30°，∠DO′C=150°.若這輛汽車向右拐，則需拐多少度？若這輛汽車向左拐，則需拐多少度？5.如圖，∠AOB、∠COD都是直角.（1）試猜想鈍角∠AOD與銳角∠BOC在數(shù)量上是相等、互余還是互補(bǔ)的關(guān)系？你能用推理的方法說(shuō)明你的猜想是否合理嗎？（2）當(dāng)∠COD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，你原來(lái)的猜想還成立嗎？【教學(xué)說(shuō)明】以上幾題都是關(guān)于余角、補(bǔ)角的題，其中第1、2題較簡(jiǎn)單，由學(xué)生獨(dú)立思考后舉手回答，第3題需要實(shí)際操作，可讓4位同學(xué)上臺(tái)板演，第4～5題稍難，需要理解相關(guān)知識(shí)，教師應(yīng)稍作點(diǎn)撥.【答案】1.24°2.∠3同角的補(bǔ)角相等3.解：（1）如圖①，射線OA表示北偏西30°；（2）如圖②射線OB表示南偏東60°；（3）如圖③，射線OC表示北偏東15°；（4）如圖④，射線OD表示西南方向.4.解：向左拐時(shí)的拐角為180°-∠DO′C=180°-150°=30°；向右拐時(shí)的拐角為180°-∠AOB=180°-30°=150°.5.解：（1）∠AOD與∠BOC互補(bǔ).因?yàn)椤螦OD=∠AOB+∠BOD=90°+∠BOD，又因?yàn)椤螧OD=90°-∠BOC，所以∠AOD=90°+90°-∠BOC，即∠AOD+∠BOC=180°.（2）∠AOD與∠BOC互補(bǔ)仍然成立.因?yàn)椤螦OB、∠COD都是直角，所以∠AOB+∠COD=180°.又因?yàn)椤螦OB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°，所以∠BOC+∠AOD=180°，所以∠BOC與∠AOD互補(bǔ).五、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了余角和補(bǔ)角，并通過(guò)簡(jiǎn)單的探究推理，得出了余角和補(bǔ)角的性質(zhì)，此外我們還了解了方位角，學(xué)會(huì)了確定物體運(yùn)動(dòng)的方向，對(duì)于這些知識(shí)點(diǎn)你有什么收獲和體會(huì)？說(shuō)說(shuō)看.1.布置作業(yè)：從教材習(xí)題4.3中選取.2.完成練習(xí)