預習第12講直線的交點坐標與距離公式2024年新高二暑假數(shù)學專題化復習與重點化預習（人教A版2019選擇性）

第12講直線的交點坐標與距離公式1.會求兩直線的交點；2.會求兩點間的距離；3.會求點到直線和兩平行線間的距離；1兩條直線的交點設兩條直線的方程是l1:兩條直線的交點坐標就是方程組A1x+(1)若方程組有唯一解，則這兩條直線相交，此解就是交點的坐標；(2)若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行；(3)若方程組有無數(shù)個解，則兩條直線重合.2經過兩直線交點的直線系過兩條已知直線l1:AA(λ∈R,這個直線系下不包括直線l2:A23兩點距離公式平面上的兩點P1(x4兩點距離公式的幾何意義幾何問題與代數(shù)問題間可相互轉化.形如d=x2-x125點到直線的距離公式點P0(x0,6兩平行直線間的距離兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+

【題型一】求兩直線交點相關知識點講解設兩條直線的方程是l1:兩條直線的交點坐標就是方程組A1x+(1)若方程組有唯一解，則這兩條直線相交，此解就是交點的坐標；(2)若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行；(3)若方程組有無數(shù)個解，則兩條直線重合.【典題1】過兩直線3x+y-1=0與x+2y-7=0的交點，并且與第一條直線垂直的直線方程是（）A．3x+y-1=0 B．3x+y+1=0 C．x-3y+13=0 D．x-3y+6=0【答案】C【分析】通過解方程組，結合互相垂直的直線斜率之間的關系進行求解即可.【詳解】由3x+y-1=0x+2y-7=0可得兩直線交點P由第一條直線的斜率為-3，得到所求直線的斜率為k=1∴所求直線的方程為：y-4=13(x+1)故選：C變式練習1.經過兩條直線2x-3y+10=0和3x+4y-2=0的交點，且垂直于直線2x-y-1=0的直線方程為（

）A．x-2y-6=0 B．x+2y-2=0C．2x-y-3=0 D．2x+y-2=0【答案】B【分析】首先求出兩條直線的交點坐標，再根據垂直求出斜率，點斜式寫方程即可.【詳解】由題知：2x-3y+10=03x+4y-2=0，解得：x=-2y=2，交點直線2x-y-1=0的斜率為2，所求直線斜率為-1所求直線為：y-2=-12(x+2)故選：B.2.已知直線2x+y+5=0與直線kx+2y=0互相垂直，則它們的交點坐標為()A．-1,-3 B．-2,-1C．-12,-1【答案】B【分析】先根據垂直關系求解出k的值，然后聯(lián)立直線方程可求交點坐標.【詳解】因為2x+y+5=0與kx+2y=0互相垂直，所以2k+2=0，所以k=-1，所以2x+y+5=0x-2y=0，解得x=-2所以交點坐標為-2,-1，故選：B.3.若曲線y=kx及y=x+kk>0能圍成三角形，則k的取值范圍是(A．0<k<1 B．0<k≤1 C．k>1 D．k≥1【答案】C【分析】考慮當x>0時射線y=kx與直線y=x+k有交點即可.【詳解】曲線y=kx由兩條射線構成，它們分別是射線y=-kx,x≤0及射線y=kx,x>0因為方程y=-kxy=x+kx≤0的解x=-kk+1，故射線若曲線y=kx及y=x+kk>0能圍成三角形，則方程故x=kk-1>0，因此【點睛】本題考慮直線的位置關系，屬于基礎題，注意直線的位置關系可以轉化方程組解來處理.4.直線l1:x+m+1y-2m-2=0與直線l2:m+1x-y-2m-2=0相交于點P，對任意實數(shù)m，直線l1,lA．4 B．8 C．22 D．【答案】A【分析】首先求點A,B的坐標，并判斷兩條直線的位置關系，結合基本不等式，即可求解.【詳解】直線l1:x+y-2+my-2=0，當即點A0,2直線l2:x-y-2+mx-2=0，當x-y-2=0x-2=0且兩條直線滿足1×m+1+m+1×-1PA2PA+PB≤所以PA+PB故選：A【題型二】過兩直線交點的直線系相關知識點講解1經過兩直線交點的直線系過兩條已知直線l1:AA(λ∈R,這個直線系下不包括直線l2:A22直線的位置關系(1)若直線l1:A1x+B則A1(2)若直線l1:A1x+B則A1【典題1】過直線3x-2y+3=0與x+y-4=0的交點，與直線2x+y-1=0平行的直線方程為（

）A．2x+y-5=0 B．2x-y+1=0C．x+2y-7=0 D．x-2y+5=0【答案】A【分析】利用直線系方程結合直線平行的條件可得參數(shù)，進而即得.【詳解】由已知，可設所求直線的方程為：(3x-2y+3)+λ(x+y-4)=0，即(λ+3)x+(λ-2)y+3-4λ=0，又因為此直線與直線2x+y-1=0平行，所以：λ+32解得：λ=7，所以所求直線的方程為：10x+5y-25=0，即2x+y-5=0．故選：A．變式練習1.過兩直線l1:x-3y+4=0和l2A．3x19y=0 B．19x3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=0【答案】D【分析】設過兩直線交點的直線系方程為x-3y+4+λ(2x+y+5)=0，代入原點坐標，得4+5λ=0，求解即可.【詳解】設過兩直線交點的直線系方程為x-3y+4+λ(2x+y+5)=0，代入原點坐標，得4+5λ=0，解得λ=-4故所求直線方程為x-3y+4-45(2x+y+5)=0故選：D.2.經過直線3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交點，且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為（

）A．x+y+1=0 B．x-y+1=0C．x+y+1=0或3x+4y=0 D．x-y+1=0或x+y+1=0【答案】C【分析】設直線方程為3x+2y+6+λ(2x+5y-7)=0，求出其在兩坐標軸上的截距，令其相等，解方程即可求出結果.【詳解】解：設直線方程為3x+2y+6+λ(2x+5y-7)=0，即(3+2λ)x+(2+5λ)y+6-7λ=0令x=0，得y=7λ-6令y=0，得x=7λ-6由7λ-62+5λ得λ=13或所以直線方程為x+y+1=0或3x+4y=0.故選：C.【點睛】此題是一道中檔題也是一道易錯題，要求學生會利用待定系數(shù)法求直線的方程，學生做題時往往會把過原點的情況忽視導致答案不完整.【題型三】求各種距離相關知識點講解1兩點距離公式平面上的兩點P1(x證明P12兩點距離公式的幾何意義幾何問題與代數(shù)問題間可相互轉化.形如d=x2-x123點到直線的距離公式點P0(x0,證明過點P作PQ⊥l交直線l與Q，設A≠0,B≠0，由PQ⊥l，以及直線l的斜率為-AB，可得l的垂線PQ的斜率為因此，垂線PQ的方程為y-y0=解方程組&Ax+By+C=0得直線l與PQ的交點坐標，即垂足Q的坐標為B2于是PQ因此點P0(x0,當A=0或B=0時，上述公式仍然成立.(也可以用向量的方法證明)【例】點P(1,2)到直線3x+4y-12=0的距離為.解由點到直線的距離公式得d=|3+8-12|4兩平行直線間的距離兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+證明在直線Ax+By+C1=0上任取一點Px0,y因為點Px0,y0在直線Ax+By+C1【例】兩平行線3x-2y-15=0與3x－2y+11=0的距離為________解由兩平行直線距離公式得d=|11-(-15)|【典題1】點A-1,1,B2,3，點P在x軸上，則PAA．27 B．5 C．4 D．【答案】B【分析】求得A-1,1關于x軸的對稱點A1-1,-1【詳解】如圖所示，A-1,1關于x軸的對稱點為A1則PA+當B,P,A又BA故PA+PB故選：B.【典題2】直線l過點P1,2，A2,3和B4,-5兩點到直線l的距離相等，則直線lA．4x+y-9=0或3x+2y-8=0 B．4x+y-6=0或3x+2y-7=0C．4x+y-9=0或2x+3y-8=0 D．4x+y-9=0或2x+3y-8=0【答案】B【分析】分類討論直線l斜率存在與否，利用點線距離公式判斷或得到方程，解之即可.【詳解】依題意，得當直線l斜率不存在時，直線l為x=1，此時A2,3到直線l的距離為1，B4,-5到直線l的距離為當直線l斜率存在時，設直線l為y-2=kx-1，即kx-y-k+2=0因為A2,3和B4,-5兩點到直線所以2k-3-k+2k2+1=4k+5-k+2k2所以直線l為y-2=-4x-1或y-2=-32x-1，即故選：B.【典題3】設直線l1:x-2y-2=0與l2關于直線l:2x-y-4=0A．11x+2y-22=0 B．11x+y+22=0C．5x+y-11=0 D．10x+y-22=0【答案】A【分析】根據三條直線交于一點，再利用點關于直線的對稱點公式，求直線l2上一點，即可求解【詳解】聯(lián)立x-2y-2=02x-y-4=0，得x=2取直線l1:x-2y-2=0上一點0,-1，設點0,-1關于直線l:2x-y-4=0的對稱點為a,b，則b+1a直線l2的斜率k=-112，所以直線l整理為：11x+2y-22=0.故選：A變式練習1.已知A(a,2),B(-2,-3),C(1,6)三點，且AB=AC，則實數(shù)a的值為（A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】A【分析】直接利用兩點間的距離公式列方程計算即可【詳解】由兩點間的距離公式，及AB=AC可得：(a+2)2故選：A2.已知點A0,3及直線l:x+y-1=0上一點B，則AB的值不可能是（

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】求出點A到直線l的距離d=2，易知AB≥d【詳解】易知點A0,3到直線l:x+y-1=0的距離為d=所以AB≥因此AB的值不可能是1.故選：A3.直線x+y-1=0上與點P(-2,3)的距離等于2的點的坐標是（

）A．(-4,5) B．(-3,4)C．(-3,4)或(-1,2) D．(-4,5)或(0,1)【答案】C【分析】設所求點坐標為x0,【詳解】設所求點的坐標為x0,y0，有兩式聯(lián)立解得x0=-3y故選：C4.已知A-3,-4，B6,3兩點到直線l:ax+y+1=0的距離相等，求a的值（A．13 B．-97 C．-13或-【答案】C【分析】利用點到直線距離公式列出關于a的方程求解即可．【詳解】因為點A(-3,-4),B(6,3)到直線l:ax+y+1=0的距離相等，所以|-3a-4+1|a2+1化簡得27a2+30a+7=0，解得a=-故選：C.5.設點P，Q分別為直線3x+4y-7=0與直線6x+8y+3=0上的任意一點，則PQ的最小值為（

）A．1 B．2 C．1710 D．【答案】C【分析】因為直線3x+4y-7=0與直線6x+8y+3=0平行，所以PQ的最小值為直線6x+8y-14=0與直線6x+8y+3=0距離，求解即可.【詳解】由直線3x+4y-7=0可得6x+8y-14=0，所以直線3x+4y-7=0與直線6x+8y+3=0平行，所以PQ的最小值為直線6x+8y-14=0與直線6x+8y+3=0距離，所以d=3-故選：C.6.點P(cosθ,sinθ)到直線A．125,175 B．75,【答案】C【分析】由點到距離公式把距離表示成θ的三角函數(shù)，根據三角函數(shù)性質求得距離的取值范圍.【詳解】由點到直線距離公式有：P到直線的距離為d=3其中sinφ=由三角函數(shù)性質易知，5sin故d∈7故選：C.7.若平面內兩條平行線l1：x+a-1y+2=0與l2：ax+2y+1=0間的距離為35A．1 B．2 C．l或2 D．2或l【答案】A【分析】根據題意，利用分類討論思想，結合平行直線的性質以及距離公式，可得答案.【詳解】①當a=1時，可得l1:x+2=0，l2②當a≠1時，可得直線l1的斜率k1=11-a由11-a=-a2，整理可得a2-a-2=0，則當a=2時，可得l1:x+y+2=0，l2:2x+2y+1=0，整理由兩平行直線之間的距離2-1當a=-1時，可得l1:x-2y+2=0，l2:-x+2y+1=0，整理由兩平行直線之間的距離2+11+4=綜上可得a=-1.故選：A.8.如圖所示，已知三角形的三個頂點為A2,4(1)BC所在直線的方程；(2)BC邊上的高AD所在直線的方程；(3)三角形ABC的面積.【答案】(1)5x+3y+1=0；(2)3x-5y+14=0；(3)23【分析】（1）利用直線的兩點式方程即可求得BC所在直線的方程；（2）先求得直線AD的斜率，再利用直線的點斜式方程即可求得AD所在直線的方程；（3）利用點到直線距離公式求得BC邊上的高，再利用兩點間距離公式求得BC邊的長，進而求得三角形ABC的面積.【詳解】（1）因為B1,-2所以直線BC的兩點式方程為y+23+2化簡得5x+3y+1=0；（2）因為kBC=-2-3則kBC?k則直線AD的方程為y-4=3即3x-5y+14=0.（3）點A2,4到直線BC：5x+3y+1=0AD=又△ABC的底邊BC=所以△ABC的面積為S=1【題型四】綜合性問題【典題1】在平面直角坐標系中，已知點Pa,b滿足a+b=1，記d為點P到直線x-my-2=0的距離.當a,b,m變化時，A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據直線l:x-my-2=0過定點A確定出對于給定的一點P，d取最大值時PA⊥l且dmax=PA，然后根據點P為正方形上任意一點求解出PA【詳解】直線l:x-my-2=0過定點A2,0對于任意確定的點P，當PA⊥l時，此時d=PA當PA不垂直l時，過點P作PB⊥l，此時d=PB因為PB⊥AB，所以PA>PB，所以由上可知：當P確定時，dmax即為PA，且此時PA⊥l又因為P在如圖所示的正方形上運動，所以dmax當PA取最大值時，P點與M-1,0重合，此時PA所以dmax故選：C.【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵在于利用圖像分析d取最大值時PA與直線l的位置關系，通過位置關系的分析可將問題轉化為點到點的距離問題，根據圖像可直觀求解.變式練習1.10x2-6x+1A．3 B．22 C．355【答案】D【分析】由題意，分析10x2【詳解】由題意知，10x設P(x,0),M(3則(x-310)如圖，作點M(310,110)關于與x軸的交點即為所求點P，此時PM+PN取得最小值，為而NM即(x-310)所以10x2-6x+1故選：D2.設x＋2y＝1，x≥0，y≥0，則x2＋y2的最小值和最大值分別為()A．15，1 B．0C．0，15 D．15【答案】A【詳解】如圖2，在直角坐標系中，x+2y=1表示直線，記d2=x2+y即dmin2=(1×0+2×0-112+2

點睛：本題主要考查了點到直線的距離公式和直線方程的應用，解答中把x2+y2轉化為直線上的點到原點的距離的平方，顯然原點到直線x+2y=1的距離的平方即3.已知x,y∈R+，滿足2x+y=2，則x+xA．54 B．85 C．1 D【答案】B【分析】先求出點O關于線段2x+y=2的對稱點C的坐標，且有x2+【詳解】如圖，過點O作點O關于線段2x+y=2的對稱點C，則PO=設Cx0,y0，則有y設Px,y，則PO=x又x,y∈R+，所以點P到y(tǒng)軸的距離為所以x+x2+y2可視為線段2x+y=2上的點Px,y過P作PD⊥x軸，過點C作CH⊥x軸，顯然有PD+PC≥CD≥CH，則CH為所求最小值，此時CH與線段AB易得CH=85，所以x+故選：B．【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵在于將問題轉化為點Px,y到y(tǒng)軸的距離與到C84.已知在△ABC中，其中B(1,4)，C(6,3)，∠BAC的平分線所在的直線方程為x-y+1=0，則△ABC的面積為（

）A．52 B．102 C．8 D【答案】C【分析】首先求得直線x-y+1=0與直線BC的交點D的坐標，利用D到直線AB,AC的距離相等列方程，解方程求得A點的坐標.利用A到直線BC的距離以及BC的長，求得三角形ABC的面積.【詳解】直線BC的方程為y-4=-15x-1由x+5y-21=0x-y+1=0解得D設Aa,a+1,a≠83，直線AB,ACa-3x-a-1y+3a-1，a-2x-a-6y-3a-6=0a-3×2a-1632a2a2-83a=0，解得a=0所以A0,1到直線BC的距離為5-2112+5故選：C

【點睛】本小題主要考查直線方程的求法，考查直線與直線交點坐標，考查點到直線距離公式、兩點間的距離公式，考查角平分線的性質，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.5.某學校在平面圖為矩形的操場ABCD內進行體操表演，其中AB=40，BC=15，O為AB上一點（不與端點重合），且BO=10，線段OC，OD，MN為表演隊列所在位置（M，N分別在線段OD，OC上），△OCD內的點P為領隊．位置，且點P到OC(1)當d為何值時，P為隊列MN的中點？(2)求觀賞效果最好時△OMN的面積．【答案】(1)13(2)654【分析】（1）建立平面直角坐標系，易得OC:y=32x；OD：y=-12x，可設Pa,ba<0,b>0，M-2m,m，N（2）由M，N，P【詳解】（1）以O為坐標原點，AB所在直線為x軸，過點O且垂直于AB的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則C10,15，B10,0，∴直線OC的方程為y=32x，直線OD設Pa,ba<0,b>0，M-2m,m由題意得32a-b94+1=∴P-2,72．∵P為MN的中點，∴-2m+n=-4∴M-132,∴當d=1354時，P（2）由M，N，P三點共線，得m-7∴S△OMN又∵5n+13當且僅當25m2n=169n∴觀賞效果最好時△OMN的面積為654【A組基礎題】1.經過兩條直線2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交點，并且垂直于直線3x＋4y－7＝0的直線方程為()A．4x－3y＋9＝0 B．4x＋3y＋9＝0C．3x－4y＋9＝0 D．3x＋4y＋9＝0【答案】A【分析】聯(lián)立直線方程求出交點坐標，利用兩直線垂直的條件求出斜率，點斜式寫出直線方程.【詳解】2x＋3y因為所求直線與直線3x＋4y－7＝0垂直所以所求直線方程：4x－3y＋9＝0故選A2.已知Aa,-5與B0,10兩點間的距離是17，則a的值為(A．8 B．266 C．±266 D【答案】D【分析】直接用兩點間得距離公式計算即可.【詳解】由兩點間的距離公式得：a-02+-5-10故選：D3.過點P1,1引直線，使A2,3，B4,-5A．4x+y-5=0 B．x+4y-5=0C．x+y-2=0或4x+y-5=0 D．x+y-2=0或x+4y-5=0【答案】C【分析】當直線斜率不存在時不合題意，當直線斜率存在時，設出直線方程，利用點到直線的距離相等求解即可.【詳解】當直線斜率不存在時，直線方程為x=1，A2,3，B4,-5到它的距離分別為1，當直線斜率存在時，設直線方程為y-1=k(x-1)，即kx-y-k+1=0，由A2,3，B得2k-3-k+1k2+1=4k+5-k+1k2+1，解得故選：C.4.著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)形結合百般好，割裂分家萬事休．”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：x-a2+y-b2可以轉化為點x,y到點a,b的距離，則A．3 B．22+1 C．23【答案】D【分析】把目標式進行轉化，看作動點到兩個定點距離和的最值，利用對稱性可得答案.【詳解】x2可以看作點Px,0到點A作點A關于x軸的對稱點A'0,-1，顯然當最小值為B,A'間的距離故選：D.5.若P(2,3)既是Aa1，b1、Ba2，b2的中點A．3x-2y=0 B．3x-2y-12=0C．2x-3y-13=0 D．2x-3y+5=0【答案】A【分析】直線l1:a1x+b1y-13=0與直線l2【詳解】解：直線l1:a(a把點P代入可得：kAB∴線段AB的中垂線方程是y-3=32(x-2)故選A．【點睛】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．6.已知直線2x+y-3=0與直線4x-my-3=0平行，則它們之間的距離是【答案】3【分析】利用兩條直線平行的條件、平行直線的距離公式運算即可得解.【詳解】解：∵直線2x+y-3=0與直線4x-my-3=0平行，∴24=1∴直線4x+2y-3=0，又∵直線2x+y-3=0可化為4x+2y-6=0，∴兩平行線之間的距離d=-3-7.數(shù)學家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知△ABC的頂點分別為A3,1，B4,2，C2,3，則△ABC【答案】x+y-5=0【分析】求出重心坐標，求出AB邊上高和AC邊上高所在直線方程，聯(lián)立兩直線可得垂心坐標，即可求出歐拉線方程.【詳解】由題可知，△ABC的重心為G3,2可得直線AB的斜率為1-23-4=1，則AB邊上高所在的直線斜率為則方程為y-3=-x-2，