2022屆重慶市高三第八次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題解析版

2022屆重慶市高三第八次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可；【詳解】解：因為，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，位于第一象限；故選：A2．已知集合，設(shè)集合，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意得，再由交集和并集運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可知，，，，.故選：C3．等差數(shù)列的前5項和為40，，則（

）A．12 B．14 C．6 D．7【答案】B【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及前項和公式得到方程組，解得和，即可求出數(shù)列的通項公式，即可得解；【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意，解得，所以，所以；故選：B4．在中，“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】試題分析：由，所以，則或，即或，所以“”是“”的充分不必要條件，故選A．【解析】二倍角公式的應(yīng)用．5．《黃帝內(nèi)經(jīng)》中十二時辰養(yǎng)生法認(rèn)為：子時的睡眠對一天至關(guān)重要（子時是指23點到次日凌晨1點）．相關(guān)數(shù)據(jù)表明，人睡時間越晚，沉睡時間越少，睡眠指數(shù)也就越低，根據(jù)某次的抽樣數(shù)據(jù)，對早睡群體和晚睡群體睡眠指數(shù)的統(tǒng)計如下表：組別睡眠指數(shù)早睡人群占比晚睡人群占比12345注：早睡人群為23:00前人睡的人群，晚睡人群為01:00后入睡的人群．根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（

）A．早睡人群睡眠指數(shù)的中位數(shù)估計在第3組B．第1組的早睡人數(shù)少于晚睡人數(shù)C．第5組中有的人在23:00后，01:00前人睡D．晚睡人群的睡眠指數(shù)平均數(shù)估計落在區(qū)間【答案】D【分析】對于A，由中位的計算可判斷，對于B、C由題意可判斷，對于D，計算平均數(shù)后可判斷.【詳解】對于A，由于，所以早睡人群睡眠指數(shù)的中位數(shù)估計不在第3組，故A不正確；對于B、C，每一組中的早睡人群占比與晚睡人群占比都是以早睡與晚睡各自的總?cè)藬?shù)為基數(shù)的，所以每一組中的早睡人數(shù)與晚睡人數(shù)不能從所占的百分比來判斷，故B、C不正確；對于D，晚睡人群的睡眠指數(shù)平均數(shù)為，故D正確.故選：D6．在直角中，．以AB為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，則該幾何體的內(nèi)切球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖作出旋轉(zhuǎn)體的軸截面，由題意可得軸截面為邊長為的正方形，其中，從而可求出內(nèi)切球的半徑，進(jìn)而求出其體積.【詳解】如圖所示，旋轉(zhuǎn)體的軸截面為邊長為的正方形，O為內(nèi)切球的球心，在直角中，，則．其中所以該幾何體的內(nèi)切球的體積為故選：A7．過拋物線的焦點作傾斜角為的直線，交于、兩點，交軸于點．若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)點、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出、的值，利用弦長公式結(jié)合已知條件可求得的值.【詳解】拋物線的焦點為，易知直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立，可得，解得，，所以，，，所以，，因為，解得.故選：B.8．若函數(shù)有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得且，則，即可求出的大致范圍，再令的根為、且，，，對分兩種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；【詳解】解：依題意且，所以，解得或，綜上可得，令的根為、且，，，若，則在定義域上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)不存在最小值，故舍去；若，則在定義域上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在取得最小值，所以；故選：A二、多選題9．已知正數(shù)a，b滿足，則下列說法一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由基本不等式判斷AD，取判斷BC.【詳解】由題意可知，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），故A正確；取，則，故BC錯誤；因為，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），則（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），故D正確；故選：AD10．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，、分別為線段、的中點，為線段上的動點（不含端點），則下列說法正確的是（

）A．對任意點，則有、、、四點共面B．存在點，使得、、、四點共面C．對任意點，則有平面D．存在點，使得平面【答案】BD【分析】以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法可判斷各選項的正誤.【詳解】因為底面，四邊形為正方形，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、、、，設(shè)，其中，則，，，設(shè)，則，解得，故存在點，使得、、、四點共面，B對；，，，設(shè)，所以，，解得，不合乎題意，A錯；，，若平面，平面，則，解得，C錯；設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，，若平面，則，解得，故當(dāng)點與點重合時，平面，D對.故選：BD.11．重慶榮昌折扇是中國四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年間，明末已成為貢品人朝，產(chǎn)品以其精湛的工業(yè)制作而聞名于海內(nèi)外．經(jīng)歷代藝人刻苦鉆研、精工創(chuàng)制，榮昌折扇逐步發(fā)展成為具有獨特風(fēng)格的中國傳統(tǒng)工藝品，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛．古人曾有詩贊曰：“開合清風(fēng)紙半張，隨機(jī)舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細(xì)，玉柵齊編鳳翅長，偏稱游人攜袖里，不勞侍女執(zhí)花傍；宮羅舊賜休相妒，還汝團(tuán)圓共夜涼”圖1為榮昌折扇，其平面圖為圖2的扇形COD，其中，動點P在上（含端點），連接OP交扇形OAB的弧于點Q，且，則下列說法正確的是（

）圖1

圖2A．若，則 B．若，則C． D．【答案】ABD【分析】建立平面直角系，表示出相關(guān)點的坐標(biāo)，設(shè)，可得，由，結(jié)合題中條件可判斷A,B;表示出相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可判斷C，D.【詳解】如圖，作,分別以為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，則,由可得，且，若，則，解得，（負(fù)值舍去），故，A正確；若，則，，故B正確；，由于，故，故，故C錯誤；由于，故，而，故，故D正確，故選：ABD12．“出租車幾何”或“曼哈頓距離”（ManhattanDistance）是由十九世紀(jì)的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，是種被使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，對于任意兩點、，定義它們之間的“歐幾里得距離”，“曼哈頓距離”為，則下列說法正確的是（

）A．若點為線段上任意一點，則為定值B．對于平面上任意一點，若，則動點的軌跡長度為C．對于平面上任意三點、、，都有D．若、為橢圓上的兩個動點，則最大值為【答案】AC【分析】利用題中定理可判斷A選項；作出點的軌跡圖形，求其周長可判斷B選項；利用絕對值三角不等式可判斷C選項；設(shè)點、，不妨設(shè)，，利用輔助角公式結(jié)合正弦型函數(shù)的有界性可判斷D選項.【詳解】對于A選項，設(shè)點為線段上任意一點，則，A對；對于B選項，設(shè)點，則，當(dāng)，時，則；當(dāng)，時，則；當(dāng)，時，則；當(dāng)，時，則.作出點的軌跡如下圖所示：由圖可知，點的軌跡是邊長為的正方形，故動點的軌跡長度為，B錯；對于C選項，設(shè)點、、，由絕對值三角不等式可得，同理可得，所以，，即，C對；對于D選項，設(shè)點、，不妨設(shè)，，則，其中為銳角，且，取，，等號成立，D錯.故選：AC.三、填空題13．函數(shù)的最小正周期為_______.【答案】【詳解】試題分析：，所以函數(shù)的周期等于【解析】1.二倍角降冪公式；2.三角函數(shù)的周期.14．展開式中含有項的系數(shù)為_____________．【答案】【分析】求出的的系數(shù)，即得解.【詳解】解：設(shè)的通項為令，所以令，所以所以項的系數(shù)為.故答案為：15．年月以來，重慶出現(xiàn)新一輪由奧密克戎變異毒株引發(fā)的新冠疫情，有個區(qū)域被判定為中風(fēng)險地，均在高新區(qū)．為了盡快控制疫情，重慶市政府決定派名專員對這三個中風(fēng)險地區(qū)的疫情防控工作進(jìn)行指導(dǎo)．若每個中風(fēng)險地區(qū)至少派一名專員且人要派完，專員甲、乙需到同一中風(fēng)險地區(qū)指導(dǎo)，則不同的專員分配方案總數(shù)為_____________．【答案】【分析】將人分成三組，每組至少一人，則各組人數(shù)分別為、、或、、，然后分這兩種情況討論，按照先分組再分配的方式可求得結(jié)果.【詳解】將人分成三組，每組至少一人，則各組人數(shù)分別為、、或、、.①若三組人數(shù)分別為、、，則甲、乙所在組的人數(shù)為，此時還需從另外人中選人到這組，此時不同的分配方案種數(shù)為；②若三組人數(shù)分別為、、，則其中一組有人的為甲、乙所在的一組，此時不同的分配方案種數(shù)為.綜上所述，不同的分配方案種數(shù)為.故答案為：.16．已知雙曲線的左、右焦點分別為，分別過，作斜率為2的直線交C在x軸上半平面部分于P，Q兩點．記面積分別為，若，則雙曲線C的離心率為_____________．【答案】【分析】根據(jù)得到，結(jié)合雙曲線的定義、余弦定理列方程，化簡求得雙曲線的離心率.【詳解】依題意，，面積分別為，且，由于，所以，設(shè)，由雙曲線的定義可知，由，可解得，故在三角形和三角形，分別由余弦定理得，整理得，兩式相減得.故答案為：【點睛】求解雙曲線與焦點三角形有關(guān)的問題，可結(jié)合雙曲線的定義來進(jìn)行考慮.求解雙曲線的離心率，可利用直接法求得來求，也可以根據(jù)題意建立關(guān)于的方程，通過化簡來求得離心率.四、解答題17．在①；②；③.這三個條件中任選一個，補(bǔ)充到下面問題中，并解答問題．在中，內(nèi)角、、的對邊長分別為、、，且_______．(1)求角的大?。?2)若的面積為，求的最小值．【答案】(1)條件選擇見解析，(2)【分析】（1）選①，由正弦定理結(jié)合余弦定理可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；選②或③，利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可得出，再利用余弦定理結(jié)合基本不等式可得出關(guān)于的不等式，即可解得的最小值.【詳解】(1)解：選①，由及正弦定理可得，所以，，由余弦定理可得，，則；選②，由及正弦定理可得，即，因為、，則，所以，，則；選③，由及正弦定理可得，因為，則，所以，，則.(2)解：由三角形的面積公式可得，，由余弦定理結(jié)合基本不等式可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值為.18．設(shè)數(shù)列的前n項和為，且．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)令，記數(shù)列的前n項和為，若實數(shù)使得對任意的恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)證明見詳解；(2)【分析】（1）由的關(guān)系得，兩邊同除以得證.（2）由（1）知數(shù)列為等差數(shù)列，求出的通項公式，即數(shù)列的通項公式，證明為等差數(shù)列并求出，代入，化簡得，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解.【詳解】(1)解：由題知，當(dāng)時，，所以，，，所以數(shù)列為等差數(shù)列.(2)由，當(dāng)時，，化簡得，由（1）知數(shù)列為等差數(shù)列，首項為，公差是1，所以，，由，得是等差數(shù)列，首項為2，公差為1，所以數(shù)列的前n項和，實數(shù)使得對任意的恒成立，，化簡得，的最小值為9，所以，所以.19．在直角梯形ABCD中，，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，沿EF將四邊形EFCD折起，使得（如圖2）．(1)求證：平面平面EFCD；(2)若直線AC與平面ABFE所成角的正切值為，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由，得，由，得平面，能證明平面平面．（2）過點作，交于點，連接，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，則直線與平面所成角的平面角為，設(shè)，即可表示出，再由銳角三角函數(shù)得到方程，求出，最后建立空間角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【詳解】(1)證明：由題設(shè)條件，，，則，又且，平面，則平面，又平面故平面平面．(2)解：過點作，交于點，連接，因為平面平面，平面平面，所以平面，故直線與平面所成角的平面角為，設(shè)，則在中，，，所以，解得，如圖，建立空間角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，則平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，由，令，則，則二面角的余弦值為．20．冰壺被喻為冰上的“國際象棋”，是以團(tuán)隊為單位在冰上進(jìn)行的投擲性競賽項目，每場比賽共10局，在每局比賽中，每個團(tuán)隊由多名運(yùn)動員組成，輪流擲壺、刷冰、指揮．兩邊隊員交替擲壺，可擊打本方和對手冰壺，以最終離得分區(qū)圓心最近的一方冰壺數(shù)量多少計算得分，另外一方計零分，以十局總得分最高的一方獲勝．冰壺運(yùn)動考驗參與者的體能與腦力，展現(xiàn)動靜之美，取舍之智慧．同時由于冰壺的擊打規(guī)則，后投擲一方有優(yōu)勢，因此前一局的得分方將作為后一局的先手?jǐn)S壺．已知甲、乙兩隊參加冰壺比賽，在某局中若甲方先手?jǐn)S壺，則該局甲方得分概率為；若甲方后手?jǐn)S壺，則該局甲方得分概率為，每局比賽不考慮平局．在該場比賽中，前面已經(jīng)比賽了六局，雙方各有三局得分，其中第六局乙方得分．(1)求第七局、第八局均為甲方得分的概率；(2)求當(dāng)十局比完，甲方的得分局多于乙方的概率．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用獨立事件的概率公式求解；（2）求出后面四局甲全勝和甲勝三局的概率即得解.【詳解】(1)解：第六局乙方得分，所以第七局乙方先擲壺，甲方后擲壺，則第七局甲方得分概率為；第七局甲方得分，則第八局甲先擲壺，乙后擲壺，第八局甲方得分的概率為，所以第七局、第八局均為甲方得分的概率為.(2)解：前面已經(jīng)比賽了六局，雙方各有三局得分，所以后面四局甲全勝或者甲勝三局.后面四局甲全勝，且第七局乙先擲壺，則概率為；后面四局甲勝三局，且第七局乙先擲壺，分為第七局乙得分或者第八局乙得分或第九局乙得分或第十局乙得分，所以概率為則當(dāng)十局比完，甲方的得分局多于乙方的概率為.21．已知橢圓經(jīng)過點和點．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；(2)若、為橢圓上異于點的兩點，且點在以為直徑的圓上，求證：直線恒過定點．【答案】(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率為(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出的值，可得出橢圓的離心率；（2）對直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在直線的斜率存在時，設(shè)出直線的方程，并將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由可得出參數(shù)之間的關(guān)系，化簡直線的方程，可得出直線所過定點的坐標(biāo)；在直線的斜率不存在時，根據(jù)已知條件求出點、的橫坐標(biāo)，可得出直線的方程，綜合可得出直線所過定點的坐標(biāo).【詳解】(1)解：將點、的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，解得，則，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率為.(2)解：分以