4.3 對數(shù)（原卷版）-高中數(shù)學(xué)教學(xué)資料

.3對數(shù)知識(shí)點(diǎn)一對數(shù)的概念【【解題思路】對數(shù)的概念底數(shù)大于0且不等于1真數(shù)大于0【例1】（23-24高一上·貴州貴陽·階段練習(xí)）使式子有意義的的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．，【變式】1．（2023高一·全國·專題練習(xí)）在中，實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．2．（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）若對數(shù)有意義，則的取值范圍是．3．（23-24高一上·上海徐匯·期中）若對于任意實(shí)數(shù)，代數(shù)式均有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．知識(shí)點(diǎn)二指數(shù)式與對數(shù)式的互化【【解題思路】指數(shù)式與對數(shù)式互化的思路(1)指數(shù)式化為對數(shù)式：將指數(shù)式的冪作為真數(shù)，指數(shù)作為對數(shù)，底數(shù)不變，寫出對數(shù)式．(2)對數(shù)式化為指數(shù)式：將對數(shù)式的真數(shù)作為冪，對數(shù)作為指數(shù)，底數(shù)不變，寫出指數(shù)式【例2-1】（22-23高一·全國·隨堂練習(xí)）將下列指數(shù)式改寫為對數(shù)式：(1)；(2)；(3)；(4)．【例2-2】（22-23高一·全國·隨堂練習(xí)）將下列對數(shù)式改寫為指數(shù)式：(1)；(2)；(3)；(4).【變式】1．（2023高一·全國·專題練習(xí)）將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化．(1)；(2)；(3)；(4).(5)；(6)；(7)；(8)．(9)；(10)；(11)；(12)．知識(shí)點(diǎn)三對數(shù)的計(jì)算【【解題思路】1.對數(shù)求值（1）將對數(shù)式化為指數(shù)式，構(gòu)建方程轉(zhuǎn)化為指數(shù)問題．（2）利用冪的運(yùn)算性質(zhì)和指數(shù)的性質(zhì)計(jì)算．2.利用對數(shù)的性質(zhì)求值的方法(1)求解此類問題時(shí)，應(yīng)根據(jù)對數(shù)的兩個(gè)結(jié)論loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，進(jìn)行變形求解，若已知對數(shù)值求真數(shù)，則可將其化為指數(shù)式運(yùn)算．(2)已知多重對數(shù)式的值，求變量值，應(yīng)從外到內(nèi)求，逐步脫去“l(fā)og”后再求解．【例3-1】（2024湖北）求值：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【例3-2】（24-25高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）求下列各式中的值：(1)；(2)；(3)；(4).【例3-3】（23-24高一·江蘇·假期作業(yè)）求下列各式中x的值．(1)；(2)；(3).【變式】1．（2024湖南·課后作業(yè)）求下列各式中的值：(1)；(2)；(3)；(4)．2．（24-25高一上·上?！ふn堂例題）求下列各式中的值：(1)；(2)；(3)；(4)．3．（23-24高一·江蘇·假期作業(yè)）求下列各式中x的值．(1)(2)重難點(diǎn)一對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用【【解題思路】對數(shù)式化簡與求值的基本原則和方法(1)基本原則：對數(shù)的化簡求值一般是正用或逆用公式，對真數(shù)進(jìn)行處理，選哪種策略化簡，取決于問題的實(shí)際情況，一般本著便于真數(shù)化簡的原則進(jìn)行．(2)兩種常用的方法：①“收”，將同底的兩對數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù)；②“拆”，將積(商)的對數(shù)拆成同底的兩對數(shù)的和(差)．【例4】（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）計(jì)算下列各式的值：(1)；(2)．【變式】1.（24-25高一上·全國·課堂例題）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．2．（24-25高一上·全國·課堂例題）求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．重難點(diǎn)二換底公式的應(yīng)用【【解題思路】利用換底公式進(jìn)行化簡求值的原則和技巧1.原則：化異底為同底2.技巧（1）先利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行部分運(yùn)算，再換成同底（2）借助換底公式一次性同一換成常用對數(shù)或自然對數(shù)，再化簡通分求值（3）借助對數(shù)恒等式或常用結(jié)論，提高解題效率【例5】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）已知，，求：(1)；(2)；(3)．【變式】1．（2024·四川·模擬預(yù)測）若實(shí)數(shù)，，滿足且，則（

）A． B．12 C． D．2．（2024·廣東佛山）已知，，，則（

）A． B． C． D． E．均不是3．（24-25高一上·上?！ふn堂例題）（1）設(shè)，求的值；（2）已知，且，求的值．重難點(diǎn)三對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的綜合應(yīng)用【【解題思路】利用對數(shù)式與指數(shù)式互化求值的方法(1)在對數(shù)式、指數(shù)式的互化運(yùn)算中，要注意靈活運(yùn)用定義、性質(zhì)和運(yùn)算法則，尤其要注意條件和結(jié)論之間的關(guān)系，進(jìn)行正確的相互轉(zhuǎn)化．(2)對于連等式可令其等于k(k>0)，然后將指數(shù)式用對數(shù)式表示，再由換底公式可將指數(shù)的倒數(shù)化為同底的對數(shù)，從而使問題得解．【例6】（2024山東）求下列各式的值．(1)．(2)(3)．(4)(5)(6)；【變式】（2024河北）計(jì)算化簡：(1)(2)(3)；(4)．(5)．(6)；(7)；(8)；單選題1．（2023高一·上?！ｎ}練習(xí)）在對數(shù)式中，實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·湖南）下列指數(shù)式與對數(shù)式互化不正確的一組是（

）A．與 B．與C．與 D．與3．（23-24高一下·江蘇鹽城·期末）若，，則用，表示（

）A． B． C． D．4．（2024廣東）化簡的值為（

）A． B． C． D．-15．（2023秋·浙江）已知，，且，則的最小值是（

）A．18 B．16 C．10 D．46．（2024云南）已知，則下列能化簡為的是（

）A． B． C． D．7（2023·全國·高一專題練習(xí)）17世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家馬林·梅森在歐幾里得?費(fèi)馬等人研究的基礎(chǔ)上，對（為素?cái)?shù)）型的數(shù)作了大量的研算，他在著作《物理數(shù)學(xué)隨感》中斷言：在的素?cái)?shù)中，當(dāng)，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257時(shí)，是素?cái)?shù)，其它都是合數(shù).除了和兩個(gè)數(shù)被后人證明不是素?cái)?shù)外，其余都已被證實(shí).人們?yōu)榱思o(jì)念梅森在型素?cái)?shù)研究中所做的開創(chuàng)性工作，就把型的素?cái)?shù)稱為“梅森素?cái)?shù)”，記為.幾個(gè)年來，人類僅發(fā)現(xiàn)51個(gè)梅森素?cái)?shù)，由于這種素?cái)?shù)珍奇而迷人，因此被人們答為“數(shù)海明珠”.已知第7個(gè)梅森素?cái)?shù)，第8個(gè)梅森素?cái)?shù)，則約等于（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．17.1 B．8.4 C．6.6 D．3.68．（23-24高一上·浙江寧波·期末）若，則說法錯(cuò)誤的是（

）A．的最小值是B．的最小值是C．的最大值是0D．的最大值是多選題9．（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）下列指數(shù)式與對數(shù)式的互化，正確的一組是（）A．與B．與C．與D．與10．（23-24高三上·河南焦作·階段練習(xí)）下列等式成立的是（）A． B．C． D．11．（23-24高一上·山東棗莊·期末）以下運(yùn)算中正確的有（

）A．若，則B．C．D．填空題12．（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）求下列各式中的值：（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則．13．（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）下列式子中正確的是．（填序號）①；②；③；④．14．（2024四川?。┮阎?，則的最大值為．解答題15．（2023高一·全國·專題練習(xí)）將下列指數(shù)式與對數(shù)式進(jìn)行互化．(1)(2)(3).(4)；(5)；(6)；(7).16．（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）（1）利用關(guān)系式證明換底公式：；（2）利用（1）中的換底公式求值：；（3）利用（1）中的換底公式證明：．17．（22-23高一·全國·隨堂練習(xí)）求值：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．18．（23-24高一上·上海靜安·期中）（1）已知，用a、b表示;（2）已知求b的值；（3）已知，試用表示；（4）已知，試用表示求.19.（2024廣東潮州）求下列各式子的值：(1)；(2)；(3)；(4).(5)2log32－log3