第20講、三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)（學(xué)生版）

[在此處鍵入]第20講三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)知識(shí)梳理1、基本性質(zhì)設(shè)三次函數(shù)為：(、、、且)，其基本性質(zhì)有：性質(zhì)1：=1\*GB3①定義域?yàn)椋?2\*GB3②值域?yàn)椋瘮?shù)在整個(gè)定義域上沒(méi)有最大值、最小值．=3\*GB3③單調(diào)性和圖像：圖像性質(zhì)2：三次方程的實(shí)根個(gè)數(shù)由于三次函數(shù)在高考中出現(xiàn)頻率最高，且四次函數(shù)、分式函數(shù)等都可轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)來(lái)解決，故以三次函數(shù)為例來(lái)研究根的情況，設(shè)三次函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù):，判別式為：△=，設(shè)的兩根為、，結(jié)合函數(shù)草圖易得：(1)若，則恰有一個(gè)實(shí)根；(2)若,且，則恰有一個(gè)實(shí)根；(3)若,且，則有兩個(gè)不相等的實(shí)根；(4)若,且，則有三個(gè)不相等的實(shí)根.說(shuō)明:(1)(2)含有一個(gè)實(shí)根的充要條件是曲線與軸只相交一次，即在R上為單調(diào)函數(shù)（或兩極值同號(hào)），所以（或，且）;(5)有兩個(gè)相異實(shí)根的充要條件是曲線與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)且其中之一為切點(diǎn)，所以，且;(6)有三個(gè)不相等的實(shí)根的充要條件是曲線與軸有三個(gè)公共點(diǎn)，即有一個(gè)極大值，一個(gè)極小值，且兩極值異號(hào).所以且.性質(zhì)3：對(duì)稱性（1）三次函數(shù)是中心對(duì)稱曲線，且對(duì)稱中心是；；（2）奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)．2、常用技巧（1）其導(dǎo)函數(shù)為對(duì)稱軸為，所以對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)也就是導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱軸，可見(jiàn)，圖象的對(duì)稱中心在導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱軸上，且又是兩個(gè)極值點(diǎn)的中點(diǎn)，同時(shí)也是二階導(dǎo)為零的點(diǎn)；（2）是可導(dǎo)函數(shù)，若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則圖象關(guān)于直線對(duì)稱.（3）若圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.（4）已知三次函數(shù)的對(duì)稱中心橫坐標(biāo)為，若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，則有.必考題型全歸納題型一：三次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題例1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例2．（2024·江蘇揚(yáng)州·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)．（1）求的極值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得方程恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根?若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．例3．（2024·四川綿陽(yáng)·高三四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，且在和處取得極值.(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，若有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.變式1．（2024·天津河西·高三天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，.（1）當(dāng)，求的極值；（2）當(dāng)，，設(shè)，求不等式的解集；（3）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的值.變式2．（2024·河北保定·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在上有解，求的取值范圍；（3）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)的零點(diǎn)為，則點(diǎn)恰好就是該函數(shù)的對(duì)稱中心.試求的值.變式3．（2024·山西太原·高三太原市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）已知三次函數(shù)過(guò)點(diǎn)，且函數(shù)在點(diǎn)處的切線恰好是直線.(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.變式4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的最小值；(2)若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．題型二：三次函數(shù)的最值、極值問(wèn)題例4．（2024·云南·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè).若，在上的最小值為，求的零點(diǎn).例5．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè).若，在上的最小值為，求在上取得最大值時(shí)，對(duì)應(yīng)的值.例6．（2024·江蘇常州·高三常州市北郊高級(jí)中學(xué)校考期中）已知函數(shù)f(x)=，其中a>0.(1)當(dāng)a=1時(shí)，求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線與y軸的交點(diǎn)為（0，b），求b+的最小值.變式5．（2024·廣東珠?！じ呷Ｂ?lián)考期中）已知函數(shù)（a，），其圖象在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求a，b的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．變式6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，且．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．變式7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且的一個(gè)根為（1）求的值；（2）求證：還有不同于的實(shí)根、，且、、成等差數(shù)列；（3）若函數(shù)的極大值小于，求的取值范圍變式8．（2024·浙江寧波·高三效實(shí)中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)(其中).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，求的取值范圍.題型三：三次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題例7．（2024·陜西商洛·高三?？茧A段練習(xí)）已知三次函數(shù)在R上是增函數(shù)，則m的取值范圍是()A．m<2或m>4 B．－4<m<－2 C．2<m<4 D．2≤m≤4例8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）三次函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例9．（2024·江西宜春·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，m是實(shí)數(shù).（1）若在區(qū)間(2,+∞)為增函數(shù)，求m的取值范圍；（2）在（1）的條件下,函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍.變式9．（2024·陜西榆林·高三綏德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三次函數(shù)在處取得極值，且在點(diǎn)處的切線與直線平行.（1）求的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增，求的取值范圍.變式10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為_(kāi)_____．題型四：三次函數(shù)的切線問(wèn)題例10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；(2)設(shè)常數(shù)，如果過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，求的取值范圍．例11．（2024·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)，若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，證明:.例12．（2024·江蘇·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，滿足，已知點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，曲線在處的切線為.(1)求切線的傾斜角的取值范圍；(2)若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.變式11．（2024·安徽·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)在處取得極值．（1）求m的值；（2）若過(guò)可作曲線的三條切線，求t的取值范圍．變式12．（2024·陜西西安·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．變式13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)在處取得極值．(1)設(shè)點(diǎn)，求證：過(guò)點(diǎn)的切線有且只有一條，并求出該切線方程；(2)若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，求的取值范圍；(3)設(shè)曲線在點(diǎn)、處的切線都過(guò)點(diǎn)，證明：．題型五：三次函數(shù)的對(duì)稱問(wèn)題例13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若方程有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心.若函數(shù)，則（

）A． B． C． D．例14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象上存在一定點(diǎn)滿足：若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于不同于的兩點(diǎn)，就恒有的定值為，則的值為_(kāi)_____.例15．（2024·新疆·統(tǒng)考二模）對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為曲線的“拐點(diǎn)”，可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”.設(shè)函數(shù)，則_____________.變式14．（多選題）（2024·江蘇南京·高三南京市江寧高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.若函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的極大值為B．有且僅有2個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是的對(duì)稱中心D．變式15．（多選題）（2024·廣東佛山·高三南海中學(xué)校考期中）定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖像的對(duì)稱中心，已知函數(shù)的對(duì)稱中心為，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．，B．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)C．過(guò)可以作兩條直線與圖像相切D．若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則變式16．（多選題）（2024·安徽阜陽(yáng)·高三安徽省太和中學(xué)?？几?jìng)賽）定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖像的對(duì)稱中心.已知函數(shù)的對(duì)稱中心為，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．，B．的值是199.C．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)D．過(guò)可以作三條直線與圖像相切題型六：三次函數(shù)的綜合問(wèn)題例16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根，它們分別是，，2，則的最小值是（

）A．5 B．6 C．1 D．8例17．（2024·陜西西安·高三西安中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，，給出下列四個(gè)結(jié)論，分別是：①；②在上單調(diào)；③有唯一零點(diǎn)；④存在，使得．其中有且只有一個(gè)是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的一定不可能是（

）A．① B．② C．③ D．④例18．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，且，現(xiàn)給出如下結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確結(jié)論的序號(hào)是__．變式17．（2024·黑龍江大慶·高三大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎F(xiàn)給出如下結(jié)論：①；

②；

③；

④.其中正確結(jié)論的序號(hào)為（

）A．②③ B．①④ C．②④ D．①③變式18．（2024·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).已知函數(shù).(1)若函數(shù)的對(duì)稱中心為，求函數(shù)的解析式.(2)由代數(shù)基本定理可以得到：任何一元次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)集中可以分解為n個(gè)一次因式的乘積.進(jìn)而，一元n次多項(xiàng)式方程有n個(gè)復(fù)數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)）.如設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程，在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為，，則方程可變形為，展開(kāi)得：則有，即，類比上述推理方法可得實(shí)系數(shù)一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系，①若，方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為、、，當(dāng)時(shí)，求的最大值；②若，函數(shù)的零點(diǎn)分別為、、，求的值.變式19．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，且方程的三個(gè)根分別為．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求的取值范圍．變式20．（2024·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中校考階段練習(xí)）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的.“固點(diǎn)”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“固點(diǎn)”，且該“固點(diǎn)”也是函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心.根據(jù)以上信息和相關(guān)知識(shí)回答下列問(wèn)題：已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，試求的對(duì)稱中心.(2)討論的單調(diào)性；(3)當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值.題型七：三次函數(shù)恒成立問(wèn)題例19．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)且，．（1）求的極值；（2）求證：對(duì)任意，都有．例20．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)，.(1)求的極值；(2)對(duì)于，，都有，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.例21．（2024·四川瀘州·高三瀘州老窖天府中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三次函數(shù)．（1）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是，求函數(shù)的解析式；（2）在（1）的條件下，若對(duì)于區(qū)間上任意兩個(gè)自變量的值，，都有，求出實(shí)數(shù)的取值范圍．變式21．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)(1)若為函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；(2)的單調(diào)增區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)整數(shù)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)對(duì)任意時(shí)，任意實(shí)數(shù)，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.變式22．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)對(duì)任意，使得是函數(shù)在區(qū)間上的最大值，試求最大的實(shí)數(shù)．(2)若，對(duì)于區(qū)間的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)、，且，都有成立，求的取值范圍．變式23．（2024·遼寧沈陽(yáng)·高三東北育才學(xué)校?？计谥?/p>