2023-2024學(xué)年四川省眉山市東坡區(qū)高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2四川省眉山市東坡區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.已知橢圓的方程為，則其焦距為（）A B.6 C. D.〖答案〗C〖解析〗因為橢圓的方程為，所以、，所以，所以，則焦距為；故選：C2.已知空間向量，若，則（）A. B.1 C.2 D.4〖答案〗D〖解析〗，解得.故選：D3.過點且與直線平行的直線方程是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵直線的斜率，∴所求直線斜率，故直線方程為，即．

故選：B．4.在等差數(shù)列中，若，則（）A.2 B.4C.6 D.8〖答案〗B〖解析〗據(jù)已知得：，所以，故選B5.某大學(xué)足球俱樂部技術(shù)組要對中女足其中6名球員進(jìn)行采訪，由于賽程安排等原因，組委會只通知了這6名球員中的3名提前做好采訪準(zhǔn)備，若要從這6名球員中隨機選2名球員，則恰有1名球員提前做好采訪準(zhǔn)備的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗從這6名球員中隨機選2名球員,共有種選法，隨機選的2名球員，恰有1名球員提前做好采訪準(zhǔn)備,共有種選法，則若要從這6名球員中隨機選2名球員，則恰有1名球員提前做好采訪準(zhǔn)備的概率為，故選：.6.設(shè)圓與y軸交于A，B兩點（A在B的上方），過B作圓O的切線l，若動點P到A的距離等于P到l的距離，則動點P的軌跡方程為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為圓與軸交于，兩點（在的上方），所以，，又因為過作圓的切線，所以切線的方程為，因為動點到的距離等于到的距離，所以動點的軌跡為拋物線，且其焦點為，準(zhǔn)線為，所以的軌跡方程為．故選：A.7.如圖，在四棱錐中，底面，，，點為的中點，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗以為原點，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，則異面直線與所成角的余弦值為，故選：A.8.如圖，已知，為雙曲線：的左、右焦點，過點，分別作直線，交雙曲線于，，，四點，使得四邊形為平行四邊形，且以為直徑的圓過，，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則，由雙曲線的對稱性和平行四邊形的對稱性可知：，連接，則有，由于在以AD為直徑的圓周上，，∵ABCD為平行四邊形，，，在直角三角形中，，，解得：，；在直角三角形中，，，得，，故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.在棱長均為1的四面體中，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗取的中點，連接，，∴，，，平面，所以平面，又平面，所以，則，故A正確；因為，故B正確；∵，，又，，所以，故C正確；因為，所以，故D不正確，故選：ABC.10.已知分別是雙曲線的左右焦點，點是雙曲線上異于雙曲線頂點的一點，且向量，則下列結(jié)論正確的是（）A.雙曲線的漸近線方程為B.的面積為1C.到雙曲線的一條漸近線的距離為2D.以為直徑的圓的方程為〖答案〗AB〖解析〗對于A，由得，所以雙曲線的漸近線方程為，所以A正確；對于B，由雙曲線，可得，則，設(shè)，則，所以，得，因為點是雙曲線上，所以，解得，所以的面積為，所以B正確；對于C，到一條漸近線的距離為，所以C錯誤；對于D，由于，所以以為直徑的圓的圓心為（0，0），半徑為，所以圓的方程為，所以D錯誤，故選：AB11.已知圓的方程為，則下列結(jié)論中正確的是（）A.實數(shù)k的取值范圍是B.實數(shù)k的取值范圍是C.當(dāng)圓的周長最大時，圓心坐標(biāo)是D.圓的最大面積是π〖答案〗ACD〖解析〗將圓的方程為化為標(biāo)準(zhǔn)式為，由，解得，故A正確，B錯誤；當(dāng)時，圓的半徑最大，則圓的周長以及面積最大，此時半徑為，圓心坐標(biāo)為，則圓的面積為，故CD正確；故選：ACD12.正四棱柱，底面邊長為，側(cè)棱長為2，則下列結(jié)論正確的（）A.點到平面的距離是．B.四棱錐內(nèi)切球的表面積為．C.平面與平面垂直．D.點為線段上的兩點，且，點為面內(nèi)的點，若，則點的軌跡長為．〖答案〗AC〖解析〗對于A：設(shè)點到平面的距離為，，，，，又，所以，解得，故A正確；對于B：，，，，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則，解得，故B錯誤；對于C：設(shè)底面中心為，連接交于，則為線段中點，則，，所以為面與面所成角的平面角，在中，，，∴，所以平面與平面垂直，故C正確；對于D，設(shè)底面中心為，底面中心為，分別以直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點，又，由得，，整理得，所以點軌跡為圓在面內(nèi)的部分（如下圖），因為，，，顯然，所以，即，所以的弧長不為，即點的軌跡長不為，故D錯誤.故選：AC第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13.若過點，的直線的斜率等于1，則m的值為_________．〖答案〗1〖解析〗由已知可得，過點，的直線的斜率，解得，故〖答案〗為：.14.某雙曲線的實軸長為4，且經(jīng)過，則該雙曲線的離心率為_______________．〖答案〗〖解析〗由題意知，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或，分別將代入，得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故離心率為．15.若各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，且是與的等差中項（，），則___________.〖答案〗〖解析〗由（，），可得數(shù)列是等差數(shù)列，其公差，首項，所以，，所以.故〖答案〗為：．16.已知雙曲線的離心率為2，左、右焦點分別為、，且到漸近線的距離為3，過的直線與雙曲線C的右支交于、兩點，和的內(nèi)心分別為、，則的最小值為______.〖答案〗〖解析〗由題意，，已知焦點到漸近線的距離為3，由對稱性，不妨設(shè)焦點為，漸近線，即，則焦點到漸近線的距離為，又離心率為2，∴，解得，∴，∴雙曲線的方程為.記的內(nèi)切圓在邊，，上的切點分別為，則，橫坐標(biāo)相等，且，，，由，即，得，即，由雙曲線定義知點雙曲線右支上，且在軸上，則，即內(nèi)心的橫坐標(biāo)為.同理內(nèi)心的橫坐標(biāo)也為，故軸.設(shè)直線的傾斜角為，則，（為坐標(biāo)原點），在中，，由于直線與雙曲線的右支交于兩點，且的一條漸近線的斜率為，傾斜角為，∴，即，∴的范圍是，當(dāng)時，即直線垂直于軸時，取到最小值.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6個大題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程.17.在等差數(shù)列中，．（1）求數(shù)列的首項和公差d；（2）設(shè)數(shù)列的前n項和為，求的最小值．解：（1）依題意.（2）由（1）得，由解得，所以的最小值為.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，圓：.（1）過點M作圓C切線，求切線的方程；（2）判斷直線：與圓C是否相交；如果相交，求直線m被圓C截得的弦長.解：（1）很明顯，直線斜率不存在時，直線滿足題意，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為：，即，圓心到直線的距離，滿足題意時有：，解得：，則此時的直線方程為：，即，綜上可得，直線方程為：或.（2）圓心到直線的距離：，則直線與圓相交，此時直線被圓截得的弦長為：.19.城市公交車的數(shù)量若太多則容易造成資源的浪費；若太少又難以滿足乘客需求．某市公交公司在某站臺的60名候車乘客中隨機抽取15人，將他們的候車時間作為樣本分成5組，如下表所示（單位：分鐘）．組別一二三四五候車時間[0，5）[5，10）[10，15）[15，20）[20，25]人數(shù)2642l（1）估計這60名乘客中候車時間少于10分鐘的人數(shù)；（2）若從上表第三、四組的6人中任選2人作進(jìn)一步的調(diào)查．①列出所有可能的結(jié)果；②求抽到的兩人恰好來自不同組的概率.解：（1）樣本中候車時間少于10分鐘的人數(shù)為8人，所以這60名乘客中候車時間少于10分鐘的人數(shù)為人（2）①將第三組的人編號為a,b,c,d，第四組的人編號為e,f，則從第三、四組的6人中任選2人有（a,b）（a,c）,（a,d）,（a,e）,（a,f）,（b,c）,（b,d）,（b,e）,（b,f）,（c,d）,（c,e）,（c,f）,（d,e）,（d,f）,（e,f）共15種②抽到兩人恰好來自不同組的情況有（a,e）,（a,f）,（b,e）,（b,f）,（c,e）,（c,f）,（d,e）,（d,f）共8種，抽到的兩人恰好來自不同組的概率為20.在如圖的多面體中，平面，，，，，，，是的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．解：（1），，．又，是的中點，且，四邊形是平行四邊形，．平面，平面，平面．（2）平面，平面，平面，，，又，，，兩兩垂直．以點為坐標(biāo)原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由已知得，0，，，0，，，4，，，3，，，2，，，2，，由已知得，0，是平面的法向量，設(shè)平面的法向量，，，，，，，1，，，令，則，，所以，2，．設(shè)二面角的平面角為，則．易知二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為．21.已知橢圓：過點與點．（1）求橢圓的方程；：（2）設(shè)直線過定點，且斜率為，若橢圓上存在，兩點關(guān)于直線對稱，為坐標(biāo)原點，求取值范圍及面積的最大值．解：（1）由得．∴橢圓的方程為．（2）由題意設(shè)直線的方程為，由消去得，，∴，即，①且，，∴線段中點的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)．將，代入直線方程可得，，②由①，②可得，，又，∴又，且原點到直線的距離，∴，∴時，最大值為．此時，，∴時，取得最大值．22.已知拋物線的焦點也是離心率為的橢圓的一個焦點F．（1）求拋物線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過F的直線交拋物線于A、B，交橢圓于C、D，且A在B左側(cè)，C在D左側(cè)，A在C左側(cè)．設(shè)，，．①當(dāng)時，是否存在直線l，使得a，b，c成等差數(shù)列？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由；②若存在直線，使得a，b，c成等差數(shù)列，求的范圍．解：（1）拋物線的焦點，橢圓的焦點，由于，即，則有，因此，，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（2）①設(shè)l：，，，，，，將直線與拋物線聯(lián)立，則有，，，則，于是，將直線與橢圓聯(lián)立，則有，得到二次方程，，則有，則，，，假設(shè)存在直線l，使得a，b，c成等差數(shù)列，即即有，整理得到，方程無解，因此不存在l滿足題設(shè)．②只需使得方程有解即可．整理得到，故，解得四川省眉山市東坡區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.已知橢圓的方程為，則其焦距為（）A B.6 C. D.〖答案〗C〖解析〗因為橢圓的方程為，所以、，所以，所以，則焦距為；故選：C2.已知空間向量，若，則（）A. B.1 C.2 D.4〖答案〗D〖解析〗，解得.故選：D3.過點且與直線平行的直線方程是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵直線的斜率，∴所求直線斜率，故直線方程為，即．

故選：B．4.在等差數(shù)列中，若，則（）A.2 B.4C.6 D.8〖答案〗B〖解析〗據(jù)已知得：，所以，故選B5.某大學(xué)足球俱樂部技術(shù)組要對中女足其中6名球員進(jìn)行采訪，由于賽程安排等原因，組委會只通知了這6名球員中的3名提前做好采訪準(zhǔn)備，若要從這6名球員中隨機選2名球員，則恰有1名球員提前做好采訪準(zhǔn)備的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗從這6名球員中隨機選2名球員,共有種選法，隨機選的2名球員，恰有1名球員提前做好采訪準(zhǔn)備,共有種選法，則若要從這6名球員中隨機選2名球員，則恰有1名球員提前做好采訪準(zhǔn)備的概率為，故選：.6.設(shè)圓與y軸交于A，B兩點（A在B的上方），過B作圓O的切線l，若動點P到A的距離等于P到l的距離，則動點P的軌跡方程為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為圓與軸交于，兩點（在的上方），所以，，又因為過作圓的切線，所以切線的方程為，因為動點到的距離等于到的距離，所以動點的軌跡為拋物線，且其焦點為，準(zhǔn)線為，所以的軌跡方程為．故選：A.7.如圖，在四棱錐中，底面，，，點為的中點，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗以為原點，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，則異面直線與所成角的余弦值為，故選：A.8.如圖，已知，為雙曲線：的左、右焦點，過點，分別作直線，交雙曲線于，，，四點，使得四邊形為平行四邊形，且以為直徑的圓過，，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則，由雙曲線的對稱性和平行四邊形的對稱性可知：，連接，則有，由于在以AD為直徑的圓周上，，∵ABCD為平行四邊形，，，在直角三角形中，，，解得：，；在直角三角形中，，，得，，故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.在棱長均為1的四面體中，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗取的中點，連接，，∴，，，平面，所以平面，又平面，所以，則，故A正確；因為，故B正確；∵，，又，，所以，故C正確；因為，所以，故D不正確，故選：ABC.10.已知分別是雙曲線的左右焦點，點是雙曲線上異于雙曲線頂點的一點，且向量，則下列結(jié)論正確的是（）A.雙曲線的漸近線方程為B.的面積為1C.到雙曲線的一條漸近線的距離為2D.以為直徑的圓的方程為〖答案〗AB〖解析〗對于A，由得，所以雙曲線的漸近線方程為，所以A正確；對于B，由雙曲線，可得，則，設(shè)，則，所以，得，因為點是雙曲線上，所以，解得，所以的面積為，所以B正確；對于C，到一條漸近線的距離為，所以C錯誤；對于D，由于，所以以為直徑的圓的圓心為（0，0），半徑為，所以圓的方程為，所以D錯誤，故選：AB11.已知圓的方程為，則下列結(jié)論中正確的是（）A.實數(shù)k的取值范圍是B.實數(shù)k的取值范圍是C.當(dāng)圓的周長最大時，圓心坐標(biāo)是D.圓的最大面積是π〖答案〗ACD〖解析〗將圓的方程為化為標(biāo)準(zhǔn)式為，由，解得，故A正確，B錯誤；當(dāng)時，圓的半徑最大，則圓的周長以及面積最大，此時半徑為，圓心坐標(biāo)為，則圓的面積為，故CD正確；故選：ACD12.正四棱柱，底面邊長為，側(cè)棱長為2，則下列結(jié)論正確的（）A.點到平面的距離是．B.四棱錐內(nèi)切球的表面積為．C.平面與平面垂直．D.點為線段上的兩點，且，點為面內(nèi)的點，若，則點的軌跡長為．〖答案〗AC〖解析〗對于A：設(shè)點到平面的距離為，，，，，又，所以，解得，故A正確；對于B：，，，，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則，解得，故B錯誤；對于C：設(shè)底面中心為，連接交于，則為線段中點，則，，所以為面與面所成角的平面角，在中，，，∴，所以平面與平面垂直，故C正確；對于D，設(shè)底面中心為，底面中心為，分別以直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點，又，由得，，整理得，所以點軌跡為圓在面內(nèi)的部分（如下圖），因為，，，顯然，所以，即，所以的弧長不為，即點的軌跡長不為，故D錯誤.故選：AC第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13.若過點，的直線的斜率等于1，則m的值為_________．〖答案〗1〖解析〗由已知可得，過點，的直線的斜率，解得，故〖答案〗為：.14.某雙曲線的實軸長為4，且經(jīng)過，則該雙曲線的離心率為_______________．〖答案〗〖解析〗由題意知，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或，分別將代入，得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故離心率為．15.若各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，且是與的等差中項（，），則___________.〖答案〗〖解析〗由（，），可得數(shù)列是等差數(shù)列，其公差，首項，所以，，所以.故〖答案〗為：．16.已知雙曲線的離心率為2，左、右焦點分別為、，且到漸近線的距離為3，過的直線與雙曲線C的右支交于、兩點，和的內(nèi)心分別為、，則的最小值為______.〖答案〗〖解析〗由題意，，已知焦點到漸近線的距離為3，由對稱性，不妨設(shè)焦點為，漸近線，即，則焦點到漸近線的距離為，又離心率為2，∴，解得，∴，∴雙曲線的方程為.記的內(nèi)切圓在邊，，上的切點分別為，則，橫坐標(biāo)相等，且，，，由，即，得，即，由雙曲線定義知點雙曲線右支上，且在軸上，則，即內(nèi)心的橫坐標(biāo)為.同理內(nèi)心的橫坐標(biāo)也為，故軸.設(shè)直線的傾斜角為，則，（為坐標(biāo)原點），在中，，由于直線與雙曲線的右支交于兩點，且的一條漸近線的斜率為，傾斜角為，∴，即，∴的范圍是，當(dāng)時，即直線垂直于軸時，取到最小值.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6個大題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程.17.在等差數(shù)列中，．（1）求數(shù)列的首項和公差d；（2）設(shè)數(shù)列的前n項和為，求的最小值．解：（1）依題意.（2）由（1）得，由解得，所以的最小值為.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，圓：.（1）過點M作圓C切線，求切線的方程；（2）判斷直線：與圓C是否相交；如果相交，求直線m被圓C截得的弦長.解：（1）很明顯，直線斜率不存在時，直線滿足題意，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為：，即，圓心到直線的距離，滿足題意時有：，解得：，則此時的直線方程為：，即，綜上可得，直線方程為：或.（2）圓心到直線的距離：，則直線與圓相交，此時直線被圓截得的弦長為：.19.城市公交車的數(shù)量若太多則容易造成資源的浪費；若太少又難以滿足乘客需求．某市公交公司在某站臺的60名候車乘客中隨機抽取15人，將他們的候車時間作為樣本分成5組，如下表所示（單位：分鐘）．組別一二三四五候車時間[0，5）[5，10）[10，15）[15，20）[20，25]人數(shù)2642l（1）估計這60名乘客中候車時間少于10分鐘的人數(shù)；（2）若從上表第三、四組的6人中任選2人作進(jìn)一步的調(diào)查．①列出所有可能的結(jié)果；②求抽到的兩人恰好來自不同組的概率.解：（1）樣本中候車時間少于10分鐘的人數(shù)為8人，所以這60名乘客中候車時間少于10分鐘的人數(shù)為人（2）①將第三組的人編號為a,b,c,d，第四組的人編號為e,f，則從第三、四組的6人中任選2人有（a,b）（a,c）,（a,d）,（a,e）,（a,f）,（b,c）,（b,d）,（b,e）,（b,f）,（c,d）,（c,e）,（c,f）,（d,e）,（