4.4解直角三角形的應(yīng)用課件九年級數(shù)學(xué)上冊

4.4解直角三角形的應(yīng)用知識點解直角三角形在實際中的應(yīng)用11.

利用解直角三角形解決實際問題的一般步驟：(1)畫出平面圖形，將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題；(2)根據(jù)已知條件的特點，靈活選用銳角三角函數(shù)等知識解直角三角形；(3)得到數(shù)學(xué)問題的答案；(4)得到實際問題的答案.2.

解決實際問題時，常見的基本圖形及相應(yīng)的關(guān)系式如下表所示：圖形關(guān)系式圖形關(guān)系式AC＝BC·tanα，AG＝AC＋BEBC＝DC－BD＝AD·(tanα

－tanβ

)續(xù)表圖形關(guān)系式圖形關(guān)系式AB＝DE＝AE·tanβ，CD＝CE＋DE＝AE·(tanα＋tanβ)BD＝BC－DC＝AC·，AG＝AC＋CG＝AC＋BE續(xù)表圖形關(guān)系式圖形關(guān)系式BC＝BD＋DC＝AD·BC＝BE＋EF＋CF＝BE＋AD＋CF＝AD＋h·特別提醒1.當(dāng)實際問題中涉及的圖形可以直接轉(zhuǎn)化為直角三角形時，可利用解直角三角形的知識直接求解.2.在解直角三角形時，若相關(guān)的角不是直角三角形的內(nèi)角，應(yīng)利用平行線的性質(zhì)或互余、互補的角的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為直角三角形的內(nèi)角，再利用解直角三角形的知識求解.3.問題中有兩個或兩個以上的直角三角形，當(dāng)其中一個直角三角形不能求解時，可考慮分別由兩個直角三角形找出含有相同未知元素的關(guān)系式，運用方程求解.如圖4.4-1所示，某居民樓Ⅰ高20m，窗戶朝南，該樓內(nèi)一樓住戶的窗臺離地面距離CM為2m，窗戶CD高1.8m.現(xiàn)計劃在居民樓Ⅰ的正南方30m處新建一居民樓Ⅱ.當(dāng)正午時刻太陽光線與地面成30°角時，要使居民樓Ⅱ的影子不影響居民樓Ⅰ所有住戶的采光，新建居民樓Ⅱ最高只能建多少米？例1解題秘方：解本題的關(guān)鍵是將實際中的相關(guān)數(shù)據(jù)，通過建立數(shù)學(xué)模型，歸結(jié)到直角三角形中，再用三角函數(shù)(正切)求解.解：設(shè)正午時，太陽光線正好照在居民樓Ⅰ一樓住戶的窗臺處，此時新建居民樓Ⅱ高xm，如圖4.4-1所示，過點C作CF⊥l于F，則∠EFC=90°.

感悟新知1-1.如圖，某居民小區(qū)有一棟朝向為正南方向的居民樓．該居民樓的一樓是高6米的小區(qū)超市，超市以上是居民住房，在該樓前面20米處要蓋一棟高25米的新樓．已知上海地區(qū)冬至正午的陽光與水平線夾角為29°(參考數(shù)據(jù)：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55)

.感悟新知(1)冬至正午時，超市以上的居民住房采光是否有影響，為什么？解：冬至正午時，超市以上的居民住房采光有影響．理由：如圖，延長光線交CD于點F，過點F作FG⊥AB，垂足為點G.則∠AGF＝90°，∠AFG＝29°.由題意得，GF＝BC＝20米，GB＝FC.感悟新知感悟新知(2)若要使得超市全部采光不受影響，兩樓應(yīng)至少相距多少米？(結(jié)果保留整數(shù))

例2解題秘方：在建立的非直角三角形模型中，用“化斜為直法”解含公共直角邊的直角三角形.

計算結(jié)果必須根據(jù)題目要求進(jìn)行保留.方法點撥解直角三角形的實際應(yīng)用問題的求解方法：1.根據(jù)題目中的已知條件，將實際問題抽象為解直角三角形的數(shù)學(xué)問題，畫出平面幾何圖形，弄清已知條件中各量之間的關(guān)系；2.若條件中有直角三角形，則直接選擇合適的三角函數(shù)關(guān)系求解即可；若條件中沒有直角三角形，一般需添加輔助線構(gòu)造直角三角形，再選用合適的三角函數(shù)關(guān)系求解.感悟新知2-1.

[二?！こ輂如圖，在修建公路AD

時，需要挖掘一段隧道BC，已知點A，B，C，D

在同一條直線上，CE⊥AD，∠ABE=143°，BE=1500米.感悟新知(1)求隧道兩端B，C之間的距離.(精確到個位，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)感悟新知(2)原計劃單向開挖，但為了加快施工進(jìn)度，從B，C

兩端同時相向開挖，這樣每天的工作效率提高了20%，結(jié)果提前2天完工．問原計劃單向開挖每天挖多少米？知識點解直角三角形在解仰角和俯角問題中的應(yīng)用21.

仰角和俯角的定義：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫作仰角，視線在水平線下方的角叫作俯角.特別提醒◆仰角和俯角是視線相對于水平線而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧記為“上仰下俯”.◆實際問題中遇到仰角或俯角時，要放在直角三角形中或轉(zhuǎn)化到直角三角形中，注意確定水平線.解直角三角形在解仰角和俯角問題中的應(yīng)用2.

示圖(如圖4.4-3)：感悟新知[中考·長沙]2023年5月30日9點31分，“神舟十六號”載人飛船在中國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射，成功把景海鵬、桂海潮、朱楊柱三名航天員送入到中國空間站．如圖4.4-4所示，在發(fā)射的過程中，飛船從地面O

處發(fā)射，當(dāng)飛船到達(dá)A

點時，從位于地面C處的雷達(dá)站測得AC的距離是例3感悟新知8km，仰角為30°；10s后飛船到達(dá)B

處，此時測得仰角為45°．(1)求點A

離地面的高度AO；(2)求飛船從A

處到B

處的平均速度．(結(jié)果精確到

0.1km/s，參考數(shù)據(jù)：3≈1.73)感悟新知解題秘方：結(jié)合題目中的“仰角”將實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形求解.感悟新知(1)求點A

離地面的高度AO；

感悟新知

感悟新知

感悟新知3-1.

[中考·張家界]“游張家界山水，逛七十二奇樓”成為今年旅游新特色．某數(shù)學(xué)興趣小組用無人機測量奇樓AB

的高度，測量方案如圖：先將無人機垂直上升至距水平地面225m的P

點，測得奇樓頂端A

的俯角為15°，再將無人機沿感悟新知水平方向飛行200m到達(dá)點Q，測得奇樓底端B

的俯角為45°，求奇樓AB

的高度．(結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)解：如圖，延長BA交PQ的延長線于點C，則∠ACQ＝90°.由題意得，BC＝225m，PQ＝200m，感悟新知知識點解直角三角形在解坡角、坡度問題中的應(yīng)用31.

坡角與坡度(坡比)的定義：(1)坡角：坡面與水平面的夾角，如圖4.4-5中的α.解直角三角形在解坡角、坡度問題中的應(yīng)用

解直角三角形在解坡角、坡度問題中的應(yīng)用

特別提醒1.坡度是兩條線段長的比值，不是度數(shù).2.表示坡度時，通常把比的前項取作1，后項可以是小數(shù).3.物體的傾斜程度通?？捎梦矬w的坡度表示，坡度越大，坡角越大，坡面越陡；反之，坡度越小，坡角越小，坡面越緩.感悟新知暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風(fēng)景區(qū)登山．需要登頂600m高的山峰，如圖4.4-6所示，由山底A

處先步行300m到達(dá)B

處，再由B

處乘坐登山纜車到達(dá)山頂D

處.已知點A，B，D，E，F(xiàn)

在同一平面內(nèi)，山坡AB

的坡角為30°，纜車行駛路線BD

與水平面的夾角為53°(換乘登山纜車的時間忽略不計)．例4

感悟新知(1)求登山纜車上升的高度DE；(2)若步行速度為30m/min，登山纜車的速度為60m/min，求從山底A

處到達(dá)山頂D

處大約需要多少分鐘.(結(jié)果精確到0.1min，參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)感悟新知解題秘方：將分散的條件集中到△BDE，通過解直角三角形求解.感悟新知(1)求登山纜車上升的高度DE；解：如圖4.4-6，過點B作BM⊥AF于點M，則∠AMB＝90°.由題意可知，∠A

＝30°，∠DBE

＝53°，DF

＝600m，AB

＝300m.感悟新知

感悟新知(2)若步行速度為30m/min，登山纜車的速度為60m/min，求從山底A

處到達(dá)山頂D

處大約需要多少分鐘.(結(jié)果精確到0.1min，參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)感悟新知

感悟新知

5米感悟新知知4－講知識點解直角三角形在解方向角問題中的應(yīng)用4名稱定義舉例方向角方向角是以觀察點為中心(方向角的頂點)，以正北或正南方向為始邊，旋轉(zhuǎn)到觀察目標(biāo)的方向線所成的銳角.目標(biāo)方向線OA，OB

，

OC

的方向角可以分別表示為北偏東30°，南偏東45°，北偏西45°，其中南偏東45°習(xí)慣上又叫作東南方向，北偏西45°習(xí)慣上又叫作西北方向.

知4－講感悟新知特別提醒1.方向角通常以南北方向線為主，分南偏東(或西)和北偏東(或西)，觀察點不同，所得的方向角也不同，但各個觀察點的南北方向線是分別互相平行的.2.解決實際問題時，可利用正南、正北、正東、正西方向線構(gòu)造直角三角形來求解.感悟新知如圖4.4-7所示，燈塔A周圍9海里內(nèi)有暗礁．一漁船由東向西航行至B

處，測得燈塔A

在北偏西58°方向上，繼續(xù)航行6海里后到達(dá)C

處，測得燈塔A在西北方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向西航行，有沒有觸礁的危險？(參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin58°≈0.848，cos58°≈0.530，tan58°≈1.600)例5感悟新知解題秘方：根據(jù)題意作AD⊥BC，構(gòu)造直角三角形，設(shè)AD=x

海里，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)用x

表示出CD，根據(jù)正切的定義用x

表示出BD，結(jié)合圖形列方程求解．感悟新知解：如圖4.4-8，過點A作AD⊥BC

于點D，則∠ADB＝90°.設(shè)AD＝x

海里.由題意得，∠ABD＝32°，∠ACD＝45°，BC

＝6海里，∴在Rt△ACD

中，∠ACD＝∠CAD

＝45°.∴AD

＝CD

＝x