2022-2023學(xué)年蘇教版江蘇高一數(shù)學(xué)上學(xué)期同步講義第04講 三角函數(shù)應(yīng)用(詳解版)

第7章三角函數(shù)

第04講三角函數(shù)應(yīng)用

號目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)重難點

1.理解并掌握函數(shù)

y=Asin（0x+e）（A>0,。>0）中

4,包。的物理意義；

1.通過具體實例，掌握三角函數(shù)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用

2.掌握解三角函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟；2.通過現(xiàn)實問題進行模型的構(gòu)建求解

3.理解三角函數(shù)圖象類問題：

4.理解并掌握三角函數(shù)模型的應(yīng)用.

趣知識精講

一、三角函數(shù)模型應(yīng)用的步驟

三角函數(shù)模型應(yīng)用即，根據(jù)題意建立三角函數(shù)模型，再求出相應(yīng)的三角函數(shù)在某點處的函數(shù)

值，進而使實際問題得到解決.

步驟可記為：審讀題意玲f根據(jù)題意求出某點的三角函數(shù)值玲解決實際問題.

這里的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，一般,再利用數(shù)據(jù)求出待定系數(shù)，然后寫出具體的三角函

數(shù)解析式.

1.三角函數(shù)模型應(yīng)用的步驟

三角函數(shù)模型應(yīng)用即建模問題，根據(jù)題意建立三角函數(shù)模型，再求出相應(yīng)的三角函數(shù)在某點處的函數(shù)值，

進而使實際問題得到解決.

步驟可記為：審讀題意一建立三角函數(shù)式一根據(jù)題意求出某點的三角函數(shù)值一解決實際問題.

這里的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，一般先根據(jù)題意設(shè)出代表函數(shù)，再利用數(shù)據(jù)求出待定系數(shù)，然后寫出具體的

三角函數(shù)解析式.

2.三角函數(shù)模型的擬合應(yīng)用

我們可以利用搜集到的數(shù)據(jù)，作出相應(yīng)的“散點圖”，通過觀察散點圖并進行數(shù)據(jù)擬合，從而獲得具體的

函數(shù)模型，最后利用這個函數(shù)模型來解決相應(yīng)的實際問題.

二、三角函數(shù)模型的擬合應(yīng)用

我們可以利用搜集到的數(shù)據(jù)，作出相應(yīng)的“散點圖”，通過觀察散點圖并進行數(shù)據(jù)擬合，從而獲得具體的

函數(shù)模型，最后利用這個函數(shù)模型來解決相應(yīng)的實際問題.

運.、運.?嗡"?運?.，:<.?工運*-!!<??。運。一<。??運J。*J盤?*.<

參考答案

一、建模問題建立三角函數(shù)式先根據(jù)題意設(shè)出代表函數(shù)

二、散點圖數(shù)據(jù)擬合

U能力拓展

考法01三角函數(shù)模型在生活中的應(yīng)用

例

估計某一天的白晝時間的小時數(shù)￡>(/)的表達式是￡>?)=gsinm-79)+12,其中wZ)表

示某天的序號，，=0表示1月1日，依此類推，常數(shù)％與某地所處的緯度有關(guān).

(1)在波士頓，k=6,試畫出當(dāng)0羽上365時函數(shù)的圖象；

(2)在波士頓哪一天白晝時間最長？哪一天最短？

(3)估計在波士頓一年中有多少天的白晝超過10.5小時.

【思路分析】首先利用五點法作出圖象，然后結(jié)合圖象分析問題.

【解題策略】該題已經(jīng)知道了函數(shù)模型即函數(shù)的解析式，只需利用所學(xué)的三角函數(shù)知識對問題予以解答，

再將所得結(jié)論轉(zhuǎn)譯成實際問題的答案.

【跟蹤訓(xùn)練】據(jù)市場調(diào)查，某種商品一年內(nèi)每件出廠價在7千元的基礎(chǔ)上，按月呈f(x)=Asin(5+e)+8

(A>0,a?0,的模型波動(x為月份)，已知3月份達到最高價9千元，7月份價格最低為5

千元，根據(jù)以上條件可確定f(x)的解析式為()

JTJT

A./(x)=2sin(—x——)+7(1狗卜12,xeN.)

44

JT7E

B.f(x)=9sin(-x一一)(1張kl2,xeNJ

44

C.f(x)=2\/2sinA:+7(112,XGN+)

JTJT

D./(x)=2sin(—x+—)+7(1物lx12,JCSN)

44+

2.如圖所示，游樂場中的摩天輪勻速轉(zhuǎn)動，每轉(zhuǎn)一圈需要12分鐘，其中心O距離地面40.5米，半徑為40

米.如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時間的變化而變化，以你登上摩天輪的時刻開

始計時，請解答下列問題：

(1)求出你與地面的距離y(米)與時間f(分鐘)的函數(shù)關(guān)系式;

(2)當(dāng)你第4次距離地面60.5米時，用了多長時間？

【思路分析】

確定模型類別____＞求函數(shù)解析式____＞利用模型解決實際問題

【技巧點撥】解決此類問題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知數(shù)據(jù)確定相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后根據(jù)己知條件確定函數(shù)解

析式中的各個參數(shù)，最后利用模型解決實際問題.

考法02三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用

1.彈簧掛著的小球做上下振動，它在時間/(s)內(nèi)離開平衡位置(靜止時的位置)的距離//(cm)

由下面的函數(shù)關(guān)系式表示：/?=3sin(2f+：).

(1)求小球開始振動的位置；

(2)求小球第一次上升到最高點和下降到最低點時的位置；

(3)經(jīng)過多長時間小球往返振動一次？

(4)每秒內(nèi)小球能往返振動多少次？

【易錯警示】解決此類問題的關(guān)鍵在于明確各個參數(shù)的物理意義，易出現(xiàn)的問題是混淆彼此之間的對應(yīng)關(guān)

系導(dǎo)致錯解.

【規(guī)律總結(jié)】1.已知實際問題的函數(shù)解析式解決相關(guān)問題，題目一般很容易，只需將具體的值代入計算即

可.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.已知彈簧上掛著小球做上下振動時，小球離開平衡位置的位移s(cm)隨時間f(s)的變化規(guī)律為

s=4sin(2f+1),/€[(),”).用“五點法”作出這個函數(shù)的簡圖，并回答下列問題.

(1)小球在開始振動。=0)時的位移是多少？

(2)小球上升到最高點和下降到最低點時的位移分別是多少？

(3)經(jīng)過多長時間小球往復(fù)振動一次？

2.如圖，某大風(fēng)車的半徑為2m,每12s旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點O離地面0.5m.風(fēng)車圓周上一點A從最

低點O開始，運動f(s)后與地面的距離為〃(m).

(1)求函數(shù)/?=/?)的關(guān)系式；

(2)畫出函數(shù)/?=/“)的圖象.

【點評】此題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，綜合圓周運動的相關(guān)知識寫出函數(shù)解析式.

考法03函數(shù)解析式與圖象對應(yīng)問題

如圖，單擺從某點開始來回擺動，離開平衡位置O的距離s(cm)和時間f(s)的函數(shù)關(guān)系式

為s=6sin(2m+*,那么單擺來回擺動一次所需的時間為()

A.2nsB.7isC.0.5sD.1s

【點評】本題主要考查周期的物理意義，單擺來回擺動一次所需的時間即為周期，而丁=43口（5+0）的周

2兀

期為T=,由此即可求得單擺的周期.

\(o\

【跟蹤訓(xùn)練】

某動物種群數(shù)量1月1日低至700,7月1日高至900,其總量在此兩值之間依正弦曲線變化.

求出種群數(shù)量作為時間f的函數(shù)表達式.（其中f以年初以來的月為計量單位）

?r

900

700

o1234567〃月份

【點評】客觀世界中許多觀察的數(shù)量之間存在著三角函數(shù)關(guān)系，要注意數(shù)形結(jié)合解決實際應(yīng)用題，并熟練

地掌握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及有關(guān)結(jié)論，有助于解決此類問題.

福分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1."牽星術(shù)”是古代的航海發(fā)明之一，在《鄭和航海圖》中都有記載.如圖所示，"牽星術(shù)"儀器主要是由牽

星板（正方形木板），輔以一條細(xì)繩貫穿在木板的中心牽引組成.要確定航船在海上的位置，觀察員一手持

一塊豎直的牽星板，手臂向前伸直，另一手持著線端置于眼前，眼睛瞄準(zhǔn)牽星板上下邊緣，將下邊緣與水

平線取平，上邊緣與北極星眼線重合，通過測出北極星眼線與水平線的夾角來確定航船在海上的位置（緯

度）.某航海觀察員手持邊長為20cm的牽星板，繩長70cm,觀察北極星，眼線恰好通過牽星板上邊緣，則

航船所處的緯度位于區(qū)間（參考數(shù)據(jù)：tan1（）°a0.1763,tan15°?0.2679,tan20°?0.3640,

tan25°?0.4663）（）

A.[0°,10°]B.(10。,15。]c.(15。,2()。]D.(20°,25°]

2.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用.假設(shè)在水流量

穩(wěn)定的情況下，筒車的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動.現(xiàn)將筒車抽象為一個幾何圖形，如圖所示,

圓。的半徑為4米，盛水筒M從點凡處開始運動，。先與水平面的所成角為30。，且2分鐘恰好轉(zhuǎn)動1

圈，則盛水筒M距離水面的高度H(單位：米)與時間，(單位：秒)之間的函數(shù)關(guān)系式是()

...I7T\crrA'tIc

C.Hr=4sin—t----+2D.H=4sin—t+2

(603)(303J

3.健康成年人的收縮壓和舒張壓一般為120?14()mmHg和60?9()mmHg.心臟跳動時，血壓在增加或

減小，血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)

120/80mmHg為標(biāo)準(zhǔn)值.高三同學(xué)在參加高考之前需要參加統(tǒng)一的高考體檢，其中血壓、視力等對于高

考報考有一些影響.某同學(xué)測得的血壓滿足函數(shù)式〃Q)=a+Asinw(o>0),其中p(f)為血壓

(mmHg),/為時間(min),其函數(shù)圖像如上圖所示，則下列說法僧識的是()

A.收縮壓為120mmHgB.3=80萬C.舒張壓為70mmHgD.a=95

4.達芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名.如圖，畫中女子神秘的微笑，數(shù)百年來讓無數(shù)觀賞者入迷.某

業(yè)余愛好者對《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進行了粗略測繪，將畫中女子的嘴唇近似看作一個圓弧，在嘴

角AC處作圓弧的切線，兩條切線交于B點，測得如下數(shù)據(jù)：AB=6cm,BC=6cm,AC=10.392cm(其

中立

。0.866）.根據(jù)測量得到的結(jié)果推算：將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應(yīng)的圓心角大約等

2

于（）

6

5.比薩斜塔是意大利的著名景點，因斜而不倒的奇特景象而世界聞名.把地球看成一個球（球心記為。），地

球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，OA的方向即為A點處的豎直方向.已知比薩斜塔

處于北緯44。，經(jīng)過測量，比薩斜塔朝正南方向傾斜，且其中軸線與豎直方向的夾角為4。，則中軸線與赤

道所在平面所成的角為（）

A.40°B.42°C.48°D.50°

6.三國時期，吳國數(shù)學(xué)家趙爽繪制“勾股圓方圖”證明了勾股定理（西方稱之為“畢達哥拉斯定理”）.如圖，四

個完全相同的直角三角形和中間的小正方形拼接成一個大正方形，角a為直角三角形中的一個銳角，若該

勾股圓方圖中小正方形的面積5與大正方形面積邑之比為1：25,則cosa+Tj

V2V27V2C7后

nrU?--------

10101010

7.心臟每跳動一次，就完成一次收縮和舒張.心臟跳動時，血壓在增大或縮小，并呈周期性變化，血壓的

最大值和最小值分別稱為收縮壓和舒張壓.某人的血壓滿足函數(shù)〃（。=110+254!1（150加），其中p⑺為血

壓（單位：mmHg）,t為時間（單位：min）,則相鄰的收縮壓和舒張壓的時間間隔是（）

8.京西某游樂園的摩天輪采用了國內(nèi)首創(chuàng)的橫梁結(jié)構(gòu)，風(fēng)格更加簡約，摩天輪直徑88米，最高點A距離

地面100米，勻速運行一圈的時間是18分鐘.由于受到周邊建筑物的影響，乘客與地面的距離超過34米時,

可視為最佳觀賞位置，在運行的一圈里最佳觀賞時長為（）

A.10分鐘B.12分鐘C.14分鐘D.16分鐘

題組B能力提升練

1.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用.如圖，一

個半徑為4m的筒車按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)1.5圈，筒車的軸心。距離水面的高度為2米.設(shè)筒車上的某個

盛水筒P到水面的距離為d（單位：m）（在水面下則Q為負(fù)數(shù)），若以盛水筒P剛浮出水面時開始計算時

間，則d與時間/（單位：s）之間的關(guān)系為d=Asin（（”+0）+K（A〉0,口＞0,—■~―則

以下說法正確的有（）

71

A.K=2B.(0=—

20

r7140

c.0=—D.盛水筒出水后到達最高點的最小時間為

63

2.摩天輪常被當(dāng)作一個城市的地標(biāo)性建筑，如深圳前海的“灣區(qū)之光"摩天輪，如圖所示，某摩天輪最高點

離地面高度128米，轉(zhuǎn)盤直徑為120米，設(shè)置若干個座艙，游客從離地面最近的位置進艙，開啟后按逆時

針勻速旋轉(zhuǎn)/分鐘，當(dāng)r=15時，游客隨艙旋轉(zhuǎn)至距離地面最遠(yuǎn)處.以下關(guān)于摩天輪的說法中，正確的為

()

A.摩天輪離地面最近的距離為4米

B.若旋轉(zhuǎn)f分鐘后，游客距離地面的高度為〃米，則/?=-60COS（W“+68

c.若在G，%時刻，游客距離地面的高度相等，則4+與的最小值為30

D.Z2e[0,20],使得游客在該時刻距離地面的高度均為90米

3.海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲

潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后，在落潮時返回海洋.一艘貨船的吃水深度（船底到水面的距離）為4m.

安全條例規(guī)定至少要有2.25m的安全間隙（船底到海底的距離），下表給出了某港口在某季節(jié)每天幾個時刻

的水深.

時刻水深/m時刻水深/m時刻水深/m

0：005.09：002.518：005.0

3:007.512：005.021：002.5

6：005.015：007.524：005.0

若選用一個三角函數(shù)/（X）來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關(guān)系，則下列說法中正確的有（）

A./(x)=2.5cos[—xj+5

B.〃x)=2.5sin仁x)+5

C.該貨船在2：00至4：00期間可以進港D.該貨船在13：00至17：00期間可以進港

4.長江流域內(nèi)某地南北兩岸平行，如圖所示，江面寬度d=lkm,已知游船在靜水中的航行速度正的大小

同=10km/h,水流的速度1的大小同=4km/h,設(shè)彳和％所成角為。（0＜。＜乃），若游船要從航行到

正北方向上位于北岸的碼頭B處，則下列說法正確的是（）

河流兩岸示意

2

A.當(dāng)。=*不，游船航行到達北岸的位置在B右側(cè)

3

2

B.當(dāng)。=*萬，游船航行到達北岸的位置在B左側(cè)

3

2

C.當(dāng)cose=—g,游船也能夠達到3處

D.游船能到達B處時，需要航行時間為上h

5.高一某通用技術(shù)學(xué)習(xí)小組計劃設(shè)計一個工藝品，該工藝品的剖面圖如圖所示，其中四邊形ABCD為等

腰梯形，且AB//CD,BC=CD,ZABC=60,AB為圓。的弦，在設(shè)計過程中，他們發(fā)現(xiàn)，若圓。

大小確定，OC最長的時候，工藝品比較美觀，則此時圓。的半徑與BC長度的比值為.

6.海水受日月的引力，會發(fā)生潮汐現(xiàn)象.在通常情況下，船在漲潮時駛?cè)牒降?，進入港口，落潮時返回海

洋.某興趣小組通過技術(shù)模擬在一次潮汐現(xiàn)象下貨船出入港口的實驗：首先，設(shè)定水深y(單位：米)

TT

隨時間X(單位：小時)的變化規(guī)律為y=0.8sinox+2(06R),其中噫人-；然后，假設(shè)某貨船空載

co

時吃水深度(船底與水面的距離)為0.5米，滿載時吃水深度為2米，卸貨過程中，隨著貨物卸載，吃水

深度以每小時0.4米的速度減??；并制定了安全條例，規(guī)定船底與海底之間至少要有0.4米的安全間隙.在

此次模擬實驗中，若貨船滿載進入港口，那么以下結(jié)論正確的是.

①若0=自，貨船在港口全程不卸貨，則該船在港口至多能停留4個小時；

②若3=9,貨船進入港口后，立即進行貨物卸載，則該船在港口至多能停留4個小時；

③若。=1,貨船于x=l時進入港口后，立即進行貨物卸載，則X時，船底離海底的距離最大；

27r

④若G=1,貨船于x=l時進入港口后，立即進行貨物卸載，則工=才時，船底離海底的距離最大.

7.如圖某地夏天從8?14時用電量變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin(u)x+(p)+b.

AW萬度

力時

(1)這一天的最大用電量為萬度，最小用電量為一萬度；

(2)這段曲線的函數(shù)解析式為.

8.海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下,

船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋.下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深關(guān)

系表：

時刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00

水深/米4.56.54.52.54.56.54.52.54.5

(1)已知該港口的水深與時刻間的變化滿足函數(shù)y=Acos^x+^+b,

（A＞0,。＞0,/?＞（）,—%＜°＜萬），畫出函數(shù)圖象，并求出函數(shù)解析式.

（2）現(xiàn)有一艘貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有2.2米的間隙（船底

與洋底的距離），該船何時能進入港口？在港口能呆多久？

參考數(shù)據(jù)：^3?1.7

題組C培優(yōu)拔尖練

1.如圖，正方形43CD的長為2,。為邊AO中點，射線0尸繞點。按逆時針方向從射線OA旋轉(zhuǎn)至射

線在旋轉(zhuǎn)的過程中，記NAOP為x,射線0P掃過的正方形A8CD內(nèi)部的區(qū)域（陰影部分）的面積

為/（X），則下列說法正確的是（）

B./（X）在兀J上為減函數(shù)

D./（X）圖象的對稱軸是*=]

2.某學(xué)校在一塊圓心角為。，半徑等于2km的扇形空曠地域（如圖）組織學(xué)生進行野外生存訓(xùn)練，已知

在。，A,8處分別有50名，150名，100名學(xué)生，現(xiàn)要在道路。8（包括。，B兩點）上設(shè)置集合地點P,

要求所有學(xué)生沿最短路徑到p點集合，則所有學(xué)生行進的最短總路程為km.

3.已知南北回歸線的緯度為23°26',設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為夕，3為此時太陽直射緯度，。為

該地的緯度值，那么這三個量之間的關(guān)系是。=90。-|夕一目.當(dāng)?shù)叵陌肽?取正值，冬半年6取負(fù)值，如

果在北半球某地（緯度為仰）的一幢高為％的樓房北面蓋一新樓，要使新樓一層正午的太陽全年不被前面

的樓房遮擋，兩樓的距離應(yīng)不小于（結(jié)果用含有%和死的式子表示）.

4.定義在封閉的平面區(qū)域D內(nèi)任意兩點的距離的最大值稱為平面區(qū)域D的“直徑”.已知銳角三角形的三個

頂點A,6,C在半徑為1的圓上，且=分別以AABC各邊為直徑向外作三個半圓，這三個半圓和

A43C構(gòu)成平面區(qū)域D，則平面區(qū)域D的“直徑"的最大值是?

TT

5.如圖'已知是半徑為】，圓心角為I的扇形'C是扇形弧上的動點'是扇形的內(nèi)接矩形'

記NPOC=a,

（1）用角a表示A3,的長度；

（2）當(dāng)角a取何值時，矩形ABC。的面積最大？并求出這個最大面積.

6.如圖，某污水處理廠要在一個矩形污水處理池ABCQ的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道（RAFHE三條邊,

”是直角頂點）來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好.要求管道的接口”是AB的中點，瓦尸分別

落在線段8C,AO上，已知AB=20米，AD=10百米，記NBHE=9.

⑴試將污水凈化管道的總長度L（即RfAFHE的周長）表示為夕的函數(shù)，并求出定義域;

(2)問。取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的總長度.

第7章三角函數(shù)

第04講三角函數(shù)應(yīng)用

0目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)重難點

5.理解并掌握函數(shù)

y=Asin（（yx+0）（A>0,>0）中

的物理意義：

1.通過具體實例，掌握三角函數(shù)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用

6.掌握解三角函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟；2.通過現(xiàn)實問題進行模型的構(gòu)建求解

7.理解三角函數(shù)圖象類問題；

8.理解并掌握三角函數(shù)模型的應(yīng)用.

趣知識精講

一、三角函數(shù)模型應(yīng)用的步驟

三角函數(shù)模型應(yīng)用即，根據(jù)題意建立三角函數(shù)模型，再求出相應(yīng)的三角函數(shù)在某點處的函數(shù)

值，進而使實際問題得到解決.

步驟可記為：審讀題意玲玲根據(jù)題意求出某點的三角函數(shù)值玲解決實際問題.

這里的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，一般，再利用數(shù)據(jù)求出待定系數(shù)，然后寫出具體的三角函

數(shù)解析式.

1.三角函數(shù)模型應(yīng)用的步驟

三角函數(shù)模型應(yīng)用即建模問題，根據(jù)題意建立三角函數(shù)模型，再求出相應(yīng)的三角函數(shù)在某點處的函數(shù)值，

進而使實際問題得到解決.

步驟可記為：審讀題意一建立三角函數(shù)式一根據(jù)題意求出某點的三角函數(shù)值一解決實際問題.

這里的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，一般先根據(jù)題意設(shè)出代表函數(shù)，再利用數(shù)據(jù)求出待定系數(shù)，然后寫出具體的

三角函數(shù)解析式.

2.三角函數(shù)模型的擬合應(yīng)用

我們可以利用搜集到的數(shù)據(jù)，作出相應(yīng)的“散點圖”，通過觀察散點圖并進行數(shù)據(jù)擬合，從而獲得具體的

函數(shù)模型，最后利用這個函數(shù)模型來解決相應(yīng)的實際問題.

二、三角函數(shù)模型的擬合應(yīng)用

我們可以利用搜集到的數(shù)據(jù)，作出相應(yīng)的“散點圖”,通過觀察散點圖并進行數(shù)據(jù)擬合,從而獲得具體的

函數(shù)模型，最府利用這個函數(shù)模型來解決相應(yīng)的實際問題.

:；出運..o<?-<S*.a<-*O?<°?*?-o<-.???C

參考答案

一、建模問題建立三角函數(shù)式先根據(jù)題意設(shè)出代表函數(shù)

二、散點圖數(shù)據(jù)擬合

考法01三角函數(shù)模型在生活中的應(yīng)用

例：估計某一天的白晝時間的小時數(shù)。⑺的表達式是。(/)=Ksin生(f-79)+12,其中weZ)表

2365

示某天的序號，f=0表示1月1日，依此類推，常數(shù)人與某地所處的緯度有關(guān).

(1)在波士頓，k=6,試畫出當(dāng)0領(lǐng)I?365時函數(shù)的圖象；

(2)在波士頓哪一天白晝時間最長？哪一天最短？

(3)估計在波士頓一年中有多少天的白晝超過10.5小時.

【思路分析】首先利用五點法作出圖象，然后結(jié)合圖象分析問題.

【解析】(1)先用五點法作出了⑴=3sin費《-79)的簡圖,

27r27t

由——(f-79)=0及——。-79)=2兀，

365365

得1=79及，=444.

若，=0,/(0)=3sin—(-79)。3sin(-1.36)?-2.9.

365

：/(x)的周期為365,

:./(365)?-2.9.

將/⑴在［0,365］匕的圖象向上平移12個單位，就得。⑺的圖象(如圖所示).

(2)白晝時間最長的一天，即。⑺取最大值的一天,

此時f=170,對應(yīng)的是6月20日(閏年除外)，

類似地，/2353時。⑺取最小值，

即12月20日(閨年除外)白晝最短.

(3)小)>10.5,

即3sin—(r-79)+12>10.5,

365

sin—(Z-79)＞--,/G[0,365J.

3652

292＞r..49,292-49=243.

故約有243天的白晝時間超過10.5小時.

【解題策略】該題已經(jīng)知道了函數(shù)模型即函數(shù)的解析式，只需利用所學(xué)的三角函數(shù)知識對問題予以解答，

再將所得結(jié)論轉(zhuǎn)譯成實際問題的答案.

【跟蹤訓(xùn)練】據(jù)市場調(diào)查，某種商品一年內(nèi)每件出廠價在7千元的基礎(chǔ)上，按月呈f(x)=Asin(ox+s)+人

(A＞0,口＞0,|初＜])的模型波動(x為月份)，已知3月份達到最高價9千元，7月份價格最低為5

千元，根據(jù)以上條件可確定f(x)的解析式為()

JTJT

A./(x)=2sin(—x——)+7(1狗卜12,xeN.)

44

jrjr

B.f(x)=9sin(-x一一)(1歿ijxl2,xeN)

44+

C./(x)=20sin；x+7(l領(lǐng)k12,XGN+)

TTTT

D.f(x)=2sin(—x+—)+7(112,XGN)

44+

【答案】A

【解析】令x=3可排除D,

令％=7可排除B,

Q-5

由A=—=2可排除C;

2

9-5

或由題意，可得A=----=2,b=l,周期T=—=2x(7-3)=8,

2CD

?兀

??a)=—

4

_7T

于是/(x)=2sin(—x+(p)+l,

4

再代入點(3,9)結(jié)合*的范圍得力的值.

2.如圖所示，游樂場中的摩天輪勻速轉(zhuǎn)動，每轉(zhuǎn)一圈需要12分鐘，其中心O距離地面40.5米，半徑為40

米.如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時間的變化而變化，以你登上摩天輪的時刻開

始計時，請解答下列問題：

(1)求出你與地面的距離y(米)與時間r(分鐘)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)你第4次距離地面60.5米時，用了多長時間？

【思路分析】

確定模型類別____＞求函數(shù)解析式____＞利用模型解決實際問題

【解析】（1）由已知可設(shè)y=40.5-40cosaf,t…0,

由周期為12分鐘可知，

當(dāng)，=6時，摩天輪第1次到達最高點，

即此函數(shù)第1次取得最大值，

所以6。=7T,

即0J.

6

JT

所以y=40.5-40cos針,r…0.

（2）設(shè)轉(zhuǎn)第1圈時，第4分鐘時距地面60.5米，

由60.5=40.5-40cos,

得cos工務(wù)=-—,

602

匚匕］、［兀2兀_p兀4兀

所以舒=7或$。=7'

解得*>=4或％=8.

所以r=8（分鐘）時，第2次距地面60.5米，

故第4次距離地面60.5米時，用了12+8=20（分鐘）.

【技巧點撥】解決此類問題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知數(shù)據(jù)確定相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后根據(jù)己知條件確定函數(shù)解

析式中的各個參數(shù)，最后利用模型解決實際問題.

考法02三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用

彈簧掛著的小球做上下振動，它在時間f（s）內(nèi)離開平衡位置（靜止時的位置）的距離/?（cm）

由下面的函數(shù)關(guān)系式表示：/?=3sin（2f+：）.

（1）求小球開始振動的位置；

（2）求小球第一次上升到最高點和下降到最低點時的位置;

（3）經(jīng)過多長時間小球往返振動一次？

（4）每秒內(nèi)小球能往返振動多少次？

【思路分析】

【解析】

（1）令t=0,

得h=3sin—=>

42

所以開始振動的位置為（0,述）.

2

（2）由題意知,當(dāng)〃=3時，t=-,

8

即最高點為(a3)；

當(dāng)為=一3時，t=—,

8

即最低點為(四,-3).

8

O-TT

(3)7=臼=兀。3.14,即每經(jīng)過約3.14s小球往返振動一次.

2

(4)/=1?0.318,即每秒內(nèi)小球往返振動約0.318次.

(易錯警示]解決此類問題的關(guān)鍵在于明確各個參數(shù)的物理意義，易出現(xiàn)的問題是混淆彼此之間的對應(yīng)關(guān)

系導(dǎo)致錯解.

【規(guī)律總結(jié)】L已知實際問題的函數(shù)解析式解決相關(guān)問題，題目一般很容易，只需將具體的值代入計算即

可.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.已知彈簧上掛著小球做上下振動時，小球離開平衡位置的位移s(cm)隨時間f(s)的變化規(guī)律為

^=4sin(2r+-),/e[0,+oo).用“五點法”作出這個函數(shù)的簡圖，并回答下列問題.

3

(1)小球在開始振動。=0)時的位移是多少？

(2)小球上升到最高點和下降到最低點時的位移分別是多少？

(3)經(jīng)過多長時間小球往復(fù)振動一次？

【思路分析】在物理學(xué)中，物體做簡諧運動時可用正弦型函數(shù)y=Asin(tar+9)表示物體振動的位移y隨時

間x的變化規(guī)律，A為振幅，表示物體離開平衡位置的最大距離，7=名為周期，表示物體往復(fù)振動一次

CD

所需的時間，/=,為頻率，表示物體在單位時間內(nèi)往復(fù)振動的次數(shù).

T

【解析】列表如下:

7171717兀5兀

t

~6123Y2~6

c兀7C3兀

2r+-0712兀

32T

sin⑵+三)010-10

s040-40

描點、連線，圖象如圖所示:

s/cm

7T

(1)將，=0代入s=4sin(2f+—),

得5=4sin—=2/，

3

所以小球開始振動時的位移是2Gcm.

(2)小球上升到最高點和下降到最低點時的位移分別是4cm和Yem,

(3)因為振動的周期是兀，所以小球往復(fù)振動一次所用的時間是兀s.

2.如圖，某大風(fēng)車的半徑為2m,每12s旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點O離地面0.5m.風(fēng)車圓周上一點A從最

低點O開始，運動f(s)后與地面的距離為6(m).

(1)求函數(shù)/?=/(力的關(guān)系式；

(2)畫出函數(shù)〃=/?)的圖象.

【思路分析】本題主要考查邏輯思維能力和運算能力，由題意可知角速度。=四=二，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)

126

系，寫出=力的表達式.

【解析】(1)如圖①，以O(shè)為原點，過點O的圓的切線為x軸，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)點A的坐標(biāo)為(x,y),

設(shè)NOO|A=。，則cos，=22丫,y=—2cos0+2.

又。=生“，

12

即

6

兀71

??y=-2cos—/+2,h=f(f)=-2cos—f+2.5?

(2)函數(shù)〃=-2cos3r+2.5的圖象如圖②所示.

6

【點評】此題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，綜合圓周運動的相關(guān)知識寫出函數(shù)解析式.

考法03函數(shù)解析式與圖象對應(yīng)問題

如圖，單擺從某點開始來回擺動，離開平衡位置O的距離s(cm)和時間r(s)的函數(shù)關(guān)系式

為s=6sin(2m+'),那么單擺來回擺動一次所需的時間為()

6

A.2nsB.7isC.0.5sD.1s

【答案】D

【解析】本題已給出了單擺離開平衡位置O的距離s(cm)和時間r(s)的函數(shù)關(guān)系式，單擺來回擺一次

所需的時間即為此函數(shù)的一個周期.

2冗

,.?刃=2兀，：.T=—=\.

co

【點評】本題主要考查周期的物理意義，單擺來回擺動一次所需的時間即為周期，而y=Asin(@x+°)的周

2兀

期為T=且由此即可求得單擺的周期.

㈤

【跟蹤訓(xùn)練】

某動物種群數(shù)量1月1日低至700,7月1日高至900,其總量在此兩值之間依正弦曲線變化.

求出種群數(shù)量作為時間/的函數(shù)表達式.(其中，以年初以來的月為計量單位)

47

900

700

01234567~月?份

【思路分析】本題主要考查正弦曲線圖象及解析式的求法，由于其符合正弦曲線，則可畫出正弦曲線的示

意圖，由圖象結(jié)合實際意義可求解析式.

【解析】設(shè)表示該曲線的三角函數(shù)為y=AsinQx+a}+b.

由己知平均數(shù)量為800,最高數(shù)量與最低數(shù)量差為200,數(shù)量變化周期為12個月，

，振幅A==100.co=——=—,6=800?

2126

又..7月1日種群數(shù)量達最高，

.兀（，兀

??一x6+a=一

62

.n

??CL------

2

則種群數(shù)量關(guān)于時間t的函數(shù)表達式為:

兀

y=800+100sin-(r-3).

【點評】客觀世界中許多觀察的數(shù)量之間存在著三角函數(shù)關(guān)系，要注意數(shù)形結(jié)合解決實際應(yīng)用題，并熟練

地掌握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及有關(guān)結(jié)論，有助于解決此類問題.

品分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.“牽星術(shù)”是古代的航海發(fā)明之一，在《鄭和航海圖》中都有記載.如圖所示，"牽星術(shù)"儀器主要是由牽

星板（正方形木板），輔以一條細(xì)繩貫穿在木板的中心牽引組成.要確定航船在海上的位置，觀察員一手持

一塊豎直的牽星板，手臂向前伸直，另一手持著線端置于眼前，眼睛瞄準(zhǔn)牽星板上下邊緣，將下邊緣與水

平線取平，上邊緣與北極星眼線重合，通過測出北極星眼線與水平線的夾角來確定航船在海上的位置（緯

度）.某航海觀察員手持邊長為20cm的牽星板，繩長70cm,觀察北極星，眼線恰好通過牽星板上邊緣，則

航船所處的緯度位于區(qū)間（參考數(shù)據(jù)：tan10。a0.1763,tan15°?0.2679,tan20°?0.3640,

tan25°?0.4663)()

A.[0°,10°]B.(10°,15°]C.(15。,20。]D,(20°,25°]

【答案】c

【解析】由題意可得，眼睛距離牽星板的距離為d=

記北極星眼線與水平線的夾角為。，

又0.2679<0.2887<0.3640,tan15°。0.2679，tan20°?0.3640,

所以15°<。<20。，故選：C.

2.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用.假設(shè)在水流量

穩(wěn)定的情況下，筒車的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動.現(xiàn)將筒車抽象為一個幾何圖形，如圖所示,

圓。的半徑為4米，盛水筒M從點4處開始運動，。兄與水平面的所成角為30。，且2分鐘恰好轉(zhuǎn)動1

圈，則盛水筒/距離水面的高度，（單位：米）與時間，（單位：秒）之間的函數(shù)關(guān)系式是（）

71717171

A.H=4sin一t------B.H=4sin----1-------+2

606306

C.H=4sinf—r--K2D.”=4sin(二r-勺+2

1.603J<303)

【答案】A

【解析】設(shè)距離水面的高度H與時間t的函數(shù)關(guān)系式為//=Asin(欣+。)+3,

2兀27r71

周期為120s,?=—=—=

T12060

71

最高點的縱坐標(biāo)為4+4sin-=6,

6

TT

最低點的縱坐標(biāo)為-4+4sin-=-2,

所以A+8=6,—A+B——2A=4,B=2,

當(dāng)t=0時,H=0,4sin+2=0,sin(p=——,：.(p=——，

26

(Ji兀~\

所以H=4sin二/一二|+2.故選：A.

1606)

3.健康成年人的收縮壓和舒張壓一般為120?140mmHg和60?90mmHg.心臟跳動時，血壓在增加或

減小，血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)

120/80mmHg為標(biāo)準(zhǔn)值.高三同學(xué)在參加高考之前需要參加統(tǒng)一的高考體檢，其中血壓、視力等對于高

考報考有一些影響.某同學(xué)測得的血壓滿足函數(shù)式pQ)=a+8sinW(<y>0),其中p⑺為血壓

(mmHg),/為時間(min),其函數(shù)圖像如上圖所示，則下列說法望誤的是()

A.收縮壓為120mmHgB.3=80萬C.舒張壓為70mmHgD.a=95

【答案】B

【解析】由圖象可知，函數(shù)的最大值為120,最小值為70,所以收縮壓為120mmHg,舒張壓為70mmHg,

所以選項AC正確；

周期7=上，由紅=上，知刃=160乃，所以選項B錯誤；

80co80

a+b=120

由題得〈,「八,所以。=95,b=25.所以選項D正確.故選：B

a—8=70

4.達芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名.如圖，畫中女子神秘的微笑，數(shù)百年來讓無數(shù)觀賞者入迷.某

業(yè)余愛好者對《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進行了粗略測繪，將畫中女子的嘴唇近似看作一個圓弧，在嘴

角A,C處作圓弧的切線，兩條切線交于3點，測得如下數(shù)據(jù)：A3=6cm,5c=6cm,AC=10.392cm（其

中左。0.866）.根據(jù)測量得到的結(jié)果推算：將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應(yīng)的圓心角大約等

于（）

【答案】C

【解析】依題意A8=3C=6,設(shè)=

則sin6==0.866x立.

62

20=—.

33

設(shè)《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應(yīng)的圓心角為a.

冗

則a+26=;r,a=一.故選：C

3

5.比薩斜塔是意大利的著名景點，因斜而不倒的奇特景象而世界聞名.把地球看成一個球（球心記為。），地

球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，OA的方向即為A點處的豎直方向.已知比薩斜塔

處于北緯44。，經(jīng)過測量，比薩斜塔朝正南方向傾斜，且其中軸線與豎直方向的夾角為4。，則中軸線與赤

道所在平面所成的角為（）

A.40°B.42°C.48°D.50°

【答案】A

【解析】解析如圖所示，AP為比薩斜塔的中軸線，ZAOD=44°，44P=4。，則NB4C=40。，中軸

線4赤道所在平面所成的角為40°.

故選:A.

6.三國時期，吳國數(shù)學(xué)家趙爽繪制"勾股圓方圖”證明了勾股定理(西方稱之為“畢達哥拉斯定理如圖，四

個完全相同的直角三角形和中間的小正方形拼接成一個大正方形，角夕為直角三角形中的一個銳角，若該

(37、

勾股圓方圖中小正方形的面積R與大正方形面積邑之比為1：25,則cosa+亍=()

A及B6C7正

H?--------D?---------L?-----------

101010

【答案】D

【解析】由題意得。C=5￡”，因為C￡=OCsina,

DE=DCcosa=EC-EH=DCsinaDC，

5

所以sina-cosa=1,則l-2sinacosa='

525

24

所以2sinacosa=—,

25

49

所以（sina+cosa12