廣東省湛江市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期模擬考試試題理含解析

PAGE19-廣東省湛江市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期模擬考試試題理（含解析）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分別求出集合和,即可依據(jù)交集的運(yùn)算求出.【詳解】∵,而,∴.故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算,以及一元二次不等式的解法,屬于簡單題.2.設(shè)（是虛數(shù)單位），則（）A. B.1 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則求出，即可依據(jù)復(fù)數(shù)的模計(jì)算公式求出．【詳解】∵，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則的應(yīng)用，以及復(fù)數(shù)的模計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于簡單題．3.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A.25 B.32 C.35 D.40【答案】C【解析】【分析】設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可依據(jù)題意列出兩個(gè)方程，求出通項(xiàng)公式，從而求得．【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，解得，∴，即有．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于簡單題．4.某歌手大賽進(jìn)行電視直播，競賽現(xiàn)場出名特約嘉賓給每位參賽選手評(píng)分，場內(nèi)外的觀眾可以通過網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)給每位參賽選手評(píng)分.某選手參與競賽后，現(xiàn)場嘉賓的評(píng)分狀況如下表，場內(nèi)外共有數(shù)萬名觀眾參與了評(píng)分，組織方將觀眾評(píng)分依據(jù)，，分組，繪成頻率分布直方圖如下：嘉賓評(píng)分嘉賓評(píng)分平均數(shù)為，場內(nèi)外的觀眾評(píng)分的平均數(shù)為，全部嘉賓與場內(nèi)外的觀眾評(píng)分的平均數(shù)為，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】計(jì)算出、，進(jìn)而可得出結(jié)論【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可知，，由頻率分布直方圖可知，，則，由于場外有數(shù)萬名觀眾，所以，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)的大小比較，涉及平均數(shù)公式以及頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.5.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則可以為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)圖象可知，函數(shù)為奇函數(shù)，以及函數(shù)在上單調(diào)遞增，且有一個(gè)零點(diǎn)，即可對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證即可得出．【詳解】首先對(duì)4個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行奇偶性推斷，可知，為偶函數(shù)，不符合題意，解除B；其次，在剩下的3個(gè)選項(xiàng),對(duì)其在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行推斷,在上無零點(diǎn),不符合題意，解除D；然后,對(duì)剩下的2個(gè)選項(xiàng),進(jìn)行單調(diào)性推斷,在上單調(diào)遞減,不符合題意，解除C.故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖象的識(shí)別和函數(shù)性質(zhì)的推斷，意在考查學(xué)生的直觀想象實(shí)力和邏輯推理實(shí)力，屬于簡單題．6.若兩個(gè)非零向量、滿意，且，則與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)平面對(duì)量與的夾角為，由已知條件得出，在等式兩邊平方，利用平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算律可求得的值，即為所求.【詳解】設(shè)平面對(duì)量與的夾角為，，可得，在等式兩邊平方得，化簡得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面對(duì)量的模求夾角的余弦值，考查平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.7.已知為等比數(shù)列，，，則（）A.9 B.－9 C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)可求出,便可得出等比數(shù)列的公比,再依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求出.【詳解】∵,∴,又,可解得或設(shè)等比數(shù)列的公比為,則當(dāng)時(shí),,∴；當(dāng)時(shí),,∴.故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力,屬于基礎(chǔ)題.8.已知、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，分別交兩條漸近線于點(diǎn)、，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足恰為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)位于其次象限，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再由直線與直線垂直，轉(zhuǎn)化為兩直線斜率之積為可得出的值，進(jìn)而可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)點(diǎn)位于其次象限，由于軸，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，即點(diǎn)，由題意可知，直線與直線垂直，，，因此，雙曲線的離心率為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的計(jì)算，解答的關(guān)鍵就是得出、、的等量關(guān)系，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.9.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先依據(jù)選項(xiàng)中出現(xiàn)的式子,由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出其大致范圍,再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式化簡,即可得出三個(gè)式子的大小關(guān)系.【詳解】∵,即,,即,,即,∴,即有.∵,即,∴.綜上,.故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),換底公式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力和邏輯推理實(shí)力,屬于中檔題.10.過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，且，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于，的面積為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)、，并設(shè)直線的方程為，由得，將直線的方程代入韋達(dá)定理，求得，結(jié)合的面積求得的值，結(jié)合焦點(diǎn)弦長公式可求得.【詳解】設(shè)點(diǎn)、，并設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理得，，，，，，，，可得，，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于，的面積為，解得，則拋物線的方程為，所以，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線焦點(diǎn)弦長的計(jì)算，計(jì)算出拋物線的方程是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.11.已知函數(shù)（，，），將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的部分圖象如圖所示，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先依據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式,再由平移學(xué)問得到的解析式,然后分別找出和的等價(jià)條件,即可依據(jù)充分條件,必要條件的定義求出.【詳解】設(shè),依據(jù)圖象可知,,再由,取,∴.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度,得到函數(shù)的圖象,∴.,,令,則,明顯,∴是的必要不充分條件.故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用圖象求正(余)弦型函數(shù)的解析式,三角函數(shù)的圖形變換,二倍角公式的應(yīng)用,充分條件,必要條件的定義的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力和邏輯推理實(shí)力,屬于中檔題.三、解答題12.如圖，在中，，，點(diǎn)在線段上.（1）若，求的長；（2）若，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先依據(jù)平方關(guān)系求出,再依據(jù)正弦定理即可求出；（2）分別在和中，依據(jù)正弦定理列出兩個(gè)等式，兩式相除，利用題目條件即可求出，再依據(jù)余弦定理求出，即可依據(jù)求出的面積．【詳解】（1）由，得，所以.由正弦定理得，，即，得.（2）由正弦定理，在中，，①在中，，②又，，，由得，由余弦定理得，即，解得，所以的面積.【點(diǎn)睛】本題主要考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，以及三角形面積公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．13.如圖，在四棱柱中，底面為菱形，.（1）證明：平面平面；（2）若，是等邊三角形，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)面面垂直的判定定理可知，只需證明平面即可．由為菱形可得，連接和與的交點(diǎn)，由等腰三角形性質(zhì)可得，即能證得平面；（2）由題意知，平面，可建立空間直角坐標(biāo)系，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，再分別求出平面的法向量，平面的法向量，即可依據(jù)向量法求出二面角的余弦值．【詳解】（1）如圖，設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，又為菱形，故，為的中點(diǎn).又，故.又平面，平面，且，故平面，又平面，所以平面平面.（2）由是等邊三角形，可得，故平面，所以，，兩兩垂直.如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則，，則，，，，，，設(shè)為平面法向量，則即可取，設(shè)為平面的法向量，則即可取，所以.所以二面角的余弦值為0.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理的應(yīng)用，以及利用向量法求二面角，意在考查學(xué)生的直觀想象實(shí)力，邏輯推理實(shí)力和數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．14.某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)長度為，只要誤差的肯定值不超過就認(rèn)為合格，工廠質(zhì)檢部抽檢了某批次產(chǎn)品1000件，檢測其長度，繪制條形統(tǒng)計(jì)圖如圖：（1）估計(jì)該批次產(chǎn)品長度誤差肯定值的數(shù)學(xué)期望；（2）假如視該批次產(chǎn)品樣本的頻率為總體的概率，要求從工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，假設(shè)其中至少有1件是標(biāo)準(zhǔn)長度產(chǎn)品的概率不小于0.8時(shí)，該設(shè)備符合生產(chǎn)要求.現(xiàn)有設(shè)備是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求時(shí)，生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長度的概率的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題意即可寫出該批次產(chǎn)品長度誤差的肯定值的頻率分布列，再依據(jù)期望公式即可求出；（2）由（1）可知，任取一件產(chǎn)品是標(biāo)準(zhǔn)長度的概率為0.4，即可求出隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，都不是標(biāo)準(zhǔn)長度產(chǎn)品的概率，由對(duì)立事務(wù)的概率公式即可得到隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，至少有1件是標(biāo)準(zhǔn)長度產(chǎn)品的概率，推斷其是否符合生產(chǎn)要求；當(dāng)不符合要求時(shí)，設(shè)生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長度的概率為，可依據(jù)上述方法求出，解，即可得出最小值.【詳解】（1）由柱狀圖，該批次產(chǎn)品長度誤差肯定值的頻率分布列為下表：00.010.020.030.04頻率0.40.30.20.0750.025所以的數(shù)學(xué)期望的估計(jì)為.（2）由（1）可知任取一件產(chǎn)品是標(biāo)準(zhǔn)長度的概率為0.4，設(shè)至少有1件是標(biāo)準(zhǔn)長度產(chǎn)品為事務(wù)，則，故不符合概率不小于0.8的要求.設(shè)生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長度的概率為，由題意，又，解得，所以符合要求時(shí)，生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長度的概率的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望的求法，相互獨(dú)立事務(wù)同時(shí)發(fā)生的概率公式的應(yīng)用，對(duì)立事務(wù)的概率公式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是對(duì)題意的理解，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模實(shí)力和數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．15.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若，在線段上取點(diǎn)，使，求證：點(diǎn)在定直線上.【答案】（1）；（2）見解析.【解析】【分析】（1）依據(jù)題意得出關(guān)于、、的方程組，解出、的值，進(jìn)而可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)、、，設(shè)直線的方程為，將該直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，并列出韋達(dá)定理，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求得點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)式，并代入韋達(dá)定理，消去，可得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意得，解得，.所以橢圓的方程是；（2）設(shè)直線的方程為，、、，由，得.，則有，，由，得，由，可得，，，綜上，點(diǎn)在定直線上.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，同時(shí)也考查了點(diǎn)在定直線上的證明，考查計(jì)算實(shí)力與推理實(shí)力，屬于中等題.16.設(shè)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）若，證明在區(qū)間上沒有零點(diǎn)；（2）在上恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)公式求出，再由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，可知在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上沒有零點(diǎn)；（2）由題意可將轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討探討其在上的單調(diào)性，由，即可求出的取值范圍．【詳解】（1）若，則，，設(shè)，則，，，故函數(shù)是奇函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，，這時(shí)，又函數(shù)是奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.又，，故在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上沒有零點(diǎn).（2），由，所以恒成立，若，則，設(shè)，.故當(dāng)時(shí)，，又，所以當(dāng)時(shí)，，滿意題意；當(dāng)時(shí)，有，與條件沖突，舍去；當(dāng)時(shí)，令，則，又，故在區(qū)間上有無窮多個(gè)零點(diǎn)，設(shè)最小的零點(diǎn)為，則當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增.，所以于是，當(dāng)時(shí)，，得，與條件沖突.故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性和最值，涉及分類探討思想和放縮法的應(yīng)用，難度較大，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模實(shí)力，數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力和邏輯推理實(shí)力，屬于較難題．17.在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求的一般方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）把曲線向下平移個(gè)單位，然后各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋兜玫角€（縱坐標(biāo)不變），設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線的距離的最小值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出直線的一般方程，在曲線的極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以得，進(jìn)而可化簡得出曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）依據(jù)變換得出的一般方程為，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合正弦函數(shù)的有界性可得出結(jié)果.【詳解】（1）由（為參數(shù)），得，化簡得，故直線的一般方程為.由，得，又，，.所以的直角坐標(biāo)方程為；（2）由（1）得曲線的直角坐標(biāo)方程為，向下平移個(gè)單位得到，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋兜玫角€的方程為，所以曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.故點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)時(shí)，最小為.【點(diǎn)睛】本題考查曲線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與一般方程的相互轉(zhuǎn)化，同時(shí)也考查了利用橢圓的參數(shù)方程解決點(diǎn)到直線的距離最值的求解，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.18.已知，，函數(shù)的最小值為.（1）求證：；（2）若恒成