重點中學初中數(shù)學基礎知識及經(jīng)典題型

綜合知識講解

目錄

第一章緒論..........................................2

初中數(shù)學的特點.......................................2

怎么學習初中數(shù)學.....................................2

如何去聽課...........................................5

幾點建議.............................................6

第二章應知應會知識點....................................7

代數(shù)篇...............................................7

幾何篇..............................................11

第三章例題講解.........................................17

第四章興趣練習.........................................36

代數(shù)局部............................................36

幾何局部............................................58

第五章復習提綱.........................................63

第一章緒論

1.1初中數(shù)學的特點

1.

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1.2怎么學習初中數(shù)學

1,培養(yǎng)良好的學習興趣。

兩千多年前孔子說過：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者。"意思說，干一件事，

知道它，了解它不如愛好它，愛好它不如樂在其中?！昂谩ê汀皹贰本褪窃敢鈱W，喜歡學，這

就是興趣。興趣是最好的老師，有興趣才能產(chǎn)生愛好，愛好它就要去實踐它，到達樂在其中，

有興趣才會形成學習的主動性和積極性。在數(shù)學學習中，我們把這種從自發(fā)的感性的樂趣出

發(fā)上升為自覺的理性的“認識”過程，這自然會變?yōu)榱⒅緦W好數(shù)學，成為數(shù)學學習的成功者。

那么如何才能建立好的學習數(shù)學興趣呢？

(1)課前預習，對所學知識產(chǎn)生疑問，產(chǎn)生好奇心。

(2)聽課中要配合老師講課，滿足感官的興奮性。聽課中重點解決預習中疑問，把老師

課堂的提問、停頓、教具和模型的演示都視為欣賞音樂，及時答復老師課堂提問，培養(yǎng)思考與

老師同步性，提高精神，把老師對你的提問的評價，變?yōu)楸薏邔W習的動力。

(3)思考問題注意歸納，挖掘你學習的潛力。

(4)聽課中注意老師講解時的數(shù)學思想，多問為什么要這樣思考，這樣的方法怎樣是產(chǎn)

生的？

(5)把概念回歸自然。所有學科都是從實際問題中產(chǎn)生歸納的，數(shù)學概念也回歸于現(xiàn)實

生活，如角的概念、直角坐標系的產(chǎn)生都是從實際生活中抽象出來的。只有回歸現(xiàn)實才能對概

念的理解切實可*,在應用概念判斷、推理時會準確。

2,建立良好的學習數(shù)學習慣。

習慣是經(jīng)過重復練習而穩(wěn)固下來的穩(wěn)重持久的條件反射和自然需要。建立良好的學習數(shù)學

習慣，會使自己學習感到有序而輕松。高中數(shù)學的良好習慣應是：多質(zhì)疑、勤思考、好動手、

重歸納、注意應用。良好的學習數(shù)學習慣還包括課前自學、專心上課、及時復習、獨立作業(yè)、

解決疑難、系統(tǒng)小結和課外學習幾個方面。學生在學習數(shù)學的過程中，要把教師所傳授的知

識翻譯成為自己的特殊語言，并永久記憶在自己的腦海中。另外還要保證每天有一定的自學時

間，以便加寬知識面和培養(yǎng)自己再學習能力。

3,有意識培養(yǎng)自己的各方面能力。

數(shù)學能力包括：邏輯推理能力、抽象思維能力、計算能力、空間想象能力和分析解決問題

能力共五大能力。這些能力是在不同的數(shù)學學習環(huán)境中得到培養(yǎng)的。在平時學習中要注意開

發(fā)不同的學習場所，參與一切有益的學習實踐活動，如數(shù)學第二課堂、數(shù)學競賽、智力競賽等

活動。平時注意觀察，比方，空間想象能力是通過實例凈化思維，把空間中的實體高度抽象

在大腦中，并在大腦中進行分析推理。其它能力的培養(yǎng)都必須學習、理解、訓練、應用中得到

開展。特別是，教師為了培養(yǎng)這些能力，會精心設計“智力課〃和“智力問題”比方對習題

的解答時的一題多解、舉一反三的訓練歸類，應用模型、電腦等多媒體教學等，都是為數(shù)學能

力的培養(yǎng)開設的好課型，在這些課型中，學生務必要用全身心投入、全方位智力參與，最終到

達自己各方面能力的全面開展

4、及時了解、掌握常用的數(shù)學思想和方法。

學好初中數(shù)學，需要我們從數(shù)學思想與方法高度來掌握它。中學數(shù)學學習要重點掌握的的

數(shù)學思想有以上幾個：集合與對應思想，分類討論思想，數(shù)形結合思想，運動思想，轉化思

想，變換思想。有了數(shù)學思想以后，還要掌握具體的方法，比方：換元、待定系數(shù)、數(shù)學歸納

法、分析法、綜合法、反證法等等。在具體的方法中，常用的有：觀察與實驗，聯(lián)想與類比,

比較與分類，分析與綜合，歸納與演繹，一般與特殊，有限與無限，抽象與概括等。

解數(shù)學題時，也要注意解題思維策略問題，經(jīng)常要思考：選擇什么角度來進入，應遵循什

么原那么性的東西。高中數(shù)學中經(jīng)常用到的數(shù)學思維策略有：以簡馭繁、數(shù)形結合、進退互用、

化生為熟、正難那么反、倒順相還、動靜轉換、分合相輔等。

5、逐步形成“以我為主”的學習模式。

數(shù)學不是老師教會的，而是在老師的引導下，自己主動的思維活動去獲取的。學習數(shù)學就

要積極主動地參與學習過程，養(yǎng)成實事求是的科學態(tài)度，獨立思考、勇于探索的創(chuàng)新精神；

正確對待學習中的困難和挫折，敗不餒，勝不驕，養(yǎng)成積極進取，不屈不撓，耐挫折的優(yōu)良心

理品質(zhì)；在學習過程中，要遵循認識規(guī)律，善于開動腦筋，積極主動去發(fā)現(xiàn)問題，注重新舊

知識間的內(nèi)在聯(lián)系，不滿足于現(xiàn)成的思路和結論，經(jīng)常進行一題多解，一題多變，從多側面、

多角度思考問題，挖掘問題的實質(zhì)。學習數(shù)學一定要講究“活”，只看書不做題不行，只埋

頭做題不總結積累也不行。對課本知識既要能鉆進去，又要能跳出來，結合自身特點，尋找最

正確學習方法。

6、針對自己的學習情況，采取一些具體的措施。

記數(shù)學筆記，特別是對概念理解的不同側面和數(shù)學規(guī)律，教師在課堂中擴展的課外知識。

記錄下來本章你覺得最有價值的思想方法或例題，以及你還存在的未解決的問題，以便今后將

其補上。

建立數(shù)學糾錯本。把平時容易出現(xiàn)錯誤的知識或推理記載下來，以防再犯。爭取做到：找

錯、析錯、改錯、防錯。到達：能從反面入手深入理解正確東西；能由果朔因把錯誤原因弄個

水落石出、以便對癥下藥；解答問題完整、推理嚴密。

如何去聽課

認真聽好每一節(jié)棵。

要上好每一節(jié)課，數(shù)學課有知識的發(fā)生和形成的概念課，有解題思路探索和規(guī)律總結的習

題課，有數(shù)學思想方法提煉和聯(lián)系實際的復習課。要上好這些課來學會數(shù)學知識，掌握學習數(shù)

學的方法。

概念課

要重視教學過程，要積極體驗知識產(chǎn)生、開展的過程，要把知識的來龍去脈搞清楚，認識

知識發(fā)生的過程，理解公式、定理、法那么的推導過程，改變死記硬背的方法，這樣我們就能

從知識形成、開展過程當中，理解到學會它的樂趣；在解決問題的過程中，體會到成功的喜悅。

習題課

要掌握“聽一遍不如看一遍，看一遍不如做一遍，做一遍不如講一遍，講一遍不如辯一辯”

的訣竅。除了聽老師講，看老師做以外，要自己多做習題，而且要把自己的體會主動、大膽地

講給大家聽，遇到問題要和同學、老師辯一辯，堅持真理，改正錯誤。在聽課時要注意老師展

示的解題思維過程，要多思考、多探究、多嘗試，發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造性的證法及解法，學會“小題大做”

和“大題小做”的解題方法，即對選擇題、填空題一類的客觀題要認真對待絕不粗心大意，就

像對待大題目一樣，做到下筆如有神；對綜合題這樣的大題目不妨把“大〃拆"小”，以"退〃

為“進”，也就是把一個比較復雜的問題，拆成或退為最簡單、最原始的問題，把這些小題、

簡單問題想通、想透，找出規(guī)律，然后再來一個飛躍，進一步升華，就能湊成一個大題，即退

中求進了。如果有了這種分解、綜合的能力，加上有扎實的根本功還有什么題目難得倒我們。

復習課

在數(shù)學學習過程中，要有一個清醒的復習意識，逐漸養(yǎng)成良好的復習習慣，從而逐步學會

學習。數(shù)學復習應是一個反思性學習過程。要反思對所學習的知識、技能有沒有到達課程所

要求的程度；要反思學習中涉及到了哪些數(shù)學思想方法，這些數(shù)學思想方法是如何運用的，運

用過程中有什么特點；要反思根本問題（包括根本圖形、圖像等），典型問題有沒有真正弄懂

弄通了，平時碰到的問題中有哪些問題可歸結為這些根本問題；要反思自己的錯誤，找出產(chǎn)生

錯誤的原因，訂出改正的措施。在新學期大家準備一本數(shù)學學習“病例卡"，把平時犯的錯

誤記下來，找出“病因”開出"處方”，并且經(jīng)常拿出來看看、想想錯在哪里，為什么會錯，

怎么改正，通過你的努力，到高考時你的數(shù)學就沒有什么"病例”了。并且數(shù)學復習應在數(shù)

學知識的運用過程中進行，通過運用，到達深化理解、開展能力的目的，因此在新的一年要在

教師的指導下做一定數(shù)量的數(shù)學習題，做到舉一反三、熟練應用，防止以"練"代‘'復"的題

海戰(zhàn)術。

1.4幾點建議

I、記數(shù)學筆記，特別是對概念理解的不同側面和數(shù)學規(guī)律，教師為備戰(zhàn)高考而加的課外

知識。如：我在講課時的注解。

2、建立數(shù)學糾錯本。把平時容易出現(xiàn)錯誤的知識或推理記載下來，以防再犯。爭取做到:

找錯、析錯、改錯、防錯。到達：能從反面入手深入理解正確東西；能由果朔因把錯誤原因弄

個水落石出、以便對癥下藥；解答問題完整、推理嚴密。

3、記憶數(shù)學規(guī)律和數(shù)學小結論。

4、與同學建立好關系，爭做“小老師〃，形成數(shù)學學習“互助組〃。

5、爭做數(shù)學課外題，加大自學力度。

6、反復穩(wěn)固，消滅前學后忘。

7、學會總結歸類。①從數(shù)學思想分類②從解題方法歸類③從知識應用上分類。

總之，對初中生來說，學好數(shù)學，首先要抱著濃厚的興趣去學習數(shù)學，積極展開思維的翅

膀，主動地參與教育全過程，充分發(fā)揮自己的主觀能動性，愉快有效地學數(shù)學。

其次要掌握正確的學習方法。鍛煉自己學數(shù)學的能力，轉變學習方式，要改變單純接受的

學習方式，要學會采用接受學習與探究學習、合作學習、體驗學習等多樣化的方式進行學習，

要在教師的指導下逐步學會”提出問題一實驗探究一開展討論一形成新知一應用反思”的學習

方法。這樣，通過學習方式由單一到多樣的轉變，我們在學習活動中的自主性、探索性、合

作性就能夠得到加強，成為學習的主人。

第二章應知應會知識點

2.1代數(shù)篇

一數(shù)與式

（一）有理數(shù)

1有理數(shù)的分類

2數(shù)軸的定義與應用

3相反數(shù)

4侄擻

5絕對值

6有理數(shù)的大小比較

7有理數(shù)的運算

（二）實數(shù)

8實數(shù)的分類

9實數(shù)的運算

10科學記數(shù)法

11近似數(shù)與有效數(shù)字

12平方根與算術根和立方根

13非負數(shù)

14零指數(shù)次基負指數(shù)次暴

（三）代數(shù)式

15代數(shù)式代數(shù)式的值

16列代數(shù)式

（四）整式

17整式的分類

18整式的加減乘除的運算

19累的有關運算性質(zhì)

20乘法公式

21因式分解

（五）分式

22分式的定義

23分式的根本性質(zhì)

24分式的運算

［六）二次根式

25二次根式的意義

26根式的根本性質(zhì)

27根式的運算

二方程和不等式

（-）一元一次方程

28方程方程的解的有關定義

29一元一次的定義

30一元一次方程的解法

31列方程解應用題的一般步驟

（二）二元一次方程

32二元一次方程的定義

33二元一次方程組的定義

34二元一次方程組的解法（代入法消元法加減消元法）

35二元一次方程組的應用

（三）一元二次方程

36一元二次方程的定義

37一元二次方程的解法（配方法因式分解法公式法十字相乘法）

38一元二次方程根與系數(shù)的關系和根的判別式

39一元二次方程的應用

［四）分式方程

40分式方程的定義

41分式方程的解法（轉化為整式方程檢驗）

42分式方程的增根的定義

43分式方程的應用

（五）不等式和不等式組

44不等式（組）的有關定義

45不等式的根本性質(zhì)

46一元一次不等式的解法

47一元一次不等式組的解法

48一元一次不等式［組）的應用

三函數(shù)

（一）位置確實定與平面直角坐標系

49位置確實定

50坐標變換

51平面直角坐標系內(nèi)點的特征

52平面直角坐標系內(nèi)點坐標的符號與點的象限位置

53對稱問題：P（x,y）-*Q（x,-y）關于x軸對稱

P（x,y）fQ（-x,y）關于y軸對稱

P（x,y）fQ（-x,-y）關于原點對稱

54變量自變量因變量函數(shù)的定義

55函數(shù)自變量因變量的取值范圍（使式子有意義的條件圖象法）

56函數(shù)的圖象：變量的變化趨勢描述

（二）一次函數(shù)與正比例函數(shù)

57一次函數(shù)的定義與正比例函數(shù)的定義

58一次函數(shù)的圖象：直線，畫法

59一次函數(shù)的性質(zhì)［增減性）

60一次函數(shù)y=kx+b（kW0）中kb符號與圖象位置

61待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式（一設二列三解四回）

62一次函數(shù)的平移問題

63一次函數(shù)與一元一次方程一元一次不等式二元一次方程的關系（圖象法）

64一次函數(shù)的實際應用

65一次函數(shù)的綜合應用

(1)一次函數(shù)與方程綜合

(2)一次函數(shù)與其它函數(shù)綜合

(3)一次函數(shù)與不等式的綜合

(4)一次函數(shù)與幾何綜合

(三)反比例函數(shù)

66反比例函數(shù)的定義

67反比例函數(shù)解析式確實定

68反比例函數(shù)的圖象：雙曲線

69反比例函數(shù)的性質(zhì)(增減性質(zhì))

70反比例函數(shù)的實際應用

71反比例函數(shù)的綜合應用(四個方面面積問題)

(四)二次函數(shù)

72二次函數(shù)的定義

73二次函數(shù)的三種表達式1一般式頂點式交點式)

74二次函數(shù)解析式確實定〔待定系數(shù)法)

75二次函數(shù)的圖象：拋物線畫法(五點法)

76二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性的描述以對稱軸為分界)

77二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a#0)中abc△與特殊式子的符號與圖象位置關系

78求二次函數(shù)的頂點坐標對稱軸最值

79二次函數(shù)的交點問題

80二次函數(shù)的對稱問題

81二次函數(shù)的最值問題(實際應用)

82二次函數(shù)的平移問題

83二次函數(shù)的實際應用

84二次函數(shù)的綜合應用

(1)二次函數(shù)與方程綜合

(2)二次函數(shù)與其它函數(shù)綜合

(3)二次函數(shù)與不等式的綜合

(4)二次函數(shù)與幾何綜合

2.2幾何篇

1過兩點有且只有一條直線

2兩點之間線段最短

3同角或等角的補角相等

4同角或等角的余角相等

5過一點有且只有一條直線和直線垂直

6直線外一點與直線上各點連接的所有線段中垂線段最短

7經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行

8如果兩條直線都和第三條直線平行這兩條直線也互相平行

9同位角相等兩直線平行

10內(nèi)錯角相等兩直線平行

11同旁內(nèi)角互補兩直線行

12兩直線平行同位角相等

13兩直線平行內(nèi)錯角相等

14兩直線平行同旁內(nèi)角互補

15三角形兩邊的和大于第三邊

16三角形兩邊的差小于第三邊

17三角形三個內(nèi)角的和等180°

18直角三角形的兩個銳角互余

19三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和

20三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角

21全等三角形的對應邊對應角相等

22有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等(SAS)

23有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等(ASA)

24有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等(AAS)

25有三邊對應相等的兩個三角形全等(SSS)

26有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(HL)

27在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

28到一個角的兩邊的距離相同的點在這個角的平分線上

29角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合

30等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的兩個底角相等

31等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

32等腰三角形的頂角平分線底邊上的中線和高互相重合

33等邊三角形的各角都相等并且每一個角都等于60°

34等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等那么這兩個角所對的邊也相

等(等角對等邊)

35三個角都相等的三角形是等邊三角形

36有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

37在直角三角形中如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

38直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

39線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

40和一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上

41線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合

42關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

43如果兩個圖形關于某直線對稱那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線

44兩個圖形關于某直線對稱如果它們的對應線段或延長線相交那么交點在對稱軸上

45如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分那么這兩個圖形關于這條直線對稱

46直角三角形兩直角邊ab的平方和等于斜邊c的平方即a+b=c

47如果三角形的三邊長abc有關系a+b=c那么這個三角形是直角三角形

48四邊形的內(nèi)角和等于360°

49四邊形的外角和等于360°

50多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于(n-2)X180°

51任意多邊的外角和等于360°

52平行四邊形的對角相等

53平行四邊形的對邊相等

54夾在兩條平行線間的平行線段相等

55平行四邊形的對角線互相平分

56兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

57兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

58對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

59一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形

60矩形的四個角都是直角

61矩形的對角線相等

62有三個角是直角的四邊形是矩形

63對角線相等的平行四邊形是矩形

64菱形的四條邊都相等

65菱形的對角線互相垂直并且每一條對角線平分一組對角

66菱形面積=對角線乘積的一半即S=(aXb)+2

67四邊都相等的四邊形是菱形

68對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

69正方形的四個角都是直角四條邊都相等

70正方形的兩條對角線相等并且互相垂直平分每條對角線平分一組對角

71關于中心對稱的兩個圖形是全等的

72關于中心對稱的兩個圖形對稱點連線都經(jīng)過對稱中心并且被對稱中心平分

73如果兩個圖形的對應點連線都經(jīng)過某一點并且被這一點平分那么這兩個圖形關于

這一點對稱

74等腰梯形在同一底上的兩個角相等

75等腰梯形的兩條對角線相等

76在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

77對角線相等的梯形是等腰梯形

78如果一組平行線在一條直線上截得的線段

相等那么在其他直線上截得的線段也相等

79經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線必平分另一腰

80經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊

81三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半

82梯形的中位線平行于兩底并且等于兩底和的一半

L=(a+b)S=Lxh

83如果a:b=c:d那么ad=bc

如果ad=bc那么a:b=c:d

84如果a/b=c/d那么

(a±b)/b=(c±d)/d

85如果a/b=c/d=■??=m/n(b+d+???+n0)那么

(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b

86三條平行線截兩條直線所得的對應線段成比例

87平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例

88如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例那么這條直線

平行于三角形的第三邊

89平行于三角形的一邊并且和其他兩邊相交的直線所截得的三角形的三邊與原三角形

三邊對應成比例

90平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交所構成的三角形與原三角

形相似

91兩角對應相等兩三角形相似(ASA)

92直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似

93兩邊對應成比例且夾角相等兩三角形相似(SAS)

94三邊對應成比例兩三角形相似(SSS)

95如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三

角形的斜邊和一條直角邊對應成比例那么這兩個直角三角形相似

96相似三角形對應高的比對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比

97相似三角形周長的比等于相似比

98相似三角形面積的比等于相似比的平方

99任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值

100任意銳角的正切值等于它的余角的余切值任意銳角的余切值等

于它的余角的正切值

101圓是定點的距離等于定長的點的集合

102圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合

103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合

104同圓或等圓的半徑相等

105到定點的距離等于定長的點的軌跡是以定點為圓心定長為半徑的圓

106和線段兩個端點的距離相等的點的軌跡是著條線段的垂直平分線

107到角的兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線

108到兩條平行線距離相等的點的軌跡是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線

109不在同一直線上的三個點確定一條直線

110垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧

111①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦并且平分弦所對的兩條弧

②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心并且平分弦所對的兩條弧

③平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦并且平分弦所對的另一條弧

112圓的兩條平行弦所夾的弧相等

113圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形

114在同圓或等圓中相等的圓心角所對的弧相等所對的弦相等所對的弦的弦心距相等

115在同圓或等圓中如果兩個圓心角兩條弧兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那

么它們所對應的其余各組量都相等

116一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

117同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧也相等

118半圓（或直徑）所對的圓周角是直角;90°的圓周角所

對的弦是直徑

119如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半那么這個三角形是直角三角形

120圓的內(nèi)接四邊形的對角互補并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角

121①直線L和。O相交d<r

②直線L和。O相切d=r

③直線L和。。相離d>r

122經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

123圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑

124經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點

125經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

126從圓外一點引圓的兩條切線它們的切線長相等圓心和這一點的連線平分兩條切線的

夾角

127圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等

128弦切角等于它所夾的弧對的圓周角

129如果兩個弦切角所夾的弧相等那么這兩個弦切角也相等

130圓內(nèi)的兩條相交弦被交點分成的兩條線段長的積相等

131如果弦與直徑垂直相交那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項

132從圓外一點引圓的切線和割線切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項

133從圓外一點引圓的兩條割線這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等

134如果兩個圓相切那么切點一定在連心線上

135①兩圓外離d>R+r②兩圓外切d=R+r

③兩圓相交R-r<d<R+r(R>r)

④兩圓內(nèi)切d=R-r(R>r)⑤兩圓內(nèi)含dVR-r(R>r)

136相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

137把圓分成n(n23):

⑴依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形

⑵經(jīng)過各分點作圓的切線以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形

138任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓這兩個圓是同心圓

139正n邊形的每個內(nèi)角都等于(n-2)X180°/n

140正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形

141正n邊形的面積Sn=pnrn/2p表示正n邊形的周長

142正三角形面積J3a/4a表示邊長

143如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角由于這些角的和應為360°因此kX

(n-2)180o/n=360°化為

(n-2)(k-2)=4

144弧長計算公式:L=nLlR/180

145扇形面積公式:S扇形=nnR/360=LR/2

146內(nèi)公切線長=d-(R-r)外公切線長=d-(R+r)

第三章例題講解

【例1】如圖10,平行四邊形力中，AB=5,80=10,以邊上的高4廬4,￡為a'邊上的一

個動點(不與6、。重合).過6作直線的垂線，垂足為兄所與〃。的延長線相交于點G,

連結龍，DFo

(1)求證：ABEF^ACEG.

(2)當點E在線段a'上運動時，△頗和△□方的周長之間有什么關系？并說明你的理

由.

(3)沒BE=x,△頌的面積為y,請你求出y和x之間的函數(shù)關系式，并求出當x為何值

時，y有最大值，最大值是多少？

圖10

解析過程及每步分值

1)因為四邊形495是平行四邊形，所以A3||DG...................1分

所以=NGCE,ZG=NBFE

所以ABEFsMEG..........................................3分

(2)△BE戶與△CEG的周長之和為定值...................................4分

理由一：

過點。作R的平行線交直線18于〃，

因為所以四邊形為矩形.所以FH=CG,FG=CH

因此，ABEF與ACEG的周長之和等于BC+CH+BH

由BC=10,AB=5,AM=i,可得。7=8,BH=6,

所以BC+CH+BH=QA...............................................6分

理由二:

由AB—5,4M=4,可知

在Rt△啊■與Rt/XG，萬中，有：

4343

EF=-BE,BF=-BE,GE=-EC,GC=-CE,

5555

1212

所以，△應7:1的周長是—BE,△式&的周長是—CE

55

又BE+CE=\Q,因此ABE尸與ACEG的周長之和是24.6分

43

(3)設以=x,那么旅=一匹GC=-(10-x)

1\AO?

所以y=—EFVDG=——"—(10—幻+5]=——X2——x8分

255255

而：曰6.55.121

配方付：V=---(X---)2H---.

2566

所以，當1=9時，y有最大值......................

9分

6

121

最大值為二L10分

6

［例2］如圖二次函數(shù)y=a/+-+c(a>0)與坐標軸交于點ABC且OA=1OB=OC=

3.

m求此二次函數(shù)的解析式.

(2)寫出頂點坐標和對稱軸方程.

13)點M^4在夕=4戈+—+。的圖像上(點N在點M的右邊)且呱〃“軸求以MN為直徑

且與x軸相切的圓的半徑.

解析過程及每步分值

(1)依題意4—1,0),5(3,0),C(0,—3)分別代入,=奴2+法+。...............1分

解方程組得所求解析式為y=f—2x—3......................................4分

(2)y=x2-2x-3=(x-l)2-4............................................5分

???頂點坐標(1,-4),對稱軸x=l..............................................7分

(3)設圓半徑為r,當MN在x軸下方時，N點坐標為(1+',一「)...............8分

把N點代入y=x2-2x-3得，=,....................................9分

同理可得另一種情形r=止姮

2

???圓的半徑為士姮或足叵10分

【例3】兩個關于尤的二次函數(shù)乃與當x=Z時，%=17;且二次函數(shù)內(nèi)的圖象的對稱軸是直

2

y2,yt=a(x-k)+2(k>0),必+%=—+6x+12線x=—1.

(1)求女的值；

⑵求函數(shù)y,%的表達式；

13)在同一直角坐標系內(nèi)，問函數(shù)》的圖象與力的圖象是否有交點？請說明理由.

解析過程及每步分值

2

⑴由y二。(工一攵)2+2,y,+y2=x+6x+12

得以=(y+必)—H=X2+6x+12—a(x—k)——2—+6x+10—Q(X—k)~.

又因為當x=Z時，%=17,即我2+6攵+10=17,

解得用=1,或&二-71舍去)，故Z的值為1.

(2)由2=1,得％=J+6x+10—cii^x—I)?=(1—a)/+(2。+6)x+10—a,

所以函數(shù)%的圖象的對稱軸為》=-瑞丹，

于是，有-2a+6=_],解得。=一1,

2(l-a)

所以)|=—x~+2x+1,必=2x?+4%+11.

(3)由y=-(x-1y+2,得函數(shù)必的圖象為拋物線，其開口向下，頂點坐標為(1,2)；

由%=2/+4》+11=2(》+1)2+9,得函數(shù)%的圖象為拋物線，其開口向上，頂點坐標為(—1,9)；

故在同一直角坐標系內(nèi)，函數(shù)%的圖象與力的圖象沒有交點?

【例4】如圖,拋物線y=/+4x與x軸分別相交于點B、0,它的頂點為A,連接AB,把AB所的直線沿y軸

向上平移,使它經(jīng)過原點0,得到直線1,設P是直線1上一動點.

(1)求點A的坐標；

(2)以點A、B、0、P為頂點的四邊形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形,請分別直接寫出這些特殊四

邊形的頂點P的坐標；

(3)設以點A、B、0、P為頂點的四邊形的面積為S,點P的橫坐標為x,當4+6夜W6+8?時,

求x的取值范圍.

解析過程及每步分值

解:[1)Vy=x2+4x=(x+2)2-4

.".A(-2,-4)

⑵四邊形ABPQ為菱形時,P“-2,4)

24

四邊形ABOPz為等腰梯形時，Pi(一，一一)

55

48

四邊形ABP：Q為直角梯形時，P,(一一,-)

55

四邊形ABOP,為直角梯形時，Pi(2-U)

55

(3)

由條件可求得AB所在直線的函數(shù)關系式是y=-2x-8,所以直線/的函數(shù)關系式是y=-2x

①當點P在第二象限時，x<0,

△POB的面積S&poB=—x4x(—2x)=—4x

VAAOB的面積=gx4x4=8,

**?S=SMOB+SAPOB~Tx+8(x<0)

V4+6A/2<S<6+872,

.]SN4+6行

"{5<6+8V2

、2-3V2

4x+824+6V2x>-------

2

即廠

[-4x+8?6+8J2S4山1

2

1-4V22-3V2

Ax的取值范圍是"7

22

②當點P在第四象限是，x>0,

過點A、P分別作x軸的垂線，垂足為A'、P'

那么四邊形POA'A的面積

4+2x1

^POA'A=S梯形哂A_S"FO=------(x+2)?(2x)?x=4x+4

,**AAA'B的面積SWB=gx4x2=4

s=Sp07VA+s^B4x+8(x>0)

,**4+6A/2<SW6+85/2，

、3及-2

S>4+6V24x+8>4+6V2x>----------

即《2

S<6+8V24x+8<6+8-J2s?組

2

???x的取值范圍是七"“小1

【例4】隨著綠城南寧近幾年城市建設的快速開展，對花木的需求量逐年提高。某園林專業(yè)戶

方案投資種植花卉及樹木，根據(jù)市場調(diào)查與預測，種植樹木的利潤以與投資量x成正比例

關系，如圖①所示；種植花卉的利潤力與投資量x成二次函數(shù)關系，如圖②所示(注：利

潤與投資量的單位：萬元)

(1)分別求出利潤與為關于投資量x的函數(shù)關系式；

(2)如果這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能獲

取的最大利潤是多少？

解析過程及每步分值

解：（1）設必=左匚由圖①所示，函數(shù)必=區(qū)的圖像過（1,2）,所以2=hl,k=2

故利潤必關于投資量x的函數(shù)關系式是弘=2x；

因為該拋物線的頂點是原點，所以設為=依2,由圖12-②所示，函數(shù)），2=。/的圖像過（2,2）,

所以2=a-22,a=-

2

1,

故利潤為關于投資量x的函數(shù)關系式是y=1x2；

（2）設這位專業(yè)戶投入種植花卉x萬元（0Wx?8）,

那么投入種植樹木（8-x）萬元，他獲得的利潤是z萬元，根據(jù)題意，得

z=2（8-x）+—x2=—x2-2x+16=—（x-2）2+14

222

當x=2時，z的最小值是14；

因為0WxW8,所以一2Wx—2W6

所以（x—2-436

1,

所以一（x—2>418

1,

所以5（x—2猿+14418+14=32,即zW32,此時x=8

當x=8時，z的最大值是32.

【例5】如圖,4-4,0),6(0,4),現(xiàn)以A點為位似中心，相似比為9:4,將0B向右側放大,

B點的對應點為C.

(1)求C點坐標及直線BC的解析式；

(2)一拋物線經(jīng)過B、C兩點，且頂點落在x軸正半軸上，求該拋物線的解析式并畫出函

數(shù)圖象；

(3)現(xiàn)將直線BC繞B點旋轉與拋物線相交與另一點P,請找出拋物線上所有滿足到直線

AB距離為30的點P.

yii

ie

解析過程及每步分值

解：（1）過C點向x軸作垂線，垂足為D,由位似圖形性質(zhì)可知:

ADCD9

由A(-4,0),8(0,4)可知：AO=4,BO=4.

.?.4。=。=9.，（：點坐標為（5,9）.

y-4_x-0

直線BC的解析是為:

9^4-5^0

化簡得：y=x+4

4-c

(2)設拋物線解析式為云+c(a>0),由題意得：!.9=25a+5b+c,

b12—4ac=0

解得:

,1,4

解得拋物線解析式為X=f-4x+4或%=3x+gx+4.

1,4

又；%=—尤+—x+4的頂點在x軸負半軸上，不合題意，故舍去.

2255

滿足條件的拋物線解析式為y=--4x+4

（準確畫出函數(shù)y=——4x+4圖象）

(3)將直線BC繞B點旋轉與拋物線相交與另一點P,設P至IJ直線AB的距離為h,

故P點應在與直線AB平行，且相距3夜的上下兩條平行直線4和4上.

由平行線的性質(zhì)可得：兩條平行直線與y軸的交點到直線BC的距離也為38.

如圖，設4與y軸交于E點，過E作EFLBC于F點，

在RtaBEF中EF=〃=30,NEBF=ZABO=45。,

：.BE=6....可以求得直線4與y軸交點坐標為(0,10)

同理可求得直線4與y軸交點坐標為(0,-2)

I.兩直線解析式4:y=x+10；l2:y=x-2.

根據(jù)題意列出方程組：⑴卜二人以+4；⑵卜”一?+4

y=x+10y=x-2

?,?滿足條件的點P有四個，它們分別是4(6,16),鳥(一1,9),呂(2,0),舄(3,1)

【例6】如圖，拋物線4：)=---2X+3交x軸于A、B兩點，交y。向右平移2個單位后得到拋物線右，

4交x軸于C、D兩點.

(1)求拋物線4對應的函數(shù)表達式；

(2)拋物線4或右在x軸上方的局部是否存在點N,使以A,C,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形.

假設存在，求出點N的坐標；假設不存在，請說明理由；

(3)假設點P是拋物線右上的一個動點(P不與點A、B重合)，那么點P關于原點的對稱點Q是否在

拋物線&上，請說明理由.

解析過程及每步分值

解<1)令，=0,得一/一2工+3=0,

:.Hi■=—3?x3=1.A(—3,0)

???拋物線L向右平移2個單位得拋物線Li,

.*.C(-1.0).D(3?0),a=—1.

???拋物線G為y--(?+l)(x-3),

即y=—x*+2z+3.

(2)存在.

令工"-0,得y=3,.*.M(0,3).

???拋物線上是Li向右平移2個單位得到的.

.?.點N(2,3)在Lt上，且MN^2,MN//AC.

又：AC=2,二MN=AC.

A四邊形ACNM為平行四邊形.

同理,L上的點N'(一2,3)滿足N'M〃AC,N'M=AC

四邊形ACMN'是平行四邊形.

；.N(2,3),N'(-2,3)即為所求?

(3)設P(?，y,)是L,上任意一點(h#0),

則點P關于原點的對稱點Q(-q，-“)，

且yi=-X|*—2?i+3；

將點Q的橫坐標代入L?,

得ya=—xt*—2x1+3->>#—yi,

二點Q不在拋物線/“上.

【例7】如圖，在矩形ABC。中，AB=9,AD=36,點尸是邊BC上的動點(點P不與點8,

點C重合)，過點尸作直線PQ〃B。，交CD邊于。點，再把△PQC沿著動直線P。對折,

點。的對應點是R點，設CP的長度為x,與矩形ABCD重疊局部的面積為y.

(1)求NCQP的度數(shù)；

(2)當x取何值時，點R落在矩形ABC。的AB邊上？

(3)①求y與x之間的函數(shù)關系式；

②當X取何值時，重疊局部的面積等于矩形面積的,？

27

(備用圖1)(備用圖2)

解析過程及每步分值

解：m如圖，?.?四邊形ABC。是矩形，.'AB=cr),AD=BC.

又AB=9,AD=3y/3,NC=901

:.CD^9,BC=3技

.-.tanZCD5=—=—,:.ZCDB^30\

CD3

PQ〃BD,NCQP=NCDB=30.

(2)如圖1,由軸對部的性質(zhì)可知，△RPQ烏△CPQ,

:"RPQ=/CPQ,RP=CP.

由(1)知NCQP=30",;.NRPQ=NCPQ=60,(圖1)

:"RPB=6(X,;.RP=2BP.

-.CP=x,:.PR=x,PB=36-x.

在△RPB中,根據(jù)題意得：2(36-x)=x,

解這個方程得：x=2g.

(3)①當點R在矩形ABC。的內(nèi)部或AB邊上時，

0<xW25/3,S&CPQ=2XCPxCQ—xts/3x?x2)

?.?△RPQ/△CPQ,.?.當0<x<2百時，y=今￡

當R在矩形ABC。的外部時(如圖2),2『x<30,

在RtAPEB中，；NRP8=60,

:.PF=2BP=20+-4,

又\RP=CP=x,:.RF=RP-PF=3x-6y/3,

在中，

NEFR=4PFB=30'，：.ER=Gx-6.

2

:.S&ERF=^ERxFR=^-x-lSx+\Sy/3，

「y=S^RPQ_S^ERF,

???當2G<x<36時，y=—瓜2+18元一18百.

62r

綜上所述，v與X之間的函數(shù)解析式是:尸彳*(°<"W2揚^

-瓜2+1口-1873(273<x<3歷

②矩形面積=9x36=27百，當0<xW2百時，函數(shù)y=隨自變量的增大而增大，所以y的

最大值是66,而矩形面積的」-的值=」-X27G=7G，

2727

而用>6g,所以，當0<x<26時，y的值不可能是矩形面積的工；

當2行<%<36時，根據(jù)題意，得：

—氐2+18%-18百=76,解這個方程，得X=3G±JL因為3百+夜>3百，

所以x=3后+應不合題意，舍去.

所以％=3百一痣.

綜上所述，當彳=3百-亞時，△PQR與矩形ABC。重疊局部的面積等于矩形面積的工.

第四章興趣練習

4.1代數(shù)局部

1.：拋物線曠="2+加:+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C.其中點A在x軸的負半軸上，點C

在y軸的負半軸上，線段。40C的長(OA<OC)是方程f—5x+4=0的兩個根，且拋物線的對稱

軸是直線x=1.

(1)求A、B、C三點的坐標：

(2)求此拋物線的解析式；

(3)假設點。是線段AB上的一個動點(與點4、8不重合)，過點。作OE〃8c交AC于點E,連結

CD,設BD的長為m,ACDE的面積為S,求S與相的函數(shù)關系式，并寫出自變量m的取值范圍.S

是否存在最大值？假設存在，求出最大值并求此時。點坐標；假設不存在，請說明理由.

2.,如圖1,過點￡(0,—1)作平行于x軸的直線/,拋物線y=［犬2上的兩點A、B的橫坐標分別為一1

和4,直線AB交y軸于點F,過點A、3分別作直線/的垂線，垂足分別為點C、D,連接CF、DF.

(1)求點A、B、尸的坐標；

(2)求證：CF1DF；

1°

(3)點尸是拋物線y=-f對稱軸右側圖象上的一動點，過點尸作PQJ.PO交工軸于點Q,是否存