廣東省佛山市南海一中2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

廣東省佛山市南海一中2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為A. B.C. D.2．化簡(jiǎn)的值是A. B.C. D.3．下列各式中與相等的是A. B.C. D.4．已知，則（）.A. B.C. D.5．方程的根所在的區(qū)間為A. B.C. D.6．已知，若，則m的值為（）A.1 B.C.2 D.47．如圖所示，將等腰直角△ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個(gè)二面角，使得∠B′AC＝60°．那么這個(gè)二面角大小是（）A.30° B.60°C.90° D.120°8．不等式的解集為（）A.（-∞，1） B.（0，1）C.（，1） D.（1，+∞）9．已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足，若方程有唯一的實(shí)數(shù)解，則（）A.2 B.4C.8 D.1610．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖像可能是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．是第___________象限角.12．若、是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，則__________.13．若，則_________14．已知是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則的值為___________.15．已知函數(shù)是定義在的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，若實(shí)數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________16．若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)解析式為.（1）求的值，并求出在上的解析式；（2）求在上的最值18．已知為銳角，（1）求的值；（2）求的值19．如圖，平面，，，，分別為的中點(diǎn)．（I）證明：平面；（II）求與平面所成角的正弦值．20．設(shè)函數(shù)，是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)（1）確定的值（2）若，判斷并證明的單調(diào)性；（3）若，使得對(duì)一切恒成立，求出的范圍.21．“綠水青山就是金山銀山”．某企業(yè)決定開發(fā)生產(chǎn)一款大型凈水設(shè)備，生產(chǎn)這款設(shè)備的年固定成本為600萬元，每生產(chǎn)臺(tái)需要另投入成本萬元．當(dāng)年產(chǎn)量x不足100臺(tái)時(shí)，；當(dāng)年產(chǎn)量x不少于100臺(tái)時(shí)，．若每臺(tái)設(shè)備的售價(jià)為100萬元時(shí)，經(jīng)過市場(chǎng)分析，該企業(yè)生產(chǎn)的凈水設(shè)備能全部售完（1）求年利潤(rùn)y（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量x為多少臺(tái)時(shí)，該企業(yè)在這一款凈水設(shè)備的生產(chǎn)中獲利最大，最大利潤(rùn)是多少萬元？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】所求直線的斜率為，故所求直線的方程為，整理得，選D.2、B【解析】利用終邊相同角同名函數(shù)相同，可轉(zhuǎn)化為求的余弦值即可.【詳解】.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)中終邊相同的角三角函數(shù)值相同及特殊角的三角函數(shù)值，屬于容易題.3、A【解析】利用二倍角公式及平方關(guān)系可得，結(jié)合三角函數(shù)的符號(hào)即可得到結(jié)果.【詳解】,又2弧度在第二象限，故sin2＞0,cos2＜0，∴=故選A【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)問題，涉及到二倍角公式，平方關(guān)系，三角函數(shù)值的符號(hào)，考查計(jì)算能力.4、C【解析】將分子分母同除以，再將代入求解.【詳解】.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】令函數(shù)，則方程的根即為函數(shù)的零點(diǎn)再根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間【詳解】令函數(shù)，則方程的根即為函數(shù)的零點(diǎn)，再由，且，可得函數(shù)在上有零點(diǎn)故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題6、B【解析】依題意可得，列方程解出【詳解】解：，，故選：7、C【解析】根據(jù)折的過程中不變的角的大小、結(jié)合二面角的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)锳D是等腰直角△ABC斜邊BC上的高，所以，因此是二面角的平面角，∠B′AC＝60°．所以是等邊三角形，因此，在中.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了二面角的判斷，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)不等式，然后求解可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以原不等式等價(jià)于，即.故選：A9、B【解析】由條件可得，為周期函數(shù)，且一個(gè)周期為6，設(shè)，則得到偶函數(shù)，由有唯一的實(shí)數(shù)解，得有唯一的零點(diǎn)，則，從而得到答案.【詳解】由得，即，從而，所以為周期函數(shù)，且一個(gè)周期為6，所以.設(shè)，將的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象，且為偶函數(shù).由有唯一的實(shí)數(shù)解，得有唯一的零點(diǎn)，從而偶函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，且零點(diǎn)為，即，即，解得，所以故選：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是由條件得到，得到為周期函數(shù)，設(shè)的圖象，且為偶函數(shù).由有唯一的實(shí)數(shù)解，得有唯一的零點(diǎn)，從而偶函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，且零點(diǎn)為，屬于中檔題.10、D【解析】通過分析冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的特征可得解.【詳解】函數(shù)，與，答案A沒有冪函數(shù)圖像，答案B.中，中，不符合，答案C中，中，不符合，答案D中，中，符合，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像特征，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、三【解析】根據(jù)給定的范圍確定其象限即可.【詳解】由，故在第三象限.故答案為：三.12、【解析】先通過根與系數(shù)的關(guān)系得到的關(guān)系，再通過同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可解得.【詳解】由題意：，所以或，且，所以，即，因?yàn)榛?，所?故答案為：.13、【解析】先求得，然后求得.【詳解】，.故答案為：14、【解析】由已知函數(shù)解析式可求，然后結(jié)合奇函數(shù)定義可求.【詳解】因?yàn)槭荝上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，所以，所以故答案為：15、【解析】先利用偶函數(shù)的性質(zhì)將不等式化簡(jiǎn)為，再利用函數(shù)在上的單調(diào)性即可轉(zhuǎn)化為，然后求得的范圍.【詳解】因?yàn)闉镽上偶函數(shù)，則，所以，所以，即，因?yàn)闉樯系臏p函數(shù)，，所以，解得，所以，的范圍為.【點(diǎn)睛】1.函數(shù)值不等式的求法：（1）利用函數(shù)的奇偶性、特殊點(diǎn)函數(shù)值等性質(zhì)將函數(shù)值不等式轉(zhuǎn)化為與大小比較的形式：；（2）利用函數(shù)單調(diào)性將轉(zhuǎn)化為自變量大小比較的形式，再求解不等式即可.

偶函數(shù)的性質(zhì)：；奇函數(shù)性質(zhì)：；

若在D上為增函數(shù)，對(duì)于任意，都有；若在D上為減函數(shù)，對(duì)于任意，都有.16、【解析】首先根據(jù)函數(shù)的解析式確定，再利用換元法將函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)的問題，轉(zhuǎn)化為方程區(qū)間上有兩個(gè)不同根的問題，由此列出不等式組解得答案.【詳解】函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則，故由可知：，當(dāng)時(shí)，，顯然不符合題意，故，又函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于在區(qū)間上有兩個(gè)不同的根，設(shè)，則函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的根，等價(jià)于在區(qū)間上有兩個(gè)不同的根，由得，要使區(qū)間上有兩個(gè)不同的根，需滿足a2-5a+1>06a故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）在上的解析式為；（2）函數(shù)在[0,1]上的最大與最小值分別為0，-2.【解析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性可知，代入即可求值；（2）利用換元得出新的函數(shù)，再結(jié)合新的函數(shù)解析式求最值即可.【詳解】（1）為定義在[－1,1]上的奇函數(shù)，且在處有意義，即，設(shè)，則又，所以，在上的解析式為（2）當(dāng)，，∴設(shè)則當(dāng)t＝1時(shí)，取最大值，最大值為1－1＝0.當(dāng)t=0時(shí)，取最小值為-2.所以，函數(shù)在[0,1]上的最大與最小值分別為0，-2.18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題中條件，求出，，再由兩角差的余弦公式，求出，根據(jù)二倍角公式，即可求出結(jié)果；（2）由（1）求出，，再由兩角差的正切公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1），為銳角，且，，則，，，，；（2）由（1），所以，則，又，，；.19、（Ⅰ）略（Ⅱ）【解析】（I）證明：連接，在中，分別是的中點(diǎn)，所以，又，所以，又平面ACD，DC平面ACD，所以平面ACD（Ⅱ）在中，，所以而DC平面ABC，，所以平面ABC而平面ABE，所以平面ABE平面ABC，所以平面ABE由（Ⅰ）知四邊形DCQP是平行四邊形，所以所以平面ABE，所以直線AD在平面ABE內(nèi)的射影是AP，所以直線AD與平面ABE所成角是在中，，所以考點(diǎn)：線面平行的判定定理；線面角點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了空間中直線與平面所成的角，屬立體幾何中的?？碱}型，較難．本題也可以用向量法來做．而對(duì)于利用向量法求線面角關(guān)鍵是正確寫出點(diǎn)的坐標(biāo)和求解平面的一個(gè)法向量．注意計(jì)算要仔細(xì)、認(rèn)真20、（1）2；（2）單調(diào)遞增，證明見解析；（3）.【解析】（1）利用奇函數(shù)定義直接計(jì)算作答.（2）求出a值，再利用函數(shù)單調(diào)性定義證明作答.（3）把給定不等式等價(jià)變形，再利用函數(shù)單調(diào)性求出最小值，列式計(jì)算作答.【小問1詳解】因是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則，而，解得，所以的值是2.【小問2詳解】由（1）得，是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，而，則，即，又，解得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，，因，則，，于是得，即，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增.【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，，，，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，，于是得，令，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時(shí)，，因此，，解得，所以的范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)思想是解決問題的關(guān)鍵.21、（1）（2）年產(chǎn)量為102臺(tái)時(shí)，該企業(yè)在這一款凈水設(shè)備的生產(chǎn)中獲利最大，