2024年高二數(shù)學期末考試模擬試題二（含答案新高考地區(qū)）

新高考地區(qū)高二期末考試模擬試題二

第I卷（選擇題）

一、單選題

1.在等比數(shù)列｛。“｝中，出+。3=1，/+%=2,則為+。5=（）

A.4B.8C.16D.32

【答案】A

【分析】根據(jù)能+羯=?（/+%）求出9,再根據(jù)Q+%=4（4+4）可得答案.

【詳解】設等比數(shù)列的公比為

由能+&=式。2+%），可得4=2,所以為+%=4（4+。4）=4.

故選：A.

2.已知直線/：3x+y-6=0和圓C：x2+y2-2y-4=0^A,B兩點,則弦48所對的圓心角的大小為

（）

7171_7T2兀

A.—B.—C.—D.—

4323

【答案】c

【分析】根據(jù)弦長公式可得弦長，根據(jù)V/3C的邊長關系，確定圓心角的大小.

【詳解】由圓c：x2+y2-2y-4=0,可得x?+3-1）2=5,圓心C（O,1）,半徑為百，

又直線/：3x+y-6=0,

所以|，州=2,5-1^=如，又修|=|。同=石，

所以|C/『+|C8『=|4卻°,圓心角NNC8=],

7T

即弦AB所對的圓心角的大小為.

故選：C.

3.已知雙曲線馬-1=1（。＞0乃＞0）的離心率為2后，則該雙曲線的漸近線方程為（）

ab

A.41x±y=0B.x+^y=OC.3x±y=0D.x土3y=0

【答案】A

【分析】根據(jù)離心率求出2即可求漸近線方程.

【詳解】由雙曲線的離心率為2a，得6=北）=FL產(chǎn)={+[/]=2后，

所以2=近，又雙曲線《一口=1的漸近線方程為＞=±2》，所以漸近線方程為）=士伍，即

aaba

\/lx+y=0.

故選：A.

4.已知直線x+ay-l=O是圓C：/+/-4x-2y+1=0的對稱軸，過點/（-3,。）作圓C的一條切線，切點

為B,則同等于（）

A.2B.5C.4&D.2廂

【答案】B

【分析】求出圓的圓心與半徑，然后求解。，求出A的坐標，畫出示意圖，利用勾股定理求解H同即可.

【詳解】解：圓x?+V—4龍—2y+1=0即（x—2）2+（＞—=4,圓心為C（2,1）,半徑為r=2,

由題意可知/：x+即T=0過圓的圓心C（2,l）,

則2+。-1=0,解得。=-1,點A的坐標為（-3,-1）,

作示意圖如圖所示：

"=42+22=回忸牛1r=2,切點為3,則

所以|4B|=yl\ACf-\BCf=5.

故選：B.

5.已知過拋物線C:/=8x的焦點尸且傾斜角為45。的直線交C于/,8兩點，。為弦的中點，P為C

上一點，則|尸尸|+|尸。]的最小值為（）

A.-B.8C.—D.5

32

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的方程，再與拋物線方程聯(lián)立，結合拋物線定義，借助幾何意義求解

作答.

【詳解】拋物線/=8x,焦點尸(2,0),準線/:x=-2,直線N2的方程為了=》-2,

y=x-2

由《2o消去v并整理得：/一12x+4=0,設/(再,必)，3(々,%),貝I］無1+無2=12,

1=8x

弦23中點0的橫坐標和="^=6,過點。作準線/的垂線，垂足為點。，

令。。交拋物線于點P在拋物線上任取點P,過P作尸'?！?于點。以連接尸'。,尸'￡。。'，

即有附=\PD\,\P'F|=|P'D'\,\P'F|+|P'Q\=\P'D'\+\P'Q\>\QD'\>\QD\=\PD\+\PQ\=|PF|+\PQ\,

當且僅當點P與P重合時取等號，

所以|尸尸|+|尸。|的最小值為|。0=v°-(-2)=8.

故選：B

6.己知正四棱柱43。-4印淪的底面邊長為2,且該四棱柱的外接球表面積為17萬，M為2c的中點,

則點2到平面ABXM的距離為()

A.2B.迤C9V1318

D.

713-13T

【答案】D

【分析】首先根據(jù)正四棱柱與外接球的關系，求得四棱柱的高,再以點。為原點，建立空間直角坐標系,

求平面/用M的法向量，利用向量公式求點到平面的距離.

【詳解】設正四棱柱的高為九由其外接球的表面積為17萬，可知4萬/=17萬，外接球半徑為姮,

2

所以收2+22+/=后,得,7=3.

以。為坐標原點，次，皮，西的方向分別為X,V，Z軸的正方向建立空間直角坐標系,

則4(2,0,0),4(2,2,3),M(l,2,0),Dt(0,0,3),所以離=(0,2,3),AM=(-1,2,0),AD,=(-2,0,3).

2y+3z=0

設平面的法向量為三(x,y,z)可取I=(6,3,—2),

-x+2y=0

—\AD}-n\-12-618

則點2到平面AB、M的距離為=

l?lJ36+9+4T

故選：D

7.已知等比數(shù)列｛。"｝滿足%=16,%-。3=4,若￡="%,S,是數(shù)列也｝的前"項和，對任意〃eN*,不

等式月-"仍,41恒成立，則實數(shù)加的取值范圍為()

A.[4,+co)B.[3,+co)C.[2,+oo)D.[1,+(?)

【答案】C

【分析】本題首先可根據(jù)。5=16、%-%=4得出。"=2"、然后根據(jù)得出再然后根據(jù)錯

S-1

位相減法求出S“=("-l)x2"+l,最后根據(jù)題意得出對任意〃eN*不等式旭2丁恒成立，根據(jù)

S—12

亍=2-；；<2(〃eN*)即可得出結果.

【詳解】設等比數(shù)列｛%｝的公比為9,

a,q4=16,

3.，解得4=2,q=1,a=2"~,

aq-aq2=4n

｛x

因為“=啊，所以“=〃-2”T,b,,>0,

貝(I、=1*20+2x2i+3x2?+…+"x2'i,25?=1x2*+2x22+3x23+---+wx2",

1

S.=2S-S=n2〃-2〃-i-2〃-2——21-2°=nT------=(n-1?2n+1,

nnn2\/

5-1

對任意幾￡N*不等式Sn-加4W1恒成立，即對任意〃￡N*不等式加之S，恒成立，

"n

因為『="M=2-2<2(〃eN*),所以加》2,用的取值范圍為[2,+8).

bnn,2n'/

故選：C.

【點睛】方法點睛：本題考查根據(jù)數(shù)列不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，考查數(shù)列求和，常見的數(shù)列求和

方法有等差等比公式法、錯位相減法、裂項相消法、分組求和法、倒序相加法，考查計算能力，是難題.

JT

8.已知橢圓和雙曲線有共同的焦點片，F(xiàn)”p是它們的一個交點，且/月記橢圓和雙曲線的離

心率分別為G，e2,則q4的最小值為（）

b.旦B.—C.1D.-

222

【答案】B

7T

【分析】利用橢圓和雙曲線的定義及/百1=§可以列出關于G，02的方程，再利用均值定理即可得到

的最小值

【詳解】設橢圓長軸長為2a,雙曲線實軸長為23，

\PF^m,\PF2\=n,Qm>n)，閨閶=2c

m+n=2am=a+a'

則,解之得

m—n=2an=a—a'

d7im2+n2-4c21

乂cos—=-----------=—

32mn2

貝！J(Q+q')2+(。一屋)2一4c2=(Q+Q)(Q-Q)

13)

則/+3a"-4c2=0,貝1-+—=4

e\4

則4=。+捺221=當,則孝

-2口°2乙

（當且僅當q=*,e?=乎時等號成立）

則e「e2的最小值為祖

2

故選：B

二、多選題

9.等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S",若￡<$,57=58,$8>$9.則下列結論正確的有（）

A.%+。9=0

B.S6>Sl0

C.數(shù)列｛?！埃沁f減數(shù)列

D.使y>0的”的最大值為15

【答案】ABC

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前〃項和的定義求出網(wǎng)=0，%>0，%<0，由等差數(shù)列的性質(zhì)可判斷ABC,再

由數(shù)列的求和公式判斷D.

，

【詳解】由$6<$7$7=$8應>Sg可知，<77>0,a8=0,a9<0,即％>0,d<0,

由等差數(shù)列性質(zhì)知%+。9=21=°，故A正確；

由S]o-$6=。7+。8+%+。10=36+%0=%0<0，所以S6>S](),故B正確；

又數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，所以d<0,即數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，故C正確;

因為'J"%；匍)=詈”=15“8=。故D錯誤.

故選：ABC

10.已知圓Cid+V=4,直線/:(3+Mx+4y-3+3〃?=0("?eR),則下列結論正確的是()

A.直線/恒過定點(3,3)

B.當機=0時，圓C上有且僅有三個點到直線/的距離都等于1

C.圓C與曲線/+了2-6x-8y+a=0恰有三條公切線，則加=16

D.當加=13時，直線/上動點尸向圓C引兩條切線P/,PB,其中4,8為切點，則直線經(jīng)過點

【答案】CD

除+3=0

【分析】對A將直線化成加(、+3)+(3%+4歹-3)=0,則解出即為定點；對B直接計算圓

[3x+4>-3=0

心到直線的距離與1的大小關系，即可判斷B,對C,直接將加代入，通過幾何法判斷兩圓位置關系即可,

對D,設點尸9-9-務)，利用兩點直徑式方程寫出以尸C為直徑的圓的方程，兩圓方程作差，得到公共弦所

在直線方程，化成關于參數(shù)，的方程，即可求出定點坐標.

[x+3=0

【詳解】由直線/：(3+加)x+4y-3+3加=0,(加eR),整理得：:心+3)+(3x+4y-3)=0,故解得

[3x+4y-3=0

[x=—3

2，即經(jīng)過定點(-3,3),故A錯誤；

b=3

當加=0時，直線/為3x+4y-3=o,

二圓心(0,0)到直線3x+4y-3=0的距離

故圓C上有四個點到直線/的距離都等于1,故B錯誤;

圓C:f+j?=4，其半徑廠=2,

圓龍2+/-6x-8y+m=0,

當加=16時，x?+/-6x-8y+16=0,整理得

(x-3)2+(y-4)2=9,其半徑R=3

圓心聞巨為J(3-0)2+(4—ON=5=1+7?=2+3=5,

故兩圓相外切，恰有三條公切線，故C正確；

當〃7=13時,直線/的方程為4工+歹+9=0,

設點尸(59-取),圓C：尤2+/=4的圓心。(0,0)泮徑為廠=2,

以線段尸C為直徑的圓M的方程為：

(x-t)x+(9+4%+y)y=0,

即x2+(-/)x+y2+9y+Aty=0,

又圓。的方程為，+/=4,

二?兩圓的公共弦的方程為-b+4川+制+4=0

16

x=---

f4y-x=09

整理得(”-x)/+9y+4=0,即?！竛，解得＜

?yy11一u4

y=——

9

即直線AB經(jīng)過點|一個‘一；1'故口正確.

故選：CD.

11.在長方體中，44=2/3=230=2,點E,尸滿足萬==2戴(0＜九＜1),近=反1.下

列結論正確的有()

A.若直線BE與2尸異面，則2力；

B.若4E11.8/，則2=:

C.直線NE與平面N8GA所成角正弦值為姮

15

D.若直線/￡戶平面則2

【答案】ACD

【分析】建立空間坐標系，用空間向量逐項計算.

【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系:

41,0,0),5(1,1,0),E(0,l,l),Dx(0,0,2)

尸(1,0,22),礪=(-1,0,1),印=(1,0,22-2)

AE=(-1,1,1),而=(0,-1,22),50；=(-1,-1,2)

121

對于A：若直線8E與。尸異面，則「7^三」，則彳/：，故A正確；

—112

對于B：^AE1BF,:.AE-BF=O,z.(-1,1,1)-(0,-1,22)=0,

故B錯誤；

2

對于C：AB=(0,1,0),D^A=(1,0,-2),設平面48G。的法向量為力=(無”必,向)

M=°

即取元=(2,0,1)

/_24=0

直線/E與平面ABCA所成角。滿足

AE-n|(一1,1,1>(2,0,1)

sin0=|cos(AE,n)\=故C正確;

nsI73x7515

對于D：設平面的法向量加=(工2，%/2)

BD1?成=0—%2—%+2z?—0

,取比=(2—24241)

"7?玩=0%2+(24—2)Z2—0

若直線/E"平面成4，則荏同=24-2+22+1=0

,2=1,故D正確;

故選：ACD

12.已知拋物線C:/=2px(p>0)的準線x=-1與x軸相交于點K,過拋物線C的焦點F的直線/與拋物線C

相交于尸、。兩點，且尸、。兩點在準線上的投影點分別為M、N,則下列結論正確的是（）

A.p=2B.|尸口的最小值為4

1

C鬲\MN播\為定值31D.NPKF=/QKF

【答案】ABD

【分析】由焦點到準線的距離可得P的值，進而求出拋物線的方程，可判斷A正確；設直線的方程與

拋物線的方程聯(lián)立，求出兩根之和及兩根之積，由拋物線的性質(zhì)可得弦長歸0|的表達式，再由參數(shù)的范圍

可得其最小值，判斷B正確；分別表示出|兒碼,歸司,|0司可判斷C不正確；表示出限=*,

kpQ=J：1,由心K+維。=0可判斷D正確.

【詳解】對于A,因為拋物線C:/=2夕x（p>0）的準線％=-1,

所以5=1,則2=2,故A正確；

c\x=my+1

對于B,拋物線C:/=4x,過焦點的直線為工=沖+1,貝U2：，

[y=4x

整理可得/-4"沙-4=0,設尸（國,必）,。（X2，%）,

可得弘+%=4加，

22

x+x=m{y+y）+2=4m2+2,xx==1

12x21216

所以|?。|=再+%2+2=4加？+4,當加=。時取等號，

1尸。1最小值為4,所以B正確；

對于C,二|必—為=J（必+%）2=J16加2+16=411n?十],

|尸手=再+1,|。司=Z+L

所以盧尸尸|=（西+1）（%2+1）=再入2+再+X2+1=4加2+4,

\MN\216（///2+1）

所以回前—4"+l）=4,所以C不正確;

對于D,尸（國,必）,0（了2，%）,取一1,0）,kPK=,kPQ=,

A?-i1X,?1

k+k-切?%_M()+1)+%(X|+1)—"I4+1廠%141I)

PKKQ

xx+1x2+l(占+1)(%2+1)(X1+l)(x2+l)

必與-+%++%+%(%+%)+%+%；(-4)-4加+4加

=--------------=-----------=---------------------------=.4_____________=o

(XI+l)(x2+l)(X[+l)(x2+l)4m2+4

所以/PKF=NQKF,故D正確.

故選：ABD.

第II卷（非選擇題）

三、填空題

2%,04%

13.數(shù)列｛%｝滿足%+i1%=不，則數(shù)列的第2022項為一

2?！?1,萬<?！?lt;L

【答案】1##0.2

【分析】根據(jù)遞推關系可通過計算前面〃=234,5…，發(fā)現(xiàn)數(shù)列｛%｝是周期為4的周期數(shù)列，進而由周期性

即可求解.

2%,04%弓，

3/—31

【詳解】由%,%=M得％=2。11—2x——1=—,

C】I,

2%~V-<an<L

cc12c?244331

%=2a2=2x—=—,/-2az=2~——%=2az-1=2--1=~,%=2〃4=2--1=—,L,

1

故數(shù)列｛%｝是周期為4的周期數(shù)列，故。2022

故答案為：—

22

14.已知耳，耳為橢圓C：土+匕=1的兩個焦點，P,0為C上關于坐標原點對稱的兩點，且

42

IPQ1=閨囚，則四邊形PFtQF2的面積為.

【答案】4

【分析】根據(jù)題意分析可得/不隼=，利用勾股定理結合橢圓定義求|尸片||%|,進而可求四邊形尸耳。鳥

的面積.

22______

22

【詳解】由橢圓2~+、=1可得：a=2,b=>/2,c=y/a-b=V2,|+\PF21=2tz=4,|=2c=2^2,

由題意可得：1?？诙。。|』。片1=|*1，則尸與。耳為平行四邊形，

/尸。1=1耳用，則|。門=;由村，

4尸&=p則附『+1叫2=電「=8,

又

（I尸胤+1尸聞）2=|「與『+|尸￡「+2戶耳||尸刃=16,坨||理1=4,

則四邊形PFtQF2的面積S=2s△期a=2x；歸圖|盟|=4.

故答案為：4.

15.在直三棱柱NBC-48c中，CA=343,CB=3?,CC；=6,ZBCA=90°,2而=函，則異面直

線CM與夾角的余弦值為.

【答案】成

15

umu

【分析】根據(jù)條件，可建立空間直角坐標系，得出07與43的坐標，利用向量法解決.

由已知可得，C4C8,cq兩兩垂直，可如圖建立空間直角坐標系.

貝U,4卜g,0,6）,耳（0,3后,6）,C（0,0,0）,8（0,30,0）,

由2彳1?=西可得，2西-2直=函-詼,

Q1Q1

貝I］詼=：匈+：西=|（3V3,0,6）+1（0,3夜,6）=（273,V2,6）,

福=（-3>/3,3V2,-6）,|CM|=^（2V3）2+（^2）2+62=5^2，網(wǎng)=《一3國+0國+㈠）?=9，

而不=-18+6-36=-48,

c03砌二號-48

所以,

9x5收15

所以，異面直線CM與48夾角的余弦值為述.

15

故答案為：包1.

15

22

16.已知雙曲線。:。-3=1（。>0,6>0）的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,過8的直線與C的右支交于4B

ab

兩點，若/小華=/^用片，優(yōu)司=2優(yōu)H，則C的離心率為,

【答案】|5##112

【分析】設工片的中點為連接串"BF{,由題意可得卜用=忸閭=2C,FtMLAF2,由雙曲線的定義

可得|"g|=2c_2a,\MF2\=c-a,\BF2\=4c-4a,忸周=4c-2a,ZBF2Ft+ZMF2Ft=TT,

cosNBF/i+cosNMFE=0,在△龍/耳和AS片匕中利用余弦定理表示出兩個角的余弦值，即可求出

的關系，從而可得雙曲線C的離心率.

【詳解】解：如圖：設/月的中點為連接耳M,BK，

因為/耳/瑪=//馬耳，所以|/用=內(nèi)耳卜2小

因為M為/瑪?shù)闹悬c，所以耳0，/月,

由?凰-恒閭=2%得|/g|=2c-2a,

所以=J/閭=c-a,

COSZWFMc-a

在△孫鳥中21=

2c

因為忸工|=2|/國=4c—4a,所以忸用=2a+|8閭=4c-2a,

cos/BFF=陽工『+此2-阿『=4c2+16卜一十一4（2—）24。2+12〃2—16ac

在月片中

21

2x|^|BF2\2X2CX4（C-?）

因為片+/兒里片=萬，

c—a4c2+12tz2—16ac八

所以cos/BF?F[+cosZMFF=0,即-----1----------；--------=0,

212c16。（。_〃）

整理可得16/一16碇+12。2=0,即5/一8碇+3。2=0,

所以（5"3c）（a—c）=0,

所以5Q=3C或（舍），

所以離心率e，=1,

a3

故答案為：—.

四、解答題

17.若S"是公差不為0的等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，且鳥，邑，S,成等比數(shù)列，邑=4

(1)求數(shù)列｛見｝的通項公式;

3

(2)設“=——，求數(shù)列也｝的前〃項和配

anan+\

【答案】(lM=2〃-l(〃eN+)

⑵白

【分析】(1)等差數(shù)列通項公式和求和公式列方程求解；

(2)利用裂項相消法可求和.

【詳解】(1)根據(jù)題意，設等差數(shù)列｛%｝公差為d(dwO),

因為百，邑，邑成等比數(shù)列，$2=4,

丘岳5

所以

$2=4

整理得.卜「(4%+6d)=(2q+d)2

2q+d=4

%=1

解得

d=2'

故a”=2〃-l(〃eN+).

=3=3/1-1、

⑵由(1)得："(2w-l)(2n+l)2l2n-l2n+J)

目i__q=上

2?+lJJ2(2n+lJ2M+1

18.如圖，直三棱柱/8C-中，ZBAC=90°,AB=AC=AA^2,￡是3C中點.

⑴若棱441上存在一點M,滿足qMLCH，求的長;

(2)求直線BC與平面AEC,所成角的余弦值.

【答案】⑴存在，且=l

⑵當

【分析】（1）建立空間直角坐標系，禾U用麗?空=0求得

（2）根據(jù)向量法求得直線BC與平面/EQ所成角的余弦值.

【詳解】（1）依題意，建立如圖所示空間直角坐標系，

耳（2,0,2）,&（0,2,2）,磯1,1,0）,設M（0,0,t）,0W2,

麗=（-2,0,…2）年=（1,-1,-2）,

若4M_LGE,貝I］麗.乎=一2-2，+4=01=1,

則棱44上存在一點〃，滿足q且

（2）S（2,0,0）,C（0,2,0）,5C=（-2,2,0）,

設平面AECi的法向量為n=（x,y,z）,

n-AC,=2y+2z=0-/

則一一，故可取〃

n?AE=x+y=0

設直線3c與平面AECX所成角為仇0<9當，

sin0=..=—-r=--r=--^―,cos9=Vl-sin20=—.

附3cl272x7333

即直線BC與平面AECX所成角的余弦值為

3

19.已知拋物線C：V=2R（0>o）的焦點為尸，/（2,%）是拋物線C上的點，且同=5.

（1）求拋物線C的方程;

（2）已知直線/交拋物線C于/,N兩點，且血W的中點為仁,-2,求VAWF的面積.

【答案】（l）V=12x

(2)8

【分析】（1）直接由拋物線中焦半徑公式求出〃即可.

（2）用橫截式設出直線的方程以及M,N的坐標，聯(lián)立直線與拋物線方程，得到A>0及韋達定理，再

利用線段九W的中點坐標求出直線中的參數(shù)，再利用弦長公式求出線段九W的長度，用點到直線的距離公式

求出點尸到直線的距離，進而可求出VMVF的面積.

【詳解】（1）由拋物線的定義知M司=5+%=5+2=5,解得。=6,則拋物線的方程為必=12x

故：答案為y=12x.

（2）由線段次W的中點為（永-2］知直線血W的斜率存在且不為0,

設直線禰V：x=my+b,M（XQJ,N（X2，%），聯(lián)立直線與拋物線方程,

jjd"，即「一12叼一126=0,所以有△=(12/)2+486=48(3加2+6)>0,

有

y+y=12m/、°

且}9,貝l］西+工2=機(必+%)+2b=12加2+26

yiy2=-nb

12m=-41

m=——

所以,10,即，3

12m-+26=—

3b=\

\MN\=yll+m*23\-y\=^^-

所以直線MN:y=-3x+3,yi2

_-3x3+36

點下到直線的距禺d」，=『.

VI+32V10

所以凡.尸=m跖葉4=8.

故：答案為8.

20.如圖，在三棱柱N8C-中，底面是邊長為2的等邊三角形，CG=2//CG=60°Q,E分別是線

段”C,CG的中點，二面角為直二面角.

G4

（1）求證：4。，平面8。￡；

（2）若點尸為線段3c上的動點（不包括端點），求銳二面角尸--￡的余弦值的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）首先證明然后證明AD/平面44GC,可得8DL4C,即可證明;

（2）首先證明平面N8C,然后以。為坐標原點，方瓦萬3,其所在直線為軸建立空間直角坐標

系，設P（x,y,z）,于=4函（0<4<1）,算出兩個平面的法向量，然后求出二面角的余弦值，然后可得答案.

【詳解】（1）連接NG，由題設知四邊形44CC為菱形，.?.4C，N￡,

D,E分別為ZC,CC］中點，DE//AQ,:.4c1DE；

又。為NC中點，二臺。，/。，

B

因為二面角C.-AC-B為直二面角，

即平面AA^C1平面ABC,平面4<GCA平面ABC=AC,BDu平面ABC,

BD1平面AA^C,又同Cu平面AA^C,:.BD±4C；

又BD1DE=D,BD,DEu平面ADE,，&C，平面BDE.

(2)?/CA=CCX=2,ZACC,=60°,

.?.△4。。1為等邊三角形，「.。1。，4。，

?.?平面44GCJ_平面/5C,平面44ccn平面Z3C=zc,cqu平面力CCT，

..CQ.L平面ABC,

則以。為坐標原點，刀，刀,西所在直線為x/，z軸，可建立如圖所示空間直角坐標系,

則。（0,0,0）,2（石,0,0）,E。，一，G（0,0,73）,^（Al,V3）,C（0,-l,0）,4（0,2,V3）,

.?.礪=（退,0,0）,方豆=

設尸（居乃2），4?=幾圾（0<4<1）,貝!][,歹/—6）=（百440）,

X=y[3A,y=4,2=V3,九下），:.DP=（S'4%,;

由（1）知：4。，平面助￡，???平面的一個法向量比=至1=（0,3,百卜

設平面PBD的法向量五=（a/,c）,

DB-n=y/ia=0

令b=G,則。=0,C=—4,.，.力=（0,6,—4）；

DP-n=V32tz+4b+43c=0

?"葉％黑2

令3-八止(2,3),則八3一,二gs(流研=乩2一1+產(chǎn)=H

即銳二面角尸-8。-￡的余弦值的取值范圍為

21.已知數(shù)列｛%｝滿足q=1,<2?+i=2a?+l(?eN*).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式;

(2)若數(shù)列抄“｝滿足44T妙一甲一…什1=(%+1戶("eN*),證明低｝是等差數(shù)列;

「〃1見a,an

證明?----<---n<一〃￡N*

⑴(3)址力?23g1-％-----F,,?H-—-----2

【答案】(1)%=2"-1

(2)證明見解析

⑶證明見解析

【分析】(1)推導出數(shù)列｛?！?1｝為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，可求得數(shù)列｛見｝的通項公式；

(2)由已知條件變形可得出2色+仇+4+…+婦-2”=曲，令〃=1可求得々的值，4?>2,由

2伯+62+63+--+")-2〃=泌"可得2伍+62+&+~+6,1)-2(〃-1)=(〃-1)，7,兩式作差結合等差中項法

可證得結論成立；

11a1

(推導出-不工<不，利用不等式的基本性質(zhì)可證得結論成立.

3)J2"4

an+i2

【詳解】(1)解：因為4=1,%+i=2%+l(〃eN*),則％討+1=2(%+1)且4+1=2,

所以，數(shù)列｛%+1｝是等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項和公比均為2,

.?.%+1=2X2"T=2",;.%=2"-1.

(2)解：對任意的〃eN*,”-甲-中1…44T=(%+以"=2曲，

所以，2(bx+b,+b3+---+bn')-2n^nbn,

當〃=1時，2bl_2=b「解得4=2；

當〃22時,由2佑+4+b3T----卜4)-2幾=nbn可得2他+b2+b34------——=(n—\^bn_x,

上述兩個等式作差可得2"-2=nbn-(1)如,即("2)4-(1)2-2,

所以，(n-l)bn+1-nbn=-2,故(〃-1功用-曲=("-2泡-("-I)”一,

化簡可得6向+如=2b”,因此，數(shù)列也｝為等差數(shù)列.

a2〃一12〃一11幺+"

⑶解」亡=門＜『=5,所以，+L+&<4

a2a3%2'

an_2"-l_g(2*'T)_]]>j___1_

丁-2,,+1-l2"+1-l—-2(2"+1-l)-5-3.2"+2"-2~2~TT

1

aan111n6

所以,----i----,1------2----,r,???-l-----%------W>-----------1---->----

a〃+122〃2233223

2

n1<%+%