第13章 全等三角形 華東師大版八年級數(shù)學(xué)上冊單元測試(含答案)

第13章全等三角形(90分鐘100分)一、選擇題(每小題3分,共24分)1.△ABC中,AB=AC=2,∠B=60°,則BC= ()A.2 B.3 C.4 D.52.(2024·泉州期末)下列命題的逆命題是真命題的是 ()A.全等三角形的對應(yīng)角相等 B.對頂角相等C.若x>y,則x-y>0 D.若C是線段AB的中點,則AC=BC3.(2024·南通質(zhì)檢)如圖,已知△ABC≌△DEC,∠ACB=100°,∠D=35°,則∠E= ()A.35° B.45° C.55° D.無法計算4.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,要求用圓規(guī)和直尺作圖,把它分成兩個三角形,其中一個三角形是等腰三角形.其作法錯誤的是 ()5.(2023·臺州中考)如圖,銳角三角形ABC中,AB=AC,點D,E分別在邊AB,AC上,連結(jié)BE,CD.下列命題中,假命題是 ()A.若CD=BE,則∠DCB=∠EBC B.若∠DCB=∠EBC,則CD=BEC.若BD=CE,則∠DCB=∠EBC D.若∠DCB=∠EBC,則BD=CE6.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12cm,BC=6cm,線段PQ=AB,P,Q兩點分別在線段AC和AC的垂線AX上移動,若以A,B,C為頂點的三角形與以A,P,Q為頂點的三角形全等,則AP的值為 ()A.8cm B.12cm C.12cm或6cm D.12cm或8cm7.如圖,OE是∠AOB的平分線,BD⊥OA,AC⊥OB,垂足分別為D,C,BD,AC都經(jīng)過點E,則圖中全等的三角形共有對 ()

A.3 B.4 C.5 D.68.(2024·天津期中)如圖,C為線段AE上一動點(不與點A,E重合),在AE同側(cè)分別作正△ABC和正△CDE,AD與BE交于點O,AD與BC交于點P,BE與CD交于點Q,連結(jié)PQ.以下五個結(jié)論:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④連結(jié)OC,OC平分∠AOE;⑤∠AOB=60°.恒成立的結(jié)論有 ()A.①⑤ B.①②⑤C.①②③⑤ D.①②③④⑤二、填空題(每小題4分,共24分)9.定理“直角三角形的兩個銳角互余”的逆定理是.

10.檢測房梁是否水平,可以采用下面的方法:在等腰直角三角尺斜邊中點拴一條線繩,線繩的另一端拴一個鉛錘,把這塊三角尺的斜邊貼在房梁上,結(jié)果線繩經(jīng)過三角尺的頂點,則可以判斷房梁是水平的.這樣做的根據(jù)是:.

11.如圖,D在BC邊上,△ABC≌△ADE,∠EAC=44°,則∠B的度數(shù)為.

12.如圖,在△ABC中,∠B=30°,∠C=50°,通過觀察尺規(guī)作圖的痕跡,∠DEA的度數(shù)是.

13.(2023·重慶中考A卷)如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D為BC上一點,連結(jié)AD.過點B作BE⊥AD于點E,過點C作CF⊥AD交AD的延長線于點F.若BE=4,CF=1,則EF的長度為.

14.如圖,∠BOC=60°,A是BO的延長線上一點,OA=10cm,動點P從點A出發(fā),沿AB以3cm/s的速度移動,動點Q從點O出發(fā)沿OC以2cm/s的速度移動,若點P,Q同時出發(fā),當(dāng)△OPQ是等腰三角形時,移動的時間是.

三、解答題(共52分)15.(6分)(2023·云南中考)如圖,C是BD的中點,AB=ED,AC=EC.求證:△ABC≌△EDC.16.(8分)(2024·北京期中)下面是“過直線上一點作已知直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程:已知:如圖,點P在直線l上.求作:直線PQ,使PQ⊥l.作法:①以點P為圓心,任意長為半徑畫弧,交直線l于A,B兩點,②分別以A,B為圓心,大于12AB長為半徑畫弧,兩弧在直線l上方交于點Q③作直線PQ.直線PQ即為所求的垂線.(1)使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡);(2)完成下面的證明.證明:連結(jié)AQ,BQ,∵根據(jù)作法,有AQ=BQ,AP=BP,∴PQ⊥AB,即PQ⊥l.()(填推理的依據(jù))17.(8分)如圖,在長方形紙片ABCD中,點P在BC邊上,將△CDP沿DP折疊,點C落在點E處,PE,DE分別交AB于點G,F,且GF=GP.(1)求證:△GEF≌△GBP;(2)若PC=2,求BF的長.18.(8分)(2023·蘇州中考)如圖,在△ABC中,AB=AC,AD為△ABC的角平分線.以點A為圓心,AD長為半徑畫弧,與AB,AC分別交于點E,F,連結(jié)DE,DF.(1)求證:△ADE≌△ADF;(2)若∠BAC=80°,求∠BDE的度數(shù).19.(10分)已知,如圖,AD為△ABC的角平分線,且AD=AC,E為AD延長線上的一點,AE=AB.(1)求證:△ABD≌△AEC;(2)求證:BE=EC.20.(12分)如圖,△ABC是等邊三角形,點D在AC上,點E在BC的延長線上,且BD=DE.(1)若點D是AC的中點,如圖1,則線段AD與CE的數(shù)量關(guān)系是;

(2)若點D不是AC的中點,如圖2,試判斷AD與CE的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(提示:過點D作DF∥BC,交AB于點F)(3)若點D在線段AC的延長線上,(2)中的結(jié)論是否仍成立?如果成立,請給予證明;如果不成立,請說明理由.【附加題】(10分)(1)已知△ABC中,∠BAC=60°,以AB和BC為邊向外作等邊△ABD和△BCE.①連結(jié)AE,CD,如圖1,求證:∠BCD=∠AEB;②若AB⊥BC,延長AB交DE于點M,求證:點M為DE的中點;(2)如圖3,HE⊥CE于點E,∠BEH=30°,點G在EH上運動,以BG為邊作等邊△BGF,當(dāng)BF的長最小時,求∠FBE的度數(shù).

第13章全等三角形(90分鐘100分)一、選擇題(每小題3分,共24分)1.△ABC中,AB=AC=2,∠B=60°,則BC= (A)A.2 B.3 C.4 D.52.(2024·泉州期末)下列命題的逆命題是真命題的是 (C)A.全等三角形的對應(yīng)角相等 B.對頂角相等C.若x>y,則x-y>0 D.若C是線段AB的中點,則AC=BC3.(2024·南通質(zhì)檢)如圖,已知△ABC≌△DEC,∠ACB=100°,∠D=35°,則∠E= (B)A.35° B.45° C.55° D.無法計算4.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,要求用圓規(guī)和直尺作圖,把它分成兩個三角形,其中一個三角形是等腰三角形.其作法錯誤的是 (B)5.(2023·臺州中考)如圖,銳角三角形ABC中,AB=AC,點D,E分別在邊AB,AC上,連結(jié)BE,CD.下列命題中,假命題是 (A)A.若CD=BE,則∠DCB=∠EBC B.若∠DCB=∠EBC,則CD=BEC.若BD=CE,則∠DCB=∠EBC D.若∠DCB=∠EBC,則BD=CE6.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12cm,BC=6cm,線段PQ=AB,P,Q兩點分別在線段AC和AC的垂線AX上移動,若以A,B,C為頂點的三角形與以A,P,Q為頂點的三角形全等,則AP的值為 (C)A.8cm B.12cm C.12cm或6cm D.12cm或8cm7.如圖,OE是∠AOB的平分線,BD⊥OA,AC⊥OB,垂足分別為D,C,BD,AC都經(jīng)過點E,則圖中全等的三角形共有對 (B)

A.3 B.4 C.5 D.68.(2024·天津期中)如圖,C為線段AE上一動點(不與點A,E重合),在AE同側(cè)分別作正△ABC和正△CDE,AD與BE交于點O,AD與BC交于點P,BE與CD交于點Q,連結(jié)PQ.以下五個結(jié)論:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④連結(jié)OC,OC平分∠AOE;⑤∠AOB=60°.恒成立的結(jié)論有 (D)A.①⑤ B.①②⑤C.①②③⑤ D.①②③④⑤二、填空題(每小題4分,共24分)9.定理“直角三角形的兩個銳角互余”的逆定理是有兩個角互余的三角形是直角三角形.

10.檢測房梁是否水平,可以采用下面的方法:在等腰直角三角尺斜邊中點拴一條線繩,線繩的另一端拴一個鉛錘,把這塊三角尺的斜邊貼在房梁上,結(jié)果線繩經(jīng)過三角尺的頂點,則可以判斷房梁是水平的.這樣做的根據(jù)是:等腰三角形的底邊上的中線、底邊上的高重合.

11.如圖,D在BC邊上,△ABC≌△ADE,∠EAC=44°,則∠B的度數(shù)為68°.

12.如圖,在△ABC中,∠B=30°,∠C=50°,通過觀察尺規(guī)作圖的痕跡,∠DEA的度數(shù)是85°.

13.(2023·重慶中考A卷)如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D為BC上一點,連結(jié)AD.過點B作BE⊥AD于點E,過點C作CF⊥AD交AD的延長線于點F.若BE=4,CF=1,則EF的長度為3.

14.如圖,∠BOC=60°,A是BO的延長線上一點,OA=10cm,動點P從點A出發(fā),沿AB以3cm/s的速度移動,動點Q從點O出發(fā)沿OC以2cm/s的速度移動,若點P,Q同時出發(fā),當(dāng)△OPQ是等腰三角形時,移動的時間是2s或10s.

三、解答題(共52分)15.(6分)(2023·云南中考)如圖,C是BD的中點,AB=ED,AC=EC.求證:△ABC≌△EDC.【解析】∵C是BD的中點,∴BC=DC,在△ABC和△EDC中,AB=EDAC=ECBC=DC16.(8分)(2024·北京期中)下面是“過直線上一點作已知直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程:已知:如圖,點P在直線l上.求作:直線PQ,使PQ⊥l.作法:①以點P為圓心,任意長為半徑畫弧,交直線l于A,B兩點,②分別以A,B為圓心,大于12AB長為半徑畫弧,兩弧在直線l上方交于點Q③作直線PQ.直線PQ即為所求的垂線.(1)使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡);(2)完成下面的證明.證明:連結(jié)AQ,BQ,∵根據(jù)作法,有AQ=BQ,AP=BP,∴PQ⊥AB,即PQ⊥l.(等腰三角形底邊上的中線與底邊上的高重合)(填推理的依據(jù))【解析】(1)補(bǔ)全的圖形如圖所示:【解析】(2)連結(jié)AQ,BQ,∵根據(jù)作法,有AQ=BQ,AP=BP,∴PQ⊥AB,即PQ⊥l.(等腰三角形底邊上的中線與底邊上的高重合)17.(8分)如圖,在長方形紙片ABCD中,點P在BC邊上,將△CDP沿DP折疊,點C落在點E處,PE,DE分別交AB于點G,F,且GF=GP.(1)求證:△GEF≌△GBP;【解析】(1)∵紙片ABCD為長方形,∴∠B=∠C=90°,由折疊的性質(zhì)得,∠E=∠C,∴∠E=∠B,在△GEF和△GBP中,∠E=∠B∠EGF=∠BGP(2)若PC=2,求BF的長.【解析】(2)由△GEF≌△GBP得GE=GB,∵GF=GP,∴BF=GB+GF=GE+GP=PE,由折疊的性質(zhì)得,PE=PC=2,∴BF=2.18.(8分)(2023·蘇州中考)如圖,在△ABC中,AB=AC,AD為△ABC的角平分線.以點A為圓心,AD長為半徑畫弧,與AB,AC分別交于點E,F,連結(jié)DE,DF.(1)求證:△ADE≌△ADF;【解析】(1)∵AD是△ABC的角平分線,∴∠BAD=∠CAD.由作圖知:AE=AF.在△ADE和△ADF中,AE=AF∠BAD=∠CADAD(2)若∠BAC=80°,求∠BDE的度數(shù).【解析】(2)∵∠BAC=80°,AD為△ABC的角平分線,∴∠EAD=12∠BAC由作圖知:AE=AD,∴∠AED=∠ADE,∴∠ADE=12∵AB=AC,AD為△ABC的角平分線,∴AD⊥BC,∴∠BDE=90°-∠ADE=20°.19.(10分)已知,如圖,AD為△ABC的角平分線,且AD=AC,E為AD延長線上的一點,AE=AB.(1)求證:△ABD≌△AEC;【證明】(1)∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC,在△ABD與△AEC中,AB=∴△ABD≌△AEC(S.A.S.);(2)求證:BE=EC.【證明】(2)∵AD=AC,AE=AB,∴∠ACD=∠ADC=180°-∠DAC2,∠ABE=∠∴∠ACD=∠ADC=∠ABE=∠AEB,∵∠BDE=∠ADC,∴∠BDE=∠BED,∴BD=BE,∵△ABD≌△AEC,∴BD=EC,∴BE=EC.20.(12分)如圖,△ABC是等邊三角形,點D在AC上,點E在BC的延長線上,且BD=DE.(1)若點D是AC的中點,如圖1,則線段AD與CE的數(shù)量關(guān)系是AD=CE;

【解析】(1)AD=CE,理由如下:∵△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,AB=AC=BC.∵點D為AC的中點,∴∠DBC=30°,AD=DC,∵BD=DE,∴∠E=∠DBC=30°,∵∠ACB=∠E+∠CDE,∴∠CDE=∠E=30°,∴CD=CE,又∵AD=DC,∴AD=CE.(2)若點D不是AC的中點,如圖2,試判斷AD與CE的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(提示:過點D作DF∥BC,交AB于點F)【解析】(2)AD=CE,理由如下:如圖,過點D作DF∥BC,交AB于點F,則∠ADF=∠ACB=60°,∵∠A=60°,∴△AFD是等邊三角形,∴AD=DF=AF,∠AFD=60°,∴∠BFD=∠DCE=180°-60°=120°,∵DF∥BC,∴∠FDB=∠DBE=∠E,在△BFD和△DCE中,∠FDB∴△BFD≌△DCE(A.A.S.),∴DF=EC,又∵AD=DF,∴AD=CE;(3)若點D在線段AC的延長線上,(2)中的結(jié)論是否仍成立?如果成立,請給予證明;如果不成立,請說明理由.【解析】(3)結(jié)論仍成立,理由如下:如圖,過點D作DP∥BC,交AB的延長線于點P,則∠ABC=∠APD=60°,∠ACB=∠ADP=60°,∵∠A=60°,∴△APD是等邊三角形,∴AP=PD=AD,∴∠DCE=∠ACB=∠P,∵DP∥BC,∴∠PDB=∠CBD,∵DB=DE,∴∠DBC=∠DEC,∴∠PDB=∠DEC,在△BPD和△DCE中,∠PDB∴△BPD≌△DCE(A.A.S.),∴PD=CE,又∵AD=PD,∴AD=CE.【附加題】(10分)(1)已知△ABC中,