三角函數(shù)的概念與三角公式應(yīng)用-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專題06三角函數(shù)的概念與三角公式應(yīng)用

品：曰足鈣

勿4:匕勿十日

混/錯(cuò)?睢接用期

易錯(cuò)點(diǎn)1對(duì)任意角的理解不到位

點(diǎn)撥：根據(jù)任意角的定義，順時(shí)針旋旋轉(zhuǎn)為負(fù)角，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正角。

【典例1］（23-24高三上?云南?月考）從2023年12月14日13：00到當(dāng)天13：25,某時(shí)鐘的分針轉(zhuǎn)動(dòng)的弧

度為（）

A.里B.里C.-2D.-空

6363

【典例2］（23-24高三上.山東德州.開學(xué)考試）（多選）下列說法正確的是（）

A.第二象限角比第一象限角大

B.60。角與600。角不是終邊相同的角

C.正弦函數(shù)〉=5皿；1在第一象限是增函數(shù)

D.將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)為g

易錯(cuò)點(diǎn)2三角函數(shù)定義中，忽略點(diǎn)坐標(biāo)值的正負(fù)

點(diǎn)撥：在應(yīng)用三角函數(shù)定義時(shí)，要注意對(duì)參數(shù)正負(fù)進(jìn)行討論。

【典例1］（23-24高三下?甘肅?一模）已知點(diǎn)尸（3%4加）（》7/0）為角a終邊上一點(diǎn)，貝|sin2a=（）

24-247

B.——C.——D.——

252525

【典例2］（23-24高三下.山東濟(jì)寧.開學(xué)考試）（多選）在平面直角坐標(biāo)系xQv中，若角。的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原

點(diǎn)，始邊與*軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)尸（3a,T“）（a*0）,則23（-&）+$皿兀+0=（）

AB.—2C.—D.2

--t5

易錯(cuò)點(diǎn)3忽略角所在的象限

點(diǎn)撥：利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求三角函數(shù)值時(shí)，要注意角所在的象限，從而確定三角函數(shù)值

的符號(hào)。

【典例1］（23-24高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知cosa=-［,則13sina+5tana=.

【典例2］（23-24高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知cos8=—g,夕￡（兀,2兀），則cos（+2。卜

易錯(cuò)點(diǎn)4沒有挖掘題目中的隱含條件，忽視對(duì)角的范圍的限制而造成增解現(xiàn)象

點(diǎn)撥：在三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值過程中，角的范圍的確定一直是其重點(diǎn)和難點(diǎn)，在解題過程中要注意在已有條件的基礎(chǔ)上挖

掘隱含條件如：結(jié)合角的三角函數(shù)值的符號(hào)、三角形中各內(nèi)角均在（0,"）區(qū)間內(nèi)、與已知角的三角函數(shù)值的大小比較結(jié)合三

角函數(shù)的單調(diào)性等。

【典例1］（23-24高三下?遼寧沈陽?二模）已知4￡（。,兀），且sinQ+C0S〃=（,則tan2a=（）

人1212-24-24

A.—B.-----C.—D.-----

7777

【典例2］（23-24高三下?河北滄州?期中）（多選）已知sinc+cosc=s根￡（0,1）,二￡（0,兀），則（）

2

A.sin2a=1-/B.s［na_costr=^2-m

C.cos2<z=—m\l2—m2D.若加:《，則tan］w_a）=_7

易錯(cuò)點(diǎn)5忽視對(duì)k的討論

點(diǎn)撥：使用誘導(dǎo)公式出現(xiàn)左萬時(shí)，要注意對(duì)女進(jìn)行奇偶討論。

cos2（n7i+x\sin2（n7i-x\

【典例1］（23-24高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知月x）=-:「小「（nez）.

cos\\2n+\）7u-x\

（1）化簡(jiǎn)式工）的表達(dá)式；

（2）求人總）+次部）的值.

參考答案與試題解析

專題06三角函數(shù)的概念與三角恒等變換

品：曰足鈣

勿4:匕勿十日

X笏混笏錯(cuò)?聯(lián)券6轉(zhuǎn)

易錯(cuò)點(diǎn)1對(duì)任意角的理解不到位

點(diǎn)撥：根據(jù)任意角的定義，順時(shí)針旋旋轉(zhuǎn)為負(fù)角，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正角。

【典例1］（23-24高三上?云南?月考）從2023年12月14日13：00到當(dāng)天13:25,某時(shí)鐘的分針轉(zhuǎn)動(dòng)的弧

度為（）

A.里B.&C.用D.-空

6363

【答案】C

【解析】因?yàn)榉轴樖前凑枕槙r(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，所以轉(zhuǎn)動(dòng)的角為負(fù)角，

所以分針轉(zhuǎn)動(dòng)的弧度為-||兀=.故選：C.

30o

【典例2］（23-24高三上?山東德州?開學(xué)考試）（多選）下列說法正確的是（）

A.第二象限角比第一象限角大

B.60。角與600。角不是終邊相同的角

C.正弦函數(shù)〉=5苗工在第一象限是增函數(shù)

D.將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)為1

【答案】BD

【解析】對(duì)于A,120。,390。分別為第二象限與第一象限的角，但是120。＜390。，故A錯(cuò)誤,

對(duì)于B,600°=-120°+360°x2,所以600。的終邊與-120。的終邊相同，

故60°角與600。的終邊不相同，故B正確，

對(duì)于C,正弦函數(shù)為周期函數(shù)，sin30°=sin390°,

故了=豆!1尤在第一象限是增函數(shù)是錯(cuò)誤的，故C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)為三，故選：BD

易錯(cuò)點(diǎn)2三角函數(shù)定義中，忽略點(diǎn)坐標(biāo)值的正負(fù)

點(diǎn)撥：在應(yīng)用三角函數(shù)定義時(shí)，要注意對(duì)參數(shù)正負(fù)進(jìn)行討論。

【典例1］（23-24高三下?甘肅?一模）已知點(diǎn)打3機(jī),4機(jī)）（〃嚀0）為角。終邊上一點(diǎn)，則sin2a=（）

八724C24C7

A.—B.-----C.—D.-----

25252525

【答案】C

4M74

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)尸（3帆,4加）（mw0）為角a終邊上一點(diǎn)，所以tana=T=彳，

3m3

2x-

八.2sinacosa2tana24

所以3

sin2a=2sinacosa-——---------------=石.故選：C

sin夕+cosatan2a+14

【典例2](23-24高三下?山東濟(jì)寧.開學(xué)考試)(多選)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，若角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原

點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)尸(3a,-4a)(a*0),貝I]2cos(-e)+sin(兀+a)=()

,22

A.—B.-2C.D.2

5?

【答案】BD

33

cosa=—cosa=——

3a3a.一4〃北或.5

【解析】由題"16"=~：~~；,sincc=所以■

5間5同',4

sincr=——sin?=—

55

所以2cos(-a)+sin(7i+a)=2cos?-sintz=±2.故選：BD.

易錯(cuò)點(diǎn)3忽略角所在的象限

點(diǎn)撥：利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求三角函數(shù)值時(shí)，要注意角所在的象限，從而確定三角函數(shù)值

的符號(hào)。

【典例1](23-24高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知cos<z=-；^,則13sina+5tanar=.

【答案】。

【解析】因?yàn)閏osa=-垓；<0且coscw-1,可知。為第二象限角或第三象限角，

13

由sin26z+cos2a=1得sina=±Vl-cos2a=±

1212

(1)當(dāng)a為第二象限角時(shí)，sincr=—,tana=一~—,13sina+5tanc=0；

12I9

(2)當(dāng)a為第三象限角時(shí)，sina=-----,tana=—,13sina+5tana=0；

135

綜上可知：13sina+5tana=0.

【典例2](23-24高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知cos6=—g,6￡(兀,2兀)，則cos[5+2e]=

4百

【答案】

~9~

2sin0=-Vl-cos20=一^~,

【解析】VCOS3=~~,0G(71,211),???研得，

3

]+2。J=-sin28=-2sin^cos0=-2x2逋

cosX

易錯(cuò)點(diǎn)4沒有挖掘題目中的隱含條件，忽視對(duì)角的范圍的限制而造成增解現(xiàn)象

點(diǎn)撥：在三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值過程中，角的范圍的確定一直是其重點(diǎn)和難點(diǎn)，在解題過程中要注意在已有條件的基礎(chǔ)上挖

掘隱含條件如：結(jié)合角的三角函數(shù)值的符號(hào)、三角形中各內(nèi)角均在（0,乃）區(qū)間內(nèi)、與已知角的三角函數(shù)值的大小比較結(jié)合三

角函數(shù)的單調(diào)性等。

【典例1］（23-24高三下?遼寧沈陽?二模）已知。?0,兀），且sina+cos。=g,則tan2a=（）

121224

A.—B.——7D.——

777

【答案】C

1『=l+2sinQCOS〃=,，即sin〃cosa=—二，

【解析】sina+cosa=g貝1(sina+cosa

2525

又因?yàn)椤?0,兀），故sina>0,cosa<0,

2497

故(sin〃-cosa)=l-2sin〃cosa=石，因?yàn)椤?貝(Jsina-cosa=—,

1434

結(jié)合sin”+cos”=§可得sina=—,cosa=,貝！Jtan”=.

8

c2tanQ324

i/rtan2a—~—了1.故選：C

改l—taYa4

1-

【典例2］（23-24高三下?河北滄州?期中）（多選）已知sina+cosc=s也￡（0,1）,?！辏?,兀），貝|（）

A.sin2a=1-療B.sma—cosa=J2—毋

D.若機(jī)=',則tan

C?cos2cr=—my/2—m2=一7

【答案】BCD

【解析】對(duì)A,因?yàn)閟ina+cosa=m,則(sina+cosa/=/，即i+2sinacosa=/，

所以2sin℃osa=sin2a二m之一1,所以A選項(xiàng)不正確；

對(duì)B,因?yàn)闄C(jī)￡(0,1),所以病—1<0,又。w(0,兀)，所以“￡(;兀)，

(sina—coscr)2=1—2sincrcoscr=1—^m2—1)=2—m2,

又ae怎，兀｝所以

sina—cosa=,2-病,所以B選項(xiàng)正確；

對(duì)C,cos2cir=COS26Z-sin2(2=(costr+sincr)(coscr-sintr)=-mv2-m2,所以C選項(xiàng)正確;

“ci-n、l-tan6Zcosa-sina-v2-m2

對(duì)D,因?yàn)閠an——a=-------=----------=-------，

<4)1+tanacosa+sinom

若機(jī)=1,則=-7,所以D選項(xiàng)正確，故選：BCD.

易錯(cuò)點(diǎn)5忽視對(duì)k的討論

點(diǎn)撥：使用誘導(dǎo)公式出現(xiàn)上萬時(shí)，要注意對(duì)女進(jìn)行奇偶討論。

cos2(M^+x)sin2(〃乃一x)

【典例1］（23-24高三?全國(guó)?專題練習(xí)