數(shù)列函數(shù)性質(zhì)與不等式放縮-2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（解析版）

專題6-1數(shù)列函數(shù)性質(zhì)與不等式放縮

目錄

講高考....................................................................................1

題型全歸納...............................................................................4

【題型一】數(shù)列單調(diào)性與不等式放縮.................................................4

【題型二】利用導(dǎo)數(shù)研究數(shù)列“性質(zhì)”...............................................8

【題型三】數(shù)列函數(shù)性質(zhì)：“周期性”..............................................11

【題型四】構(gòu)造等差數(shù)列型放縮....................................................14

【題型五】構(gòu)造等比數(shù)列型放縮....................................................17

【題型六】裂項放縮型............................................................20

【題型七】無理根式、對勾等放縮..................................................23

【題型八】數(shù)列中的蛛網(wǎng)不等式....................................................26

【題型九】數(shù)學(xué)歸納法............................................................30

專題訓(xùn)練........................................................................34

講高考

1.(2021?全國?統(tǒng)考高考真題)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,前〃項和為S“，設(shè)甲：q>。，乙:

｛'｝是遞增數(shù)列，貝U()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】B

【分析】當(dāng)4>0時，通過舉反例說明甲不是乙的充分條件；當(dāng)｛5｝是遞增數(shù)列時，必有%>0

成立即可說明4>0成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案.

【詳解】由題，當(dāng)數(shù)列為-2,-4,-8,…時,滿足用>0,

但是｛5｝不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件.

若｛SJ是遞增數(shù)列，則必有%>0成立，若4>0不成立，則會出現(xiàn)一正一負(fù)的情況，是矛

盾的，則q>0成立，所以甲是乙的必要條件.

故選：B.

【點睛】在不成立的情況下，我們可以通過舉反例說明，但是在成立的情況下，我們必須要

給予其證明過程.

2.（全國?高考真題）設(shè)△AnBnCn的三邊長分別為an,bn,Cn,△人上京11的面積為511,11=1,2,3,...

若bi>ci,bi+ci=2ai，an+i=an；bn+i=,Cn+i="，則

A.｛Sn｝為遞減數(shù)列

B.｛Sn｝為遞增數(shù)列

C.｛S2n.1｝為遞增數(shù)列,｛S2n｝為遞減數(shù)列

D.｛S2n_1｝為遞減數(shù)列，｛S2n｝為遞增數(shù)列

【答案】B

【詳解】4=2q-q且4>q,2a,-ct>c,,ax>cx,

4_/=羽_q_/=q_q>0,bx>ax>cx,

又4-qv%,2ax—cx—cx<ax,2q>ax,/.q>—,

1

n

由題意，b〃+i+c〃+i=-2―-+an，/.bn+x+cn+}-2an+cn-2an),

?北+q=2^,???4+q_2/=0,

b”+-2%=0,bn+cn=2%=2a],..bn+C〃-2tZ[,

由此可知頂點4在以為、。〃為焦點的橢圓上，

又由題意，酊「。向=『，...%-(2〃「嘮)=2。1-；〃-"=“「一

???4+1-4=；(%-〃)，「.b〃-％=(一；尸，

3=%+([-4)(-彳)1，g=2%%-(乙-々)(-5)1,

Sj=萼(等一區(qū))[等一%一(乙一%)(一'|)1][*一％+S1—%)(一；)“一」

=|?[2(4一%)2單調(diào)遞增(可證當(dāng)〃=1時￡-(4-q)2>0)

故選：B.

3.(浙江?高考真題)已知％,電，。3,&成等比數(shù)歹11，且4+。2+4+。4=1(%+/+%).若1>1，

則

A.a1<a3,a2<a4B.ctx>a3,a2<a4C.<a3,a2>a4D.ctx>a3,a2>a4

【答案】B

【分析】先證不等式x21nx+l,再確定公比的取值范圍，進(jìn)而作出判斷.

【詳解】令〃x)=x-ln尤-1,則/'(x)=l」，令/'(x)=0,得x=l,所以當(dāng)x>l時，/'(x)>0,

X

當(dāng)0<%<1時，f\x)<0,因此⑴=0,「.％21nx+l,

若公比夕>0,則%+電+。3+。4〉4+。2+。3〉ln("i+〃2+〃3),不合題意；

若公比q4一1，貝|Jq+4+。3+。4=。1(1+/(1+/)?0，

但ln(q+%+%)=皿〃1(1+g+/)]>Inq〉0,

即4+%+。3+44<0<ln(4+。2+。3)，不合題意；

因止匕一1<0<0應(yīng)2￡(0,1),

22

/.ax>axq=a3,a2<a2q=%<0,選B.

【點睛】構(gòu)造函數(shù)對不等式進(jìn)行放縮，進(jìn)而限制參數(shù)取值范圍，是一個有效方法.如x2Inx+1,

ex>x+l,e%>x2+l(x>0).

4.(2020?全國?統(tǒng)考高考真題)0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列a?！ァ瓭M

足4￡{0,1}。=1,2,…)，且存在正整數(shù)加，使得/機=%?=1,2,…)成立，則稱其為0-1周期序列,

并稱滿足4+.=4a=l,2，…)的最小正整數(shù)加為這個序列的周期.對于周期為加的0-1序列

1m

%的…。“…，C/)=—(左=1,2,…,"I)是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1

m/=i

序列中，滿足c(幻V?左=123,4)的序列是()

A.11010---B.11011---C.10001---D.U001---

【答案】c

【分析】根據(jù)新定義，逐一檢驗即可

【詳解】由%+?,=%知，序列。，的周期為根，由已知，m=5,

15

C/)=￡X44+2尢=1，2,3,4

3i=i

對于選項A,

2

15111

===s

C⑴=>ai"z+1——(q%+%%++%%+%%)~^(1+0+0+0+0)~5

J1=1

15]12

12)=/44+2=~(q%+&/+%%+/緯+%%)=~^(0+1+0+1+0)；

J1=1

對于選項B,

[5]1|13

C*(l)=二〉：〃"注]=~]6Z2+4避3+4/4+〃4"5+〃[6)=+0+0+1+1)=：",不滿足;

i=l555

對于選項D,

15]]/

川)=立44+1——(q4+%%+/%+%%+%緯)(1+0+0+0+1)=-4，不?茜足;

3/=1

故選：C

【點晴】本題考查數(shù)列的新定義問題，涉及到周期數(shù)列，考查學(xué)生對新定義的理解能力以及

數(shù)學(xué)運算能力，是一道中檔題.

5.（2019?浙江?高考真題）沒a,beR,數(shù)列｛?！埃校?。,。什1=+6,〃eN*,則

A.當(dāng)6=；,。10〉10B.當(dāng)6=；,〃io〉lO

C.當(dāng)6=-2,%o>lOD.當(dāng)6=-4,%0>10

【答案】A

【解析】若數(shù)列｛?！埃秊槌?shù)列，?10=?1=?1則只需使。410,選項的結(jié)論就會不成立.將每

個選項的△的取值代入方程f-x+6=0,看其是否有小于等于10的解.選項B、C、D均有

小于10的解，故選項B、C、D錯誤.而選項A對應(yīng)的方程沒有解，又根據(jù)不等式性質(zhì)，以

及基本不等式，可證得A選項正確.

【詳解】若數(shù)列｛4｝為常數(shù)列，則%=%=。，由%+1=〃；+乩可設(shè)方程%+6=o

選項A：6時，%+i=〃；+；，%2_%+；=0,A=l-2=-l<0,故此時｛〃〃｝不為常數(shù)列,

,.,%+[=Q；Q；+2,K7〃2J

+』=（^-）>6Z2=+—>—,：.a9>（行）-40，貝!

2222

〃io216〉10,故選項A正確；

選項B：時，。用=端+9，x2-x+1=0,則該方程的解為x=1，即當(dāng)0=1時，數(shù)

列｛/｝為常數(shù)列，??=1,則％°=g<10,故選項B錯誤；

選項C：6=-2時，。用=片一2,，7-2=0該方程的解為x=—1或2,

即當(dāng)。=—1或2時，數(shù)列｛%,｝為常數(shù)列，4,=一1或2,

同樣不滿足％。>10,則選項C也錯誤；

選項D：6=-4時，%+1=。；-4,%2-%-4=0

該方程的解為x=生叵，

2

同理可知，此時的常數(shù)列｛%｝也不能使陽>10,

則選項D錯誤.

故選：A.

【點睛】遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.利用函數(shù)方程思想，通過研究函數(shù)的不動點,

進(jìn)一步討論。的可能取值，利用“排除法”求解.

6.（2022?北京?統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列｛%｝各項均為正數(shù)，其前〃項和工滿足

—（〃=1,2,…）.給出下列四個結(jié)論：

①｛4｝的第2項小于3；②｛%｝為等比數(shù)列；

3

③｛4｝為遞減數(shù)列；④｛4｝中存在小于急的項.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①③④

99

【分析】推導(dǎo)出%=-------，求出4、%的值，可判斷①；利用反證法可判斷②④；利用

an%一

數(shù)列單調(diào)性的定義可判斷③.

【詳解】由題意可知，V〃EN*,Q〃〉0,

當(dāng)〃=1時，Q；=9,可得q=3；

9999

當(dāng)〃>2時，由'=一可得Sf=—,兩式作差可得為=-------,

a

%n-ianan_x

999

所以，---=----an,則----4=3,整理可得+3〃-9=0,

an-lan出

因為外>0,解得〃，=巫口<3,①對；

2

假設(shè)數(shù)列｛0｝為等比數(shù)列，設(shè)其公比為/則

所以，S；=S5,可得a；(l+q)2=a；(l+q+q)解得4=0,不合乎題意，

故數(shù)列｛4｝不是等比數(shù)列，②錯；

當(dāng)“22時，an=-------=二^~以>0,可得。"(a,-,所以，數(shù)列%｝為遞減數(shù)列，③

anan-lanan-X

對；

假設(shè)對任意的〃eN*,%>擊，則Ro。。。。2100000x^=1000,

991

=

所以，^100000T；---?與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，④對.

^IOOOOO1UUU1UU

故答案為：①③④.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題在推斷②④的正誤時，利用正面推理較為復(fù)雜時，可采用反證法

來進(jìn)行推導(dǎo).

7.(全國?高考真題)設(shè)等比數(shù)列｛%,｝滿足。/+/=10,a2+a4=5,則am…an的最大值為

【答案】64

2Q=8

【詳解】試題分析：設(shè)等比數(shù)列的公比為,由產(chǎn)+%=?得，產(chǎn)":”:?解得1.

〃2+&=5axq(\+q)=5q=—

、2

1^=1)匕+二〃

所以的2,,,%=〃陽1+訃"(1)=&'(,2=222，于是當(dāng)〃=3或4時，…〃〃取得最大

值26=64.

考點：等比數(shù)列及其應(yīng)用

題型全歸納

【題型一】數(shù)列單調(diào)性與不等式放縮

4

【講題型】

dT*

例題1.已知數(shù)列｛%｝滿足q=1,且北=%。2……4，若(+|=瑞;〃eN，則()

AB

-"W-%?品)C.Ac')D.?10e

【答案】B

【分析】據(jù)題意求出出=：1，判斷出數(shù)列｛,七、｝遞減，且0<a.Vl，再對。用=寸a兩邊取倒

2〃〃十1

(1、(1、

數(shù)，然后平方整理得—=2+?！翟倮脝握{(diào)性進(jìn)行放縮，可得出當(dāng)〃23時,

2<f—<2+-，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可得解.

【詳解】解析：an+i==2"7=a”+—,且q=1>0,；.%=!，a,產(chǎn)0,則

T”an+1an+xan-2

%+i_1

冊d+1'

冊

2>o,.?.0<4巴<1,即數(shù)列｛%｝遞減,貝lJO<a〃Wl,???Q〃+i

an4+1

11

???兩邊取倒數(shù)得——二一+。〃即，=-+2+Y，則,-工=2+端，：數(shù)

%+i%Ian+\)\an)\an+\JI"〃J

列｛%｝遞減,

.,.當(dāng)〃=2時，2<2+a；=2+；,即2<工2+-.

144'

2

c1

當(dāng)時，2<2+a；<2+=2+a，即2<<2H—,2<<2H—,

44

11

…，2<

ani)

+",

22

1Y<(2+；卜48,即100<

根據(jù)不等式的性質(zhì)可得2x48<—<112<121,

1“50.

一<生。<—.同理：；----7)(2x8,—x8)=(16,18),—G(^20,V22),/()w

1110a10a24〃1o

與選項范圍不符.故選：B

2

例題2.已知數(shù)列｛氏｝滿足。血2彳0,若%+2=4m+3,則“數(shù)列｛%｝為無窮數(shù)列”是“數(shù)列

an

｛%｝單調(diào)，，的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】由已知可得空=n+--l,設(shè)包="+2-i,若存在正整數(shù)機，當(dāng)￡=0時，有%+i=0,

aa

此時數(shù)列｛%｝為有窮數(shù)列;若“恒不為0,由詈=〃，有氏+尸0,此時｛4｝為無窮數(shù)列,

由此根據(jù)充分條件、必要條件的定義進(jìn)行分析疝可得結(jié)論.

5

11±L

【詳解】解：令q=。，a2=b（ab^O）,由。〃+2=%+i+%-,可得?！?。0,所以&=1+%,

冊%%

即4±1一%±1=1,

%+1an

所以數(shù)列]&4為等差數(shù)列，首項為2=2,公差為1,所以乎=；+（"-i）xi="+g-i,

aa

[anJ%〃na

設(shè)a=〃+1,則數(shù)列也｝是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，

a

若存在正整數(shù)機，當(dāng)超=0時，則有冊+1=0,此時數(shù)列｛%｝為有窮數(shù)列；

若，恒不為o,由嗅=a,有。“+1片0,數(shù)列｛。“｝就可以按照此遞推關(guān)系一直計算下去，所

an

以此時｛。“｝為無窮數(shù)列.

⑴若4=〃+2-1恒不為0,則｛%｝為無窮數(shù)列，由遞推關(guān)系式有一=。“（〃+2-1）,

aa

75

取。=一2,6=5時，a=a｛n--）,貝ljq=-2,a=5,a=--,...,此時數(shù)列不

n+xn，232

是單調(diào)數(shù)列；

（2）當(dāng)數(shù)列｛。"｝為有窮數(shù)列時，存在正整數(shù)機，當(dāng)或=0時，有冊+1=0,

9

此時數(shù)列｛%｝為％,a2,/，????"加，"m+1，

由4“+i=0,若數(shù)列｛%｝單調(diào)，則%,電，見，...，%,全為正或全為負(fù)，

由&L=4>0（后（加-1）,則可，均，名,……，或一全為正，而勿=0,

ak

這與“=〃+2-1單調(diào)遞增矛盾，所以當(dāng)數(shù)列｛%｝為有窮數(shù)列時，數(shù)列不可能單調(diào)，

a

所以當(dāng)數(shù)列缶“｝單調(diào)時，數(shù)列也,｝一定有無窮多項.

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵是，將論證數(shù)列｛%｝單調(diào)時，數(shù)列也,｝一定有無窮多

項等價轉(zhuǎn)化為論證數(shù)列｛%｝為有窮數(shù)列時，數(shù)列不可能單調(diào).

【講技巧】

數(shù)列作為特殊的函數(shù)，其單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性有相似之處?？梢詮臄?shù)列遞推公式中提

煉出對應(yīng)函數(shù)式，利用函數(shù)或者導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求其單調(diào)性

【練題型】

L設(shè)數(shù)列｛?！埃那啊椇蜑镾”％=1,且2S“=-1（〃eN*）.若對任意的正整數(shù)n,都有

apn+a2bz+%".2+…+a.4=3"-〃T成立，則滿足等式4+%+&+…+，=%的所有正整

數(shù)〃為（）

A.1或3B.2或3C.1或4D.2或4

廣東省肇慶市2023屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

【答案】A

【分析】根據(jù)S“與凡的關(guān)系，求出4=3"。則6,+3“T+32以2+…+3"T4=3"-"一1①，

又％1+34+32〃T+…+3七=3向一（〃+1）-1②，②一①/3得％=2〃+1,得b,=2〃-l,進(jìn)

22

而求出4+4+&+…+，，由題意得否=1,記/（"）=號,研究/⑺的單調(diào)性，求出/（"）=1

的解即可.

【詳解】2S“=%-l,（〃eN*）,

6

時，2s

相減可得：2Q〃=an+l-an,即an+i=3%(n>2)

又〃=1時，2s解得%=3,滿足%=3%,

數(shù)列｛%｝是首項為1,公比為3的等比數(shù)列，所以a,=3i,(〃eN*).

對任意正整數(shù)n,都有a也n+。2%-1+她-2+…岫=3"-〃一1成立,

2

得bn+3加+3bn_2+---+3"“=3"--1①，

又bn+l+3bn+32%+…+3七=3向一(〃+1)-1②，

②一①x3得：2+1=2〃+l,(〃eN*),

又她=3-1-1=1,所以4=1,得"=2〃-l,("eN"),

進(jìn)而4+/>2+4?+-----Fbn—n~,

M

由A+少+&T---Hb-a,得“2=3"T,即——=i,

3"i

〃2416

記f(n)=券，則/(1)=l,/(2)=-,/(3)=l,/(4)=—,

以下證明〃24時，

2

因為/("+1)_/(?)=S+l)2_==~2n+2n+l=2?(l-n)+l<Q

J\/J\/3〃3〃3〃

即“24時,將)單調(diào)遞減,/(?)<!,

綜上可得，滿足等式4+b2+b3+---+b?=a?的所有正整數(shù)〃的取值為1或3.

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及數(shù)列的單調(diào)性以及數(shù)列的最大項和最小項問題，綜合性較強，難度

較大，解答時要結(jié)合幾何知識，能熟練的應(yīng)用數(shù)列的相關(guān)知識作答，關(guān)鍵是要注意構(gòu)造新數(shù)

列解決問題.

2.數(shù)列｛%｝滿足q=a,。向=3巴-片-1,則下列說法正確的是()

A.若則數(shù)列｛%｝單調(diào)遞減

B.若存在無數(shù)個自然數(shù)”，使得an+]=an,則a=l

C.當(dāng)。>1時，｛%｝的最小值不存在

1111一、

D.當(dāng)。=3時，----+----…+------->7恒成乂

a1-2a2—2an-22

【答案】D

【分析】利用遞推關(guān)系研究數(shù)列的單調(diào)性即可逐一作出判斷.

【詳解】由%=3<7”-力-1,得%-%=〃-°：-1=-(%-1)2,

對于A:若數(shù)列｛。"｝單調(diào)遞減，則。“片1,即各項不為1,.?“戶1且4用=3%-4-1w1,二q產(chǎn)1

且0"42,故。片1且。#2,故A錯誤；

對于B：當(dāng)。=1或a=2時，出=1，存在無數(shù)個自然數(shù)九，使得與包=%，故B錯誤;

對于C:當(dāng)。=2>1時，a2=a3=a4=---=l,所以｛%｝的最小值為1,故C錯誤；

一11,1

對于D:〃=l時，-=1>T,

ax-22

2

6Z2=3X3-3-1=-1<0,又由以上推理知｛%｝遞減，所以％<0(心2),

2-%=3-3%+??2_1>2-3%+a：1=(1-%)(2-%)>0

---1-<--------1------=----1-------1--

2一a〃(1一%)(2-%)1-an_x2-an_x

7

----------1---------<---------,

2-an_x2—%1-an_x

1111111

-----+------=------------F-----=--------------F-----=------,

1_%_]2-an_22-3an_2+an_22-an_2(1-an_2)(2-an_2)2-an_21-an_2

依次類推，=；,

1-a22

++=1-r>

所以一%~—T2-a2-—T2%—2+-727,

綜上，對任意+……正確.

4_2%一2%一22D

故選：D.

【題型二】利用導(dǎo)數(shù)研究數(shù)列“性質(zhì)”

【講題型】

例題L.設(shè)數(shù)列｛%｝滿足q=。，%=lna“+[+6("eN*),貝l]()

A.若b=-2,貝!|。2。20>。B.若6=-2,則的^。<。

C.右6=2,貝！]。202。>aD.右6=2,貝！|。2。2()<。

【答案】A

a+2I+2

【分析】當(dāng)6=-2時，。"=In。,陽-2,即an+l=e",貝1]a?+l-a?=樣產(chǎn)一a“，設(shè)〃x)=e-x

利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)/(x)的的單調(diào)性，從而得到1卜)>0,即.i"=e""+2-a”>0,得

到數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增，則選項A正確，B錯誤，當(dāng)6=2時，a?=lna?+1+2,即a“+]=e-2,

則a向-%=滔-2一%,設(shè)g(x)=e-r,利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)g(x)的的單調(diào)性，可得一定

存在國€(0,2),使得g(xJ=O,x2e(2,4),使得g(%)=0,當(dāng)q=玉(或髭)時

有,％+1-%=a"+2-%=0,從而選項C,D不正確.

【詳解】當(dāng)6=-2時,a?=lna?+1-2,即?=炭嗎

則%+「%=滔+2-%，設(shè)/(x)=*2-x,則/'(x)=*2-1

/〃(x)=*2>0,所以/'(X)=*2-1在R上單調(diào)遞增，且/'(-2)=0

所以當(dāng)、>-2時，r(x)>o,則j(x)單調(diào)遞增.

當(dāng)》<一2時，f'(x)<0,則/(X)單調(diào)遞減.

所以/(力2/(-2)=/+2=3>0,所以見…尸+j>0

所以當(dāng)6=-2時，數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增，則選項A正確，B錯誤.

當(dāng)6=2時，an=lna?+1+2,即%=e"T.

則=0""一2-2'設(shè)g(x)=ei_x,則g[x)=ei-l

g〃(x)=#2>0,所以g，(x)=#2-1在R上單調(diào)遞增，且g((2)=0

所以當(dāng)尤>2時,g'(x)>0,則g(x)單調(diào)遞增.

當(dāng)x<2時，g'(x)<0,則g(無)單調(diào)遞減.

2

所以g(x)1nhi=8(2)=6。-2<0,又8(0)="2>0,g(4)=e-4>0

所以一定存在X1e(0,2),使得g(xJ=0,x2e(2,4),使得g^)」。

當(dāng)％=再(或巧)時有，々-%=e""2-q=e*+2-X]=0,即。2=%.

同理可得。“+i-%=e%+2-%=o,an-ax=a,所以選項C,D不正確.

故選：A

例題2.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝滿足q=l,<=<：；--(WGAT),則數(shù)列｛%｝()

an+\

8

A.無最小項，無最大項B.無最小項，有最大項

C.有最小項，無最大項D.有最小項，有最大項

【答案】D

【分析】由數(shù)學(xué)歸納法得數(shù)列｛%｝從第2項開始都大于I,這樣為是最小項，利用不等式放

11

縮得出引入函數(shù)>=/利用導(dǎo)數(shù)證明其在x23時是減函數(shù)，得數(shù)列｛%｝有上界，

1.一1

“28時，0<8口再引入函數(shù)/'00=/-工-1,由零點存在定理說明的>8左，從而確定

g,%，的，%g，%這6項中的最大值是數(shù)列｛%｝的最大項.

【詳解】數(shù)列也,｝各項均為正，

%=1,由q得出>1，一般地由數(shù)學(xué)歸納法知當(dāng)4>1時，由=霏；-一二得知+i>1

“2an+\

（否則若%+141,則可：；41,」一>1,=。；：；一二―<1,矛盾）,

an+lan+\

所以數(shù)列｛“〃｝中，時，%〉1,41=1是最小項.

一

又二吟；一二〉*；T,所以a（小，

an

n+\一

記v_/，則1"=皿，兩邊求導(dǎo)得上=1》,即，_（lTnx）x，,

x

y-xy%y-x2

x>e時，y<0,y=￡是減函數(shù)，

1,,,,1

所以〃23時，｛疝｝是遞減數(shù)列，因此也｝有上界，時，％<妙，

211a

%---=1即Q；--1=0,

設(shè)/（幻=工3一X—1,r（x）=3f—1,X21時，f（x）>0,/（X）是增函數(shù)，

經(jīng)過計算，得知pi29684'而-0,11582<0'所以時滿足/（兀）=。的%滿足%>8豆，

即/>菸

從而°2>。8，而。2，。3，%，。5，。6，。7這6個數(shù)中一定有最大值，此最大值也是數(shù)列｛%｝的最大

項.

故選：D.

【講技巧】

需引入函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而得出數(shù)列的不等關(guān)系。

【練題型】

2a

1.已知數(shù)列｛《,｝滿足。角=蘭:，滿足叫40,1）,%+%+--+%。21=2020,則下列成立的

是（）

A-In^.lna^B.Ina.-lna^

C.Inajlna2021<^-D.以上均有可能

【答案】C-

【分析】由題設(shè)可得0<%<1且??+1>根據(jù)等式條件有（q-1）+&-1）+…+（?202I-i）=-i,

9

應(yīng)用放縮法可得-1<?,-1<一，；；「)<0，構(gòu)造/(x)=lnx-x+l并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性

可得0<x<l上|ln尤,則lna/ln%02i>1(%T川Q021T)卸可得到答案.

2Q

【詳解】由題設(shè)，即數(shù)列｛%｝均為正項，

a。十1

2an22,

Q〃+i=~2—7=-----r~——I—1

d+i2r~r,當(dāng)4=1時等號成立，

2。,

當(dāng)見=于吉=1時，有4T=1，以此類推可得％=1與題設(shè)矛盾,

a〃-1+1

a.2

綜上，0<%<1,故3==7>1,BPan+1>an.

an%+1

*.*。］+%+…+〃2。21=2020,

_?_?/mcc\2020—12020

〈％+2021n吸〉2020嬴;<------------

2020—q

令小)—+9則八加廿’

當(dāng)0<%<1時/'(x)<0,即/(x)遞減，當(dāng)尢>1時/'(x)>o,即/(x)遞增,

f(%)〉/(1)=°，故0<x<1上0>Inx>1—,BP0<—Inx<—1,

1-%(1

Ina-Ina=(-ln?1)?(-in?2021)

x2Q2l2020-62020

故選：c

2..對于數(shù)列｛%｝,若存在正數(shù)M,使得對一切正整數(shù)"，恒有則稱數(shù)列｛七｝有界;

若這樣的正數(shù)〃不存在，則稱數(shù)列｛%｝無界，已知數(shù)列｛%｝滿足：％=1,

??+1=ln(A??+l)(2>0),記數(shù)列｛%｝的前〃項和為S"，數(shù)列｛4｝的前〃項和為北，則下列

結(jié)論正確的是()

A.當(dāng)4=1時，數(shù)列｛S,,｝有界B.當(dāng)2=1時，數(shù)列｛力有界

C.當(dāng)2=2時，數(shù)列6，｝有界D.當(dāng)2=2時，數(shù)列｛力有界

【答案】B

【分析】當(dāng)4=1時，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，進(jìn)而得出與>!，由此判斷A;

n

構(gòu)造函數(shù)/(無)=ln(x+l)-3，xe[0,l],判斷其單調(diào)性，推出------->-,進(jìn)而得到

x+3%+ian3

311

6Z?<-從而說明氏2?9(1---),判斷B;當(dāng)2=2時，說明421成立，從而判斷

〃+2n+\n+2

C,D.

1V

【詳解】當(dāng)4=1時，令>=x—ln(x+1),則/=1--------=------，當(dāng)x>0時，

x+1x+1

1v-

yr=1--------=------>0,x-ln(x+1)>0,x>ln(x+1),因為q=1,則％討=ln(%+1)<%<1,

x+1x+1

所以〃2=1口2>',(這是因為4>e,ln4>lne,「.In2>!),令y=ln(x+l).....—,(x>0),貝！J

22x+1

]]x1

y，=----7--一;一。，僅>0),故歹=ln(x+l)-------(x>0)時單調(diào)遞增函數(shù)，

x+1(x+1)0+1)X+1

10

故ln(x+l)----->0,(%>0),貝！]ln(x+1)〉」一,(%>0),假設(shè)。”>工，則

x+1x+1n

a=In+1)>冊=1---------->——,

n向+｝I〃)1+〃”1+%77+1

故由歸納法可得工成立,所以S,,>l+；+g+…+：,故數(shù)列優(yōu)｝無界，故A錯;

n

3Y

又由%+i=ln（%+l）<g41,設(shè)/(%)=ln(x+l)--------,XG[0,1]

%+3

則分）=占-3(x4-3)-3xx(x-3)3x

-<0,XG[0,1]'故〃x)=ln(x+l)-『”[0,1]

(x+3)2(X+1)(X+3)2

qq3tz111

遞減，則ln(x+l)----^-<0,ln(x+1)<—,所以%+i=ln(%+1)4----1^―，則-------->-,

x+3x+3%+3an+lan3

11111、111??-113

則一=(z------)+(-z--------)-?+(------)+-^-――,故氏4——，貝U

冊a?%%k%q434n+2

61?--------5<9(-------------),

n(n+2)2〃+1n+2

故〈=%2+必+…+。/<9(]一一二)<3，即當(dāng)2=1時，數(shù)列｛[｝有界，故B正確

2n+12

當(dāng)4=2時，〃〃+1=In(2%+1),由%—1,%=ln3〉l,

假設(shè)%21,則%+1=111（2%+1）21113>1,即%21成立，

所以止匕時S〃=Q[+〃2■1+22都無界，故C,D錯誤;

【題型三】數(shù)列函數(shù)性質(zhì)：“周期性”

【講題型】

例題L已知數(shù)列｛叫滿足屋「同=4（d為常數(shù)，左=1,2…"，7zeN*,?>3）,給出下列

四個結(jié)論：①若數(shù)列｛%｝是周期數(shù)列，則周期必為2：②若d=0,則數(shù)列｛%｝必是常數(shù)列:

③若d>0,則數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列：④若d<0,則數(shù)列｛%｝是有窮數(shù)列，其中，所有錯誤

結(jié)論的序號是.

【答案】①②③④

【解析】①當(dāng)周期為2時。3=%，由晨「同="表示前三項的關(guān)系，整理證得同+同|=T，

與實際矛盾，錯誤；

②若"=0,舉特例q=2,觀察顯然不是常數(shù)列，錯誤；

③賦特值a=1,（1=2,求得電=-6，不是遞增數(shù)列，錯誤；

④賦特值％求得出=g，是無窮數(shù)列，錯誤.

【詳解】①令周期7=2,則%=%

日al-=d2?i2.12.12

由題可知｛2_/，則同一|出|=1。2HqiI即同一同=|?|一同

因為同2-|。2「=（同-|。2D,（同+|〃2I）=|。2H4I

整理得（同一同）?（同+同+1）=0,得同+WI=T，矛盾，所以錯誤;

a

②右1=°,-㈤=k+\=

顯然，可以是2,正,《萬，…，不是常數(shù)列，所以錯誤；

③令a=l,d=2,由al+i-\ak\=d可知4=±Jd+同=±百

當(dāng)生=-G時，顯然不是遞增數(shù)列，所以錯誤；

11

④當(dāng)q=—,d=――時，有%=±Jd+同=i-

當(dāng)出=:，則以后各項都可以為;，是無窮數(shù)列，所以錯誤.

22

故答案為：①②③④

例題2..若數(shù)列｛氏｝滿足：存在正整數(shù)T,對于任意正整數(shù)〃都有%+7=%成立，則稱數(shù)列

an-1，%>1

｛?！埃秊橹芷跀?shù)列，周期為T.已知數(shù)列｛叫滿足％=加（機>0）,an+l=\1,則下

一，U<a”S1

列結(jié)論中錯誤的是（）

A.若%=4,則%可以取3個不同的值；

B.若加=0,則數(shù)列｛4｝是周期為3的數(shù)列；

C.對于任意的7eN*且於2,存在力>1,使得｛%｝是周期為T的數(shù)列

D.存在機e。且加22,使得數(shù)列｛%｝是周期數(shù)列

【答案】D

%-1,%>1

【分析】A.若。3=4,根據(jù)。用=“1n/分別對出，。1討論求解即可；