陜西省西安高2025屆高三第一次質(zhì)量檢測考試卷+數(shù)學(xué)答案

第1頁/共1頁陜西省西安中學(xué)高2025屆高三第一次質(zhì)量檢測考試數(shù)學(xué)試題（時(shí)間：120分鐘滿分：150分命題人：趙昕媛）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式化簡集合B，然后利用交集運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，解得或，故或，又，所?故選：C2.“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)“同增異減”的判斷法則求得對應(yīng)的的取值范圍即可得出結(jié)論.【詳解】易知的定義域?yàn)?，且函?shù)為單調(diào)遞減函數(shù)；根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知若函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，解得；顯然是的真子集，所以“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的必要不充分條件.故選：B3.函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.【詳解】，又函數(shù)定義域?yàn)?，故該函?shù)為偶函數(shù)，可排除A、C，又，故可排除D.故選：B.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】判斷出，，，即可求解.【詳解】，故；，故，故.故選：B.5.已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則（）A. B.1 C. D.3【答案】C【解析】【分析】由條件推得函數(shù)的周期為4，結(jié)合函數(shù)的周期，即可求解.【詳解】由，可得，所以的周期為4，則．故選：C.6.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，分、和，三種情況討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義與函數(shù)的圖象，即可求解.【詳解】由題意，關(guān)于的方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，即與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，當(dāng)，直線與圖象交于點(diǎn)，又當(dāng)時(shí)，，故直線與（）的圖象無公共點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)，直線與曲線（）相切時(shí)，此時(shí)與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)，則，又由過點(diǎn)，所以，解得，所以；當(dāng)時(shí)，若，則，由，可得，所以當(dāng)時(shí)，直線與的圖象相切，由圖得當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：C．7已知函數(shù)，則（

）A.有三個(gè)極值點(diǎn) B.有三個(gè)零點(diǎn)C.點(diǎn)是曲線的對稱中心 D.直線是曲線的切線【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)后判斷單調(diào)性，從而求得極值點(diǎn)即可判斷A；利用單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可判斷B；令，得到是奇函數(shù)，是的對稱中心，再結(jié)合圖象的平移規(guī)律即可判斷C；由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程即可判斷D.【詳解】對于A，由題，，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點(diǎn)，故A不正確；對應(yīng)B，因，，，所以，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上無零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對于C，令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，則是奇函數(shù)，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個(gè)單位得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線的對稱中心，故C正確；對于D，令，可得，又，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，故D錯(cuò)誤.故選：C8.已知函數(shù)，，若方程有且僅有5個(gè)不相等的整數(shù)解，則其中最大整數(shù)解和最小整數(shù)解的和等于（）A. B.28 C. D.14【答案】A【解析】【分析】利用換元法結(jié)合一元二次方程根的分布，數(shù)形結(jié)合計(jì)算即可.【詳解】先作出的大致圖象，如下令，則，根據(jù)的圖象可知：要滿足題意必須有兩個(gè)不等根，且有兩個(gè)整數(shù)根，有三個(gè)整數(shù)根，結(jié)合對勾函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)知，兩函數(shù)相切時(shí)符合題意，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號，又，易知其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，即，此時(shí)有兩個(gè)整數(shù)根或，而要滿足有三個(gè)整數(shù)根，結(jié)合圖象知必有一根小于2，顯然只有符合題意，當(dāng)時(shí)有，則，解方程得的另一個(gè)正根為，又，此時(shí)五個(gè)整數(shù)根依次是，顯然最大根和最小的根和為.故選：A二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用求導(dǎo)公式逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B錯(cuò)誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確.故選：ACD10.甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排進(jìn)行列隊(duì)訓(xùn)練，則（）A.甲乙不相鄰的不同排法有48種B.甲乙中間恰排一個(gè)人的不同排法有36種C.甲乙不排在兩端的不同排法有36種D.甲乙丙三人從左到右由高到矮的不同排法有20種【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)排列和組合的定義、結(jié)合捆綁法逐一判斷即可.【詳解】A：甲乙不相鄰的不同排法有種，所以本選項(xiàng)不正確；B：甲乙中間恰排一個(gè)人的不同排法有種，所以本選項(xiàng)正確；C：甲乙不排在兩端的不同排法有種，所以本選項(xiàng)正確；D：甲乙丙三人從左到右由高到矮的不同排法有種，所以本選項(xiàng)正確.故選：BCD11.已知，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】選項(xiàng)ABD，利用不等式的性質(zhì)計(jì)算即可，選項(xiàng)C，因?yàn)榭烧韶?fù)，所以不容易化簡解決，一般當(dāng)乘或除以一個(gè)不知正負(fù)的數(shù)，基本上錯(cuò)誤，我們只需要找反例即可.【詳解】因?yàn)?，所以，故A正確；因?yàn)?，所以，故B正確；因?yàn)椋环亮?，得，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某學(xué)校組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)測試，成績的頻率分布直方圖如下，數(shù)據(jù)的分組依次是，則可估計(jì)這次數(shù)學(xué)測試成績的第40百分位數(shù)是_________．【答案】65【解析】【分析】利用百分位數(shù)的定義求解.【詳解】解：成績在的頻率是，成績在的頻率為，所以第40百分位數(shù)一定在內(nèi)，所以這次數(shù)學(xué)測試成績的第40百分位數(shù)是，故答案為：6513.若曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，則__________.【答案】【解析】【分析】先求出曲線在的切線方程，再設(shè)曲線的切點(diǎn)為，求出，利用公切線斜率相等求出，表示出切線方程，結(jié)合兩切線方程相同即可求解.【詳解】由得，，故曲線在處的切線方程為；由得，設(shè)切線與曲線相切的切點(diǎn)為，由兩曲線有公切線得，解得，則切點(diǎn)為，切線方程為，根據(jù)兩切線重合,所以，解得.故答案為：14.展開式中，的系數(shù)為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，所以的系數(shù)為，故答案為：四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16，17題15分，第18，19題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的極值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．【答案】（1）極小值為，極大值為（2）答案見解析【解析】【分析】（1）對求導(dǎo)，分析單調(diào)性，再根據(jù)極值定義即可求解；（2），對分，和討論單調(diào)性即可.【小問1詳解】.所以x<1或x>2時(shí)，，時(shí)，，則在上遞減，在遞增，所以的極小值為，極大值為.【小問2詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，當(dāng)時(shí)，或時(shí)，；時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，或時(shí)，；時(shí)，，所以在上遞增；在上遞減．16.為踐行“更快更高更強(qiáng)”的奧林匹克格言，落實(shí)全民健身國家戰(zhàn)略.某校高三年級發(fā)起了“發(fā)揚(yáng)奧林匹克精神，鍛煉健康體魄”的年度主題活動，經(jīng)過一段時(shí)間后，學(xué)生的身體素質(zhì)明顯提高.為了解活動效果，該年級對開展活動以來近6個(gè)月體重超重的人數(shù)進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如圖，根據(jù)上面的散點(diǎn)圖可以認(rèn)為散點(diǎn)集中在曲線的附近，請根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)求出月份x123456體重超標(biāo)人數(shù)y987754483227（1）該年級體重超重人數(shù)y與月份x之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程系數(shù)的最終結(jié)果精確到；（2）預(yù)測從開展活動以來第幾個(gè)月份開始該年級體重超標(biāo)的人數(shù)降至10人以下.附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程：中，，；參考數(shù)據(jù)：，，，【答案】（1）（2）從第十個(gè)月開始【解析】【分析】（1）由計(jì)算公式與參考數(shù)據(jù)，求出則可得回歸方程；（2）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程建立不等式，解出不等式則可預(yù)測.【小問1詳解】由得，由題意得，，所以，，所以，即y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為【小問2詳解】令，所以，又由于，所以解得，且，所以從第十個(gè)月開始，該年級體重超標(biāo)的人數(shù)降至10人以下.17.已知函數(shù)，，，且（1）當(dāng)且時(shí)，求不等式的解集；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求t的取值范圍.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，將不等式轉(zhuǎn)化為，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合一元二次不等式求解即可；（2）解法一：分離參數(shù)，將原函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為且有根，設(shè)且，則，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性求解值域即可求解；解法二：先判斷時(shí)，不合題意，當(dāng)時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)分布分類討論，列不等式組求解即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，又0<a<1，則x+1≥(2x?1)22x?1>0∴4不等式的解集為；【小問2詳解】解法一：由題設(shè)，由，得且，則，設(shè)且，則，令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，故且或，t的取值范圍為：或解法二：，若，則在上沒有零點(diǎn)．下面就時(shí)分三種情況討論：①方程在上有重根，則，解得，又；②Fx在上只有一個(gè)零點(diǎn)，且不是方程的重根，則，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)或時(shí)，F(xiàn)x在上都有零點(diǎn)，則或③方程在上有兩個(gè)相異實(shí)根，則有t>0Δ>0?1<?12t<2F(?1)>0綜上可知：t的取值范圍為或18.某企業(yè)對某品牌芯片開發(fā)了一條生產(chǎn)線進(jìn)行試產(chǎn).其芯片質(zhì)量按等級劃分為五個(gè)層級，分別對應(yīng)如下五組質(zhì)量指標(biāo)值：.根據(jù)長期檢測結(jié)果，得到芯片的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量指標(biāo)值不小于80的產(chǎn)品稱為等品，其它產(chǎn)品稱為等品.現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件作為樣本，統(tǒng)計(jì)得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)長期檢測結(jié)果，該芯片質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為11，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值.若從生產(chǎn)線中任取一件芯片，試估計(jì)該芯片為等品的概率(保留小數(shù)點(diǎn)后面兩位有效數(shù)字)；(①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表；②參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.)（2）（i）從樣本的質(zhì)量指標(biāo)值在和[85，95]的芯片中隨機(jī)抽取3件，記其中質(zhì)量指標(biāo)值在[85，95]的芯片件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ii）該企業(yè)為節(jié)省檢測成本，采用隨機(jī)混裝的方式將所有的芯片按100件一箱包裝.已知一件等品芯片的利潤是元，一件等品芯片的利潤是元，根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，試求的值，使得每箱產(chǎn)品的利潤最大.【答案】（1）（2）（i）分布列見解析，；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求得樣本平均數(shù)，然后利用正態(tài)分布的對稱性求解概率.（2）（i）先求出的取值，然后求出對應(yīng)的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可；（ii）先根據(jù)二項(xiàng)分布的期望求出，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值時(shí)的即可.【小問1詳解】由題意，估計(jì)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件的平均數(shù)為：．即，，所以，因?yàn)橘|(zhì)量指標(biāo)值近似服從正態(tài)分布，所以，所以從生產(chǎn)線中任取一件芯片，該芯片為等品的概率約為.【小問2詳解】（i），所以所取樣本的個(gè)數(shù)為20件，質(zhì)量指標(biāo)值在的芯片件數(shù)為10件，故可能取的值為0，1，2，3，相應(yīng)的概率為：，，，，隨機(jī)變量的分布列為：0123所以的數(shù)學(xué)期望.（ii）設(shè)每箱產(chǎn)品中A等品有件，則每箱產(chǎn)品中等品有件，設(shè)每箱產(chǎn)品的利潤為元，由題意知：，由（1）知：每箱零件中A等品的概率為，所以，所以，所以.令，由得，，又，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.所以當(dāng)時(shí)，每箱產(chǎn)品利潤最大.19.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增；（3）若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）代入的值，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）對函數(shù)二次求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，求出導(dǎo)函數(shù)的最小值，即可證明；（3）對求導(dǎo)得，，令，再求導(dǎo)，分的不同取值討論的性質(zhì)，即可求出的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，且知，在上，，在上單調(diào)遞增；在上，，在上單調(diào)遞減；所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為【小問2詳解】證明：因?yàn)?，所以，且知，要證函數(shù)單調(diào)遞增，即證在上恒成立，設(shè)，，則，注意，在上均為增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，且，于是在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增;【小問3詳解】由，有，令，有，①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，因此在上單