9.5三角形的中位線（原卷版）2

9.5三角形的中位線同步培優(yōu)講練綜合三角形的中位線1．連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.2．定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.順次連接特殊的平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形的形狀（1）順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形.（2）順次連接矩形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形.（3）順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形.（4）順次連接正方形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是正方形.一、三角形中位線有關(guān)的求解問題【例1】如圖，為測量位于一水塘旁的兩點(diǎn)，間的距離，在地面上確定點(diǎn)，分別取，的中點(diǎn)，，量得，則，之間的距離是 B． C． D．【例2】如圖，在中，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，連接，的平分線交于點(diǎn)，若，，則的長為．【例3】如圖，在四邊形中，點(diǎn)是對角線的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，，則的度數(shù)是．【例4】在中，，D為形內(nèi)一點(diǎn)，以為腰作等腰，使，連接，若分別是的中點(diǎn)，，則的長為_______．【例5】有一塊梯形形狀的土地，現(xiàn)要平均分給兩個農(nóng)戶種植（即將梯形面積兩等分），試設(shè)計(jì)兩種方案，并說明理由．（平分圖案畫在備用圖上，保留作圖痕跡）【例6】如圖，在中，點(diǎn)，，分別是邊，，上的中點(diǎn)，且，，則四邊形的周長等于．【例7】如圖，四邊形中，，，、分別是、的中點(diǎn)，則線段的取值范圍是A． B． C． D．【例8】如圖，中，，，，、分別是其角平分線和中線，過點(diǎn)作于，交于，連接，則線段的長為（

）A． B．1 C． D．2二、三角形中位線相關(guān)的面積問題【例1】如圖，在中，、、分別是、、的中點(diǎn)，若的面積是40，則四邊形的面積是A．10 B．12.5 C．15 D．20【例2】、是線段上的兩點(diǎn)，且，，，點(diǎn)是線段上的一動點(diǎn)，分別以、為斜邊在同側(cè)作兩個等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為、，如圖所示，連接并取中點(diǎn)，連接，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動到點(diǎn)，則線段掃過的圖形面積為______．【例3】如圖，在中，D，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，，則_____【例4】如圖，三邊的中線，，的公共點(diǎn)為G，且，若，則圖中陰影部分的面積是_____．【例5】如圖，在中，，分別是的中點(diǎn)，延長到點(diǎn)，使得，連接與交于點(diǎn)．，求四邊形的面積．三、與三角形中位線有關(guān)的應(yīng)用和證明【例1】在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，平分，，的延長線交于點(diǎn)，，．（1）求證：；（2）求的長．【例2】如圖，中，于點(diǎn)，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，連接，，．（1）求證：；（2）若四邊形的周長是30，的周長是21，求的長．【例3】如圖，在四邊形中，是對角線的中點(diǎn)，、分別是、的中點(diǎn)，，，求的度數(shù)．【例4】在中，，、分別是、的中點(diǎn)，延長到點(diǎn)，使，連接、、、，與交于點(diǎn)O．(1)試說明與互相平分；(2)若，，求的長．四、梯形中位線【例1】已知一個梯形的中位線長為，其中一條底邊的長為，那么該梯形的另一條底邊的長是．【例2】如圖，已知直角梯形的一條對角線把梯形分為一個直角三角形和一個邊長為的等邊三角形，則梯形的中位線長為 B． C． D．【例3】如圖，梯形的兩底長為，，中位線為，且，若為上的一點(diǎn)，且將梯形分成面積相同的兩區(qū)域，則與梯形的面積比為．五、中點(diǎn)四邊形【例1】順次連接四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是菱形，則原四邊形一定是(

)A．平行四邊形 B．對角線相等的四邊形C．矩形 D．對角線互相垂直的四邊【例2】若順次連接四邊形各邊的中點(diǎn)所得到的四邊形是矩形，則原四邊形必定是（

）A．正方形 B．對角線相等的四邊形C．菱形 D．對角線互相垂直的四邊形【例3】依次連接下列四邊形四條邊的中點(diǎn)得到四邊形不是菱形的是（

）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形【例4】如圖，四邊形中，，．且，順次連接四邊形各邊中點(diǎn)，得到四邊形，再順次連接四邊形各邊中點(diǎn)，得到四邊形，如此進(jìn)行下去，得到四邊形．下列結(jié)論正確的是（

）①四邊形是矩形；②四邊形是菱形；③四邊形的周長是，④四邊形的面積是．A．①②③ B．②③④ C．①② D．②③1、如圖，在中，，，．若，分別為邊，的中點(diǎn)，則的長為A．5 B．5.5 C．6 D．6.52、如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，其中，點(diǎn)是斜梁的中點(diǎn)，、垂直于橫梁，，則的長為 B． C． D．3、如圖，點(diǎn)、、分別是、、中點(diǎn)，且是的角平分線．求證：．4．如圖，平行四邊形中，對角線，相交于，，，，分別是，，的中點(diǎn)，下列結(jié)論中：①；②四邊形是平行四邊形；③；④平分，正確的是（）A．①② B．①②④ C．①②③ D．②③④5．如圖，四邊形中，對角線，且，，各邊中點(diǎn)分別為，，，，順次連接得到四邊形；再取各邊中點(diǎn)，，，，順次連接得到四邊形；依此類推，這樣得到四邊形，則四邊形的面積為____．6．已知一個對角線長分別為和的菱形，順次連接它的四邊中點(diǎn)得到的四邊形的面積是______．7．如圖，在和中，，、、分別為、、的中點(diǎn)，若，則________．8、如圖，在中，，、分別是、的中點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使．連接、、．若，求的長．9．如圖，在四邊形中，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)．(1)若，求的長．(2)若，求證：．10．已知：如圖，四邊形四條邊上的中點(diǎn)分別為、、、，順次連接、、、，得到四邊形即四邊形的中點(diǎn)四邊形．(1)四邊形的形狀是______，請證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)四邊形的對角線滿足______條件時(shí)，四邊形是菱形；(3)你學(xué)過的哪種特殊的平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形？請寫出一種．11．定義：既相等又垂直的兩條線段稱為“等垂線段”，如圖1，在中，，，點(diǎn)、分別在邊、上，，連接、，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)