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文檔簡介

第十四講三角形命題點1三角形及邊角關(guān)系1.(2022?衢州)線段a,b,c首尾順次相接組成三角形,若a=1,b=3,則c的長度可以是()A.3 B.4 C.5 D.62.(2022?西藏)如圖,數(shù)軸上A,B兩點到原點的距離是三角形兩邊的長,則該三角形第三邊長可能是()A.﹣5 B.4 C.7 D.83.(2022?德陽)八一中學(xué)九年級2班學(xué)生楊沖家和李銳家到學(xué)校的直線距離分別是5km和3km.那么楊沖,李銳兩家的直線距離不可能是()A.1km B.2km C.3km D.8km4.(2021?淮安)一個三角形的兩邊長分別是1和4,若第三邊的長為偶數(shù),則第三邊的長是.5.(2021?大慶)三個數(shù)3,1﹣a,1﹣2a在數(shù)軸上從左到右依次排列,且以這三個數(shù)為邊長能構(gòu)成三角形,則a的取值范圍為.命題點2三角形的內(nèi)角和及內(nèi)外角關(guān)系6.(2022?東營)如圖,在⊙O中,弦AC∥半徑OB,∠BOC=40°,則∠AOC的度數(shù)為.7.(2022?哈爾濱)在△ABC中,AD為邊BC上的高,∠ABC=30°,∠CAD=20°,則∠BAC是度.8.(2022?北京)下面是證明三角形內(nèi)角和定理的兩種添加輔助線的方法,選擇其中一種,完成證明.三角形內(nèi)角和定理:三角形三個內(nèi)角的和等于180°.已知:如圖,△ABC,求證:∠A+∠B+∠C=180°.方法一證明:如圖,過點A作DE∥BC.方法二證明:如圖,過點C作CD∥AB.9.(2021?河池)如圖,∠A=40°,∠CBD是△ABC的外角,∠CBD=120°,則∠C的大小是()A.90° B.80° C.60° D.40°10.(2021?遼寧)一副三角板如圖所示擺放,若∠1=80°,則∠2的度數(shù)是()A.80° B.95° C.100° D.110°11.(2021?河北)如圖是可調(diào)躺椅示意圖(數(shù)據(jù)如圖),AE與BD的交點為C,且∠A,∠B,∠E保持不變.為了舒適,需調(diào)整∠D的大小,使∠EFD=110°,則圖中∠D應(yīng)(填“增加”或“減少”)度.命題點3三角形的重要線段類型一與中點有關(guān)的問題 12.(2022?常州)如圖,在△ABC中,E是中線AD的中點.若△AEC的面積是1,則△ABD的面積是.類型二與角平分線有關(guān)的問題13.(2022?北京)如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB.若AC=2,DE=1,則S△ACD=.14.(2022?黑龍江)在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,AC=6,BC=8,CD=.15.(2022?鄂爾多斯)如圖,∠AOE=15°,OE平分∠AOB,DE∥OB交OA于點D,EC⊥OB,垂足為C.若EC=2,則OD的長為()A.2 B.2 C.4 D.4+2類型三與高有關(guān)的問題16.(2022?玉林)請你量一量如圖△ABC中BC邊上的高的長度,下列最接近的是()A.0.5cm B.0.7cm C.1.5cm D.2cm17.(2022?杭州)如圖,CD⊥AB于點D,已知∠ABC是鈍角,則()A.線段CD是△ABC的AC邊上的高線 B.線段CD是△ABC的AB邊上的高線 C.線段AD是△ABC的BC邊上的高線 D.線段AD是△ABC的AC邊上的高線命題點4等腰三角形18.(2022?淮安)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分線交BC于點D,E為AC的中點,若AB=10,則DE的長是()A.8 B.6 C.5 D.419.(2022?鞍山)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=24°,延長BC到點D,使CD=AC,連接AD,則∠D的度數(shù)為()A.39° B.40° C.49° D.51°20.(2022?宿遷)若等腰三角形的兩邊長分別是3cm和5cm,則這個等腰三角形的周長是()A.8cm B.13cm C.8cm或13cm D.11cm或13cm21.(2022?天津)如圖,△OAB的頂點O(0,0),頂點A,B分別在第一、四象限,且AB⊥x軸,若AB=6,OA=OB=5,則點A的坐標(biāo)是()A.(5,4) B.(3,4) C.(5,3) D.(4,3)22.(2022?自貢)等腰三角形頂角度數(shù)比一個底角度數(shù)的2倍多20°,則這個底角的度數(shù)是()A.30° B.40° C.50° D.60°23.(2022?廣安)若(a﹣3)2+=0,則以a、b為邊長的等腰三角形的周長為.24.(2022?蘇州)定義:一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍,這樣的三角形叫做“倍長三角形”.若等腰△ABC是“倍長三角形”,底邊BC的長為3,則腰AB的長為.25.(2022?濱州)如圖,屋頂鋼架外框是等腰三角形,其中AB=AC,立柱AD⊥BC,且頂角∠BAC=120°,則∠C的大小為.26.(2022?溫州)如圖,BD是△ABC的角平分線,DE∥BC,交AB于點E.(1)求證:∠EBD=∠EDB.(2)當(dāng)AB=AC時,請判斷CD與ED的大小關(guān)系,并說明理由.命題點5等邊三角形27.(2022?綿陽)下列關(guān)于等邊三角形的描述不正確的是()A.是軸對稱圖形 B.對稱軸的交點是其重心 C.是中心對稱圖形 D.繞重心順時針旋轉(zhuǎn)120°能與自身重合28.(2022?鞍山)如圖,直線a∥b,等邊三角形ABC的頂點C在直線b上,∠2=40°,則∠1的度數(shù)為()A.80° B.70° C.60° D.50°29.(2022?張家界)如圖,點O是等邊三角形ABC內(nèi)一點,OA=2,OB=1,OC=,則△AOB與△BOC的面積之和為()A. B. C. D.30.(2022?鄂州)如圖,在邊長為6的等邊△ABC中,D、E分別為邊BC、AC上的點,AD與BE相交于點P,若BD=CE=2,則△ABP的周長為.命題點6直角三角形類型一勾股定理及其應(yīng)用31.(2022?攀枝花)如圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(ICME)的會徽,在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形,恰好能夠組合得到如圖2所示的四邊形OABC.若OC=,BC=1,∠AOB=30°,則OA的值為()A. B. C. D.132.(2022?荊門)如圖,一座金字塔被發(fā)現(xiàn)時,頂部已經(jīng)蕩然無存,但底部未曾受損.已知該金字塔的下底面是一個邊長為120m的正方形,且每一個側(cè)面與地面成60°角,則金字塔原來高度為()A.120m B.60m C.60m D.120m33.(2022?百色)活動探究:我們知道,已知兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.如已知△ABC中,∠A=30°,AC=3,∠A所對的邊為,滿足已知條件的三角形有兩個(我們發(fā)現(xiàn)其中如圖的△ABC是一個直角三角形),則滿足已知條件的三角形的第三邊長為()A.2 B.2﹣3 C.2或 D.2或2﹣334.(2022?廣元)如圖,在△ABC中,BC=6,AC=8,∠C=90°,以點B為圓心,BC長為半徑畫弧,與AB交于點D,再分別以A、D為圓心,大于AD的長為半徑畫弧,兩弧交于點M、N,作直線MN,分別交AC、AB于點E、F,則AE的長度為()A. B.3 C.2 D.35.(2022?南充)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線交BC于點D,DE∥AB,交AC于點E,DF⊥AB于點F,DE=5,DF=3,則下列結(jié)論錯誤的是()A.BF=1 B.DC=3 C.AE=5 D.AC=936.(2022?湖北)勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》:“勾廣三,股修四,徑隅五”.觀察下列勾股數(shù):3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,這類勾股數(shù)的特點是:勾為奇數(shù),弦與股相差為1.柏拉圖研究了勾為偶數(shù),弦與股相差為2的一類勾股數(shù),如:6,8,10;8,15,17;…,若此類勾股數(shù)的勾為2m(m≥3,m為正整數(shù)),則其弦是(結(jié)果用含m的式子表示).37.(2022?常州)如圖,將一個邊長為20cm的正方形活動框架(邊框粗細忽略不計)扭動成四邊形ABCD,對角線是兩根橡皮筋,其拉伸長度達到36cm時才會斷裂.若∠BAD=60°,則橡皮筋A(yù)C斷裂(填“會”或“不會”,參考數(shù)據(jù):≈1.732).38.(2022?常州)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12.在Rt△DEF中,∠F=90°,DF=3,EF=4.用一條始終繃直的彈性染色線連接CF,Rt△DEF從起始位置(點D與點B重合)平移至終止位置(點E與點A重合),且斜邊DE始終在線段AB上,則Rt△ABC的外部被染色的區(qū)域面積是.39.(2022?泰州)如圖所示的象棋盤中,各個小正方形的邊長均為1.“馬”從圖中的位置出發(fā),不走重復(fù)路線,按照“馬走日”的規(guī)則,走兩步后的落點與出發(fā)點間的最短距離為.40.(2022?金華)如圖,圓柱的底面直徑為AB,高為AC,一只螞蟻在C處,沿圓柱的側(cè)面爬到B處,現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿AC“剪開”,在側(cè)面展開圖上畫出螞蟻爬行的最近路線,正確的是()A. B. C. D.類型二直角三角形的性質(zhì)及計算41.(2022?賀州)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=56°,則∠A的度數(shù)為()A.34° B.44° C.124° D.134°42.(2022?紹興)如圖,把一塊三角板ABC的直角頂點B放在直線EF上,∠C=30°,AC∥EF,則∠1=()A.30° B.45° C.60° D.75°43.(2022?永州)如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=60°,點D為邊AC的中點,BD=2,則BC的長為()A. B.2 C.2 D.444.(2022?荊州)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,通過尺規(guī)作圖得到的直線MN分別交AB,AC于D,E,連接CD.若CE=AE=1,則CD=.45.(2022?杭州)如圖,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,點M為邊AB的中點,點E在線段AM上,EF⊥AC于點F,連接CM,CE.已知∠A=50°,∠ACE=30°.(1)求證:CE=CM.(2)若AB=4,求線段FC的長.命題點7等腰直角三角形46.(2022?德州)將一副三角板(厚度不計)如圖擺放,使含30°角的三角板的斜邊與含45°角的三角板的一條直角邊平行,則∠α的角度為()A.100° B.105° C.110° D.120°47.(2022?安順)如圖,a∥b,將一個等腰直角三角板放置到如圖所示位置.若∠1=15°,則∠2的大小是()A.20° B.25° C.30° D.45°48.(2022?荊門)數(shù)學(xué)興趣小組為測量學(xué)校A與河對岸的科技館B之間的距離,在A的同岸選取點C,測得AC=30,∠A=45°,∠C=90°,如圖,據(jù)此可求得A,B之間的距離為()A.20 B.60 C.30 D.3049.(2022?湖州)如圖,已知在銳角△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分線,E是AD上一點,連結(jié)EB,EC.若∠EBC=45°,BC=6,則△EBC的面積是()A.12 B.9 C.6 D.350.(2022?黔西南州)如圖,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,∠B=60°,∠D=45°,AC與DE相交于點F.若BC∥AE,則∠AFE的度數(shù)為.51.(2022?成都)如圖,在△ABC中,按以下步驟作圖:①分別以點B和C為圓心,以大于BC的長為半徑作弧,兩弧相交于點M和N;②作直線MN交邊AB于點E.若AC=5,BE=4,∠B=45°,則AB的長為.52.(2022?綿陽)如圖,四邊形ABCD中,∠ADC=90°,AC⊥BC,∠ABC=45°,AC與BD交于點E,若AB=2,CD=2,則△ABE的面積為.第十四講三角形命題點1三角形及邊角關(guān)系1.(2022?衢州)線段a,b,c首尾順次相接組成三角形,若a=1,b=3,則c的長度可以是()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解答】解:∵線段a=1,b=3,∴3﹣1<c<3+1,即2<c<4.觀察選項,只有選項A符合題意,故選:A.2.(2022?西藏)如圖,數(shù)軸上A,B兩點到原點的距離是三角形兩邊的長,則該三角形第三邊長可能是()A.﹣5 B.4 C.7 D.8【答案】B【解答】解:由題意知,該三角形的兩邊長分別為3、4.不妨設(shè)第三邊長為a,則4﹣3<a<4+3,即1<a<7.觀察選項,只有選項B符合題意.故選:B.3.(2022?德陽)八一中學(xué)九年級2班學(xué)生楊沖家和李銳家到學(xué)校的直線距離分別是5km和3km.那么楊沖,李銳兩家的直線距離不可能是()A.1km B.2km C.3km D.8km【答案】A【解答】解:當(dāng)楊沖,李銳兩家在一條直線上時,楊沖,李銳兩家的直線距離為2km或8km,當(dāng)楊沖,李銳兩家不在一條直線上時,設(shè)楊沖,李銳兩家的直線距離為xkm,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得5﹣3<x<5+3,即2<x<8,楊沖,李銳兩家的直線距離可能為2km,8km,3km,故選:A.4.(2021?淮安)一個三角形的兩邊長分別是1和4,若第三邊的長為偶數(shù),則第三邊的長是.【答案】4【解答】解:設(shè)第三邊為a,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系知,4﹣1<a<4+1,即3<a<5,又∵第三邊的長是偶數(shù),∴a為4.故答案為:4.5.(2021?大慶)三個數(shù)3,1﹣a,1﹣2a在數(shù)軸上從左到右依次排列,且以這三個數(shù)為邊長能構(gòu)成三角形,則a的取值范圍為.【答案】﹣3<a<﹣2【解答】解:∵3,1﹣a,1﹣2a在數(shù)軸上從左到右依次排列,∴3<1﹣a<1﹣2a,∴a<﹣2,∵這三個數(shù)為邊長能構(gòu)成三角形,∴3+(1﹣a)>1﹣2a,∴a>﹣3,∴﹣3<a<﹣2,故答案為﹣3<a<﹣2.命題點2三角形的內(nèi)角和及內(nèi)外角關(guān)系6.(2022?東營)如圖,在⊙O中,弦AC∥半徑OB,∠BOC=40°,則∠AOC的度數(shù)為.【答案】100°【解答】解:∵AC∥半徑OB,∴∠OCA=∠BOC=40°,∵OA=OC,∴∠A=∠OCA=40°,∴∠AOC=180°﹣∠A﹣∠OCA=180°﹣40°﹣40°=100°.故答案為:100°.7.(2022?哈爾濱)在△ABC中,AD為邊BC上的高,∠ABC=30°,∠CAD=20°,則∠BAC是度.【答案】80或40【解答】解:當(dāng)△ABC為銳角三角形時,如圖,∠BAD=180°﹣∠B﹣∠ADB=180°﹣30°﹣90°=60°,∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°;當(dāng)△ABC為鈍角三角形時,如圖,∠BAD=180°﹣∠B﹣∠ADB=180°﹣30°﹣90°=60°,∠BAC=∠BAD﹣∠CAD=60°﹣20°=40°.綜上所述,∠BAC=80°或40°.故答案為:80或40.8.(2022?北京)下面是證明三角形內(nèi)角和定理的兩種添加輔助線的方法,選擇其中一種,完成證明.三角形內(nèi)角和定理:三角形三個內(nèi)角的和等于180°.已知:如圖,△ABC,求證:∠A+∠B+∠C=180°.方法一證明:如圖,過點A作DE∥BC.方法二證明:如圖,過點C作CD∥AB.【解答】證明:方法一:∵DE∥BC,∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAE,∵∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°,∴∠B+∠BAC+∠C=180°;方法二:∵CD∥AB,∴∠A=∠ACD,∠B+∠BCD=180°,∴∠B+∠ACB+∠A=180°.9.(2021?河池)如圖,∠A=40°,∠CBD是△ABC的外角,∠CBD=120°,則∠C的大小是()A.90° B.80° C.60° D.40°【答案】B【解答】解:由三角形的外角性質(zhì)得,∠C=∠CBD﹣∠A=120°﹣40°=80°.故選:B.10.(2021?遼寧)一副三角板如圖所示擺放,若∠1=80°,則∠2的度數(shù)是()A.80° B.95° C.100° D.110°【答案】B【解答】解:如圖,∠5=90°﹣30°=60°,∠3=∠1﹣45°=35°,∴∠4=∠3=35°,∴∠2=∠4+∠5=95°,故選:B.11.(2021?河北)如圖是可調(diào)躺椅示意圖(數(shù)據(jù)如圖),AE與BD的交點為C,且∠A,∠B,∠E保持不變.為了舒適,需調(diào)整∠D的大小,使∠EFD=110°,則圖中∠D應(yīng)(填“增加”或“減少”)度.【答案】減少,10.【解答】解:延長EF,交CD于點G,如圖:∵∠ACB=180°﹣50°﹣60°=70°,∴∠ECD=∠ACB=70°.∵∠DGF=∠DCE+∠E,∴∠DGF=70°+30°=100°.∵∠EFD=110°,∠EFD=∠DGF+∠D,∴∠D=10°.而圖中∠D=20°,∴∠D應(yīng)減少10°.故答案為:減少,10.命題點3三角形的重要線段類型一與中點有關(guān)的問題 12.(2022?常州)如圖,在△ABC中,E是中線AD的中點.若△AEC的面積是1,則△ABD的面積是.【答案】2【解答】解:∵E是AD的中點,∴CE是△ACD的中線,∴S△ACD=2S△AEC,∵△AEC的面積是1,∴S△ACD=2S△AEC=2,∵AD是△ABC的中線,∴S△ABD=S△ACD=2.故答案為:2.類型二與角平分線有關(guān)的問題13.(2022?北京)如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB.若AC=2,DE=1,則S△ACD=.【答案】1【解答】解:過D點作DH⊥AC于H,如圖,∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DH⊥AC,∴DE=DH=1,∴S△ACD=×2×1=1.故答案為:1.14.(2022?黑龍江)在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,AC=6,BC=8,CD=.【答案】3【解答】解:如圖,過點D作DE⊥AB于E,∵∠C=90°,AC=6,BC=8,∴AB===10,∵AD平分∠CAB,∴CD=DE,∴S△ABC=AC?CD+AB?DE=AC?BC,即×6?CD+×10?CD=×6×8,解得CD=3.故答案為:3.15.(2022?鄂爾多斯)如圖,∠AOE=15°,OE平分∠AOB,DE∥OB交OA于點D,EC⊥OB,垂足為C.若EC=2,則OD的長為()A.2 B.2 C.4 D.4+2【答案】C【解答】解:過點E作EH⊥OA于點H,如圖所示:∵OE平分∠AOB,EC⊥OB,∴EH=EC,∵∠AOE=15°,OE平分∠AOB,∴∠AOC=2∠AOE=30°,∵DE∥OB,∴∠ADE=30°,∴DE=2HE=2EC,∵EC=2,∴DE=4,∵∠ADE=30°,∠AOE=15°,∴∠DEO=15°,∴∠AOE=∠DEO,∴OD=DE=4,故選:C類型三與高有關(guān)的問題16.(2022?玉林)請你量一量如圖△ABC中BC邊上的高的長度,下列最接近的是()A.0.5cm B.0.7cm C.1.5cm D.2cm【答案】D【解答】解:過點A作AD⊥BC于D,用刻度尺測量AD的長度,更接近2cm,故選:D.17.(2022?杭州)如圖,CD⊥AB于點D,已知∠ABC是鈍角,則()A.線段CD是△ABC的AC邊上的高線 B.線段CD是△ABC的AB邊上的高線 C.線段AD是△ABC的BC邊上的高線 D.線段AD是△ABC的AC邊上的高線【答案】B【解答】解:A、線段CD是△ABC的AB邊上的高線,故本選項說法錯誤,不符合題意;B、線段CD是△ABC的AB邊上的高線,本選項說法正確,符合題意;C、線段AD不是△ABC的BC邊上高線,故本選項說法錯誤,不符合題意;D、線段AD不是△ABC的AC邊上高線,故本選項說法錯誤,不符合題意;故選:B.命題點4等腰三角形18.(2022?淮安)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分線交BC于點D,E為AC的中點,若AB=10,則DE的長是()A.8 B.6 C.5 D.4【答案】C【解答】解:∵AB=AC=10,AD平分∠BAC,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∵E為AC的中點,∴DE=AC=5,故選:C.19.(2022?鞍山)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=24°,延長BC到點D,使CD=AC,連接AD,則∠D的度數(shù)為()A.39° B.40° C.49° D.51°【答案】A【解答】解:∵AB=AC,∠BAC=24°,∴∠B=∠ACB=78°.∵CD=AC,∠ACB=78°,∠ACB=∠D+∠CAD,∴∠D=∠CAD=∠ACB=39°.故選:A.20.(2022?宿遷)若等腰三角形的兩邊長分別是3cm和5cm,則這個等腰三角形的周長是()A.8cm B.13cm C.8cm或13cm D.11cm或13cm【答案】D【解答】解:當(dāng)3cm是腰長時,3,3,5能組成三角形,當(dāng)5cm是腰長時,5,5,3能夠組成三角形.則三角形的周長為11cm或13cm.故選:D.21.(2022?天津)如圖,△OAB的頂點O(0,0),頂點A,B分別在第一、四象限,且AB⊥x軸,若AB=6,OA=OB=5,則點A的坐標(biāo)是()A.(5,4) B.(3,4) C.(5,3) D.(4,3)【答案】D【解答】解:設(shè)AB與x軸交于點C,∵OA=OB,OC⊥AB,AB=6,∴AC=AB=3,由勾股定理得:OC===4,∴點A的坐標(biāo)為(4,3),故選:D.22.(2022?自貢)等腰三角形頂角度數(shù)比一個底角度數(shù)的2倍多20°,則這個底角的度數(shù)是()A.30° B.40° C.50° D.60°【答案】B【解答】解:設(shè)底角的度數(shù)是x°,則頂角的度數(shù)為(2x+20)°,根據(jù)題意得:x+x+2x+20=180,解得:x=40,故選:B.23.(2022?廣安)若(a﹣3)2+=0,則以a、b為邊長的等腰三角形的周長為.【答案】11或13【解答】解:∵(a﹣3)2+=0,(a﹣3)2≥0,≥0,∴a﹣3=0,b﹣5=0,∴a=3,b=5,設(shè)三角形的第三邊為c,當(dāng)a=c=3時,三角形的周長=a+b+c=3+5+3=11,當(dāng)b=c=5時,三角形的周長=3+5+5=13,故答案為:11或13.24.(2022?蘇州)定義:一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍,這樣的三角形叫做“倍長三角形”.若等腰△ABC是“倍長三角形”,底邊BC的長為3,則腰AB的長為.【答案】6【解答】解:∵等腰△ABC是“倍長三角形”,∴AB=2BC或BC=2AB,若AB=2BC=6,則△ABC三邊分別是6,6,3,符合題意,∴腰AB的長為6;若BC=3=2AB,則AB=1.5,△ABC三邊分別是1.5,1.5,3,∵1.5+1.5=3,∴此時不能構(gòu)成三角形,這種情況不存在;綜上所述,腰AB的長是6,故答案為:6.25.(2022?濱州)如圖,屋頂鋼架外框是等腰三角形,其中AB=AC,立柱AD⊥BC,且頂角∠BAC=120°,則∠C的大小為.【答案】30°【解答】解:∵AB=AC且∠BAC=120°,∴∠B=∠C=(180°﹣∠BAC)=×60°=30°.故答案為:30°.26.(2022?溫州)如圖,BD是△ABC的角平分線,DE∥BC,交AB于點E.(1)求證:∠EBD=∠EDB.(2)當(dāng)AB=AC時,請判斷CD與ED的大小關(guān)系,并說明理由.【解答】(1)證明:∵BD是△ABC的角平分線,∴∠CBD=∠EBD,∵DE∥BC,∴∠CBD=∠EDB,∴∠EBD=∠EDB.(2)解:CD=ED,理由如下:∵AB=AC,∴∠C=∠ABC,∵DE∥BC,∴∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC,∴∠ADE=∠AED,∴AD=AE,∴CD=BE,由(1)得,∠EBD=∠EDB,∴BE=DE,∴CD=ED.命題點5等邊三角形27.(2022?綿陽)下列關(guān)于等邊三角形的描述不正確的是()A.是軸對稱圖形 B.對稱軸的交點是其重心 C.是中心對稱圖形 D.繞重心順時針旋轉(zhuǎn)120°能與自身重合【答案】C【解答】解:等邊三角形是軸對稱圖形,每條邊的高線所在的直線是其對稱軸,故A選項不符合題意;三條高線的交點為等邊三角形的重心,∴對稱軸的交點是其重心,故B選項不符合題意;等邊三角形不是中心對稱圖形,故C選項符合題意;等邊三角形繞重心順時針旋轉(zhuǎn)120°能與自身重合,故D選項不符合題意,故選:C.28.(2022?鞍山)如圖,直線a∥b,等邊三角形ABC的頂點C在直線b上,∠2=40°,則∠1的度數(shù)為()A.80° B.70° C.60° D.50°【答案】A【解答】解:∵△ABC為等邊三角形,∴∠A=60°,∵∠A+∠3+∠2=180°,∴∠3=180°﹣40°﹣60°=80°,∵a∥b,∴∠1=∠3=80°.故選:A.29.(2022?張家界)如圖,點O是等邊三角形ABC內(nèi)一點,OA=2,OB=1,OC=,則△AOB與△BOC的面積之和為()A. B. C. D.【答案】C【解答】解:將△AOB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得△CDB,連接OD,∴OB=BD,∠OBD=60°,CD=OA=2,∴△BOD是等邊三角形,∴OD=OB=1,∵OD2+OC2=12+()2=4,CD2=22=4,∴OD2+OC2=CD2,∴∠DOC=90°,∴△AOB與△BOC的面積之和為S△BOC+S△BCD=S△BOD+S△COD=×12+=,故選:C.30.(2022?鄂州)如圖,在邊長為6的等邊△ABC中,D、E分別為邊BC、AC上的點,AD與BE相交于點P,若BD=CE=2,則△ABP的周長為.【答案】【解答】解:∵△ABC是等邊三角形,∴AB=BC,∠ABD=∠C=60°,在△ABD和△BCE中,∴△ABD≌△BCE(SAS),∴∠BAD=∠CBE,∴∠APE=∠ABP+∠BAD=∠ABP+∠CBE=∠ABD=60°,∴∠APB=120°,在CB上取一點F使CF=CE=2,則BF=BC﹣CF=4,∴∠C=60°,∴△CEF是等邊三角形,∴∠BFE=120°,即∠APB=∠BFE,∴△APB∽△BFE,∴==2,設(shè)BP=x,則AP=2x,作BH⊥AD延長線于H,∵∠BPD=∠APE=60°,∴∠PBH=30°,∴PH=,BH=,∴AH=AP+PH=2x+=x,在Rt△ABH中,AH2+BH2=AB2,即(x)2+(x)2=62,解得x=或﹣(舍去),∴AP=,BP=,∴△ABP的周長為AB+AP+BP=6++=6+=,故答案為:.命題點6直角三角形類型一勾股定理及其應(yīng)用31.(2022?攀枝花)如圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(ICME)的會徽,在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形,恰好能夠組合得到如圖2所示的四邊形OABC.若OC=,BC=1,∠AOB=30°,則OA的值為()A. B. C. D.1【答案】A【解答】解:∵∠OBC=90°,OC=,BC=1,∴OB===2,∵∠A=90°,∠AOB=30°,∴AB=OB=1,∴OA===,故選:A.32.(2022?荊門)如圖,一座金字塔被發(fā)現(xiàn)時,頂部已經(jīng)蕩然無存,但底部未曾受損.已知該金字塔的下底面是一個邊長為120m的正方形,且每一個側(cè)面與地面成60°角,則金字塔原來高度為()A.120m B.60m C.60m D.120m【答案】B【解答】解:如圖,∵底部是邊長為120m的正方形,∴BC=×120=60m,∵AC⊥BC,∠ABC=60°,∴∠BAC=30°,∴AB=2BC=120m,∴AC==m.故選:B.33.(2022?百色)活動探究:我們知道,已知兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.如已知△ABC中,∠A=30°,AC=3,∠A所對的邊為,滿足已知條件的三角形有兩個(我們發(fā)現(xiàn)其中如圖的△ABC是一個直角三角形),則滿足已知條件的三角形的第三邊長為()A.2 B.2﹣3 C.2或 D.2或2﹣3【答案】C【解答】解:如圖,CD=CB,作CH⊥AB于H,∴DH=BH,∵∠A=30°,∴CH=AC=,AH=CH=,在Rt△CBH中,由勾股定理得BH==,∴AB=AH+BH==2,AD=AH﹣DH==,故選:C.34.(2022?廣元)如圖,在△ABC中,BC=6,AC=8,∠C=90°,以點B為圓心,BC長為半徑畫弧,與AB交于點D,再分別以A、D為圓心,大于AD的長為半徑畫弧,兩弧交于點M、N,作直線MN,分別交AC、AB于點E、F,則AE的長度為()A. B.3 C.2 D.【答案】A【解答】解:在Rt△ABC中,BC=6,AC=8,∴AB===10,∵BD=CB=6,∴AD=AB﹣BC=4,由作圖可知EF垂直平分線段AD,∴AF=DF=2,∵∠A=∠A,∠AFE=∠ACB=90°,∴△AFE∽△ACB,∴=,∴=,∴AE=,故選:A.35.(2022?南充)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線交BC于點D,DE∥AB,交AC于點E,DF⊥AB于點F,DE=5,DF=3,則下列結(jié)論錯誤的是()A.BF=1 B.DC=3 C.AE=5 D.AC=9【答案】A【解答】解:∵AD平分∠BAC,∠C=90°,DF⊥AB,∴∠1=∠2,DC=FD,∠C=∠DFB=90°,∵DE∥AB,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴AE=DE,∵DE=5,DF=3,∴AE=5,CD=3,故選項B、C正確;∴CE==4,∴AC=AE+EC=5+4=9,故選項D正確;∵DE∥AB,∠DFB=90°,∴∠EDF=∠DFB=90°,∴∠CDE+∠FDB=90°,∵∠CDE+∠DEC=90°,∴∠DEC=∠FDB,∵tan∠DEC=,tan∠FDB=,∴,解得BF=,故選項A錯誤;故選:A.36.(2022?湖北)勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》:“勾廣三,股修四,徑隅五”.觀察下列勾股數(shù):3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,這類勾股數(shù)的特點是:勾為奇數(shù),弦與股相差為1.柏拉圖研究了勾為偶數(shù),弦與股相差為2的一類勾股數(shù),如:6,8,10;8,15,17;…,若此類勾股數(shù)的勾為2m(m≥3,m為正整數(shù)),則其弦是(結(jié)果用含m的式子表示).【答案】m2+1【解答】解:∵m為正整數(shù),∴2m為偶數(shù),設(shè)其股是a,則弦為a+2,根據(jù)勾股定理得,(2m)2+a2=(a+2)2,解得a=m2﹣1,∴弦是a+2=m2﹣1+2=m2+1,故答案為:m2+1.37.(2022?常州)如圖,將一個邊長為20cm的正方形活動框架(邊框粗細忽略不計)扭動成四邊形ABCD,對角線是兩根橡皮筋,其拉伸長度達到36cm時才會斷裂.若∠BAD=60°,則橡皮筋A(yù)C斷裂(填“會”或“不會”,參考數(shù)據(jù):≈1.732).【答案】不會【解答】解:設(shè)AC與BD相交于點O,∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AC=2AO,OD=BD,AD=AB=20cm,∵∠BAD=60°,∴△ABD是等邊三角形,∴BD=AB=20cm,∴DO=BD=10(cm),在Rt△ADO中,AO===10(cm),∴AC=2AO=20≈34.64(cm),∵34.64cm<36cm,∴橡皮筋A(yù)C不會斷裂,故答案為:不會.38.(2022?常州)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12.在Rt△DEF中,∠F=90°,DF=3,EF=4.用一條始終繃直的彈性染色線連接CF,Rt△DEF從起始位置(點D與點B重合)平移至終止位置(點E與點A重合),且斜邊DE始終在線段AB上,則Rt△ABC的外部被染色的區(qū)域面積是.【答案】21【解答】解:如圖,連接CF交AB于點M,連接CF′交AB于點N,過點F作FG⊥AB于點H,過點F′作F′H⊥AB于點H,連接FF′,則四邊形FGHF′是矩形,Rt△ABC的外部被染色的區(qū)域是梯形MFF′N.在Rt△DEF中,DF=3,EF=4,∴DE===5,在Rt△ABC中,AC=9,BC=12,∴AB===15,∵?DF?EF=?DE?GF,∴FG=,∴BG===,∴GE=BE﹣BG=,AH=GE=,∴F′H=FG=,∴FF′=GH=AB﹣BG﹣AH=15﹣5=10,∵BF∥AC,∴==,∴BM=AB=,同法可證AN=AB=,∴MN=15﹣﹣=,∴Rt△ABC的外部被染色的區(qū)域的面積=×(10+)×=21,故答案為:21.39.(2022?泰州)如圖所示的象棋盤中,各個小正方形的邊長均為1.“馬”從圖中的位置出發(fā),不走重復(fù)路線,按照“馬走日”的規(guī)則,走兩步后的落點與出發(fā)點間的最短距離為.【答案】【解答】解:如圖,第一步到①,第二步到②,故走兩步后的落點與出發(fā)點間的最短距離為=,故答案為:40.(2022?金華)如圖,圓柱的底面直徑為AB,高為AC,一只螞蟻在C處,沿圓柱的側(cè)面爬到B處,現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿AC“剪開”,在側(cè)面展開圖上畫出螞蟻爬行的最近路線,正確的是()A. B. C. D.【答案】C【解答】解:將圓柱側(cè)面沿AC“剪開”,側(cè)面展開圖為矩形,∵圓柱的底面直徑為AB,∴點B是展開圖的一邊的中點,∵螞蟻爬行的最近路線為線段,∴C選項符合題意,故選:C類型二直角三角形的性質(zhì)及計算41.(2022?賀州)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=56°,則∠A的度數(shù)為()A.34° B.44° C.124° D.134°【答案】A【解答】解:在Rt△ABC中,∠C=90°,則∠B+∠A=90°,∵∠B=56°,∴∠A=90°﹣56°=34°,故選:A.42.(2022?紹興)如圖,把一塊三角板ABC的直角頂點B放在直線EF上,∠C=30°,AC∥EF,則∠1=()A.30° B.45° C.60° D.75°【答案】C【解答】解:∵AC∥EF,∠C=30°,∴∠C=∠CBF=30°,∵∠ABC=90°,∴∠1=180°﹣∠ABC﹣∠CBF=180°﹣90°﹣30°=60°,故選:C.43.(2022?永州)如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=60°,點D為邊AC的中點,BD=2,則BC的長為()A. B.2 C.2 D.4【答案】C【解答】解:在Rt△ABC中,∠ABC=90°,點D為邊AC的中點,BD=2,∴AC=2BD=4,∵∠C=60°,∴∠A=30°,∴BC=AC=2,故選:C.44.(2022?荊州)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,通過尺規(guī)作圖得到的直線MN分別交AB,AC于D,E,連接CD.若CE=AE=1,則CD=.【答案】【解答】解:如圖,連接BE,∵CE=AE=1,∴AE=3,AC=4,而根據(jù)作圖可知MN為AB的垂直平分線,∴AE=BE=3,在Rt△ECB中,BC==2,∴AB==2,∵CD為直角三角形ABC斜邊上的中線,∴CD=AB=.故答案為:.45.(2022?杭州)如圖,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,點M為邊AB的中點,點E在線段AM上,EF⊥AC于點F,連接CM,CE.已知∠A=50°,∠ACE=30°.(1)求證:CE=CM.(2)若AB=4,求線段FC的長.【解答】(1)證明:∵∠ACB=90°,點M為邊AB的中點,∴MC=MA=MB,∴∠MCA

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