專(zhuān)題03解題技巧專(zhuān)題：二次根式中有關(guān)運(yùn)算問(wèn)題(原卷版+解析)(重點(diǎn)突圍)

專(zhuān)題03解題技巧專(zhuān)題：二次根式中有關(guān)運(yùn)算問(wèn)題【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一利用二次根式的非負(fù)性求值】 1【考點(diǎn)二整體代入求值】 5【考點(diǎn)三新定義型二次根式的運(yùn)算】 8【考點(diǎn)四二次根式的分母有理化】 11【考點(diǎn)五復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)】 15【考點(diǎn)六二次根式中的規(guī)律探究問(wèn)題】 19【典型例題】【考點(diǎn)一利用二次根式的非負(fù)性求值】例題：（2022·海南省直轄縣級(jí)單位·七年級(jí)期中）已知，則的值是（

）A．2022 B．1 C．－1 D．0【變式訓(xùn)練】1．（2022·江西省于都中學(xué)八年級(jí)期中）已知a，b滿足+（b+3）2＝0，則（a+b）2022的值為_(kāi)____．2．（2022·福建省福州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期中）已知x、y都是實(shí)數(shù)，且，則xy=______________．3．（2021·四川成都·八年級(jí)期中）已知實(shí)數(shù)滿足，則的值為_(kāi)______．4．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足(a﹣2)2+|2b+6|+＝0．(1)求實(shí)數(shù)a，b，c的值；(2)求的平方根．【考點(diǎn)二整體代入求值】例題：（2022·湖北黃岡·八年級(jí)期末）已知a＝，b＝，求a2+ab+b2的值．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·福建漳州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，完成以下兩題：(1)化簡(jiǎn)(2)求代數(shù)式的值．2．（2022秋·江西贛州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，，求下列代數(shù)式的值：(1)；(2)3．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）已知，求下列代數(shù)式的值：(1)(2)【考點(diǎn)三新定義型二次根式的運(yùn)算】例題：（2022·江西新余·七年級(jí)期末）規(guī)定運(yùn)算：，其中a、b為實(shí)數(shù)，則______．【變式訓(xùn)練】1．（2022·四川廣安·七年級(jí)期末）對(duì)任意的正數(shù)，，定義運(yùn)算“*”如下：計(jì)算的結(jié)果為_(kāi)_____．2．（2022·江蘇·八年級(jí)）對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)、，定義運(yùn)算“※”如下：※，如3※，那么6※__．3．（2022·廣東廣州·八年級(jí)期末）已知a，b都是實(shí)數(shù)，現(xiàn)定義新運(yùn)算：，例：．(1)求的值；(2)若，，求的值．4．（2022春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谀┯枚x一種新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)和，規(guī)定．(1)求的值．(2)_____________．5．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)實(shí)數(shù)a，b，定義：，如：．(1)求的值；(2)若，試化簡(jiǎn)：．6．（2022春·湖南·八年級(jí)期末）對(duì)于任意兩個(gè)不相等的數(shù)a，b，定義一種新運(yùn)算“◎”如下：，如．(1)填空：___________．(2)若，求x的值．【考點(diǎn)四二次根式的分母有理化】例題：（2022·江蘇南京·八年級(jí)期末）像、、…兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱(chēng)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．例如，和、與、與等都是互為有理化因式．在進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí)，利用有理化因式，可以化去分母中的根號(hào)．請(qǐng)完成下列問(wèn)題：(1)計(jì)算：①______，②______；(2)計(jì)算：；(3)已知有理數(shù)、滿足，則______，______．【變式訓(xùn)練】1．（2021·江西景德鎮(zhèn)·八年級(jí)期中）觀察下列一組式的變形過(guò)程，然后回答問(wèn)題：例1：，例2：，，，(1)______；______．(2)請(qǐng)你用含n（n為正整數(shù)）的關(guān)系式表示上述各式子的變形規(guī)律．(3)利用上面的結(jié)論，求下列式子的值．2．（2022秋·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下面問(wèn)題：…(1)________（n為正整數(shù)）．(2)________．(3)求的值．3．（2022春·福建莆田·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下列解題過(guò)程：；；；……解答下列各題：(1)______；(2)觀察上面的解題過(guò)程，請(qǐng)計(jì)算.(3)利用這一規(guī)律計(jì)算：.【考點(diǎn)五復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)】例題：（2022·貴州銅仁·八年級(jí)期末）先閱讀下列材料，再解決問(wèn)題：閱讀材料：數(shù)學(xué)上有一種根號(hào)內(nèi)又帶根號(hào)的數(shù)，它們能通過(guò)完全平方公式及一次根式的性質(zhì)化去一層根號(hào)．例如：．解決問(wèn)題：化簡(jiǎn)下列各式(1)；(2)．【變式訓(xùn)練】1．（2020·江西景德鎮(zhèn)·八年級(jí)期中）（1）填空：______；______；（2）例題：化簡(jiǎn)解：因?yàn)樗苑抡丈侠姆椒?，化?jiǎn)下列各式：①

②2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）我們已知學(xué)過(guò)完全平方公式，知道所有的非負(fù)數(shù)都可以看作一個(gè)數(shù)的平方，如等，那么，我們可以利用這種思想方法和完全平方公式來(lái)計(jì)算下面的題：例：求的算術(shù)平方根．解：=，所以的算術(shù)平方根是．你看明白了嗎？請(qǐng)根據(jù)上面的方法解答下列問(wèn)題：(1)填空：=；=；(2)化簡(jiǎn)：++++．【考點(diǎn)六二次根式中的規(guī)律探究問(wèn)題】例題：（2022·內(nèi)蒙古·呼和浩特市回民區(qū)教育局教科研室八年級(jí)期中）觀察下列各式及其驗(yàn)證過(guò)程：，，，…驗(yàn)證：；(1)請(qǐng)仿照上面的方法來(lái)驗(yàn)證；(2)根據(jù)上面反映的規(guī)律，請(qǐng)將猜到的規(guī)律用含自然數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)．并寫(xiě)出過(guò)程．【變式訓(xùn)練】1．（2022·河北承德·八年級(jí)期末）觀察下列各式及其驗(yàn)證過(guò)程：，驗(yàn)證：；，驗(yàn)證：；(1)按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過(guò)程的基本思路，猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證；(2)針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，寫(xiě)出用n（n為大于1的整數(shù)）表示的等式并給予驗(yàn)證．2．（2022·安徽合肥·八年級(jí)期中）觀察下列各式及驗(yàn)證過(guò)程：＝，驗(yàn)證＝＝＝；＝，驗(yàn)證＝＝＝；＝，驗(yàn)證＝＝＝…(1)按照上述三個(gè)等式及其驗(yàn)證過(guò)程中的基本思想，猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證．(2)針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，寫(xiě)出用n（n為自然數(shù)，且n≥1）表示的等式，不需要證明．3．（2022春·北京昌平·八年級(jí)統(tǒng)考期中）小石根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗(yàn)，想通過(guò)“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運(yùn)算規(guī)律．下面是小石的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：(1)具體運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：，特例5：____________（填寫(xiě)運(yùn)算結(jié)果）；(2)觀察、歸納，得出猜想．如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運(yùn)算規(guī)律為：____________；(3)證明你的猜想．(4)應(yīng)用運(yùn)算規(guī)律：①化簡(jiǎn)：____________；②若（a，b均為正整數(shù)），則的值為_(kāi)___________．4．（2022秋·安徽滁州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）觀察下列等式，解答后面的問(wèn)題：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；……(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出第5個(gè)等式___________；(2)根據(jù)上述規(guī)律猜想：若n為正整數(shù)，請(qǐng)用含n的式子表示第n個(gè)等式，并給予證明；(3)利用（2）的結(jié)論化簡(jiǎn)：．專(zhuān)題03解題技巧專(zhuān)題：二次根式中有關(guān)運(yùn)算問(wèn)題【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一利用二次根式的非負(fù)性求值】 1【考點(diǎn)二整體代入求值】 5【考點(diǎn)三新定義型二次根式的運(yùn)算】 8【考點(diǎn)四二次根式的分母有理化】 11【考點(diǎn)五復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)】 15【考點(diǎn)六二次根式中的規(guī)律探究問(wèn)題】 19【典型例題】【考點(diǎn)一利用二次根式的非負(fù)性求值】例題：（2022·海南省直轄縣級(jí)單位·七年級(jí)期中）已知，則的值是（

）A．2022 B．1 C．－1 D．0【答案】B【解析】【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性即可求得的值，進(jìn)而求得的值，代入代數(shù)式即可求解．【詳解】解：∵，則，∴，，，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性，掌握算術(shù)平方根的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·江西省于都中學(xué)八年級(jí)期中）已知a，b滿足+（b+3）2＝0，則（a+b）2022的值為_(kāi)____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵+（b+3）2＝0，而，（b+3）2≥0，∴a﹣2＝0，b+3＝0，解得a＝2，b＝﹣3，所以，（a+b）2022＝（2﹣3）2022＝1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0．2．（2022·福建省福州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期中）已知x、y都是實(shí)數(shù)，且，則xy=______________．【答案】6【解析】【分析】利用算術(shù)平方根的非負(fù)性求出x值，再代入求出y值，即可求解．【詳解】解：，，，，，將代入，得：，．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性，代數(shù)式的求值，熟練掌握并靈活運(yùn)用算術(shù)平方根的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．3．（2021·四川成都·八年級(jí)期中）已知實(shí)數(shù)滿足，則的值為_(kāi)______．【答案】16【解析】【分析】先對(duì)進(jìn)行變形，然后根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性和平方的非負(fù)性，求出x、y的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵，∴，∴，解得：，∴．故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根和平方的非負(fù)性，熟練掌握幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0，是解題的關(guān)鍵．4．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足(a﹣2)2+|2b+6|+＝0．(1)求實(shí)數(shù)a，b，c的值；(2)求的平方根．【答案】(1)a＝2，b＝﹣3，c＝5(2)的平方根為±2【解析】【分析】（1）根據(jù)非負(fù)性可知，(a﹣2)2=0，|2b+6|=0，＝0，求出a，b，c的值；（2）由（1）得a＝2，b＝﹣3，c＝5，將a，b，c代入求解即可．(1)解：∵（a﹣2）2+|2b+6|+＝0，∴(a﹣2)2=0，|2b+6|=0，，∴a﹣2＝0，2b+6＝0，5﹣c＝0，解得a＝2，b＝﹣3，c＝5；(2)解：由（1）知a＝2，b＝﹣3，c＝5，則＝＝4，而，故的平方根為±2．【點(diǎn)睛】本題考查了平方的非負(fù)性，絕對(duì)值的非負(fù)性以及算術(shù)平方根的非負(fù)性，以及求一個(gè)數(shù)的平方根，熟練地運(yùn)用以上知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二整體代入求值】例題：（2022·湖北黃岡·八年級(jí)期末）已知a＝，b＝，求a2+ab+b2的值．【答案】15【解析】【分析】根據(jù)已知式子，根據(jù)分母有理化求得的值，進(jìn)而求得代入代數(shù)式即可求解．【詳解】解：∵原式【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算及整式乘法運(yùn)算，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·福建漳州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，完成以下兩題：(1)化簡(jiǎn)(2)求代數(shù)式的值．【答案】(1)(2)5【分析】（1）分母有理化即可化簡(jiǎn)二次根式；（2）先求出，的值，運(yùn)用整體代入解題．【詳解】（1）；（2）原式．【點(diǎn)睛】本題考查求代數(shù)式的值，二次根式的化簡(jiǎn)，整體代入簡(jiǎn)化過(guò)程是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·江西贛州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知，，求下列代數(shù)式的值：(1)；(2)【答案】(1)16(2)14【分析】（1）利用完全平方公式分解因式，再代入進(jìn)行計(jì)算即可得；（2）先求出的值，再結(jié)合（1）的結(jié)果求出的值，由此即可得．（1）解：，，．（2）解：，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了乘法公式、因式分解、二次根式的乘法與加法，熟練掌握各運(yùn)算法則和公式是解題關(guān)鍵．3．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）已知，求下列代數(shù)式的值：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先化簡(jiǎn)、的值，再求出，，將變形為，再將，代入計(jì)算即可；（2）將變形為，再將，代入計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，，∴．（2）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)及混合運(yùn)算，根據(jù)已知求出，和對(duì)所求式子的變形是解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三新定義型二次根式的運(yùn)算】例題：（2022·江西新余·七年級(jí)期末）規(guī)定運(yùn)算：，其中a、b為實(shí)數(shù)，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)規(guī)定進(jìn)行計(jì)算，即可求得結(jié)果．【詳解】解：，=-4故答案為：-4．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，理解和運(yùn)用新規(guī)定運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·四川廣安·七年級(jí)期末）對(duì)任意的正數(shù)，，定義運(yùn)算“*”如下：計(jì)算的結(jié)果為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)新定義，將所給數(shù)值代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴==故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是讀懂新定義的運(yùn)算法則．2．（2022·江蘇·八年級(jí)）對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)、，定義運(yùn)算“※”如下：※，如3※，那么6※__．【答案】【解析】【分析】按新定義的運(yùn)算規(guī)定化簡(jiǎn)求值．【詳解】解：6※．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握、理解新定義的規(guī)定是解決本題的關(guān)鍵．3．（2022·廣東廣州·八年級(jí)期末）已知a，b都是實(shí)數(shù)，現(xiàn)定義新運(yùn)算：，例：．(1)求的值；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)定義新運(yùn)算：a*b＝3a﹣b2，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）根據(jù)定義新運(yùn)算：a*b＝3a﹣b2，得到，代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可解答．(1)解：∵，∴(2)解：∵，，∴＝【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，平方差公式，理解定義新運(yùn)算a*b＝3a﹣b2是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谀┯枚x一種新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)和，規(guī)定．(1)求的值．(2)_____________．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)新運(yùn)算計(jì)算即可（2）根據(jù)新運(yùn)算先計(jì)算，然后將和計(jì)算的結(jié)果再次用新運(yùn)算計(jì)算即可【詳解】（1）∵，∴（2）∵，∴，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算和實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是根據(jù)新定義按照運(yùn)算規(guī)則計(jì)算5．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)實(shí)數(shù)a，b，定義：，如：．(1)求的值；(2)若，試化簡(jiǎn)：．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接根據(jù)新定義運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)求得m的取值范圍，進(jìn)而化簡(jiǎn)二次根式計(jì)算即可．（1）解：原式；（2）解：∵，∴，解得∴原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義運(yùn)算及二次根式的計(jì)算，正確理解新定義是解題的關(guān)鍵．6．（2022春·湖南·八年級(jí)期末）對(duì)于任意兩個(gè)不相等的數(shù)a，b，定義一種新運(yùn)算“◎”如下：，如．(1)填空：___________．(2)若，求x的值．【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算，即可求得結(jié)果；(2)首先根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算，可求得，再解方程即可求解．【詳解】（1）解：，故答案為：3；（2）解：，，．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算及解一元一次方程，分母有理化，理解新定義運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四二次根式的分母有理化】例題：（2022·江蘇南京·八年級(jí)期末）像、、…兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱(chēng)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．例如，和、與、與等都是互為有理化因式．在進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí)，利用有理化因式，可以化去分母中的根號(hào)．請(qǐng)完成下列問(wèn)題：(1)計(jì)算：①______，②______；(2)計(jì)算：；(3)已知有理數(shù)、滿足，則______，______．【答案】(1)，；(2)1(3)-1，1【解析】【分析】（1）①分子、分母都乘以即可；②分子、分母都乘以；（2）第一項(xiàng)分子、分母都乘以，第二項(xiàng)分子、分母都乘以，再計(jì)算即可；（3）將等式左邊分母有理化，得到，根據(jù)a、b都是有理數(shù)，得到2a+b=-1，b-a=2，即可求出a=-1，b=1．(1)解：①，故答案為：；②，故答案為：；(2)===1；(3)∵，∴，∴，∴，∵a、b都是有理數(shù)，∴2a+b=-1，b-a=2，解得a=-1，b=1，故答案為：-1，1．【點(diǎn)睛】此題考查了分母有理化計(jì)算，正確掌握各式子的有理化因式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·江西景德鎮(zhèn)·八年級(jí)期中）觀察下列一組式的變形過(guò)程，然后回答問(wèn)題：例1：，例2：，，，(1)______；______．(2)請(qǐng)你用含n（n為正整數(shù)）的關(guān)系式表示上述各式子的變形規(guī)律．(3)利用上面的結(jié)論，求下列式子的值．【答案】(1)；(2)為正整數(shù)）(3)【解析】【分析】（1）利用分母有理化求解；（2）按照所給等式的變化規(guī)律寫(xiě)出第個(gè)等式即可；（3）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式計(jì)算．(1)解：（1）；；故答案為；；(2)解：為正整數(shù)）；(3)解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．2．（2022秋·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下面問(wèn)題：…(1)________（n為正整數(shù)）．(2)________．(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)2021【分析】（1）利用平方差公式將原式的分子、分母同時(shí)乘以，再進(jìn)一步計(jì)算即可；（2）利用平方差公式將原式的分子、分母同時(shí)乘以，再進(jìn)一步計(jì)算即可；（3）原式變形為，再進(jìn)一步計(jì)算即可．【詳解】（1）；故答案為：；（2），故答案為：；（3）解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握分母有理化的基本方法．3．（2022春·福建莆田·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下列解題過(guò)程：；；；……解答下列各題：(1)______；(2)觀察上面的解題過(guò)程，請(qǐng)計(jì)算.(3)利用這一規(guī)律計(jì)算：.【答案】(1)(2)(3)2021【分析】（1）分子分母同時(shí)乘以有理化因式即可求解；（2）分子分母同時(shí)乘以有理化因式即可求解；（3）根據(jù)（2）的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：；故答案為：；（2）解：；（3）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，分母有理化，平方差公式，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)】例題：（2022·貴州銅仁·八年級(jí)期末）先閱讀下列材料，再解決問(wèn)題：閱讀材料：數(shù)學(xué)上有一種根號(hào)內(nèi)又帶根號(hào)的數(shù)，它們能通過(guò)完全平方公式及一次根式的性質(zhì)化去一層根號(hào)．例如：．解決問(wèn)題：化簡(jiǎn)下列各式(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）將根號(hào)里面的7拆分成4和3，4寫(xiě)成2的平方，3寫(xiě)成的平方，進(jìn)而逆用完全平方和公式，最后將算式整體開(kāi)方；（2）將根號(hào)里面的9拆分成4和5，4寫(xiě)成2的平方，5寫(xiě)成的平方，進(jìn)而逆用完全平方差公式，最后將算式整體開(kāi)方．(1)解：(2)解：【點(diǎn)睛】本題考查乘法公式的逆用，能夠快速的尋找，歸納，總結(jié)，并應(yīng)用規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2020·江西景德鎮(zhèn)·八年級(jí)期中）（1）填空：______；______；（2）例題：化簡(jiǎn)解：因?yàn)樗苑抡丈侠姆椒?，化?jiǎn)下列各式：①

②【答案】（1）；；（2）①；②【解析】【分析】（1）分別根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算，以及二次根式的性質(zhì)計(jì)算，即可求解；（2）①把原式化為，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，即可求解；②把原式化為，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，即可求解．【詳解】解：（1）；；故答案為：；（2）①；②【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，二次根式的性質(zhì)，完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算法則，二次根式的性質(zhì)，完全平方公式是解題的關(guān)鍵．2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）我們已知學(xué)過(guò)完全平方公式，知道所有的非負(fù)數(shù)都可以看作一個(gè)數(shù)的平方，如等，那么，我們可以利用這種思想方法和完全平方公式來(lái)計(jì)算下面的題：例：求的算術(shù)平方根．解：=，所以的算術(shù)平方根是．你看明白了嗎？請(qǐng)根據(jù)上面的方法解答下列問(wèn)題：(1)填空：=；=；(2)化簡(jiǎn)：++++．【答案】(1)；；(2)；【解析】【分析】（1）利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)，對(duì)根號(hào)下的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)配湊，湊完全平方式求解；（2）對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行配湊，使之成為完全平方式的結(jié)構(gòu)，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算．(1)解：；；(2)解：，，，，．．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六二次根式中的規(guī)律探究問(wèn)題】例題：（2022·內(nèi)蒙古·呼和浩特市回民區(qū)教育局教科研室八年級(jí)期中）觀察下列各式及其驗(yàn)證過(guò)程：，，，…驗(yàn)證：；(1)請(qǐng)仿照上面的方法來(lái)驗(yàn)證；(2)根據(jù)上面反映的規(guī)律，請(qǐng)將猜到的規(guī)律用含自然數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)．并寫(xiě)出過(guò)程．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，過(guò)程見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知計(jì)算過(guò)程求出即可；（2）求出一般式子都是，根據(jù)已知算式的計(jì)算過(guò)程求出即可．(1)解：驗(yàn)證：，故成立；(2)解：，．．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)的應(yīng)用，數(shù)字規(guī)律型，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力和閱讀能力，難度適中．【變式訓(xùn)練】1．（2022·河北承德·八年級(jí)期末）觀察下列各式及其驗(yàn)證過(guò)程：，驗(yàn)證：；，驗(yàn)證：；(1)按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過(guò)程的基本思路，猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證；(2)針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，寫(xiě)出用n（n為大于1的整數(shù)）表示的等式并給予驗(yàn)證．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件寫(xiě)出，再化簡(jiǎn)二次根式進(jìn)行驗(yàn)證即可；（2）根據(jù)已知條件總結(jié)規(guī)律，再化簡(jiǎn)進(jìn)行驗(yàn)證即可．(1)解：∵，，∴，驗(yàn)證：，正確．(2)解：，驗(yàn)證：，正確．【點(diǎn)睛】本題考查了找規(guī)律及二次根式的化簡(jiǎn)，掌握二次根式的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·安徽合肥·八年級(jí)期中）觀察下列各式及驗(yàn)證過(guò)程：＝，驗(yàn)證＝＝＝；＝，驗(yàn)證＝＝＝；＝，驗(yàn)證＝＝＝…(1)按照上述三個(gè)等式及其驗(yàn)證過(guò)程中的基本思想，猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證．(2)針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，寫(xiě)出用n（n為自然數(shù)，且n≥1）表示的等式，不需要證明．【答案】(1)＝，驗(yàn)證見(jiàn)解析(2)＝（n≥1的整數(shù)）【解析】【分析】（1）類(lèi)比題目所給的解題方法即可解答；（2）根據(jù)上述變形過(guò)程的規(guī)律，觀察根號(hào)外的和根號(hào)