數(shù)學(xué)-課堂探究：綜合法與分析法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一綜合法的應(yīng)用1．用綜合法證明問題的一般步驟：（1)分析條件，選擇方向．仔細(xì)分析題目的已知條件（包括隱含條件),分析已知與結(jié)論之間的聯(lián)系與區(qū)別，選擇相關(guān)的公理、定理、公式、結(jié)論，確定恰當(dāng)?shù)慕忸}方法．(2）轉(zhuǎn)化條件,組織過程．把題目的已知條件，轉(zhuǎn)化成解題所需要的語言，主要是文字、符號、圖形三種語言之間的轉(zhuǎn)化．組織過程時要有嚴(yán)密的邏輯,簡潔的語言，清晰的思路．（3)適當(dāng)調(diào)整,回顧反思．解題后回顧解題過程，可對部分步驟進行調(diào)整，并對一些語言進行適當(dāng)?shù)男揎?，反思總結(jié)解題方法的選取．2．用綜合法證明不等式時,要注意不等式性質(zhì)，均值不等式等的應(yīng)用，證明三角恒等式時要注意三角函數(shù)公式、正弦定理、余弦定理等的應(yīng)用．【典型例題1】已知a,b，c∈(0，＋∞）且a＋b＋c＝3，求證:a2＋b2＋c2≥3。思路分析:從已知和欲證的兩個式子間的關(guān)系入手可考慮先將已知式兩邊平方，然后再運用均值不等式證明．證明：因為a＋b＋c＝3，所以(a＋b＋c)2＝9,即a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca）＝9。又因為a，b，c∈(0，＋∞)，所以a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，于是2(ab＋bc＋ca)≤2（a2＋b2＋c2)，所以a2＋b2＋c2＋2（a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ca)＝9，故a2＋b2＋c2≥3?！镜湫屠}2】在△ABC中,A，B，C對應(yīng)的邊為a，b，c，證明：eq\f(a2－b2，c2)＝eq\f(sinA－B,sinC）。思路分析：考慮到要證明的等式中含有邊和角，可用正弦和余弦定理進行轉(zhuǎn)化，再結(jié)合相關(guān)的三角公式證明．證明：由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccosA，所以a2－b2＝c2－2bccosA，所以左邊＝eq\f（a2－b2,c2)＝eq\f（c2－2bccosA，c2）＝1－eq\f(2bcosA，c）。又由正弦定理知eq\f（b,c)＝eq\f(sinB,sinC），所以左邊＝1－2·eq\f（sinB,sinC）cosA＝eq\f(sinC－2sinBcosA,sinC）＝eq\f(sinA＋B－2sinBcosA,sinC)＝eq\f(sinAcosB＋cosAsinB－2sinBcosA,sinC)＝eq\f（sinAcosB－cosAsinB，sinC)＝eq\f（sinA－B,sinC)＝右邊,故原等式成立．探究二分析法的應(yīng)用1．從要證明的結(jié)論出發(fā)，探求使結(jié)論成立的充分條件，最后找到恰恰都是已證的命題（定義、公理、定理、法則、公式等)或要證命題的已知條件時，命題得證．這正是分析法證明問題的一般思路．2．一般地，含有根號、絕對值的等式或不等式，若從正面不易推導(dǎo)時，可以考慮用分析法．3．用分析法證明數(shù)學(xué)命題時，一定要恰當(dāng)?shù)赜煤梅赐品枴啊被颉耙C明”“只需證明”“即證明”等詞語．【典型例題3】已知函數(shù)f(x）＝x2＋3，若a＞b＞0,求證：eq\f(fa＋fb，2）＞feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（a＋b,2))）.思路分析：由于已知條件和欲證結(jié)論之間的關(guān)系不明確，考慮用分析法證明．證明:要證明eq\f(fa＋fb，2）＞feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（a＋b，2）））,即證eq\f（1,2）[(a2＋3）＋(b2＋3）］＞eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（a＋b,2)））2＋3，只需證a2＋b2＋6＞eq\f(a＋b2,2）＋6,只需證a2＋b2＞eq\f（a＋b2,2），因此只需證2a2＋2b2＞a2＋2ab＋b2即證a2＋b2＞2ab，只需證(a－b）2＞0，由于a＞b＞0，所以（a－b)2＞0顯然成立,故原不等式成立．【典型例題4】已知α，β≠kπ＋eq\f（π，2）（k∈Z）,且4sin2α－2sin2β＝1.求證：eq\f（1－tan2α,1＋tan2α）＝eq\f（1－tan2β，21＋tan2β)。思路分析：由于要證的等式較為復(fù)雜，而已知條件信息較少，所以可從要證的等式出發(fā)，利用分析法證明．證明:要證eq\f(1－tan2α，1＋tan2α）＝eq\f（1－tan2β，21＋tan2β)，只需證eq\f（1－\f（sin2α，cos2α),1＋\f（sin2α，cos2α）)＝eq\f（1－\f（sin2β,cos2β）,2\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f（sin2β，cos2β）))），只需證eq\f(cos2α－sin2α，cos2α＋sin2α）＝eq\f（1,2）·eq\f（cos2β－sin2β,cos2β＋sin2β)，只需證cos2α－sin2α＝eq\f(1，2）(cos2β－sin2β），只需證1－2sin2α＝eq\f（1,2）（1－2sin2β），即證4sin2α－2sin2β＝1.由于已知4sin2α－2sin2β＝1成立，所以原等式成立．探究三綜合法與分析法的綜合應(yīng)用1．有些數(shù)學(xué)問題的證明,需要把綜合法和分析法結(jié)合起來使用：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化條件,得到中間結(jié)論P.若由P可以推出Q成立，就可以證明結(jié)論成立,這種邊分析邊綜合的證明方法，稱為分析綜合法,或稱“兩頭湊法”．2．在證明過程中,分析法能夠發(fā)現(xiàn)證明的思路，綜合法表述證明過程則顯得簡潔，因此在實際解題時，常常把分析法和綜合法結(jié)合起來運用，先利用分析法尋求解題思路,再利用綜合法有條理地表述解答過程．【典型例題5】在某兩個正數(shù)x，y之間插入一個數(shù)a，使x,a,y成等差數(shù)列，插入兩數(shù)b，c，使x,b，c，y成等比數(shù)列，求證：(a＋1）2≥(b＋1）(c＋1）．思路分析:前半部分從已知出發(fā)采用綜合法得到a，b,c之間的關(guān)系式，后半部分用分析法反推，然后再與該關(guān)系式結(jié)合,找到使結(jié)論成立的充分條件即可．證明:由已知得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2a＝x＋y，,b2＝cx,,c2＝by，））∴x＝eq\f（b2，c)，y＝eq\f(c2，b）,即x＋y＝eq\f（b2,c)＋eq\f(c2，b)，從而2a＝eq\f（b2，c）＋eq\f(c2，b).要證（a＋1)2≥（b＋1）(c＋1），只需證a＋1≥eq\r（b＋1c＋1)，即證a＋1≥eq\f(b＋1＋c＋1，2)，也就是證2a≥b＋c.因為2a＝eq\f(b2,c）＋eq\f（c2,b），則只需證eq\f(b2,c）＋eq\f（c2，b)≥b＋c成立即可，即b3＋c3＝（b