專題3.2勾股定理的逆定理

《講亮點》20222023學年八年級數(shù)學上冊教材同步配套講練《蘇科版》專題3.2勾股定理的逆定理【教學目標】1、了解勾股定理的逆定理的證明方法和證明過程；2、掌握勾股定理的逆定理，并能判定一個三角形是否為直角三角形；3、會運用勾股定理的逆定理解決相關實際問題。【教學重難點】1、勾股定理的逆定理的證明和運用；2、勾股定理的逆定理的證明?！局R亮解】知識點：勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理：如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，且a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．勾股定理與其逆定理的區(qū)別與聯(lián)系：區(qū)別：勾股定理是以“一個三角形是直角三角形”為條件，進而得到這個三角形三邊的數(shù)量關系，即a2+b2=c2；勾股定理的逆定理是以“一個三角形的三邊滿足a2+b2=c2”為條件，進而得出這個三角形是直角三角形，是識別一個三角形是直角三角形的重要依據(jù)。聯(lián)系：（1）兩者都與三角形三邊關系a2+b2=c2有關；（2）兩者都與直角三角形有關。2.勾股數(shù)：滿足關系a2+b2=c2的三個正整數(shù)a，b，c，稱為勾股數(shù)。常見的勾股數(shù)有：（1）3，4,5；（2）6,8,10；（3）9，12,15；（4）5,12,13；（5）8,15,17；（6）7,24,25；亮題一：判斷直角三角形【方法點撥】如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.【例1】★在以線段，，的長三邊的三角形中，不能構成直角三角形的是A．，， B． C．，， D．，，【分析】知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．【答案】、，不能構成直角三角形，故本選項符合題意；、設三角形三邊為，，，，能構成直角三角形，故本選項不符合題意；、，能構成直角三角形，故本選項不符合題意；、，能構成直角三角形，故本選項不符合題意；故選：．【例2】★如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC，若小方格邊長為1，則△ABC的形狀為（）A．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形D．以上答案都不對【答案】選A【解析】先算出三邊長，看是否符合勾股定理即可。【例3】★在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，且（a+b）（a﹣b）=c2，則（）A．∠A為直角 B．∠C為直角C．∠B為直角D．不是直角三角形【解析】∵（a+b）（a﹣b）=c2，∴a2﹣b2=c2，即c2+b2=a2，故此三角形是直角三角形，a為直角三角形的斜邊，∴∠A為直角．故選A．【例4】★★已知，如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥BC，垂足為D，交AB于點E，且BE2﹣EA2=AC2，①求證：∠A=90°．②若DE=3，BD=4，求AE的長．（1）證明：連接CE，如圖，∵D是BC的中點，DE⊥BC，∴CE=BE…∵BE2﹣EA2=AC2，∴CE2﹣EA2=AC2，∴EA2+AC2=CE2，∴△ACE是直角三角形，即∠A=90°；（2）∵DE=3，BD=4，∴BE==5=CE，∴AC2=EC2﹣AE2=25﹣EA2，∵BC=2BD=8，∴在Rt△BAC中由勾股定理可得：BC2﹣BA2=64﹣（5+EA）2=AC2，∴64﹣（5+AE）2=25﹣EA2，解得AE=．【例5】★★如圖所示，在由單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標有AB，CD，EF，GH四條線段,其中能構成直角三角形三邊的線段是()A.CD，EF，GHB.AB，EF，GHC.AB，CD，GHD.AB，CD，EF【答案】B【分析】先運用勾股定理算出所涉及的各條邊長的平方，再運用勾股定理的逆定理判斷是否構成直角三角形是解此題的一般方法【解析】AB2=22+22=8，CD2=42+22=20，EF2=12+22=5，GH2=32+22=13，所以AB2+EF2=GH2，故選B亮題二：勾股數(shù)相關問題【方法點撥】勾股數(shù)的求法：如果a為1個大于1的奇數(shù)，b，c是兩個連續(xù)的自然數(shù)，且有a2=b+c，則a,b,c為一組勾股數(shù)；如果a,b,c為一組勾股數(shù)，那么na，nb，nc也是一組勾股數(shù)，其中n為自然數(shù).【例1】★下列各組數(shù)據(jù)是勾股數(shù)的有組．（填寫數(shù)量即可）（1）6，8，10（2）1.5，2，2.5（3），，（4）7，24，25（5），，【分析】根據(jù)勾股數(shù)：滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)進行計算可得答案．【答案】因為；，6，8，10，7，24，25都是正整數(shù)，勾股數(shù)有2組，故答案為2．【例2】★下列各組數(shù)中不是勾股數(shù)的是（）A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，12，13 D．6，8，10【解析】A、∵32+42=52，∴以3、4、5為邊能組成直角三角形，即3、4、5是勾股數(shù)，故本選項錯誤；B、∵42+52≠62，∴以4、5、6為邊不能組成直角三角形，即4、5、6不是勾股數(shù)，故本選項正確；C、∵52+122=132，∴以5、12、13為邊能組成直角三角形，即5、12、13是勾股數(shù)，故本選項錯誤；D、∵62+82=102，∴以6、8、10為邊能組成直角三角形，即6、8、10是勾股數(shù)，故本選項錯誤；故選B．【例3】★已知a=3，b=4，若a，b，c能組成直角三角形，則c=（）A．5 B． C．5或 D．5或6【解析】分兩種情況：當c為斜邊時，c==5；當長4的邊為斜邊時，c==（根據(jù)勾股定理列出算式）．故選C．【例4】★★我們把符合等式a2+b2=c2的a、b、c三個稱為勾股數(shù)．現(xiàn)請你用計算器驗證下列各組的數(shù)是否勾股數(shù)．你能發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律嗎？請完成下列空格．3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；_______，_______；…【解析】先用計算機驗證是勾股數(shù)；通過觀察得到：這組勾股數(shù)用n表示為：2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，11是第5組勾股數(shù)的第一個小數(shù)，所以其它2個數(shù)為：2×52+2×5=60，2×52+2×5+1=61，故答案為：60、61．【例5】★★我們把滿足方程x2+y2=z2的正整數(shù)的解（x、y、z）叫做勾股數(shù)，如，（3，4，5）就是一組勾股數(shù)．（1）請你再寫出兩組勾股數(shù)：（），（）；（2）在研究直角三角形的勾股數(shù)時，古希臘的哲學家柏拉圖曾指出：如果n表示大于1的整數(shù)，x=2n，y=n2﹣1，z=n2+1，那么以x，y，z為三邊的三角形為直徑三角形（即x，y，z為勾股數(shù)），請你加以證明．【解析】（1）寫出兩組勾股數(shù)：（6，8，10），（9，12，15）．

（2）證明：x2+y2

=（2n）2+（n21）2

=4n2+n42n2+1

=n4+2n2+1

=（n2+1）2

=z2，

即x，y，z為勾股數(shù)．

故答案為：6，8，10；9，12，15．亮題三：勾股定理逆定理的應用【方法點撥】如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.【例1】★★如圖，已知在四邊形中，，，，，．（1）連結，求的長；（2）求的度數(shù)；（3）求出四邊形的面積【分析】（1）連接，利用勾股定理解答即可；（2）利用勾股定理的逆定理解答即可；（3）根據(jù)三角形的面積公式解答即可．【答案】（1）連接，在中，，，，由勾股定理可得：；（2）在中，，，，；（3）由（2）知，，四邊形的面積，【點睛】此題主要考查了勾股定理的逆定理，綜合運用勾股定理及其逆定理是解決問題的關鍵．【例2】★一艘輪船和一艘漁船同時沿各自的航向從港口O出發(fā)，如圖所示，輪船從港口O沿北偏西20°的方向行60海里到達點M處，同一時刻漁船已航行到與港口O相距80海里的點N處，若M、N兩點相距100海里，則∠NOF的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．70° D．80°【解析】∵OM=60海里，ON=80海里，MN=100海里，∴OM2+ON2=MN2，∴∠MON=90°，∵∠EOM=20°，∴∠NOF=180°﹣20°﹣90°=70°，故選C．【例3】★★如圖，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，AB=26，BC=24，該圖形的面積等于_________．【解析】連接AC，在Rt△ACD中，AD=8，CD=6，∴AC===10，在△ABC中，∵AC2+BC2=102+242=262=AB2，∴△ABC為直角三角形；∴圖形面積為：S△ABC﹣S△ACD=×10×24﹣×6×8=96．故答案為：96．【例4】★★如圖所示，在△ABC中，AC=8cm，BC=6cm；在△ABE中，DE為AB邊上的高，DE=12cm，△ABE的面積S=60cm2．（1）求出AB邊的長；（2）你能求出∠C的度數(shù)嗎？請試一試．、【解析】（1）∵DE=12，S△ABE=DE?AB=60，∴AB=10；（2）∵AC=8，BC=6，62+82=102，∴AC2+BC2=AB2，由勾股定理逆定理得∠C=90°．【亮點訓練】1．滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（

）A．三內(nèi)角之比為 B．三邊長的平方之比為C．三邊長之比為 D．三邊長之比為【答案】D【分析】根據(jù)直角三角形的定義，勾股定理的逆定理一一判斷即可．【詳解】解：A、設三個內(nèi)角分別為x度，度，度，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，解得：，所以三個內(nèi)角分別為：，所以是直角三角形，故本選項不符合題意；B、因為，其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故本選項不符合題意；C、因為，其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故本選項不符合題意；D、因為，其不符合勾股定理的逆定理，所以不是直角三角形，，故本選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查直角三角形的判定，勾股定理的逆定理等知識，解題的關鍵是掌握勾股定理的逆定理，屬于中考?？碱}型．2．一個三角形三邊滿足，則這個三角形的形狀是（

）．A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】利用完全平方公式整理原等式，再利用勾股定理的逆定理即可作出判斷．【詳解】解：整理得：，即，∴這個三角形的形狀是直角三角形，故選：C．【點睛】本題考查勾股定理的逆定理，涉及完全平方公式、等式的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理的逆定理是解答的關鍵．3．工人師傅想利用木條制作一個直角三角形形狀的模具，那么下列各組數(shù)據(jù)不符合直角三角形的三邊長的是（

）A．30、40、50 B．8、15、17 C．12、35、37 D．13、16、18【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，只要驗證兩條短邊的平方和是否等于最長邊的平方即可．【詳解】A．∵，∴能構成直角三角形，故本選項錯誤；B．∵，∴能構成直角三角形，故本選項錯誤；C．∵，∴能構成直角三角形，故本選項錯誤；D．∵，∴不能構成直角三角形，故本選項正確；故選D．【點睛】本題考查勾股定理的逆定理的應用，解題的關鍵是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形就是直角三角形，最長邊所對的角為直角．4．如圖，在一塊四邊形ABCD空地種植草皮，測得m，m，m，m，且．若每平方米草皮需要200元，則需要投資（

）A．16800元 B．7200元 C．5100元 D．無法確定【答案】B【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出∠ACD=90°，再利用直角三角形的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：連接AC，∵∠B=90°，AB=3m，BC=4m，CD=12m，AD=13m，∴，∴AC=5m，∴，又∵，∴，∴∠ACD=90°，∴△ACD是直角三角形，∴四邊形ABCD的面積=（），∴要投入資金為：（元）；故選：B．【點睛】此題主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正確得出△ACD是直角三角形是解題關鍵．5．有3cm，4cm，5cm和9cm的小棒各一根，從中選出三根恰好可以圍成一個直角三角形，這個直角三角形的面積是（

）A．6 B．10 C．7.5 D．13.5【答案】A【分析】根據(jù)三角形的三邊關系，得到3cm，4cm，5cm三根小棒可以組成三角形，再根據(jù)勾股定理逆定理可知該三角形為直角三角形，即可求得答案；【詳解】解：∵9=4+5∴9cm的小棒不能組成三角形∵∴此三角形為直角三角形，兩直角邊分別為3cm和4cm∴故選A【點睛】本題考查了三角形的性質(zhì)，涉及了勾股定理的逆定理，掌握相關知識并熟練使用，同時注意解題中需注意的事項是本題的解題關鍵．6．在中，，，上的高長為，則的面積為______．【答案】或【分析】分情況討論，①當是銳角三角形時，在中，根據(jù)勾股定理可得的長，在中，根據(jù)勾股定理可得的長，可求出的長，即可得的面積，②當是鈍角三角形時，在中，根據(jù)勾股定理可得的長，在中，根據(jù)勾股定理可得的長，可得的長，即可得的面積．【詳解】解：①當是銳角三角形時，如圖所示，在中，根據(jù)勾股定理得，，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴，∴的面積為：，②當是鈍角三角形時，如圖所示，在中，根據(jù)勾股定理得，，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴，∴的面積為：，綜上，的面積為或，故答案為：或．【點睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積，解題的關鍵是掌握勾股定理，分情況討論．7．若三角形三邊滿足，且三角形周長為24cm，則這個三角形最長邊上的高為__．【答案】cm【分析】首先根據(jù)三邊比設三邊長分別為cm，cm，cm，再根據(jù)周長計算出邊長，然后利用勾股定理可證明三角形是直角三角形，再利用三角形的面積公式計算出最長邊上的高．【詳解】解：∵，∴設三邊長分別為：cm，cm，cm，∵周長為24cm，∴，解得：，∴三邊長分別為：cm，cm，cm，∵，∴三角形是直角三角形，設最長邊上的高是hcm，則h解得：h．故答案為：cm．【點睛】此題主要考查了勾股定理逆定理，關鍵是利用方程思想正確計算出三邊長．8．如圖，點D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，則圖中陰影部分的面積為______．【答案】##【分析】根據(jù)勾股定理和，，，可以先求出的長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷的形狀，從而可以求出陰影部分的面積．【詳解】解：，，，，，，，是直角三角形，，陰影，故答案為：．【點睛】本題考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面積，解題的關鍵是求出的長．9．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，圖形的各個頂點均為格點，則_____．【答案】##度【分析】利用勾股定理的逆定理先證明再證明，進而得出答案．【詳解】解：如圖所示：連接由勾股定理可得：∴∴∴而∴

∴故答案為：．【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，勾股定理的逆定理的應用，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應用，證明是解本題的關鍵.10．如圖，中，，，，為邊的中點，則______．【答案】【分析】由“”可證≌，可得，，可得，由勾股定理的逆定理可求為直角三角形，即可求解．【詳解】解：延長到使，連接，如圖所示：在和中，，≌，，，，在中，，為直角三角形，，故答案為：．【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的逆定理的應用，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．11．如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，小明以格點為頂點畫出了．(1)小華看了看說，是直角三角形，你同意他的觀點嗎？說明理由．(2)在中，求邊上高的長．【答案】(1)我同意他的觀點，理由見解析(2)【分析】（1）由網(wǎng)格確定三邊長度，然后利用勾股定理逆定理即可證明；（2）利用三角形等面積法求解即可．（1）解：我同意他的觀點，理由：由圖可得，，，，∴，∴是直角三角形．（2）解：由（1）知：是直角三角形，，，∵，的面積為：，設邊上高為h，，解得：∴邊上高為．【點睛】本題主要考查勾股定理及逆定理，熟練掌握勾股定理運用三角形等面積法求解是解題關鍵．12．如圖，在一塊四邊形空地種植草皮，測得，，，且．若每平方米草皮需要200元，則需要投資多少錢？【答案】7200元【分析】如圖所示，連接AC，利用勾股定理求出AC的長，再利用勾股定理的逆定理證明△ACD是直角三角形，再由求出四邊形ABCD的面積即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接AC，∵，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，∴，∴，∵，∴，∴△ACD為直角三角形，∴平方米，∴需要投資元，答：需要投資7200元．【點睛】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，證明△ACD為直角三角形是解題的關鍵．13．在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，BC=20cm，BD=16cm，CD=12cm，求BC邊上的高．【答案】cm【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理得，則，設AD=xcm，則cm，在中，由勾股定理得，計算得，，則，即可得cm，過點A作交BC于點E，則cm，在，根據(jù)勾股定理得即可得．【詳解】解：∵cm，CD=12cm，BD=16cm，∴，∴，∴，設AD=xcm，則cm，在中，由勾股定理得，，解得，，即，∴（cm），如圖所示，過點A作交BC于點E，∵，cm，∴cm，在，由勾股定理得，（cm）．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，解題的關鍵是掌握這些知識點適當添加輔助線．14．已知：如圖，，，，，，求四邊形的面積．【答案】36【分析】利用勾股定理求出BC，再利用勾股定理的逆定理證出△BCD是直角三角形，得到四邊形的面積就等于兩個直角三角形的面積之和.【詳解】∵∠A=90°，AB=4，AC=3，∴．∵BC=5，BD=12，CD=13，∴，∴△BCD是直角三角形，且斜邊為CD，∴．即四邊形ABCD的面積為36．【點睛】此題考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，利用勾股定理逆定理判定△BCD是直角三角形是解決此題的關鍵.15．如圖，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，D是BC邊上一點，AD＝12，CD＝9．(1)求證：；(2)若E是邊AC的中點，求DE的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理，證明是直角三角形，即可證明；（2）根據(jù)勾股定理，求出，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可求出．（1）∵，∴∵，∴∴∴是直角三角形∴．（2）由（1）得是直角三角形∴是直角三角形∵，∴∴又∵是的中點∴．【點睛】本題考查直角三角形的知識，解題的關鍵是掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．【培優(yōu)檢測】1．下列長度的三條線段，能組成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，4，5【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理，可判斷是否為直角三角形【詳解】A項，故不符合題意；B項2+3=5，不能構成三角形，故不符合題意；C項，3，4，5為常見的勾股數(shù)，能組成直角三角形，符合題意；D項，故不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查直角三角形的判定，熟記常見的勾股數(shù)能快速選出答案．2．已知a，b，c是某三角形的三邊，滿足，則此三角形的面積為（

）A．30 B．60 C．78 D．32.5【答案】A【分析】先根據(jù)絕對值的非負性可得，再根據(jù)勾股定理的逆定理可得這個三角形是直角三角形，且為直角邊，然后利用直角三角形的面積公式求解即可得．【詳解】解：，，，，解得：，，這個三角形是直角三角形，且為直角邊，這個三角形的面積為，故選：A．【點睛】本題考查了絕對值的非負性、勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題關鍵．3．如圖，在四邊形ABCD中，AB=2，BC=2，CD=1，DA=3，且∠ABC=90°，則∠BCD的度數(shù)是（

）A．90° B．120° C．135° D．150°【答案】C【分析】連接AC，由于，利用勾股定理可求AC，并可求，而，易得，可證是直角三角形，于是有，從而易求∠BCD．【詳解】解：如圖所示，連接AC，∵，∴，又，∴，∴，∴是直角三角形，∴，∴．故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，勾股定理的逆定理，解題的關鍵是連接AC，并證明是直角三角形．4．如圖是用三塊正方形紙片設計的“畢達哥拉斯”圖案，其中三塊正方形圍成的三角形是直角三角形．現(xiàn)有若干塊正方形紙片，面積分別是1，2，3，4，5，選取其中三塊（可重復選?。┌磮D的方式組成圖案，則下列選取中，圍成的直角三角形面積最大的是（

）A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，三塊正方形的面積中，兩個較小的面積之和等于最大的面積，圍成的三角形是直角三角形，再根據(jù)三角形的面積，分別計算出幾個較大的正方形紙片圍成的直角三角形的面積，比較大小，即可解答本題．【詳解】解：∵五種正方形紙片，面積分別是1，2，3，4，5，∴五種正方形紙片的邊長分別是1，，，，，由題意可得，三角形各邊的平方是對應的各個正方形的面積，當選取的三塊紙片的面積分別是1，4，5時，1＋4＝5，圍成的三角形是直角三角形，面積是，當選取的三塊紙片的面積分別是2，3，5時，2＋3＝5，圍成的三角形是直角三角形，面積是；當選取的三塊紙片的面積分別是3，4，5時，圍成的三角形不是直角三角形；當選取的三塊紙片的面積分別是2，2，4時，2＋2＝4，圍成的三角形是直角三角形，面積是，∵＞1，∴所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是2，3，5，故選：B．【點睛】本題考查勾股定理的逆定理，解答本題的關鍵是明確題意，利用勾股定理的逆定理解答．5．如圖是醫(yī)院、公園和超市的平面示意圖，超市B在醫(yī)院O的南偏東25°的方向上，且到醫(yī)院O的距離為30m，公園A到醫(yī)院O的距離為40m．若AB之間的距離為50m，則公園A在醫(yī)院O的（

）．A．北偏東75°方向上 B．北偏東65°方向上C．北偏東55°方向上 D．北偏西65°方向上【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判定公園、醫(yī)院、超市構成直角三角形，得到公園與水平線夾角為25°，從而描述即可．【詳解】解：如圖，∵，∴△ABC是直角三角形，∵超市B在醫(yī)院O的南偏東25°的方向上∴∠ECB=25°，∴∠ACF=25°，∠DCA=65°，∴公園在醫(yī)院的北偏東65°的方向上，故選B．【點睛】本題主要考查了方位角、勾股定理的逆定理等知識點，熟練掌握方位角的意義、勾股定理的逆定理是解題的關鍵．6．如圖，正方形網(wǎng)格中每一個小正方形的邊長為1，小正方形的頂點為格點，點，，為格點，點為與網(wǎng)格線的交點，則__________．【答案】##45度【分析】連接，，設與交于點，根據(jù)勾股定理的逆定理先證明是等腰直角三角形，從而可得，再根據(jù)題意可得，然后利用三角形的外角，進行計算即可解答．【詳解】解：如圖：連接，，設與交于點，由題意得：，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，是的一個外角，，，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理、平行線的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，解題的關鍵是根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線．7．如圖，已知點D為邊上的中點，，則線段的長度為____________．【答案】5【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出∠ADB=∠ADC=90°，再根據(jù)勾股定理求出AC即可．【詳解】解：在△ADB中，AB=5，AD=3，BD=4，∴AD2+BD2=25=AB2，∴△ADB是直角三角形，且∠ADB=90°=∠ADC，∵點D為BC邊上的中點，∴CD=BD=4，∴在Rt△ADC中，，故答案為：5．【點睛】本題考查勾股定理及其逆定理、線段中點有關計算，利用勾股定理的逆定理證得∠ADC=90°是解答的關鍵．8．如圖，方格中的點A、B、C、D、E稱為“格點”（格線的交點），以這五個格點中的任意三點為三角形的頂點畫三角形，其中直角三角形有______個．【答案】3【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再找到其中的直角三角形即可得到結論．【詳解】解：如圖，一共可以畫9個三角形，∵BE⊥AC，∴∠ABE=∠CBE=90°，∴△ABE，△BCE是直角三角形，∵DE=CD=，CE=∴DE2+CD2=CE2，∴△CDE是直角三角形，共可以畫3個直角三角形．故答案為：3．【點睛】本題考查直角三角形的判定，勾股定理及其逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵．9．如圖，的兩外角平分線交于點D，延長DC至點G，連接BG，使得，若的面積為4，，則線段BD的長度為_________．【答案】【分析】先判定三角形GBD是直角三角形，在計算三角形BCG的面積，得到三角形BDG的面積，根據(jù)面積公式計算BD即可．【詳解】∵的兩外角平分線交于點D，∴∠D=180°=180°==，∵，∴∠D=，∴∠DBG=90°．∵，的面積為4，∴的面積為，∴的面積為，∵，∴，∴BD=，故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線的應用，直角三角形的判定，面積的計算，熟練掌握角的平分線的意義，靈活判定直角三角形的形狀是解題的關鍵．10．如圖，在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8，點D是BC的中點，如果將△ACD沿AD翻折后，點C的對應點為點E，那么CE的長等于________.【答案】【分析】連接CE，延長AD交CE于點F，根據(jù)勾股定理逆定理可知△ABC為直角三角形，所以可求得△ABC的面積；因點D是BC的中點，所以，，然后可求得AD邊上的高CF；根據(jù)翻折得到的軸對稱圖形的性質(zhì)可知AF垂直平分CE，所以CE=2CF，即得到CE的長．【詳解】將△ACD沿AD翻折后，得到圖形如圖所示，連接CE，延長AD交CE于點F，0在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8，∵，即,∴△ABC為直角三角形，∠BAC=90°，∴，∵點D是BC的中點，∴AD=BD=CD=BC=5，∴，∵△ACD沿AD翻折后，點C的對應點為點E，∴AF垂直平分CE，即AF⊥EC，CE=2CF，∴CF為△ACD的AD邊上的高，，解得CF=，∴CE=2CF=，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、軸對稱的性質(zhì)等知識，能夠根據(jù)勾股定理逆定理判定出直角三角形并根據(jù)軸對稱的性質(zhì)進行推導是解題關鍵．11．某港口位于東西方向的海岸線上．“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里．它們離開港口一個半小時后相距30海里．求PQ、PR的長．如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行？為什么？【答案】PQ=24海里，PR=18海里，“海天”號沿西北方向航行．【分析】利用速度乘以事件分別求出，PQ，PR，以及QR，根據(jù)勾股定理求出∠QPR=90°，由∠QPS=45°，則∠SPR=45°，即“海天”號沿西北方向航行．【詳解】根據(jù)題意，得PQ=16×1.5=24（海里），PR=12×1.5=18（海里），QR=30（海里）．∵，即，∴∠QPR=90°．由“遠洋號”沿東北方向航行可知，∠QPS=45°，則∠SPR=45°，即“海天”號沿西北方向航行．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，在應用勾股定理的逆定理時，應先認真分析所給邊的大小關系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關系，