遼寧省沈陽(yáng)市第120中學(xué)2024年高三下學(xué)期高考適應(yīng)性考試（二）數(shù)學(xué)試題

遼寧省沈陽(yáng)市第120中學(xué)2024年高三下學(xué)期高考適應(yīng)性考試（二）數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別是且，若為最大邊，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．由曲線y＝x2與曲線y2＝x所圍成的平面圖形的面積為()A．1 B． C． D．3．關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是（）A． B．C． D．4．已知復(fù)數(shù)滿足，則=（）A． B．C． D．5．復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位)，則的虛部為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)（），若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．7．運(yùn)行如圖程序，則輸出的S的值為（）A．0 B．1 C．2018 D．20178．已知向量，，若，則與夾角的余弦值為（）A． B． C． D．9．某市政府決定派遣名干部（男女）分成兩個(gè)小組，到該市甲、乙兩個(gè)縣去檢查扶貧工作，若要求每組至少人，且女干部不能單獨(dú)成組，則不同的派遣方案共有（）種A． B． C． D．10．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4}，B＝{3，4}，則＝（）A．{3，5，6} B．{1，5，6} C．{2，3，4} D．{1，2，3，5，6}11．的展開式中的系數(shù)是（）A．160 B．240 C．280 D．32012．已知數(shù)列滿足：)若正整數(shù)使得成立，則（）A．16 B．17 C．18 D．19二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，曲線與直線相交，若存在相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為，則可取到的最大值為__________.14．若一個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為1，四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則此球的表面積為_________.15．在四棱錐中，底面為正方形，面分別是棱的中點(diǎn)，過(guò)的平面交棱于點(diǎn)，則四邊形面積為__________.16．已知集合A＝，B＝，若AB中有且只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的值為_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）中國(guó)古建筑中的窗飾是藝術(shù)和技術(shù)的統(tǒng)一體，給人于美的享受．如圖（1）為一花窗；圖（2）所示是一扇窗中的一格，呈長(zhǎng)方形，長(zhǎng)30cm，寬26cm，其內(nèi)部窗芯（不含長(zhǎng)方形邊框）用一種條形木料做成，由兩個(gè)菱形和六根支條構(gòu)成，整個(gè)窗芯關(guān)于長(zhǎng)方形邊框的兩條對(duì)稱軸成軸對(duì)稱．設(shè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為xcm和ycm，窗芯所需條形木料的長(zhǎng)度之和為L(zhǎng)．（1）試用x，y表示L；（2）如果要求六根支條的長(zhǎng)度均不小于2cm，每個(gè)菱形的面積為130cm2，那么做這樣一個(gè)窗芯至少需要多長(zhǎng)的條形木料（不計(jì)榫卯及其它損耗）？18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C的方程為.以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出曲線C的極坐標(biāo)方程，并求出直線l與曲線C的交點(diǎn)M，N的極坐標(biāo)；（2）設(shè)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值.19．（12分）中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，.（1）求的大??；（2）若，且為的重心，且，求的面積.20．（12分）為了解廣大學(xué)生家長(zhǎng)對(duì)校園食品安全的認(rèn)識(shí)，某市食品安全檢測(cè)部門對(duì)該市家長(zhǎng)進(jìn)行了一次校園食品安全網(wǎng)絡(luò)知識(shí)問(wèn)卷調(diào)查，每一位學(xué)生家長(zhǎng)僅有一次參加機(jī)會(huì)，現(xiàn)對(duì)有效問(wèn)卷進(jìn)行整理，并隨機(jī)抽取出了200份答卷，統(tǒng)計(jì)這些答卷的得分（滿分：100分）制出的頻率分布直方圖如圖所示，由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，此次問(wèn)卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布，其中近似為這200人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）.（1）請(qǐng)利用正態(tài)分布的知識(shí)求；（2）該市食品安全檢測(cè)部門為此次參加問(wèn)卷調(diào)查的學(xué)生家長(zhǎng)制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：①得分不低于的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話費(fèi)：②每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)的概率為：獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)（單位：元）概率市食品安全檢測(cè)部門預(yù)計(jì)參加此次活動(dòng)的家長(zhǎng)約5000人，請(qǐng)依據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)此次活動(dòng)可能贈(zèng)送出多少話費(fèi)？附：①；②若；則，，.21．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若，，，求證：.22．（10分）已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓上位于第一象限的任一點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓上點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸，垂足為，連接并延長(zhǎng)交于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn).（?。┣竺娣e最大值；（ⅱ）證明：直線與斜率之積為定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

由，化簡(jiǎn)得到的值，根據(jù)余弦定理和基本不等式，即可求解.【詳解】由，可得，可得，通分得，整理得，所以，因?yàn)闉槿切蔚淖畲蠼?，所以，又由余弦定理，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即，又由，所以的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式的化簡(jiǎn)，余弦定理，以及基本不等式的綜合應(yīng)用，試題難度較大，屬于中檔試題，著重考查了推理與運(yùn)算能力.2、B【解析】

首先求得兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，據(jù)此可確定積分區(qū)間，然后利用定積分的幾何意義求解面積值即可.【詳解】聯(lián)立方程：可得：，，結(jié)合定積分的幾何意義可知曲線y＝x2與曲線y2＝x所圍成的平面圖形的面積為：.本題選擇B選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的概念與計(jì)算，屬于中等題.3、A【解析】

由的解集，可知及，進(jìn)而可求出方程的解，從而可求出的解集.【詳解】由的解集為，可知且，令，解得，，因?yàn)?，所以的解集為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理能力，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論.【詳解】由，得，所以，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

，分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知，，故的虛部為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.6、A【解析】

分段求解函數(shù)零點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，分類討論即可求得結(jié)果.【詳解】作出和，的圖像如下所示：函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于與有三個(gè)交點(diǎn)，又因?yàn)?，且由圖可知，當(dāng)時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn)，故只需當(dāng)時(shí)，與有一個(gè)交點(diǎn)即可.若當(dāng)時(shí)，時(shí)，顯然??=??(??)與??=4|??|有一個(gè)交點(diǎn)??，故滿足題意；時(shí)，顯然??=??(??)與??=4|??|沒(méi)有交點(diǎn)，故不滿足題意；時(shí)，顯然??=??(??)與??=4|??|也沒(méi)有交點(diǎn)，故不滿足題意；時(shí)，顯然與有一個(gè)交點(diǎn)，故滿足題意.綜上所述，要滿足題意，只需.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，屬中檔題.7、D【解析】

依次運(yùn)行程序框圖給出的程序可得第一次：，不滿足條件；第二次：，不滿足條件；第三次：，不滿足條件；第四次：，不滿足條件；第五次：，不滿足條件；第六次：，滿足條件，退出循環(huán)．輸出1．選D．8、B【解析】

直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到向量的坐標(biāo)，利用求得參數(shù)m，再用計(jì)算即可.【詳解】依題意，，而，即，解得，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.9、C【解析】

在所有兩組至少都是人的分組中減去名女干部單獨(dú)成一組的情況，再將這兩組分配，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】?jī)山M至少都是人，則分組中兩組的人數(shù)分別為、或、，

又因?yàn)槊刹坎荒軉为?dú)成一組，則不同的派遣方案種數(shù)為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合問(wèn)題，涉及分組分配問(wèn)題，考查計(jì)算能力，屬于中等題.10、B【解析】

按補(bǔ)集、交集定義，即可求解.【詳解】＝{1，3，5，6}，＝{1，2，5，6}，所以＝{1，5，6}.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查集合間的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

首先把看作為一個(gè)整體，進(jìn)而利用二項(xiàng)展開式求得的系數(shù)，再求的展開式中的系數(shù)，二者相乘即可求解.【詳解】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可得的第項(xiàng)為，令，則，又的第為，令，則，所以的系數(shù)是.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式指定項(xiàng)的系數(shù)，掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

計(jì)算，故，解得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，且.故，，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】

由于曲線與直線相交，存在相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為，所以函數(shù)的周期，可得到的取值范圍，再由解出的兩類不同的值，然后列方程求出，再結(jié)合的取值范圍可得的最大值.【詳解】，可得，由，則或，即或，由題意得，所以，則或，所以可取到的最大值為4.故答案為：4【點(diǎn)睛】此題考查正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)的應(yīng)用及三角方程的求解，熟練應(yīng)用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.14、【解析】

將四面體補(bǔ)成一個(gè)正方體，通過(guò)正方體的對(duì)角線與球的半徑的關(guān)系，得到球的半徑，利用球的表面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，將正四面體補(bǔ)形成一個(gè)正方體，則正四面體的外接球與正方體的外接球表示同一個(gè)球，因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為1，所以正方體的棱長(zhǎng)為，設(shè)球的半徑為，因?yàn)榍虻闹睆绞钦襟w的對(duì)角線，即，解得，所以球的表面積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)求得組合體的結(jié)構(gòu)特征，以及球的表面積的計(jì)算，其中巧妙構(gòu)造正方體，利用正方體的外接球的直徑等于正方體的對(duì)角線長(zhǎng)，得到球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

設(shè)是中點(diǎn)，由于分別是棱的中點(diǎn)，所以，所以，所以四邊形是平行四邊形.由于平面，所以，而，，所以平面，所以.由于，所以，也即，所以四邊形是矩形.而.從而.故答案為：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間平面圖形面積的計(jì)算，考查線面垂直的判定，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.16、2【解析】

利用AB中有且只有一個(gè)元素，可得，可求實(shí)數(shù)a的值.【詳解】由題意AB中有且只有一個(gè)元素，所以，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，集合交集的運(yùn)算本質(zhì)是存同去異，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】試題分析：（1）由條件可先求水平方向每根支條長(zhǎng)，豎直方向每根支條長(zhǎng)為，因此所需木料的長(zhǎng)度之和L=（2）先確定范圍由可得，再由面積為130cm2，得，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，令，則在上為增函數(shù)，解得L有最小值．試題解析：（1）由題意，水平方向每根支條長(zhǎng)為cm，豎直方向每根支條長(zhǎng)為cm，菱形的邊長(zhǎng)為cm．從而，所需木料的長(zhǎng)度之和L=cm．（2）由題意，，即，又由可得．所以．令，其導(dǎo)函數(shù)在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以可得．則=．因?yàn)楹瘮?shù)和在上均為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，故當(dāng)，即時(shí)L有最小值．答：做這樣一個(gè)窗芯至少需要cm長(zhǎng)的條形木料．考點(diǎn)：函數(shù)應(yīng)用題18、（1），，；（2）.【解析】

（1）利用公式即可求得曲線的極坐標(biāo)方程；聯(lián)立直線和曲線的極坐標(biāo)方程，即可求得交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)的參數(shù)形式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值的問(wèn)題即可求得.【詳解】（1）曲線的極坐標(biāo)方程：聯(lián)立，得，又因?yàn)槎紳M足兩方程，故兩曲線的交點(diǎn)為，.（2）易知，直線.設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離（其中）.面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的相互轉(zhuǎn)化，涉及利用橢圓的參數(shù)方程求面積的最值問(wèn)題，屬綜合中檔題.19、（1）；（2）【解析】

（1）利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為，分析運(yùn)算即得解；（2）由為的重心，得到，平方可得解c,由面積公式即得解.【詳解】（1）由，由正弦定理得C，即∴∵∴，又∵∴（2）由于為的重心故，∴解得或舍∴的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）估計(jì)此次活動(dòng)可能贈(zèng)送出100000元話費(fèi)【解析】

（1）根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可求的值.（2）設(shè)某家長(zhǎng)參加活動(dòng)可獲贈(zèng)話費(fèi)為元，利用題設(shè)條件求出其分布列，再利用公式求出其期望后可得計(jì)此次活動(dòng)可能贈(zèng)送出的話費(fèi)數(shù)額.【詳解】（1）根據(jù)題中所給的統(tǒng)計(jì)表，結(jié)合題中所給的條件，可以求得又，，所以；（2）根據(jù)題意，某家長(zhǎng)參加活動(dòng)可獲贈(zèng)話費(fèi)的可能值有10，20，30，40元，且每位家長(zhǎng)獲得贈(zèng)送1次、2次話費(fèi)的概率都為，得10元的情況為低于平均值，概率，得20元的情況有兩種，得分低于平均值，一次性獲20元話費(fèi)；得分不低于平均值，2次均獲贈(zèng)10元話費(fèi)，概率，得30元的情況為：得分不低于平均值，一次獲贈(zèng)10元話費(fèi)，另一次獲贈(zèng)20元話費(fèi)，其概率為，得40元的其情況得分不低于平均值，兩次機(jī)會(huì)均獲20元話費(fèi)，概率為.所以變量的分布列為：某家長(zhǎng)獲贈(zèng)話費(fèi)的期望為.所以估計(jì)此次活動(dòng)可能贈(zèng)送出100000元話費(fèi).【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布、離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，注意與正態(tài)分布有關(guān)的計(jì)算要利用該分布的密度函數(shù)圖象的對(duì)稱性來(lái)進(jìn)行，本題屬于中檔題