專題1.5完全平方公式（專項(xiàng)訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊《考點(diǎn)解讀專題訓(xùn)練》（北師大版）

專題1.5完全平方公式（專項(xiàng)訓(xùn)練）1．（2022春?玄武區(qū)校級期中）計(jì)算（﹣2a+3b）2，結(jié)果是（）A．2a2+12ab+3b2 B．2a2﹣12ab+3b2 C．4a2+12ab+9b2 D．4a2﹣12ab+9b2【答案】D【解答】解：（﹣2a+3b）2＝（﹣2a）2+2×（﹣2a）×3b+（3b）2＝4a2﹣12ab+9b2，故選：D．2．（2022春?長陽縣期末）已知，，則x2+2xy+y2的值等于（）A．0 B．4 C． D．16【答案】D【解答】解：∵x＝2﹣，y＝2+，∴x+y＝2﹣+2+＝4，∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝42＝16，故選：D．3.（春?佛山校級期中）（7ab+2）2．【解答】解：原式＝49a2b2+28ab+4．4．（秋?寶山區(qū)期末）計(jì)算：（x﹣y+1）2．【解答】解：（x﹣y+1）2＝[（x﹣y）+1]2＝（x﹣y）2+2（x﹣y）+1＝x2﹣2xy+y2+2x﹣2y+1．5．（2022?大慶二模）已知x+y＝4，xy＝3，求x2+y2的值．【解答】解：∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，當(dāng)x+y＝4，xy＝3時(shí)，原式＝42﹣2×3＝10．6．（2021秋?湖里區(qū)期末）計(jì)算：（1）（x+2）（x﹣1）；（2）（2x+y）2．【解答】解：（1）原式＝x2﹣x+2x﹣2＝x2+x﹣2；（2）原式＝4x2+2?2x?y+y2＝4x2+4xy+y2．7．（2020秋?肇源縣期末）已知a+b＝3，ab＝2，求a2+b2，（a﹣b）2的值．【解答】解：∵a+b＝3，∴a2+2ab+b2＝9，∵ab＝2，∴a2+b2＝9﹣2×2＝5；∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝5﹣2×2＝1．8．（2021秋?贊皇縣期末）你能根據(jù)如圖圖形陰影部分的面積關(guān)系得到的數(shù)學(xué)公式是（）A．a(chǎn)（a﹣b）＝a2﹣ab B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a(chǎn)（a+b）＝a2+ab【答案】C【解答】解：大陰影正方形的邊長為a﹣b，所以大陰影正方形的面積為（a﹣b）2，大陰影正方形面積也可以看作從邊長為a的正方形的面積減去邊長為b的小正方形的面積，再減去兩個(gè)長為a﹣b，寬為b的長方形的面積，即a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝a2+b2﹣2ab，所以有（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，故選：C．9.（2022春?埇橋區(qū)校級期中）如圖，兩個(gè)正方形的邊長分別為a，b，如果a+b＝5，ab＝6，則陰影部分的面積為（）A．2.5 B．2 C．3.5 D．1【答案】C【解答】解：S陰影＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝（a2+b2）﹣ab＝（a+b）2﹣ab，把a(bǔ)+b＝5，ab＝6代入得：原式＝×25﹣×6＝3.5．故選：C．10.（2022春?淄川區(qū)期末）如圖，兩個(gè)正方形邊長分別為a，b，如果a+b＝10，ab＝18，則陰影部分的面積為（）A．21 B．22 C．23 D．24【答案】C【解答】解：如圖，三角形②的一條直角邊為（a﹣b），另一條直角邊為b，因此S△②＝（a﹣b）b＝ab﹣b2，S△①＝a2，∴S陰影部分＝S大正方形﹣S△①﹣S△②，＝a2﹣ab+b2，＝[（a+b）2﹣3ab]，＝（100﹣54）＝23，故選：C．11．（2022?平泉市一模）如圖，將一張矩形大鐵皮切割成九塊，切痕為虛線所示，其中有兩塊是邊長都為m厘米的大正方形，兩塊是邊長都為n厘米的小正方形，五塊是長寬分別是m厘米、n厘米的全等小矩形，且m＞n．（1）用含m、n的代數(shù)式表示切痕總長L；（2）若每塊小矩形的面積為30平方厘米，四個(gè)正方形的面積和為180平方厘米，試求（m+n）2的值．【解答】解：（1）L＝2（m+2n）+2（2m+n）＝2m+4n+4m+2n＝6m+6n（cm）；（2）每塊小矩形的面積為30cm2，即mn＝30cm2，四個(gè)正方形的面積為180cm2，即m2+n2＝90cm2，∴（m+n）2＝m2+2mn+n2，＝90+2×30＝90+60＝150（cm2）．12．（2022春?相城區(qū)校級期中）若x滿足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（x﹣5）2+（2﹣x）2的值．解：設(shè)5﹣x＝a，x﹣2＝b，則（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，所以（x﹣5）2+（2﹣x）2＝（5﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5．請仿照上面的方法求解下面問題：（1）若x滿足（x+2）（x﹣7）＝6，求（x+2）2+（x﹣7）2的值．（2）已知正方形ABCD的邊長為x，E，F(xiàn)分別是AD、DC上的點(diǎn)，且AE＝1，CF＝3，長方形EMFD的面積是35，分別以MF、DF作正方形，求陰影部分的面積．【解答】解：（1）設(shè)x+2＝a，x﹣7＝b，則a﹣b＝（x+2）﹣（x﹣7）＝9，∵（x+2）（x﹣7）＝6，∴ab＝6，∴（x+2）2+（x﹣7）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝92+2×6＝93．（2）根據(jù)題意得：MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，設(shè)x﹣1＝m，x﹣3＝n，則MF＝DE＝m，DF＝n，m﹣n＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴長方形EMFD的面積＝DE?DF＝（x﹣1）（x﹣3）＝mn＝35，∵（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn＝22+4×35＝144，∴m+n＝12或m+n＝﹣12＜0（不符題意，舍去），陰影部分的面積＝正方形MFRN的面積﹣正方形DFGH的面積＝MF2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝m2﹣n2＝（m+n）?（m﹣n）＝12×2＝24．∴陰影部分的面積為24．13．（2022春?邗江區(qū)期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2適當(dāng)?shù)淖冃危梢越鉀Q很多的數(shù)學(xué)問題．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值；解：因?yàn)閍+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因?yàn)閍b＝1，所以a2+b2＝7．根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）填空：①若（4﹣x）x＝5，則（4﹣x）2+x2＝6；②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，則（4﹣x）2+（5﹣x）2＝17．（3）如圖，在長方形ABCD中，AB＝25，BC＝15，點(diǎn)E．F是BC、CD上的點(diǎn)，且BE＝DF＝x，分別以FC、CE為邊在長方形ABCD外側(cè)作正方形CFGH和CEMN，若長方形CEPF的面積為200平方單位，求圖中陰影部分的面積和．【解答】解：（1）∵2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝64﹣40＝26，∴xy＝13．（2）①令a＝4﹣x，b＝x，則a+b＝4，ab＝5，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣10＝6.\，∴（4﹣x）2+x2＝6，故答案為：6．②令a＝4﹣x，b＝5﹣x，則a﹣b＝﹣1，ab＝8，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝1+16＝17，∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝17，故答案為：17．（3）由題意得：（25﹣x）（15﹣x）＝200，令a＝25﹣x，b＝15﹣x，則：a﹣b＝10，ab＝200，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝100+400＝500，∴（25﹣x）2+（15﹣x）2＝500，所以陰影部分的面積和為500平方米．14.（2022春?上虞區(qū)期末）圖1是一個(gè)長為2b，寬為2a的長方形，沿虛線平均分成四塊，然后按圖2拼成一個(gè)正方形．解答下列問題．（1）圖2中陰影部分的面積可表示為；對于（b﹣a）2，（b+a）2，ab，這三者間的等量關(guān)系為．（2）利用（1）中所得到的結(jié)論計(jì)算：若x+y＝﹣3，xy＝﹣，則x﹣y＝．（3）觀察圖3，從圖中你能得到怎樣的一個(gè)代數(shù)恒等式？再根據(jù)你所得到的這個(gè)代數(shù)恒等式探究：若m2+4mn+3n2＝0（n≠0），試求的值．【解答】解：（1）陰影部分是邊長為b﹣a的正方形，因此面積為（b﹣a）2，根據(jù)拼圖以及面積之間的關(guān)系可得，（b﹣a）2，（b+a）2，ab，這三者間的等量關(guān)系為（b﹣a）2＝（b+a）2﹣4ab，故答案為：（b﹣a）2；（b﹣a）2＝（b+a）2﹣4ab；（2）由（1）可得，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4x