(沖刺滿分)專(zhuān)題07挑戰(zhàn)圓綜合應(yīng)用壓軸(六大類(lèi)型)(原卷版+解析)

沖刺高分必刷專(zhuān)題07挑戰(zhàn)圓綜合應(yīng)用壓軸（六大類(lèi)型）【類(lèi)型一全等三角形有關(guān)問(wèn)題】1．（2020?湘潭）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．（1）求證：△ABD≌△ACD；（2）判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．2．（2020?安徽）如圖，AB是半圓O的直徑，C，D是半圓O上不同于A，B的兩點(diǎn)，AD＝BC，AC與BD相交于點(diǎn)F．BE是半圓O所在圓的切線，與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．（1）求證：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求證：AC平分∠DAB．3．（2022?永州）如圖，已知AB，CE是⊙O的直徑，BM是⊙O的切線，點(diǎn)D在EA的延長(zhǎng)線上，AC，OD交于點(diǎn)F，∠MBC＝∠ACD．（1）求證：∠MBC＝∠BAC；（2）求證：AE＝AD；（3）若△OFC的面積S1＝4，求四邊形AOCD的面積S．4．（2020秋?平輿縣期末）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為AB上方的圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線l，過(guò)點(diǎn)A作直線l的垂線AD，交⊙O于點(diǎn)D，連接OC，CD，BC，BD，且BD與OC交于點(diǎn)E．（1）求證：△CDE≌△CBE；（2）若AB＝6，填空：①當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度是時(shí)，△OBE是等腰三角形；②當(dāng)BC＝時(shí)，四邊形OADC為菱形．5．（2020?孝感）已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，∠ABC的平分線與⊙O交于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)E，連接CD并延長(zhǎng)與⊙O過(guò)點(diǎn)A的切線交于點(diǎn)F，記∠BAC＝α．（1）如圖1，若α＝60°，①直接寫(xiě)出的值為；②當(dāng)⊙O的半徑為2時(shí)，直接寫(xiě)出圖中陰影部分的面積為；（2）如圖2，若α＜60°，且＝，DE＝4，求BE的長(zhǎng)．6．（2020?成都）如圖，在△ABC的邊BC上取一點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OC為半徑畫(huà)⊙O，⊙O與邊AB相切于點(diǎn)D，AC＝AD，連接OA交⊙O于點(diǎn)E，連接CE，并延長(zhǎng)交線段AB于點(diǎn)F．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若AB＝10，tanB＝，求⊙O的半徑；（3）若F是AB的中點(diǎn)，試探究BD+CE與AF的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．【類(lèi)型二與相似三角形有關(guān)問(wèn)題】7．（2022?株洲）如圖所示，△ABC的頂點(diǎn)A，B在⊙O上，頂點(diǎn)C在⊙O外，邊AC與⊙O相交于點(diǎn)D，∠BAC＝45°，連接OB、OD，已知OD∥BC．（1）求證：直線BC是⊙O的切線；（2）若線段OD與線段AB相交于點(diǎn)E，連接BD．①求證：△ABD∽△DBE；②若AB?BE＝6，求⊙O的半徑的長(zhǎng)度．8．（2021?棗莊）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)O在BC邊上，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，CD，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．（1）求證：DP∥BC；（2）求證：△ABD∽△DCP；（3）當(dāng)AB＝5cm，AC＝12cm時(shí)，求線段PC的長(zhǎng)．9．（2021?大慶）如圖，已知AB是⊙O的直徑．BC是⊙O的弦，弦ED垂直AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G．過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P（1）求證：PC＝PG；（2）判斷PG2＝PD?PE是否成立？若成立，請(qǐng)證明該結(jié)論；（3）若G為BC中點(diǎn)，OG＝，sinB＝，求DE的長(zhǎng)．10．（2021?株洲）如圖所示，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D是⊙O上不同的兩點(diǎn)，直線BD交線段OC于點(diǎn)E、交過(guò)點(diǎn)C的直線CF于點(diǎn)F，若OC＝3CE，且9（EF2﹣CF2）＝OC2．（1）求證：直線CF是⊙O的切線；（2）連接OD、AD、AC、DC，若∠COD＝2∠BOC．①求證：△ACD∽△OBE；②過(guò)點(diǎn)E作EG∥AB，交線段AC于點(diǎn)G，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，若AD＝4，求線段MG的長(zhǎng)度．【類(lèi)型三與銳角三角函數(shù)有關(guān)問(wèn)題】11．（2021?宜賓）如圖1，D為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑BA的延長(zhǎng)線上，且∠CDA＝∠CBD．（1）判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若tan∠ADC＝，AC＝2，求⊙O的半徑；（3）如圖2，在（2）的條件下，∠ADB的平分線DE交⊙O于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，連結(jié)BE．求sin∠DBE的值．12．（2021?武漢）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點(diǎn)，C是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作AD的垂線，垂足是E．連接AC交BD于點(diǎn)F．（1）求證：CE是⊙O的切線；（2）若＝，求cos∠ABD的值．13．（2021?甘肅）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，D是⊙O的直徑AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠DCB＝∠OAC．過(guò)圓心O作BC的平行線交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半徑及tan∠OCB的值．14．（2022?南充）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)D是⊙O外一點(diǎn)，∠BCD＝∠BAC，連接OD交BC于點(diǎn)E．（1）求證：CD是⊙O的切線．（2）若CE＝OA，sin∠BAC＝，求tan∠CEO的值．15．（2022?揚(yáng)州）如圖，AB為⊙O的弦，OC⊥OA交AB于點(diǎn)P，交過(guò)點(diǎn)B的直線于點(diǎn)C，且CB＝CP．（1）試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若sinA＝，OA＝8，求CB的長(zhǎng)．16．（2022?樂(lè)山）如圖，線段AC為⊙O的直徑，點(diǎn)D、E在⊙O上，＝，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F．連結(jié)CE交DF于點(diǎn)G．（1）求證：CG＝DG；（2）已知⊙O的半徑為6，sin∠ACE＝，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)B，使BC＝4．求證：BD是⊙O的切線．【類(lèi)型四與弧、陰影面積計(jì)算有關(guān)問(wèn)題】17．（2021?張家界）如圖，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，∠OAB＝30°，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓交BO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作OA的平行線，交⊙O于點(diǎn)D，連接AD．（1）求證：AD為⊙O的切線；（2）若OB＝2，求弧CD的長(zhǎng)．18．（2021?麗水）如圖，在△ABC中，AC＝BC，以BC為直徑的半圓O交AB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作半圓O的切線，交AC于點(diǎn)E．（1）求證：∠ACB＝2∠ADE；（2）若DE＝3，AE＝，求的長(zhǎng)．19．（2021?金華）在扇形AOB中，半徑OA＝6，點(diǎn)P在OA上，連結(jié)PB，將△OBP沿PB折疊得到△O′BP．（1）如圖1，若∠O＝75°，且BO′與所在的圓相切于點(diǎn)B．①求∠APO′的度數(shù)．②求AP的長(zhǎng)．（2）如圖2，BO′與相交于點(diǎn)D，若點(diǎn)D為的中點(diǎn)，且PD∥OB，求的長(zhǎng)．20．（2021?宜昌）如圖，在菱形ABCD中，O是對(duì)角線BD上一點(diǎn)（BO＞DO），OE⊥AB，垂足為E，以O(shè)E為半徑的⊙O分別交DC于點(diǎn)H，交EO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，EF與DC交于點(diǎn)G．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若G是OF的中點(diǎn)，OG＝2，DG＝1．①求的長(zhǎng)；②求AD的長(zhǎng)．21．（2021?達(dá)州）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)（C不與點(diǎn)A，B重合）連接AC，BC，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D．將△ACD沿AC翻折，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處得△ACE，AE交⊙O于點(diǎn)F．（1）求證：CE是⊙O的切線；（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求陰影部分面積．22．（2022?齊齊哈爾）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O，AC與⊙O交于點(diǎn)D，BC與⊙O交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，且CF＝CD，連接BF．（1）求證：BF是⊙O的切線；（2）若∠BAC＝45°，AD＝4，求圖中陰影部分的面積．23．（2022?臨沂）如圖，AB是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，直線AO交⊙O于C，D兩點(diǎn)，連接BC，BD．過(guò)圓心O作BC的平行線，分別交AB的延長(zhǎng)線、⊙O及BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，G．（1）求證：∠D＝∠E；（2）若F是OE的中點(diǎn)，⊙O的半徑為3，求陰影部分的面積．24．（2022?內(nèi)江）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，⊙O的切線PC交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，OF∥BC交AC于點(diǎn)E，交PC于點(diǎn)F，連接AF．（1）判斷直線AF與⊙O的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；（2）若⊙O的半徑為6，AF＝2，求AC的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積．【類(lèi)型五與特殊四邊形有關(guān)的問(wèn)題】25．（2022?福建）如圖，BD是矩形ABCD的對(duì)角線．（1）求作⊙A，使得⊙A與BD相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，設(shè)BD與⊙A相切于點(diǎn)E，CF⊥BD，垂足為F．若直線CF與⊙A相切于點(diǎn)G，求tan∠ADB的值．26．（2019?南充模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分線，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，D的圓與BC交于點(diǎn)E．（1）求證：AC是⊙O的切線．（2）若四邊形ODEB是菱形，時(shí)，求⊙O的半徑．27．（2022?大冶市校級(jí)模擬）如圖：AB是⊙O的直徑，C、G是⊙O上兩點(diǎn)，且點(diǎn)C是劣弧AG的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的直線CD⊥BG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BC，交OD于點(diǎn)F．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若ED＝DB，求證：3OF＝2DF；（3）在（2）的條件下，連接AD，若CD＝3，求AD的長(zhǎng)．28．（2022?蜀山區(qū)校級(jí)三模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，O是AB邊上的一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑的⊙O與邊BC相切于點(diǎn)E．（1）若AB＝8，⊙O的半徑為3，求AC的長(zhǎng)．（2）過(guò)點(diǎn)E作弦EF⊥AB于G，連接AF，若∠AFE＝2∠ABC．求證：四邊形ACEF是菱形．29．（2018?盤(pán)錦）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在線段AB上，以AD為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)E，與AC相交于點(diǎn)F，∠B＝∠BAE＝30°．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若AC＝3，求⊙O的半徑r；（3）在（1）的條件下，判斷以A、O、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為哪種特殊四邊形，并說(shuō)明理由．30．（2020?新野縣二模）如圖，以△ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓，經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，且與BC邊交于點(diǎn)E，D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)，連接AD交BC于F，若AC＝FC．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若BF＝8，，求⊙O的半徑；（3）過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交CA的延長(zhǎng)線于G，如果連接AE，將線段AC以直線AE為對(duì)稱(chēng)軸作對(duì)稱(chēng)線段AH，點(diǎn)H正好落在⊙O上，連接BH，請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形AHBG的形狀．【類(lèi)型六圓中探究形問(wèn)題】31．（2022?包頭）如圖，AB為⊙O的切線，C為切點(diǎn)，D是⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，DF交⊙O于點(diǎn)E，連接EO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)G，連接CG，OC，OD，已知∠DOE＝2∠CGE．（1）若⊙O的半徑為5，求CG的長(zhǎng)；（2）試探究DE與EF之間的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出并證明你的結(jié)論．（請(qǐng)用兩種證法解答）32．（2022?北海一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，點(diǎn)D為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CD為直徑的⊙O交AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，交⊙O于點(diǎn)F，連接CE、EF．（1）當(dāng)∠CFE＝45°時(shí)，求CD的長(zhǎng)；（2）求證：∠BAC＝∠CEF；（3）是否存在點(diǎn)D，使得△CFE是以CF為底的等腰三角形，若存在，求出此時(shí)CD的長(zhǎng)；若不存在，試說(shuō)明理由．33．（2021?羅湖區(qū)校級(jí)模擬）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，O是AC的中點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心在AC的右側(cè)作半徑為3的半圓O，分別交AC于點(diǎn)D、E，交AB于點(diǎn)G、F．思考：連接OF，若OF⊥AC，求AF的長(zhǎng)度；探究：如圖2，將線段CD連同半圓O繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)．（1）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求點(diǎn)O到AB距離的最小值；（2）若半圓O與Rt△ABC的直角邊相切，設(shè)切點(diǎn)為K，連接AK，求AK的長(zhǎng)．34．（2020?英德市一模）如圖，矩形ABCD中，AB＝13，AD＝6．點(diǎn)E是CD上的動(dòng)點(diǎn)，以AE為直徑的⊙O與AB交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BE于點(diǎn)G．（1）當(dāng)E是CD的中點(diǎn)時(shí)：tan∠EAB的值為；（2）在（1）的條件下，證明：FG是⊙O的切線；（3）試探究：BE能否與⊙O相切？若能，求出此時(shí)BE的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．沖刺高分必刷專(zhuān)題07挑戰(zhàn)圓綜合應(yīng)用壓軸（六大類(lèi)型）【類(lèi)型一全等三角形有關(guān)問(wèn)題】1．（2020?湘潭）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．（1）求證：△ABD≌△ACD；（2）判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解答】（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴AD⊥BC，在Rt△ADB和Rt△ADC中，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）；（2）直線DE與⊙O相切，理由如下：連接OD，如圖所示：由△ABD≌△ACD知：BD＝DC，又∵OA＝OB，∴OD為△ABC的中位線，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD為⊙O的半徑，∴DE與⊙O相切．2．（2020?安徽）如圖，AB是半圓O的直徑，C，D是半圓O上不同于A，B的兩點(diǎn)，AD＝BC，AC與BD相交于點(diǎn)F．BE是半圓O所在圓的切線，與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．（1）求證：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求證：AC平分∠DAB．【解答】（1）證明：∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△CBA與Rt△DAB中，，∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）；（2）解：∵BE＝BF，由（1）知BC⊥EF，∴∠E＝∠BFE，∵BE是半圓O所在圓的切線，∴∠ABE＝90°，∴∠E+∠BAE＝90°，由（1）知∠D＝90°，∴∠DAF+∠AFD＝90°，∵∠AFD＝∠BFE，∴∠AFD＝∠E，∵∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E，∴∠DAF＝∠BAF，∴AC平分∠DAB．3．（2022?永州）如圖，已知AB，CE是⊙O的直徑，BM是⊙O的切線，點(diǎn)D在EA的延長(zhǎng)線上，AC，OD交于點(diǎn)F，∠MBC＝∠ACD．（1）求證：∠MBC＝∠BAC；（2）求證：AE＝AD；（3）若△OFC的面積S1＝4，求四邊形AOCD的面積S．【解答】（1）證明：∵BM是⊙O的切線，∴AB⊥BM，∴∠ABC+∠MBC＝90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠MBC＝∠BAC；（2）證明：∵AO＝OC，∴∠BAC＝∠ACE，∵∠MBC＝∠ACD，∠MBC＝∠BAC，∴∠ACD＝∠ACE，∵CE是⊙O的直徑，∴∠EAC＝∠DAC＝90°，∵AC＝AC，∴△AEC≌△ADC（ASA），∴AE＝AD；（3）解：∵∠BAC＝∠ACD，∴AB∥DC，∴，∴，∴，∵AO∥DC，∴△AOF∽△CDF，∴，∵△OFC的面積S1＝4，∴S△AOF＝2，S△ADF＝S△OCF＝4，S△CDF＝8，∴S四邊形AOCD＝S△AOF+S△ADF+S△CDF+S△COF＝2+4+8+4＝18．4．（2020秋?平輿縣期末）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為AB上方的圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線l，過(guò)點(diǎn)A作直線l的垂線AD，交⊙O于點(diǎn)D，連接OC，CD，BC，BD，且BD與OC交于點(diǎn)E．（1）求證：△CDE≌△CBE；（2）若AB＝6，填空：①當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度是π時(shí)，△OBE是等腰三角形；②當(dāng)BC＝3時(shí)，四邊形OADC為菱形．【解答】解：（1）∵過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線l，∴OC⊥l，∵AD⊥l，∴OC∥AD，∵AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為AB上方的圓上一動(dòng)點(diǎn)，∴AD⊥BD，∴BD⊥OC，∴DE＝BE，∴△CDE≌△CBE（SAS）；（2）①連接OD，當(dāng)△OBE是等腰三角形時(shí)，∵BE⊥OE，∴OE＝BE，∴∠OBE＝∠EOB＝45°，∵AD∥OC，∴∠A＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠COD＝45°，∵AB＝6，∴AO＝3，∴的長(zhǎng)度＝＝π，故答案為π；②∵四邊形OADC為菱形，∴OA＝OC＝AD＝CD＝3，∵△CDE≌△CBE，∴CD＝BC，∴BC＝3，故答案為3．5．（2020?孝感）已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，∠ABC的平分線與⊙O交于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)E，連接CD并延長(zhǎng)與⊙O過(guò)點(diǎn)A的切線交于點(diǎn)F，記∠BAC＝α．（1）如圖1，若α＝60°，①直接寫(xiě)出的值為；②當(dāng)⊙O的半徑為2時(shí)，直接寫(xiě)出圖中陰影部分的面積為﹣π；（2）如圖2，若α＜60°，且＝，DE＝4，求BE的長(zhǎng)．【解答】解：（1）如圖1，連接OA，AD，∵AF是⊙O的切線，∴∠OAF＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的直徑，∵OA＝OB＝OD，∴∠ABO＝∠OAB＝30°，∠OAD＝∠ADO＝60°，∵∠BDC＝∠BAC＝60°，∴∠ADF＝180°﹣60°﹣60°＝60°＝∠OAD，∴OA∥DF，∴∠F＝180°﹣∠OAF＝90°，∵∠DAF＝30°，∴AD＝2DF，∵∠ABD＝∠CBD，∴，∴AD＝CD，∴CD＝2DF，∴＝，故答案為：；②∵⊙O的半徑為2，∴AD＝OA＝2，DF＝1，∵∠AOD＝60°，∴陰影部分的面積為：S梯形AODF﹣S扇形OAD＝﹣＝＝π；故答案為：π；（2）如圖2，連接AD，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)H，連接DH，則∠ADH＝90°，∴∠DAH+∠DHA＝90°，∵AF與⊙O相切，∴∠DAH+∠DAF＝∠FAO＝90°，∴∠DAF＝∠DHA，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵，∴∠CAD＝∠DHA＝∠DAF，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠ADF＝∠ABC，∵∠ADB＝∠ACB＝∠ABC，∴∠ADF＝∠ADB，在△ADF和△ADE中∵，∴△ADF≌△ADE（ASA），∴DF＝DE＝4，∵，∴DC＝6，∵∠DCE＝∠ABD＝∠DBC，∠CDE＝∠CDE，∴△CDE∽△BDC，∴，即，∴BD＝9，∴BE＝DB﹣DE＝9﹣4＝5．6．（2020?成都）如圖，在△ABC的邊BC上取一點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OC為半徑畫(huà)⊙O，⊙O與邊AB相切于點(diǎn)D，AC＝AD，連接OA交⊙O于點(diǎn)E，連接CE，并延長(zhǎng)交線段AB于點(diǎn)F．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若AB＝10，tanB＝，求⊙O的半徑；（3）若F是AB的中點(diǎn)，試探究BD+CE與AF的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．【解答】解：（1）如圖，連接OD，∵⊙O與邊AB相切于點(diǎn)D，∴OD⊥AB，即∠ADO＝90°，∵AO＝AO，AC＝AD，OC＝OD，∴△ACO≌△ADO（SSS），∴∠ADO＝∠ACO＝90°，∴OD⊥AB，又∵OC是半徑，∴AC是⊙O的切線；（2）∵tanB＝＝，∴設(shè)AC＝4x，BC＝3x，∵AC2+BC2＝AB2，∴16x2+9x2＝100，∴x＝2，∴BC＝6，∵AC＝AD＝8，AB＝10，∴BD＝2，∵OB2＝OD2+BD2，∴（6﹣OC）2＝OC2+4，∴OC＝，故⊙O的半徑為；（3）AF＝CE+BD，理由如下：連接OD，DE，由（1）可知：△ACO≌△ADO，∴∠ACO＝∠ADO＝90°，∠AOC＝∠AOD，又∵CO＝DO，OE＝OE，∴△COE≌△DOE（SAS），∴∠OCE＝∠ODE，∵OC＝OE＝OD，∴∠OCE＝∠OEC＝∠OED＝∠ODE，∴∠DEF＝180°﹣∠OEC﹣∠OED＝180°﹣2∠OCE，∵點(diǎn)F是AB中點(diǎn)，∠ACB＝90°，∴CF＝BF＝AF，∴∠FCB＝∠FBC，∴∠DFE＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝180°﹣2∠OCE，∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF＝CE，∴AF＝BF＝DF+BD＝CE+BD．【類(lèi)型二與相似三角形有關(guān)問(wèn)題】7．（2022?株洲）如圖所示，△ABC的頂點(diǎn)A，B在⊙O上，頂點(diǎn)C在⊙O外，邊AC與⊙O相交于點(diǎn)D，∠BAC＝45°，連接OB、OD，已知OD∥BC．（1）求證：直線BC是⊙O的切線；（2）若線段OD與線段AB相交于點(diǎn)E，連接BD．①求證：△ABD∽△DBE；②若AB?BE＝6，求⊙O的半徑的長(zhǎng)度．【解答】（1）證明：∵∠BAC＝45°，∴∠BOD＝2∠BAC＝90°，∵OD∥BC，∴∠OBC＝180°﹣∠BOD＝90°，∴OB⊥BC，又OB是⊙O的半徑，∴直線BC是⊙O的切線；（2）①證明：由（1）知∠BOD＝90°，∵OB＝OD，∴△BOD是等腰直角三角形，∴∠BDE＝45°＝∠BAD，∵∠DBE＝∠ABD，∴△ABD∽△DBE；②解：由①知：△ABD∽△DBE，∴＝，∴BD2＝AB?BE，∵AB?BE＝6，∴BD2＝6，∴BD＝，∵△BOD是等腰直角三角形，∴OB＝BD?sin∠BDO＝×＝，∴⊙O的半徑的長(zhǎng)度是．8．（2021?棗莊）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)O在BC邊上，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，CD，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．（1）求證：DP∥BC；（2）求證：△ABD∽△DCP；（3）當(dāng)AB＝5cm，AC＝12cm時(shí)，求線段PC的長(zhǎng)．【解答】解：（1）連接OD，∵DP是⊙O的切線，∴DO⊥DP，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∵BC是圓的直徑，∴∠BAC＝90°，∴∠BAD＝45°，∴∠BOD＝90°，∴OD⊥BC，∴DP∥BC；（2）∵DP∥BC，∴∠ACB＝∠P，∵＝，∴∠ACB＝∠ADB，∴∠P＝∠ADB，∵OD＝OC，∴∠ODC＝45°，∴∠CDP＝45°，∴△ABD∽△DCP；（3）∵AB＝5cm，AC＝12cm，∠BAC＝90°，∴BC＝13cm，在Rt△COD中，CD＝，在Rt△BOD中，BD＝，∵△ABD∽△DCP，∴＝，∴＝，∴CP＝．9．（2021?大慶）如圖，已知AB是⊙O的直徑．BC是⊙O的弦，弦ED垂直AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G．過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P（1）求證：PC＝PG；（2）判斷PG2＝PD?PE是否成立？若成立，請(qǐng)證明該結(jié)論；（3）若G為BC中點(diǎn)，OG＝，sinB＝，求DE的長(zhǎng)．【解答】解：（1）連接OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵CP是⊙O的切線，∴∠OCP＝90°，∵弦ED垂直AB于點(diǎn)F，AB是⊙O的直徑，∴∠GFB＝90°，∵∠FGB+∠FBG＝90°，∠OCB+∠BCP＝90°，∴∠FGB＝∠PCG，∵∠FGB＝∠PGC，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG；（2）如圖1，連接EC、CD，∵ED⊥AB，AB是圓O的直徑，∴＝，∴∠ECB＝∠BCD，∵PG＝PC，∴∠PCG＝∠PGC，∵∠CGP＝∠E+∠ECB，∠GCP＝∠PCD+∠BCD，∴∠PCD＝∠E，∴△PCD∽△PEC，∴＝，∴PC2＝PE?PD，∵PC＝PG，∴PG2＝PD?PE；（3）如圖2，連接OG，EO，∵G為BC中點(diǎn)，∴OG⊥BC，在Rt△BOG中，OG＝，sinB＝，∴OB＝5，BG＝2，∵GF⊥OB，∴∠B+∠FGB＝90°，∠B+∠BOG＝90°，∴∠GOF＝∠FGB，∴△FGB∽△GOB，∴，∴＝，∴FB＝4，∴OF＝1，在Rt△EOF中，OF＝1，EO＝5，∴EF＝2，∴ED＝4．10．（2021?株洲）如圖所示，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D是⊙O上不同的兩點(diǎn)，直線BD交線段OC于點(diǎn)E、交過(guò)點(diǎn)C的直線CF于點(diǎn)F，若OC＝3CE，且9（EF2﹣CF2）＝OC2．（1）求證：直線CF是⊙O的切線；（2）連接OD、AD、AC、DC，若∠COD＝2∠BOC．①求證：△ACD∽△OBE；②過(guò)點(diǎn)E作EG∥AB，交線段AC于點(diǎn)G，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，若AD＝4，求線段MG的長(zhǎng)度．【解答】（1）證明：∵9（EF2﹣CF2）＝OC2，OC＝3CE，∴9（EF2﹣CF2）＝9EC2，∴EF2＝EC2+CF2，∴∠ECF＝90°，∴OC⊥CF，∴直線CF是⊙O的切線．（2）①證明：∵∠COD＝2∠DAC，∠COD＝2∠BOC，∴∠DAC＝∠EOB，∵∠DCA＝∠EBO，∴△ACD∽△OBE．②解：∵OB＝OC，OC＝3EC，∴OB：OE＝3：2，∵△ACD∽△OBE，∴＝，∴＝＝，∵AD＝4，∴AC＝6，∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，∴CM＝MA＝3，∵EG∥OA，∴＝＝，∴CG＝2，∴MG＝CM﹣CG＝3﹣2＝1，即線段MG的長(zhǎng)度為1．【類(lèi)型三與銳角三角函數(shù)有關(guān)問(wèn)題】11．（2021?宜賓）如圖1，D為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑BA的延長(zhǎng)線上，且∠CDA＝∠CBD．（1）判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若tan∠ADC＝，AC＝2，求⊙O的半徑；（3）如圖2，在（2）的條件下，∠ADB的平分線DE交⊙O于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，連結(jié)BE．求sin∠DBE的值．【解答】解：（1）CD與⊙O相切，理由：如圖1，連接OD，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠CBD，∵∠CDA＝∠CBD，∴∠CDA＝∠ODB，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝∠ADO+∠ODB＝90°，∴∠CDA+∠ADO＝90°，∴∠CDO＝90°，∴OD⊥CD，∴CD與⊙O相切；（2）由（1）知，∠CBD＝∠ADC，∵tan∠ADC＝，∴tan∠CBD＝，在Rt△ADB中，tan∠CBD＝＝，∵∠C＝∠C，∠ADC＝∠CBD，∴△CAD∽△CDB，∴，∴CD＝2CA＝4，∴CB＝2CD＝8，∴AB＝CB﹣CA＝8﹣2＝6，∴OA＝OB＝AB＝3，∴⊙O的半徑為3；（3）如圖2，連接OE，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BD于G，∵DE平分∠ADB，∴∠ADE＝∠BDE＝45°，∴∠BOE＝2∠BDE＝90°，∴BE＝＝3，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2＝62，∵，∴AD＝，BD＝，∵EG⊥BD，∠BDE＝45°，∴∠DEG＝∠BDE＝45°，∴DG＝EG，設(shè)DG＝EG＝x，則BG＝BD﹣DG＝﹣x，在Rt△BEG中，EG2+BG2＝BE2＝（3）2＝18，∴x2+（﹣x）2＝18，∴x＝或x＝（舍），∴EG＝，∴sin∠DBE＝＝．12．（2021?武漢）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點(diǎn)，C是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作AD的垂線，垂足是E．連接AC交BD于點(diǎn)F．（1）求證：CE是⊙O的切線；（2）若＝，求cos∠ABD的值．【解答】（1）證明：連接OC交BD于點(diǎn)G，∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∴由圓的對(duì)稱(chēng)性得OC垂直平分BD，∴∠DGC＝90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠EDB＝90°，∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，∴四邊形EDGC是矩形，∴∠ECG＝90°，∴CE⊥OC，∴CE是⊙O的切線；（2）解：連接BC，設(shè)FG＝x，OB＝r，∵＝，設(shè)DF＝t，DC＝t，由（1）得，BC＝CD＝t，BG＝GD＝x+t，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠BCG+∠FCG＝90°，∵∠DGC＝90°，∴∠CFB+∠FCG＝90°，∴∠BCG＝∠CFB，∴Rt△BCG∽R(shí)t△BFC，∴BC2＝BG?BF，∴（t）2＝（x+t）（2x+t）解得x1＝t，x2＝﹣t（不符合題意，舍去），∴CG＝＝＝t，∴OG＝r﹣t，在Rt△OBG中，由勾股定理得OG2+BG2＝OB2，∴（r﹣t）2+（2t）2＝r2，解得r＝t，∴cos∠ABD＝＝＝．方法二、設(shè)CF＝n，由△CBF∽△CAB，可得CB2＝CF?CA，則AF＝＝，∵BF＝＝，∵△FDA∽△FCB，∴，∴＝，∴n＝t或t（舍去），∴BF＝3t，∴BD＝4t，∵△FDA∽△FCB，∴＝，∴AD＝t，∴AB＝3t，∴cos∠ABD＝＝．13．（2021?甘肅）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，D是⊙O的直徑AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠DCB＝∠OAC．過(guò)圓心O作BC的平行線交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半徑及tan∠OCB的值．【解答】（1）證明：∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠DCB＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DCB，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠OCA+∠OCB＝90°，∴∠DCB+∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，∴OC⊥DC，∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵OE∥BC，∴＝，∵CD＝4，CE＝6，∴＝＝，設(shè)BD＝2x，則OB＝OC＝3x，OD＝OB+BD＝5x，∵OC⊥DC，∴△OCD是直角三角形，在Rt△OCD中，OC2+CD2＝OD2，∴（3x）2+42＝（5x）2，解得，x＝1，∴OC＝3x＝3，即⊙O的半徑為3，∵BC∥OE，∴∠OCB＝∠EOC，在Rt△OCE中，tan∠EOC＝＝＝2，∴tan∠OCB＝tan∠EOC＝2．14．（2022?南充）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)D是⊙O外一點(diǎn)，∠BCD＝∠BAC，連接OD交BC于點(diǎn)E．（1）求證：CD是⊙O的切線．（2）若CE＝OA，sin∠BAC＝，求tan∠CEO的值．【解答】（1）證明：連接OC，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠BCD＝∠BAC，∴∠OCB+∠DCB＝90°，∴OC⊥CD，∵OC為⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于點(diǎn)H．∵sin∠BAC＝＝，∴可以假設(shè)BC＝4k，AB＝5k，則AO＝OC＝CE＝2.5k，∵OH⊥BC，OC＝OB∴CH＝BH＝2k，∵OA＝OB，AC2＝AB2﹣BC2，∴OH＝AC＝k，∴EH＝CE﹣CH＝2.5k﹣2k＝0.5k，∴tan∠CEO＝＝＝3．15．（2022?揚(yáng)州）如圖，AB為⊙O的弦，OC⊥OA交AB于點(diǎn)P，交過(guò)點(diǎn)B的直線于點(diǎn)C，且CB＝CP．（1）試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若sinA＝，OA＝8，求CB的長(zhǎng)．【解答】解：（1）直線BC與⊙O相切，理由：如圖，連接OB，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∵CP＝CB，∴∠CPB＝∠CBP，∵∠APO＝∠CPB，∴∠APO＝∠CBP，∵OC⊥OA，∴∠A+∠APO＝90°，∴∠OBA+∠CBP＝90°，∴∠OBC＝90°，∵OB為半徑，∴直線BC與⊙O相切；（2）在Rt△AOP中，sinA＝，∵sinA＝，∴設(shè)OP＝x，則AP＝5x，∵OP2+OA2＝AP2，∴，解得：x＝或﹣（不符合題意，舍去），∴OP＝×＝4，∵∠OBC＝90°，∴BC2+OB2＝OC2，∵CP＝CB，OB＝OA＝8，∴BC2+82＝（BC+4）2，解得：BC＝6，∴CB的長(zhǎng)為6．16．（2022?樂(lè)山）如圖，線段AC為⊙O的直徑，點(diǎn)D、E在⊙O上，＝，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F．連結(jié)CE交DF于點(diǎn)G．（1）求證：CG＝DG；（2）已知⊙O的半徑為6，sin∠ACE＝，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)B，使BC＝4．求證：BD是⊙O的切線．【解答】證明：（1）連接AD，∵線段AC為⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠CDG＝90°，∵DF⊥BC，∴∠DFA＝∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠CDG＝∠DAF，∵＝，∴∠DAF＝∠DCG，∴∠CDG＝∠DCG，∴CG＝DG；（2）連接OD，交CE于H，∵＝，∴OD⊥EC，∵sin∠ACE＝＝，∵BC＝4，OD＝OC＝6，∴＝＝，∴＝，∵∠COH＝∠BOD，∴△COH∽△BOD，∴∠BDO＝∠CHO＝90°，∴OD⊥BD，∵OD是⊙O的半徑，∴BD是⊙O的切線．【類(lèi)型四與弧、陰影面積計(jì)算有關(guān)問(wèn)題】17．（2021?張家界）如圖，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，∠OAB＝30°，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓交BO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作OA的平行線，交⊙O于點(diǎn)D，連接AD．（1）求證：AD為⊙O的切線；（2）若OB＝2，求弧CD的長(zhǎng)．【解答】（1）證明；連接OD，∵∠OAB＝30°，∠B＝90°，∴∠AOB＝60°，又∵CD∥AO，∴∠C＝∠AOB＝60°，又∵OC＝OD，∴△COD是等邊三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，又∵OB＝OD，AO＝AO，∴△AOB≌△AOD（SAS），∴∠ADO＝∠ABO＝90°，又∵點(diǎn)D在⊙O上，∴AD是⊙O的切線；（2）解：由題意得，⊙O的半徑OB＝2＝OC，∠COD＝60°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得，＝＝，答：弧CD的長(zhǎng)．18．（2021?麗水）如圖，在△ABC中，AC＝BC，以BC為直徑的半圓O交AB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作半圓O的切線，交AC于點(diǎn)E．（1）求證：∠ACB＝2∠ADE；（2）若DE＝3，AE＝，求的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：連接OD，CD，∵DE是⊙O的切線，∴∠ODE＝90°，∴∠ODC+∠EDC＝90°，∵BC為⊙O直徑，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠ODC，∵AC＝BC，∴∠ACB＝2∠DCE＝2∠OCD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ACB＝2∠ADE；（2）解：由（1）知，∠ADE+∠EDC＝90°，∠ADE＝∠DCE，∴∠AED＝90°，∵DE＝3，AE＝，∴AD＝＝2，tanA＝，∴∠A＝60°，∵AC＝BC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，BC＝AB＝2AD＝4，∴，∴的長(zhǎng)為＝＝．19．（2021?金華）在扇形AOB中，半徑OA＝6，點(diǎn)P在OA上，連結(jié)PB，將△OBP沿PB折疊得到△O′BP．（1）如圖1，若∠O＝75°，且BO′與所在的圓相切于點(diǎn)B．①求∠APO′的度數(shù)．②求AP的長(zhǎng)．（2）如圖2，BO′與相交于點(diǎn)D，若點(diǎn)D為的中點(diǎn)，且PD∥OB，求的長(zhǎng)．【解答】解：（1）①如圖1中，∵BO′是⊙O的切線，∴∠OBO′＝90°，由翻折的性質(zhì)可知，∠OBP＝∠PBO′＝45°，∠OPB＝∠BPO′，∵∠AOB＝75°，∴∠OPB＝∠BPO′＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∴∠OPO′＝120°，∴∠APO′＝180°﹣∠OPO′＝180°﹣120°＝60°．②如圖1中，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥OA于H，在BH上取一點(diǎn)F，使得OF＝FB，連接OF．∵∠BHO＝90°，∴∠OBH＝90°﹣∠BOH＝15°，∵FO＝FB，∴∠FOB＝∠FBO＝15°，∴∠OFH＝∠FOB+∠FBO＝30°，設(shè)OH＝m，則HF＝m，OF＝FB＝2m，∵OB2＝OH2+BH2，∴62＝m2+（m+2m）2，∴m＝或﹣（舍棄），∴OH＝，BH＝，在Rt△PBH中，PH＝＝，∴PA＝OA﹣OH﹣PH＝6﹣﹣＝6﹣2．解法二：連接OO′交PB于T，則BP⊥′OO′，在Rt△OBT中，OT＝OB×sin45°＝3．在Rt△OTP中，OP＝＝2，∴AP＝OA﹣OP＝6﹣2．（2）如圖2中，連接AD，OD．∵＝，∴AD＝BD，∠AOD＝∠BOD，由翻折的性質(zhì)可知，∠OBP＝∠PBD，∵PD∥OB，∴∠DPB＝∠OBP，∴∠DPB＝∠PBD，∴DP＝DB＝AD，∴∠DAP＝∠APD＝∠AOB，∵AO＝OD＝OB，AD＝DB，∴△AOD≌△BOD，∴∠OBD＝∠OAD＝∠AOB＝2∠BOD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝2∠DOB，∴∠DOB＝36°，∴∠AOB＝72°，∴的長(zhǎng)＝＝．20．（2021?宜昌）如圖，在菱形ABCD中，O是對(duì)角線BD上一點(diǎn)（BO＞DO），OE⊥AB，垂足為E，以O(shè)E為半徑的⊙O分別交DC于點(diǎn)H，交EO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，EF與DC交于點(diǎn)G．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若G是OF的中點(diǎn)，OG＝2，DG＝1．①求的長(zhǎng)；②求AD的長(zhǎng)．【解答】解：（1）證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BC于點(diǎn)M，∵BD是菱形ABCD的對(duì)角線，∴∠ABD＝∠CBD，∵OM⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OM，∴BC是⊙O的切線．（2）①如圖2，∵G是OF的中點(diǎn)，OF＝OH，∴OG＝OH，∵AB∥CD，OE⊥AB，∴OF⊥CD，∴∠OGH＝90°，∴sin∠GHO＝，∴∠GHO＝30°，∴∠GOH＝60°，∴∠HOE＝120°，∵OG＝2，∴OH＝4，∴由弧長(zhǎng)公式得到的長(zhǎng)：＝．②如圖3，過(guò)A作AN⊥BD于點(diǎn)N，∵DG＝1，OG＝2，OE＝OH＝4，∴OD＝，OB＝2，DN＝，∴△DOG∽△DAN，∴，∴，∴AD＝．21．（2021?達(dá)州）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)（C不與點(diǎn)A，B重合）連接AC，BC，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D．將△ACD沿AC翻折，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處得△ACE，AE交⊙O于點(diǎn)F．（1）求證：CE是⊙O的切線；（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求陰影部分面積．【解答】（1）證明：連接OC，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵△ACD沿AC翻折得到△ACE，∴∠EAC＝∠BAC，∠AEC＝∠ADC＝90°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠BAC，∴∠ACO＝∠EAC，∴OC∥AE，∴∠AEC+∠ECO＝180°，∴∠ECO＝90°，即OC⊥CE，∴CE是⊙O的切線；（2）解：連接OF，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AE于點(diǎn)G，∵∠BAC＝15°，∴∠BAE＝2∠BAC＝30°，∠COF＝2∠EAC＝2∠BAC＝30°，∵OA＝2，∴OG＝OA＝1，AG＝，∵OA＝OF，∴AF＝2AG＝2，∵∠BOC＝2∠BAC＝30°，CD⊥AB，OC＝OA＝2，∴CD＝OC＝1，OD＝，∴AE＝AD＝AO+OD＝2+，∴EF＝AE﹣AF＝2﹣，CE＝CD＝1，∴S陰影＝S梯形OCEF﹣S扇形OCF＝×（2﹣+2）×1﹣×π×22＝2﹣﹣π．22．（2022?齊齊哈爾）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O，AC與⊙O交于點(diǎn)D，BC與⊙O交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，且CF＝CD，連接BF．（1）求證：BF是⊙O的切線；（2）若∠BAC＝45°，AD＝4，求圖中陰影部分的面積．【解答】（1）證明：如圖1，連接BD，∵AB是直徑，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵AB∥CF，∴∠ABC＝∠FCB，∴∠ACB＝∠FCB，在△DCB和△FCB中，，∴△DCB≌△FCB（SAS），∴∠F＝∠CDB＝90°，∵AB∥CF，∴∠ABF+∠F＝180°，∴∠ABF＝90°，即AB⊥BF，∵AB為直徑，∴BF是⊙O的切線；（2）解：如圖2，連接BD、OE交于點(diǎn)M，連接AE，∵AB是直徑，∴AE⊥BC，AD⊥BD，∵∠BAC＝45°，AD＝4，∴△ABD是等腰直角三角形，∴BD＝AD＝4，AB＝＝＝4，∴OA＝OB＝2，∴OE是△ADB的中位線，∴OE∥AD，∴∠BOE＝∠BAC＝45°，OE⊥BD，，∴BM＝BD＝×4＝2，∴S陰影部分＝S扇形BOE﹣S△BOE＝﹣××2＝．23．（2022?臨沂）如圖，AB是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，直線AO交⊙O于C，D兩點(diǎn)，連接BC，BD．過(guò)圓心O作BC的平行線，分別交AB的延長(zhǎng)線、⊙O及BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，G．（1）求證：∠D＝∠E；（2）若F是OE的中點(diǎn)，⊙O的半徑為3，求陰影部分的面積．【解答】（1）證明：連接OB，∵AB是⊙O的切線，∴∠OBE＝90°，∴∠E+∠BOE＝90°，∵CD為⊙O的直徑，∴∠CBD＝90°，∴∠D+∠DCB＝90°，∵OE∥BC，∴∠BOE＝∠OBC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠BOE＝∠OCB，∴∠D＝∠E；（2）解：∵F為OE的中點(diǎn)，OB＝OF，∴OF＝EF＝3，∴OE＝6，∴BO＝OE，∵∠OBE＝90°，∴∠E＝30°，∴∠BOG＝60°，∵OE∥BC，∠DBC＝90°，∴∠OGB＝90°，∴OG＝，BG＝，∴S△BOG＝OG?BG＝＝，S扇形BOF＝＝π，∴S陰影部分＝S扇形BOF﹣S△BOG＝．24．（2022?內(nèi)江）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，⊙O的切線PC交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，OF∥BC交AC于點(diǎn)E，交PC于點(diǎn)F，連接AF．（1）判斷直線AF與⊙O的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；（2）若⊙O的半徑為6，AF＝2，求AC的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積．【解答】解：（1）直線AF與⊙O相切．理由如下：連接OC，∵PC為圓O切線，∴CP⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵OF∥BC，∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∴∠AOF＝∠COF，∵在△AOF和△COF中，，∴△AOF≌△COF（SAS），∴∠OAF＝∠OCF＝90°，∴AF⊥OA，又∵OA為圓O的半徑，∴AF為圓O的切線；（2）∵∠AOF＝∠COF，OA＝OC，∴E為AC中點(diǎn)，即AE＝CE＝AC，OE⊥AC，∵∠OAF＝90°，OA＝6，AF＝2，∴tan∠AOF＝，∴∠AOF＝30°，∴AE＝OA＝3，∴AC＝2AE＝6；（3）∵AC＝OA＝6，OC＝OA，∴△AOC是等邊三角形，∴∠AOC＝60°，OC＝6，∵∠OCP＝90°，∴CP＝OC＝6，∴S△OCP＝OC?CP＝＝18，S扇形AOC＝＝6π，∴陰影部分的面積為S△OCP﹣S扇形AOC＝18﹣6π．【類(lèi)型五與特殊四邊形有關(guān)的問(wèn)題】25．（2022?福建）如圖，BD是矩形ABCD的對(duì)角線．（1）求作⊙A，使得⊙A與BD相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，設(shè)BD與⊙A相切于點(diǎn)E，CF⊥BD，垂足為F．若直線CF與⊙A相切于點(diǎn)G，求tan∠ADB的值．【解答】解：（1）根據(jù)題意作圖如下：（2）設(shè)∠ADB＝α，⊙A的半徑為r，∵BD與⊙A相切于點(diǎn)E，CF與⊙A相切于點(diǎn)G，∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，∵CF⊥BD，∴∠EFG＝90°，∴四邊形AEFG是矩形，又AE＝AG＝r，∴四邊形AEFG是正方形，∴EF＝AE＝r，在Rt△AEB和Rt△DAB中，∠BAE+∠ABD＝90°，∠ADB+∠ABD＝90°，∴∠BAE＝∠ADB＝α，在Rt△ABE中，tan∠BAE＝，∴BE＝r?tanα，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF，又∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△ABE≌△CDF，∴BE＝DF＝r?tanα，∴DE＝DF+EF＝r?tanα+r，在Rt△ADE中，tan∠ADE＝，即DE?tanα＝AE，∴（r?tanα+r）?tanα＝r，即tan2α+tanα﹣1＝0，∵tanα＞0，∴tanα＝，即tan∠ADB的值為．26．（2019?南充模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分線，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，D的圓與BC交于點(diǎn)E．（1）求證：AC是⊙O的切線．（2）若四邊形ODEB是菱形，時(shí)，求⊙O的半徑．【解答】（1）證明：∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵BD是角平分線，∴∠OBD＝∠DBC，∴∠DBC＝∠ODB．∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴OD⊥AC，∴AC是⊙O的切線；（2）解：連接OE，當(dāng)四邊形ODEB是菱形時(shí)，OD＝DE．∴OE＝OD＝DE，∴△ODE是等邊三角形，∴∠ODE＝60°．∴∠EDC＝30°，∴，∴BC＝3EC，∵，∴，∴⊙O的半徑為．27．（2022?大冶市校級(jí)模擬）如圖：AB是⊙O的直徑，C、G是⊙O上兩點(diǎn)，且點(diǎn)C是劣弧AG的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的直線CD⊥BG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BC，交OD于點(diǎn)F．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若ED＝DB，求證：3OF＝2DF；（3）在（2）的條件下，連接AD，若CD＝3，求AD的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：如圖1，連接OC，AC，CG，∵AC＝CG，∴＝，∴∠ABC＝∠CBG，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OCB＝∠CBG，∴OC∥BG，∵CD⊥BG，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線；（2）解：如圖1，∵CD⊥BG，∴∠BDE＝90°，∵ED＝DB，∴tanE＝＝，∴∠E＝30°，∴∠EBD＝∠COE＝60°，∴OC＝OE，∴OC＝OA＝AE，∵OC∥BD，∴△EOC∽△EBD，∴，∵OC∥BD，∴△COF∽△BDF，∴，∴3OF＝2DF；（3）解：如圖2，過(guò)A作AH⊥DE于H，∵∠E＝30°∴∠EBD＝60°，∴∠CBD＝∠EBD＝30°，∵CD＝3，∴BD＝3，DE＝9，BE＝6，∴AE＝BE＝2，∴AH＝，∴EH＝3，∴DH＝9﹣3＝6，在Rt△DAH中，AD＝＝．28．（2022?蜀山區(qū)校級(jí)三模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，O是AB邊上的一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑的⊙O與邊BC相切于點(diǎn)E．（1）若AB＝8，⊙O的半徑為3，求AC的長(zhǎng)．（2）過(guò)點(diǎn)E作弦EF⊥AB于G，連接AF，若∠AFE＝2∠ABC．求證：四邊形ACEF是菱形．【解答】（1）解：連接OE，∵AB＝8，⊙O的半徑為3，∴OB＝8﹣3＝5，∵⊙O與邊BC相切于點(diǎn)E，∴OE⊥BC，∴BE＝＝＝4，∵∠BAC＝90°，∴CA是⊙O的切線，∴CA＝CE，在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，即AC2+82＝（4+AC）2，解得：AC＝6；（2）證明：由圓周角定理得：∠AOE＝2∠AFE，∵∠AFE＝2∠ABC，∴∠AOE＝4∠ABC，∵∠AOE＝90°+∠ABC，∴∠ABC＝30°，∴∠AFE＝60°，∵EF⊥AB，∴∠FEB＝60°，∴∠AFE＝∠FEB，∴AF∥BC，∵∠BAC＝90°，EF⊥AB，∴AC∥EF，∴四邊形ACEF為平行四邊形，∵CA＝CE，∴平行四邊形ACEF為菱形．29．（2018?盤(pán)錦）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在線段AB上，以AD為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)E，與AC相交于點(diǎn)F，∠B＝∠BAE＝30°．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若AC＝3，求⊙O的半徑r；（3）在（1）的條件下，判斷以A、O、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為哪種特殊四邊形，并說(shuō)明理由．【解答】解：（1）如圖1，連接OE，∴OA＝OE，∴∠BAE＝∠OEA，∵∠BAE＝30°，∴∠OEA＝30°，∴∠BOE＝∠BAE+∠OEA＝60°，在△BOE中，∠B＝30°，∴∠OEB＝180°﹣∠B﹣∠BOE＝90°，∴OE⊥BC，∵點(diǎn)E在⊙O上，∴BC是⊙O的切線；（2）如圖2，∵∠B＝∠BAE＝30°，∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝60°，在Rt△ACE中，AC＝3，sin∠AEC＝，∴AE＝＝＝2，連接DE，∵AD是⊙O的直徑，∴∠AED＝90°，在Rt△ADE中，∠BAE＝30°，cos∠DAE＝，∴AD＝＝＝4，∴⊙O的半徑r＝AD＝2；（3）以A、O、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，理由：如圖3，在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，連接OF，∴OA＝OF，∴△AOF是等邊三角形，∴OA＝AF，∠AOF＝60°，連接EF，OE，∴OE＝OF，∵∠OEB＝90°，∠B＝30°，∴∠AOE＝90°+30°＝120°，∴∠EOF＝∠AOE﹣∠AOF＝60°，∵OE＝OF，∴△OEF是等邊三角形，∴OE＝EF，∵OA＝OE，∴OA＝AF＝EF＝OE，∴四邊形OAFE是菱形．30．（2020?新野縣二模）如圖，以△ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓，經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，且與BC邊交于點(diǎn)E，D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)，連接AD交BC于F，若AC＝FC．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若BF＝8，，求⊙O的半徑；（3）過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交CA的延長(zhǎng)線于G，如果連接AE，將線段AC以直線AE為對(duì)稱(chēng)軸作對(duì)稱(chēng)線段AH，點(diǎn)H正好落在⊙O上，連接BH，請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形AHBG的形狀．【解答】解：（1）證明：如圖1，連接OA，OD，則∠OAF＝∠D，∵D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)，∴，∴，∴∠OFD+∠D＝90°，∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CFA＝∠OFD，∴∠CAF+∠OAF＝90°，即∠CAO＝90°，∴OA⊥CA，∴AC是⊙O的切線；（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則OF＝BF﹣OB＝8﹣r，∵在Rt△OFD中，OF2+OD2＝DF2，∴，解得，r1＝6，r2＝2（舍去），∴⊙O的半徑為6；（3）四邊形AHBG是菱形．證明：如圖2，連接EH，由對(duì)稱(chēng)性可知AC＝AH，∠CAE＝∠HAE，又∵AE＝AE，∴△CAE≌△HAE（SAS），∴∠C＝∠EHA，∵＝，∴∠EHA＝∠ABE，∴∠C＝∠ABE，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵BE為⊙O的直徑，∴∠EAB＝90°，∴∠OAB+∠OAE＝90°，又∵∠CAE+∠OAE＝90°，∴∠CAE＝∠OAB，∴∠C＝∠OBA＝∠OAB＝∠CAE，∴AC＝AB，∴△CAE≌△BAO（ASA），∴AE＝AO＝OE，∴△AEO是等邊三角形，∴∠AEO＝60°，∴∠ABE＝90°﹣∠AEO＝30°，∠AHB＝∠AEO＝60°，∴∠ABG＝90°﹣∠ABE＝60°，∵CA＝AH，CA＝AB，∴AH＝AB，又∠AHB＝60°，∴△ABH是等邊三角形，∴AB＝BH＝AH，∵GB，GA是⊙O的切線，∴GB＝GA，又∠ABG＝60°，∴△ABG是等邊三角形，∴AB＝BG＝AG，∴BH＝AH＝BG＝AG，∴四邊形AHBG是菱形．【類(lèi)型六圓中探究形問(wèn)題】31．（2022?包頭）如圖，AB為⊙O的切線，C為切點(diǎn)，D是⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，DF交⊙O于點(diǎn)E，連接EO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)G，連接CG，OC，OD，已知∠DOE＝2∠CGE．（1）若⊙O的半徑為5，求CG的長(zhǎng)；（2）試探究DE與EF之間的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出并證明你的結(jié)論．（請(qǐng)用兩種證法解答）【解答】解：（1）連接CE，∵，∴∠COE＝2∠CGE，∵∠DOE＝2∠CGE，∴∠COE＝∠DOE，∵AB為⊙O的切線，C為切點(diǎn)，∴OC⊥AB，∴∠OCB＝