2024年浙江省寧波市中考數(shù)學精準模擬試卷（十）

第1頁（共1頁）2024年浙江省寧波市中考數(shù)學精準模擬試卷（十）一、選擇題：本大題有10個小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（3分）2023年中秋節(jié)與國慶節(jié)假期恰逢杭州亞運會，西湖景區(qū)共接待游客約3689100人次．數(shù)據(jù)3689100用科學記數(shù)法表示為（）A．0.36891×107 B．3.6891×106 C．36.891×105 D．368.91×1042．（3分）計算：（﹣2）3+32＝（）A．1 B．3 C．15 D．173．（3分）因式分解：2a2﹣12a+18＝（）A．2（a2﹣6a+9） B．（a﹣3）2 C．2（a﹣3）（a+3） D．2（a﹣3）24．（3分）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O．若AB＝AC，則＝（）A． B． C． D．5．（3分）在平面直角坐標系中，把點A（1，n）先向左平移2個單位長度，則n＝（）A．2 B．3 C．4 D．56．（3分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AD是直徑，則∠ABC＝（）A．50° B．55° C．60° D．65°7．（3分）已知數(shù)據(jù)a1，a2，a3，a4的平均數(shù)為x1；a5，a6，a7，a8，a9，a10的平均數(shù)為x2；x1與x2的平均數(shù)為x；a1，a2，a3，?，a8，a9，a10的平均數(shù)為y．那么x與y的大小關系是（）A．x＞y B．x＜y C．x＝y(tǒng) D．不能確定8．（3分）已知實數(shù)x，y滿足x﹣2y＝4，且x＞﹣2，設m＝x﹣y，則m的取值范圍是（）A．m＞﹣3 B．m＞1 C．﹣3＜m≤1 D．1＜m≤59．（3分）如圖，在正方形ABCD中，M，N是邊AD上的兩點，CM，過點A作BN的垂線，則＝（）A． B． C． D．10．（3分）已知二次函數(shù)y＝x2+x+c（c＞0），若x＝a，則y＜0．當x＝a+1時（）A．y＜0 B．0＜y＜c C．c＜y＜c+2 D．y＞c+1二、填空題：本大題有6個小題，每小題3分，共18分.11．（3分）計算：×﹣＝．12．（3分）如圖，AB∥CD，∠ABE＝50°，則∠BEC＝．13．（3分）一個不透明布袋里裝有4個紅球和5個白球，現(xiàn)在放進去n個黃球（僅有顏色不同）．若從中任意摸出的1個球是黃球的概率為．14．（3分）如圖，正六邊形ABCDEF的頂點A，F(xiàn)分別在正方形BMGH的邊BH，設正六邊形ABCDEF的面積為S1，正方形BMGH的面積為S2，則＝．15．（3分）已知直線y1＝x，y2＝﹣x+b，y3＝2x﹣b（b＞0），若無論x取何值，y總取y1，y2，y3的最小值，則當x＝時，y的值最大．（用含b的代數(shù)式表示）16．（3分）將一副三角板按如圖所示的方式擺放，△ABC為等腰直角三角形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝，記DB交AC于點E．若AC上的點F滿足∠DBF＝45°．三、解答題：本大題有8個小題，共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算.17．（6分）已知關于x的方程x2+3x+2m＝0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若m為正整數(shù)，求此時方程的根．18．（6分）為迎接亞運會，杭州市某社區(qū)從細微處著眼，于貼心處落地，文明我先行”活動，其服務項目有“清潔衛(wèi)生”“敬老服務”“文明宣傳”“交通勸導”．每名參加志愿者服務的黨員只參加其中一項．為了解各項目參與情況，將調查結果繪制成如下兩張不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)統(tǒng)計圖信息，解答下列問題：（1）本次調查的黨員共有人，請補全條形統(tǒng)計圖．（2）在扇形統(tǒng)計圖中，求“敬老服務”對應的圓心角度數(shù)．（3）該社區(qū)共有1000名黨員，若有90%的黨員參加志愿者服務，請你估計參加“文明宣傳”項目的黨員人數(shù)．19．（8分）在同一個平面直角坐標系中，存在函數(shù)y1＝k1x+2+k1，函數(shù)（k1，k2是實數(shù)且k1≠0，k2≠0）．（1）若函數(shù)y1和函數(shù)y2的圖象交于點A（﹣1，m），B（2，n），求函數(shù)y1，y2的解析式．（2）若點C（1，a）在函數(shù)y2的圖象上，點C先關于x軸對稱，得點C′，點D恰好落在函數(shù)y1的圖象上，求k2的值．20．（8分）在?ABCD中，O是對角線AC的中點，要在AC上找兩點E，F(xiàn)，如圖所示．方案①：如圖1，在對角線AC上截取AE＝CF；方案②：如圖2，過點B作BE⊥AC，過D作DF⊥AC．請回答下列問題：（1）以上方案能得到四邊形BEDF為平行四邊形的是，請給出證明（若兩種方案都滿足要求，則任選一種證明）；若不能，請說明理由．（2）若EF＝2AE，S△AED＝1，在你選擇的方案中求?ABCD的面積．21．（10分）如表是二次函數(shù)圖象上部分點的自變量x和函數(shù)值y：x…234567…y…3﹣2m﹣5﹣23（1）觀察表格，則m＝；（2）求此二次函數(shù)的解析式，寫出一個符合條件的k的值，使得當x≤k時；（3）該二次函數(shù)的圖象與直線y＝n有兩個交點A，B，若AB≤6，求出n的取值范圍．22．（10分）如圖，在矩形ABCD中，M為BC上一點，ME交CD于點F，交AD的延長線于點E，CM＝1．（1）設k＝0，AB＝2．①求CF的長；②求的值．（2）若k＝2，連接AF，AF平分∠DAM23．（12分）點茶是宋代傳統(tǒng)文化技藝，它的重現(xiàn)具有歷史、文化、藝術、科學等多重價值和意義．小華在體驗點茶文化時，發(fā)現(xiàn)倒茶時的情景（圖1），并建立平面直角坐標系，如圖2所示，壺口為點C，曲線BC與茶水CF可視作在同一條拋物線上．若點B（桌面）平行，且茶碗邊沿（厚度忽略不計），線段BC＝4cm，壺柄與豎直方向的夾角為α．茶碗的直徑為8cm，高度為2cm．若點A相對桌面的高度OA＝15cm時（1）求點C相對桌面的高度．（2）求圖中拋物線的解析式．（3）為展現(xiàn)精湛的技術，小華手持茶壺穩(wěn)穩(wěn)向上提起（視作向上平移），要求茶水一滴都不能灑到茶碗外24．（12分）綜合與實踐【問題提出】小明在數(shù)學課上遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，已知AB，求BC邊上中線AD的取值范圍．他用“倍長中線”的方法構造全等三角形，即延長AD至點E，再連接BE，得到一對全等三角形下課后小明繼續(xù)思考，已知三角形中兩邊的長，是否能求夾角的角平分線？如果不能【探究發(fā)現(xiàn)】（1）小明設計了這樣的問題：如圖2，在△ABC中，已知AB＝5，AF平分∠BAC．若∠BAC＝60°，求AF的長．他的方法是過點B作AC的平行線①求AF的長．②若AB＝a，AC＝b，∠BAC＝2α．（用含a，b，α的代數(shù)式表示）【拓展延伸】（2）老師看到小明的研究后告訴他，求三角形角平分線還可以借助圓的知識來解決．如圖3，作△ABC的外接圓⊙O，交⊙O于點Q．①已知AB＝5，AC＝3，求AP?AQ的值．②求證：AP2＝AB?AC﹣BP?CP．

2024年浙江省寧波市中考數(shù)學精準模擬試卷（十）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題有10個小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（3分）2023年中秋節(jié)與國慶節(jié)假期恰逢杭州亞運會，西湖景區(qū)共接待游客約3689100人次．數(shù)據(jù)3689100用科學記數(shù)法表示為（）A．0.36891×107 B．3.6891×106 C．36.891×105 D．368.91×104【解答】解：3689100＝3.6891×106．故選：B．2．（3分）計算：（﹣2）3+32＝（）A．1 B．3 C．15 D．17【解答】解：（﹣2）3+62＝﹣8+7＝1．故選：A．3．（3分）因式分解：2a2﹣12a+18＝（）A．2（a2﹣6a+9） B．（a﹣3）2 C．2（a﹣3）（a+3） D．2（a﹣3）2【解答】解：原式＝2（a2﹣8a+9）＝2（a﹣7）2，故選：D．4．（3分）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O．若AB＝AC，則＝（）A． B． C． D．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AO＝CO，∵AB＝AC，∴AB＝AC＝BC，∴AB＝AC＝2AO，∴OB＝＝＝AO，∴＝＝，故選：D．5．（3分）在平面直角坐標系中，把點A（1，n）先向左平移2個單位長度，則n＝（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵點A（1，n）先向左平移2個單位長度，∴點B的坐標為（﹣7，n﹣3）．∵點B的橫坐標和縱坐標互為相反數(shù)，∴n﹣3＝﹣（﹣4）＝1，∴n＝4．故答案為：C．6．（3分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AD是直徑，則∠ABC＝（）A．50° B．55° C．60° D．65°【解答】解：如圖，連接CD，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD＝90°，∴∠CAD+∠ADC＝90°，∵∠CAD＝35°，∴∠ADC＝90°﹣35°＝55°，由圓周角定理得：∠ABC＝∠ADC＝55°，故選：B．7．（3分）已知數(shù)據(jù)a1，a2，a3，a4的平均數(shù)為x1；a5，a6，a7，a8，a9，a10的平均數(shù)為x2；x1與x2的平均數(shù)為x；a1，a2，a3，?，a8，a9，a10的平均數(shù)為y．那么x與y的大小關系是（）A．x＞y B．x＜y C．x＝y(tǒng) D．不能確定【解答】解：．由算術平均數(shù)的定義可知，a1+a2+a7+a4＝4x4，a5+a6+a8+a8+a9+a10＝5x2，∵x＝，∵（a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a8+a10）＝y(tǒng)＝，令x﹣y＝＝，若x1＞x4，則＞2．∴．x﹣y＞0，∴x＞y，若x1＝x2，則＝5，∴x＝y(tǒng)，若x1＜x2，則＜0．∴．x﹣y＜4，∴x＜y，由于x1，x2的大小無法確定，則x和y的大小也無法確定，故選：D．8．（3分）已知實數(shù)x，y滿足x﹣2y＝4，且x＞﹣2，設m＝x﹣y，則m的取值范圍是（）A．m＞﹣3 B．m＞1 C．﹣3＜m≤1 D．1＜m≤5【解答】解：∵x﹣2y＝4，∴y＝x﹣2，∵y≤5，∴，解得x≤6，又∵x＞﹣8，∴﹣2＜x≤6，∵m＝x﹣y，∴m＝x﹣（x﹣2）＝，∴當x＝﹣2時，m＝7，當x＝6時，m＝5，∴8＜m≤5．故選：D．9．（3分）如圖，在正方形ABCD中，M，N是邊AD上的兩點，CM，過點A作BN的垂線，則＝（）A． B． C． D．【解答】解：過點P作PE⊥AD于點E，設AM＝x，DN＝x，∴AD＝AM+MN+DN＝4x，MD＝MN+DN＝3x，AB＝AD＝CD＝8x，∵AP⊥BN，∴∠ABN+∠PAB＝90°，∵∠DAB＝∠PAE+∠PAB＝90°，∴∠PAE＝∠ABN，∴Rt△AEP∽Rt△ABN，∴＝＝＝，∵AP2＝PE7+AE2，∴AP＝PE；∵PE⊥MD，∠D＝90°，∴Rt△MDC∽Rt△MEP，∴＝＝＝，∵PM2＝ME2+PE2，∴PM＝PE，∴＝＝．故選：C．10．（3分）已知二次函數(shù)y＝x2+x+c（c＞0），若x＝a，則y＜0．當x＝a+1時（）A．y＜0 B．0＜y＜c C．c＜y＜c+2 D．y＞c+1【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2+x+c＝（x+）2﹣+c（c＞0），∴該函數(shù)的對稱軸為x＝﹣，圖象開口向上，y＝c，∵x＝a時，y＜0，∴﹣1＜a＜4，∴0＜a+1＜7，∴當x＝a+1時，對函數(shù)值的范圍是c＜y＜c+2，故選：C．二、填空題：本大題有6個小題，每小題3分，共18分.11．（3分）計算：×﹣＝﹣．【解答】解：原式＝﹣3＝﹣7＝﹣．故答案為﹣．12．（3分）如圖，AB∥CD，∠ABE＝50°，則∠BEC＝20°．【解答】解：如圖，延長DC交BE于點F，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BFD，∵∠ABE＝50°，∴∠BFD＝50°，∴∠EFC＝180°﹣∠BFD＝180°﹣50°＝130°，∵∠ECD是△EFC的外角，∴∠ECD＝∠BEC+∠EFC，∵∠ECD＝150°，∴∠BEC＝∠ECD﹣∠EFC＝150°﹣130°＝20°，故答案為：20°．13．（3分）一個不透明布袋里裝有4個紅球和5個白球，現(xiàn)在放進去n個黃球（僅有顏色不同）．若從中任意摸出的1個球是黃球的概率為3．【解答】解：由題意得：＝，解得：n＝3，經(jīng)檢驗，n＝6是原方程的解，故答案為：3．14．（3分）如圖，正六邊形ABCDEF的頂點A，F(xiàn)分別在正方形BMGH的邊BH，設正六邊形ABCDEF的面積為S1，正方形BMGH的面積為S2，則＝．【解答】解：設正六邊形的邊長為a，由正六邊形的性質可得∠BAF＝120°，∴∠FAH＝60°，∠AFH＝30°，∴AH＝a，∴BH＝a+a＝a，∴正方形BMGH的面積為S2＝a2，連接BE，AD交于點O，如圖，則AN＝a，ON＝a，∴正六邊形ABCDEF的面積為S7＝×6＝a2，∴＝＝．故答案為：．15．（3分）已知直線y1＝x，y2＝﹣x+b，y3＝2x﹣b（b＞0），若無論x取何值，y總取y1，y2，y3的最小值，則當x＝b時，y的值最大．（用含b的代數(shù)式表示）【解答】解：由題意可知三條直線兩兩相交，由得：；由得：；由得：．∴三個交點為：A（，），B（b，，C（b，如圖，當x≤b時，y3的值最小，∵無論x取何值，y總取y8，y2，y3的最小值，∴y＝y(tǒng)5的值，∵y3的值隨x的增大而增大，∴當x＝b時b；當x≥b時，y2的值最小，∵無論x取何值，y總取y7，y2，y3的最小值，∴y＝y(tǒng)8的值，∵y3的值隨x的增大而減小，∴當x＝b時b．綜上，當x＝，y的值最大．故答案為：b．16．（3分）將一副三角板按如圖所示的方式擺放，△ABC為等腰直角三角形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝，記DB交AC于點E．若AC上的點F滿足∠DBF＝45°﹣．【解答】解：∵△ABC為等腰直角三角形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝，∴∠BAC＝∠C＝45°，BD＝2AD，∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAC＝45°，AB＝＝＝，∴∠C＝∠EAD，AD＝1，∴BD＝8，∵∠CEB＝∠AED，∴△CEB∽△AED，∴＝＝＝＝，∵AC＝＝AB＝×＝，∴＝＝，∴CE＝，BE＝7﹣，∵∠DBF＝∠C＝45°，∠BEF＝∠CEB，∴△BEF∽△CEB，∴＝，∴EF＝＝＝，故答案為：﹣．三、解答題：本大題有8個小題，共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算.17．（6分）已知關于x的方程x2+3x+2m＝0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若m為正整數(shù)，求此時方程的根．【解答】解：（1）∵關于x的一元二次方程x2+4x+3m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ＝b2﹣7ac＝32﹣6×1×2m＞4，解得：m＜，∴m的取值范圍為m＜；（2）∵m為正整數(shù)，∴m＝1，∴原方程為x4+3x+2＝8，即（x+1）（x+2）＝2，解得：x1＝﹣1，x4＝﹣2，∴當m為正整數(shù)時，此時方程的根為﹣1和﹣2．18．（6分）為迎接亞運會，杭州市某社區(qū)從細微處著眼，于貼心處落地，文明我先行”活動，其服務項目有“清潔衛(wèi)生”“敬老服務”“文明宣傳”“交通勸導”．每名參加志愿者服務的黨員只參加其中一項．為了解各項目參與情況，將調查結果繪制成如下兩張不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)統(tǒng)計圖信息，解答下列問題：（1）本次調查的黨員共有300人，請補全條形統(tǒng)計圖．（2）在扇形統(tǒng)計圖中，求“敬老服務”對應的圓心角度數(shù)．（3）該社區(qū)共有1000名黨員，若有90%的黨員參加志愿者服務，請你估計參加“文明宣傳”項目的黨員人數(shù)．【解答】解：（1）本次調查的師生共有：60÷20%＝300（人），“文明宣傳”的人數(shù)為：300﹣60﹣120﹣30＝90（人），補全條形統(tǒng)計圖如下：故答案為：300；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，“敬老服務”對應的圓心角度數(shù)為360°×；（3）1000×90%×＝270（名），答：估計參加“文明宣傳”項目的黨員人數(shù)大約為270名．19．（8分）在同一個平面直角坐標系中，存在函數(shù)y1＝k1x+2+k1，函數(shù)（k1，k2是實數(shù)且k1≠0，k2≠0）．（1）若函數(shù)y1和函數(shù)y2的圖象交于點A（﹣1，m），B（2，n），求函數(shù)y1，y2的解析式．（2）若點C（1，a）在函數(shù)y2的圖象上，點C先關于x軸對稱，得點C′，點D恰好落在函數(shù)y1的圖象上，求k2的值．【解答】解：（1）∵函數(shù)y1和函數(shù)y2的圖象交于點A（﹣8，m），n），∴A點在函數(shù)y1＝k1x+3+k1圖象上，∴m＝﹣k1+4+k1，即m＝2，∴A（﹣2，2），∵A點也在函數(shù)圖象上，∴2＝，∴k2＝﹣2，∴，∵B點在函數(shù)y2的圖象上，即把B點坐標代入y8函數(shù)解析式，∴n＝＝﹣3，∴B（2，﹣1），∵B點也在函數(shù)y2＝k1x+2+k8圖象上，∴﹣1＝2k6+2+k1，∴k8＝﹣1，∴y1＝﹣x+8，∴函數(shù)y1，y2的解析式分別是：y6＝﹣x+1，；（2）∵點C（1，a）關于x軸對稱，∴C′（1，﹣a），再向左平移8個單位長度得點D，∴D（﹣1，﹣a），∵點D恰好落在函數(shù)y1的圖象上，∴﹣a＝﹣k4+2+k1，∴a＝﹣4，即C（1，﹣2），∵點C（4，﹣2）在函數(shù)y2的圖象上，∴﹣8＝，即：k7＝﹣2．20．（8分）在?ABCD中，O是對角線AC的中點，要在AC上找兩點E，F(xiàn)，如圖所示．方案①：如圖1，在對角線AC上截取AE＝CF；方案②：如圖2，過點B作BE⊥AC，過D作DF⊥AC．請回答下列問題：（1）以上方案能得到四邊形BEDF為平行四邊形的是①②，請給出證明（若兩種方案都滿足要求，則任選一種證明）；若不能，請說明理由．（2）若EF＝2AE，S△AED＝1，在你選擇的方案中求?ABCD的面積．【解答】解：（1）以上方案能得到四邊形BEDF為平行四邊形的是①②，證明如下：方案①：如圖1，連接BD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，O是對角線AC的中點，∴AB∥CD，AB＝CD，O是對角線BD的中點，∴OB＝OD，∵AE＝CF，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，∴四邊形BEDF是平行四邊形；故甲方案正確；方案②：∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴BE∥DF，∠AEB＝∠CFD＝90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF，∴四邊形BEDF是平行四邊形；故答案為：①②；（2）由（1）得OE＝OF，∴EF＝2OE，∵EF＝3AE，∴2OE＝2AE，∴OE＝AE＝CF＝OF，∴S△ABC＝S△ADC＝3S△AED＝4×1＝6，∴S?ABCD＝2×4＝6，即?ABCD的面積是8．21．（10分）如表是二次函數(shù)圖象上部分點的自變量x和函數(shù)值y：x…234567…y…3﹣2m﹣5﹣23（1）觀察表格，則m＝﹣5；（2）求此二次函數(shù)的解析式，寫出一個符合條件的k的值，使得當x≤k時；（3）該二次函數(shù)的圖象與直線y＝n有兩個交點A，B，若AB≤6，求出n的取值范圍．【解答】解：（1）由表格可知當x＝2時，y＝﹣2，y＝﹣6，∴該拋物線的對稱軸為直線．∴當x＝3時的函數(shù)值與x＝5時的函數(shù)值相等．∵當x＝4時，y＝﹣5，∴當x＝3時，y＝﹣7．故答案為：﹣5；（2）設該拋物線解析式為y＝a（x﹣4）5+h．∵當x＝5時，y＝﹣5，y＝﹣5，∴，解得：，∴該拋物線解析式為y＝（x﹣4）2﹣6＝x2﹣8x+10，∴拋物線開口向上，當x≤4時；故k可以為7；（3）設二次函數(shù)的圖象與直線y＝n有兩個交點A，B的橫坐標為x1，x2，則x7，x2為x2﹣7x+10＝n的兩個解，即x2﹣8x+10﹣n＝5∴x1+x2＝2，x1?x2＝10﹣n，∴AB＝|x2﹣x2|＝＝≤6，即：＝≤6，∴24+6n≤36，24+4n≥0，解得：﹣5≤n≤3．22．（10分）如圖，在矩形ABCD中，M為BC上一點，ME交CD于點F，交AD的延長線于點E，CM＝1．（1）設k＝0，AB＝2．①求CF的長；②求的值．（2）若k＝2，連接AF，AF平分∠DAM【解答】解：（1）①∵AD﹣AB＝k，k＝0，∴AD＝AB＝2，∵四邊形ABCD為矩形，∴四邊形ABCD為正方形，如圖4所示： ∴BC＝AB＝CD＝AD＝2，AD∥BC，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∵ME⊥AM，∴∠CMF+∠AMB＝90°，∴∠BAM＝∠CMF，∴△ABM∽△MCF，∴AB：CM＝BM：CF，∵CM＝1，∴BM＝BC﹣CM＝8，∴2：1＝2：CF，∴CF＝；②由①可知：BC＝AB＝CD＝AD＝3，BM＝CM＝1，∴DF＝CD﹣CF＝，∵△ABM∽△MCF，∴AM：MF＝AB：CM＝8：1，∴AM＝2MF，∵AD∥BC，∴△DEF∽△CMF，∴EF：MF＝DF：CF＝：，∴EF＝3MF，∴；（2）連接AF，如圖4所示：設AB＝a，∵AD﹣AB＝k，k＝2，∴AD＝a+2，∵四邊形ABCD為矩形，∴BC＝AD＝a+7，AB＝CD＝a，∵CM＝1，∴BM＝BC﹣CM＝a+1，∵AF平分∠DAM，∠CDA＝90°，∴MF＝DF，在Rt△AMF和Rt△ADF中，，∴Rt△AMF≌Rt△ADF（HL），∴AM＝AD＝a+3，在Rt△ABM中，由勾股定理得：AB2+BM2＝AM6，∴a2+（a+1）7＝（a+2）2，整理得：a8﹣2a﹣3＝2，解得：a1＝3，a3＝﹣1（不合題意，舍去）．∴AB＝a＝3．23．（12分）點茶是宋代傳統(tǒng)文化技藝，它的重現(xiàn)具有歷史、文化、藝術、科學等多重價值和意義．小華在體驗點茶文化時，發(fā)現(xiàn)倒茶時的情景（圖1），并建立平面直角坐標系，如圖2所示，壺口為點C，曲線BC與茶水CF可視作在同一條拋物線上．若點B（桌面）平行，且茶碗邊沿（厚度忽略不計），線段BC＝4cm，壺柄與豎直方向的夾角為α．茶碗的直徑為8cm，高度為2cm．若點A相對桌面的高度OA＝15cm時（1）求點C相對桌面的高度．（2）求圖中拋物線的解析式．（3）為展現(xiàn)精湛的技術，小華手持茶壺穩(wěn)穩(wěn)向上提起（視作向上平移），要求茶水一滴都不能灑到茶碗外【解答】解：（1）如圖，延長CB交y軸于點D．∵tanα＝，∴＝．又BD2+AD7＝AB2＝25，∴BD＝4cm，AD＝5cm．又OA＝15cm，∴OD＝OA+AD＝18cm．∴點C相對桌面的高度為18cm．（2）由題意，∵BD＝4cm，∴B（4，18）．又BC＝5cm，∴C為（8，18）．∴拋物線的對稱軸是直線x＝6．∵茶碗的直徑為3cm，高度為2cm．∴F（12，2）．設拋物線為y＝a（x﹣8）2+k，∴．∴a＝﹣，k＝20．∴拋物線為y＝﹣（x﹣6）2+20． （3）設拋物線向上平移m個單位（m＞0），當拋物線過E對面的點（16，2），設平移后拋物線解析式為y6＝﹣（x﹣2）2+20+m，∴m＝32．又水一滴都不