2021年江西省玉山某中學、臨川某中學等九所重點中學高考數(shù)學聯(lián)考試卷（理科）

2021年江西省玉山一中、臨川一中等九所重點中學高考數(shù)學聯(lián)

考試卷(理科)(3月份)

一、選擇題(共12小題).

1.已知集合A={Rk>g>Vl},B={x|x2<l),則AA8=()

A.(-1,1)B.(-1,2)C.(0,1)D.(0,2)

2.復數(shù)z滿足z(1+i)=|1-i|,則復數(shù)z的虛部是()

A.-1B.1C.-返D.返

22

3.在△ABC中，|同+由=|標-由，48=4,AC=3,則前在&方向上的投影是()

A.4B.3C.-4D.-3

4.已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)滿足：f(x)=f(x-6),且當0WxV3時,

a+lognc(x+l)(04x《l)

f(x)=4(“為常數(shù))，則/(2020)t/X2021)的值為()

x'(x-2)(1<x<3)

A.-2B.-1C.0D.1

、JR、

_/2176ema,

5.設(shè)(2x^---)=aox+ap*+a2x+-'+a6x'貝U恤+如+機2+???+〃[6=()

A.21B.64C.78D.156

6.設(shè)。=log26,Z?=log312,c=log515,則()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b

7.如圖是一個正方體紙盒的展開圖，把1,1,2,2,3,3分別填入小正方形后，按虛線折

成正方體，則所得到的正方中體相對面上的兩個數(shù)都相等的概率是()

c-iD-20

TT

8.已知函數(shù)f(x)=sin(3x+Q)(3>0,I。|<彳)的部分圖象如圖所示，則關(guān)于函數(shù)

f(x)下列說法正確的是()

TT

A./(x)的圖象關(guān)于直線對稱

6

Jr

B./(x)的圖象關(guān)于點自，0)

C./(x)在區(qū)間［一雪，2］上是增函數(shù)

126

1T

D.的圖象向右平移g個單位長度可以得到/(X)的圖象

9.已知正方體ABCD-AiBCid和空間任意直線/,若直線/與直線AB所成的角為ai,與

直線CG所成的角為。2,與平面ABCD所成的角為由，與平面ACGAi所成的角為加，

貝I」()

TT7T7TTT

A.ai+a2=—^-B.ai+a2》一^-C.01+02=-^-D.印+彷》一^-

10.點O為坐標原點，若A,8是圓/+)2=16上的兩個動點，且NAOB=120°，點P在

直線3x+4y+25=0上運動，則瓦?說的最小值是()

A.-3B.-4C.-5D.-6

11.關(guān)于X的方程『二咄L=1在(0,+8)上只有一個實根，則實數(shù)《=()

X

A?e-1B.1C.0D.e

12.設(shè)函數(shù)y=/(x)的圖象由方程*lxI+,引=i確定,對于函數(shù)/(x)給出下列命題：

42

f(x.)-f(x2)

Pl：Vx,,X2&R,X|#X2,恒有------------二-<0成立；

x「2

Pi：y=f(x)的圖像上存在一點P,使得P到原點的距離小于我；

P3：對于VxeR,2于(x)+x>0恒成立.

則下列正確的是()

A.P\APiB.P\/\P3C.「P2Vp3D.-P1VP3

二、填空題(共4小題).

13.已知隨機變量W服從正態(tài)分布N(3,。2),P(^6)=0.84,則P(《W0)=.

14.已知離心率為2的雙曲線Ci：^--^y=l(a>0,b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦

點重合，Ci的中心與C?的頂點重合，M是Ci與C2的公共點，若|MQ=5,則G的標準

方程為.

15.已知a,b,c,分別為△4BC三個內(nèi)角A,B,C的對邊，角A,B,C成等差數(shù)列，且6

=4.若D,E分別為邊AC,AB的中點，且G為△ABC的重心，則△GDE面積的最大

值為.

16.已知三棱錐A-BCZ),A8=AZ)=BC=CO=5,20=8,AC=3,則以點C為球心，2&

為半徑的球面與側(cè)面ABD的交線長為.

三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，

每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題共60

分

17.已知｛斯｝是公差不為零的等差數(shù)列,0=1,且0,。3,49成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛為｝的通項公式；

(2)設(shè)b"=tana”?tana"+i,求數(shù)列｛5｝的前”項和Sn.

18.如圖，平面ABC。，平面DBNM,且菱形ABCD與菱形DBNM全等，且/DAB,

G為中點.

(1)求證：GB〃平面AMV；

(2)求二面角A-MN-B的余弦值.

19.已知正三角形A8C,某同學從A點開始，用擲骰子的方法移動棋子，規(guī)定：①每擲一

次骰子，把一枚棋子從三角形的一個頂點移動到另一個頂點；②棋子移動的方向由擲骰

子決定，若擲出骰子的點數(shù)大于3,則按逆時針方向移動：若擲出骰子的點數(shù)不大于3,

則按順時針方向移動.設(shè)擲骰子〃次時，棋子移動到A,B,C處的概率分別為：P“(A),

P?(B),P?(C),例如：擲骰子一次時，棋子移動到A,B,C處的概率分別為P(A)

=0,Pl⑻卷,P1(O=y.

(1)擲骰子三次時，求棋子分別移動到A,B,。處的概率P3(A),P3(B),尸3(C)；

(2)記匕(A)=cin,Pn(B)=bn，Pn(C)=Cn,其中小+仇+品=1,A〃=Cn,求48.

22__

20.已知橢圓E：t+J-l(a>b>0)的焦距為2亞，點P(0,2)關(guān)于直線y=x的對

稱點在橢圓E上.

(1)求橢圓E的方程；

(2)如圖，橢圓E的上、下頂點分別為A,B,過點P的直線/與橢圓E相交于兩個不

同的點C,D.

①求△COO面積的最大值；

②當4。與BC相交于點。時，試問：點。的縱坐標是否是定值？若是，求出該定值；

若不是，說明理由.

21.已知函數(shù)/(x)=2x-alnx+4a,(aER).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)令g(x)=f(x)-sinx,若存在xi,也6(0,+°°),且為Wx2時，g(xi)=g(X2),

證明：X]X2<aZ

(二)選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的

第一題計分.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]

(x=2cosCl-2sinCl

22.在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為4(a為參數(shù)).以

[y=cosa+sinO.

坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為

PsinC21^--8)=4^2-

(1)求曲線C和直線/的直角坐標方程;

(2)過原點。引一條射線分別交曲線C和直線/于A,B兩點,求的最

|OA|Z|0B|J

大值.

［選修4-5：不等式選講］

23.已知函數(shù)/(x)^\x-a\+\x+2a\.

(1)若。=1,求不等式/(x)W4-N的解集；

2

(2)已知相+〃=2,若對任意xwR,都存在例>0,〃>0,使得fG”"+2n,求實數(shù)

mn

。的取值范圍.

參考答案

一、選擇題（共12小題）.

1.己知集合4={刈08〃<1},8=已知<1},則AC1B=()

A.(-1,1)B.(-1,2)C.(0,1)D.(0,2)

解：：A={x|0<x<2},{x\-1<x<1},

：.AC\B=(0,1).

故選：C.

2.復數(shù)z滿足z(1+i)=|1-i|,則復數(shù)z的虛部是()

A.-1B.1C.-返D.返

22

解：Vz(1+z)=|1-i\,：.z(1+z)(1-i)=亞(1-i),；"=返-恒,

22

則復數(shù)Z的虛部是-返，

2

故選：C.

3.在△ABC中，|7B+A6=IAB-Ad,A8=4,AC=3,則配在不方向上的投影是（）

A.4B.3C.-4D.-3

解：；1或+記=1屈-由，

AB'AC=0"

AB-LAC*

.?.又AB=4,AC=3,

二前在以方向上的投影是I前cosV前，CA>=IB3*C0S（冗-N4C8）

=T前.cosNAC8

=-3；

如圖所示.

故選：D.

D

C

4.已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)滿足：f(x)=f(x-6),且當0<x<3時,

,、fa+log05(x+l)

f(x)=4(a為常數(shù))，貝廳(2020)4/(2021)的值為(

x'(x-2)(1<x<3)

A.-2B.-1C.0

解：根據(jù)題意，函數(shù)/(x)滿足：/(x)=f(x-6),則函數(shù)/(x)是周期為6的周期

函數(shù)，

則/(2020)=/(-2+337X6)=/(-2),/(2021)=/(-1+337X6)=/(-1),

又由/(x)為定義域為R的奇函數(shù)，則/(-2)=-f(2),/(-1)=-/(1),

,、a+log(x+l)(0<x<l)

又由當0Wx<3時，f(x)={05，

x*(x-2)(1<x<3)

則/(0)=a+logo,51=a=0,則"=0,

則/(1)=logo.5(1+1)=-1,f(2)=2(2-2)=0,

則f(2020)+f(2021)=-f(1)-/(2)=1,

故選：D.

5?設(shè)(2X"G")"=a0x4-ap"+a2x+-+a6x"，則機。+機|+m2+…+機6=()

A.21B.64C.78D.156

2

解：因為(2x-^-)6=&0乂"'+a]x"+@2*加,+…+a6X”

又因為二項式的展開式7=或(2*2)6-「(上)三喘26-"_]7),12-31

則r=0時，加0=12；r=1時，加=12-3=9；

廠=2時，加2=12-3義2=6；r=3時，“3=12-3X3=3；

r=4時，〃24=12-3X4=0；〃=5時，加5=12-3*5=-3,

尸=6時，m6=12-3X6=-6,

故加。+〃21+加2+m3+優(yōu)4+加5+加6=21,

故選：A.

6.設(shè)。=log26,Z?=log312,c=log515,貝！]()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b

解：因為〃=log26>2,fe=log312>2,c=log515V2,

所以b>c,

lg3lg4=lg23-lg21g4>lg23-(?,Ig2+lg42

因為logz3-logj4=2>

lg2lg3

lg21g3Ig2'lg3

2?廿9

1g34=0,

Ig2-lg3

故Iog23>k>g34,

a=log26=1+log23,b=log312=1+log34,

所以a>b>c.

故選：B.

7.如圖是一個正方體紙盒的展開圖，把1,1,2,2,3,3分別填入小正方形后，按虛線折

成正方體，則所得到的正方中體相對面上的兩個數(shù)都相等的概率是（）

BcD-專

15-i-i

解：由題意，圖中有6個位置，將1,1,2,2,3,3這6個數(shù)字在6個位置全排列，共

有46種結(jié)果,

要使所得到的正方中體相對面上的兩個數(shù)都相等都相等，必須是1、1相對，2、2相對,

3、3相對,

正方體有6個面，寫第一個數(shù)字時有6種選擇,

剩下四個面，則第三個數(shù)字只有4種選擇,

此時剩余兩個面，2個數(shù)字，有2種選擇;

以此類推，可得出正方體兩個對面上兩數(shù)字和相等的組合方式有6X4X2=48.

二所得到的正方中體相對面上的兩個數(shù)都相等的概率為:

48i

P=~4Q=—15

故選：C.

8.己知函數(shù)f（x）=sin（3x+Q）（3>0,|。|《TT）的部分圖象如圖所示，則關(guān)于函數(shù)

/（x）下列說法正確的是（)

IV4

A./(x)的圖象關(guān)于直線乂三IT二對稱

6

B./(x)的圖象關(guān)于點(TT?，0)

C./(x)在區(qū)間[與4]上是增函數(shù)

126

D.將丫=疝2%的圖象向右平移g1T個單位長度可以得到/(無)的圖象

JT

解：由函數(shù)f(x)=sin(a)x+(p)(u)>0,|(p|<-^-)的部分圖象得，

f(0)=sin(p=Y^,由五點法畫圖知甲=等，

23

又f(5兀)=sin(57.3+4)=0,所以§43+工■=2n,解得3=2,

6663

JT

所以/(x)=sin(2x+---).

3

對于A,/(工)=sin(上三)=返，所以f(x)的圖象不關(guān)于直線對稱，

63326

4錯誤；

對于8,/(?jI)-sin(J全I二jI卜)=寺1所以/⑴的圖象不關(guān)于點j(I-}0)對稱，

8錯誤；

對于C,xE[-時，2x+--€[--^—90],所以/(x)在區(qū)間[-~~~T~l

12632126

上是增函數(shù)，C正確；

11JIQJI

對于。，把丫=$汕2》向右平移個單位，得>=$1112(x--^-)=sin(2x—),得

333

不到/?(￡)的圖象，力錯誤.

故選：C.

9.己知正方體ABCO-4B1C1A和空間任意直線/,若直線/與直線A8所成的角為ai,與

直線CG所成的角為。2,與平面A8CD所成的角為仰，與平面ACGAi所成的角為例，

貝I」()

A.g+a尸匹KK

B.oti+cn》--C.pi+p=—D.pi+p>—

2222

解：不妨將直線I平移使其過點A,則I與側(cè)面BBiCiC的交點為F,

過尸作FELBC,垂足為E,則尸E_L平面ABCD,

所以ai=NBA尸NNEA凡a2=/AFE=90°-ZEAF,

則ai+a2》/E4F+(90°-NEAF)=90°,故選項B正確，選項A錯誤;

由于平面ABCD與平面ACGAi有交線AC,

故當/為AC時，價=02=0,故選項8,。錯誤.

故選：B.

10.點O為坐標原點，若4,B是圓/+尸=16上的兩個動點，且NAO8=120°,點尸在

直線3x+4y+25=0上運動，則位.正的最小值是()

A.-3B.-4C.-5D.-6

解：因為直-PB=(PO+OA)'(PO+OB)=P62+PO(OA+OB)+OA-OB

_■2**._.2**.

=P0+P0?(0A+0B)+4X4XCOS120=P0+P0?(OA+OB)-8

>|P0|2-4|P0|-8=(|P0|-2)2-12,

又點。到直線3x+4y+25=0的距離為d=i=5,

卷Q+必9

所以I而加“=5,此時直線OP與直線垂直，

所以瓦?而》(5-2)2-12=-3,即而?曲的最小值為-3,

故選：A.

11.關(guān)于x的方程『衛(wèi)生"」在?+8)上只有一個實根，則實數(shù)上=()

X

A.e-1B.1C.0D.e

解：關(guān)于X的方程母=1在(0,+8)上只有一個實根，

X

即X-1)-配1=攵有且僅有一個正根，

令/(x)=x(e1-1)-Inx,x>0

則/'(x)=(x+1)ev---1=(亢+1)(ev-—),

XX

令g(x)=e^-—,x>0,

x

則g'(x)=e"+'^>0,

x

i己ex。--^-=0,即g(xo)=0,

x0

:.(0,xo)上g(x)<0,(知，+°°),hg(x)>0,

又因為x>0,

故(0,xo)上，(x)<0,(xo,+8)上，(x)>0,

當X—+8時，f(x)--+8,x-0時，于(x)-*4-00,

故當x=xo時，f(xo)=左且ex°=,

x0

.\k=xo(ex0-1)-lnxo=1-xo-lnxo=1,

故選：B.

12.設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象由方程坐確定，對于函數(shù)/(x)給出下列命題：

42

_f(x,)-f(x2)

Pl：Vxi,X2CR,XI#X2,恒有--------------<0成立；

xl-x2

P1-.y^f(x)的圖像上存在一點P,使得P到原點的距離小于加；

「3：對于VxeR,2/(x)+x>0恒成立.

則下列正確的是()

A.PIAP2B.PiAftC.fp2Vp3D.fP\VP\

解：作函數(shù)圖象草圖如圖所示，

f(x,)-f(x2)

因為/(x)在R上單調(diào)遞減，所以Vxi,X2GR,X1WX2,恒有——-------J<0成立，

xl-x2

所以P為真；

由圖象知)，=f(X)的圖像上的點P到原點的距離最小值為企,所以改為假；

由圖象知y=/(x)的圖像與、=-去有交點，所以4(x)+x>0恒成立不成立,

所以P3為假.

對于A,PAP2為假，所以4錯，

對于8,PIAP3為假，所以8錯

對于C,「P2Vp3為真，所以C對,

對于力，「P|VP3為假，所以。錯.

13.已知隨機變量；服從正態(tài)分布N(3,。2),P(^6)=0.84,則P(WW0)=0.16.

解：’.?隨機變量《服從正態(tài)分布N(3,。2),

,H=3,

VP(僅6)=0.84,

：.P(96)=1-0.84=0.16,

：.P—WO)=P(J26)=1-P-W6)=0.16,

故答案為：0.16.

22

14.已知離心率為2的雙曲線Ci：l(a》。，b〉0)的右焦點尸與拋物線C2的焦

點重合，G的中心與C2的頂點重合，M是Ci與C2的公共點，若|MQ=5,則G的標準

2

方程為N-二=1.

3

解：由6=￡"=2，得c2=a2+%2=4a2,即6=J§a，

所以b2=4c4所以Ci：緝-鴛-l，

4c23c2

M為雙曲線與拋物線的公共點，

(2

y=4cx

由《八，得1您2-16cx-3c2=0.

,12x2-4y2=3c2

△=(-16c)2-4X12義(-3c2)=400〃，

俎_16c±20cHU13

得x----------------，即x=1c或xac，

貝XM+^="|"C+C='^C=5，解得C=2.

2

.?.?的標準方程為/-匚=1.

3

2

故答案為：二=1.

3

15.已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊，角A,B,C成等差數(shù)列，且6

=4.若。，E分別為邊AC,AB的中點，且G為△ABC的重心，則△GZ)E面積的最大

值為返.

一3一

解：,:△ABC中，角A,B,。成等差數(shù)列，???A+C=28,?.?A+C+B=180°,.\B=60°,

由余弦定理得，按=a2+c2-2accosB,

兀

由b=4,則]6=a2+c2-2accos----=a2+c2-ac^2ac-ac=ac,

3

當且僅當〃=c時取等號，.,.acW16,

所以AABC的面積為SA4sc=/csin8w/x16X喙=4百，

又Q,E分別為邊AC,AB的中點，且G為△ABC的重心，

4后除

由平面幾何知識可得△GQE的面積為S^GDE=^-S^ABC^--^--^

1212O

所以AGCE面積的最大值為返，

3

故答案為：返.

3

16.已知三棱錐A-BCQ,AB=AD=BC=CD=5,BD=8,AC=3,則以點C為球心，2&

為半徑的球面與側(cè)面ABD的交線長為兀

解：如圖,

取8。中點E,連接AE,CE,'：AB=AD=5,BC=CD=5,

r.AElBD,CE1BD,

又B￡>=8,.,-AE=CE=V52-42=3'

：AC=3,...△AEC為等邊三角形，

取AE中點F,則CFA.AE,可得CF=/2嗚）2=1^.

又設(shè)C到AB（或AD）的距離為力，

由SAABC4"AB?h='AC“AB2-eAC）2,

可得〃=,義425~^3791>2加，

510

...以C為球心，2我為半徑的球面與側(cè)面ABD的交線為圓，

圓的半徑為H（2近）2_）2=除

則交線長為2nx亨=娓兀.

故答案為：依冗.

三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，

每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題共60

分

17.已知｛〃〃｝是公差不為零的等差數(shù)列，0=1,且41,43,〃9成等比數(shù)列.

（I）求數(shù)列｛小｝的通項公式；

（2）設(shè)b"=tan〃〃?tan〃〃+i,求數(shù)列｛仇｝的前〃項和S〃.

解：（1）設(shè)等差數(shù)列｛〃“｝的公差為d,dNO,

Vai=Lai,。3,。9成等比數(shù)列,

即(1+2J)2=1+8%解得d=l或d=0(舍去)，

故｛〃〃｝的通項為?！?1+(〃-1)Xl=n；

(2)b=tanntan(n+l)-tan(n+l)-tann_],

ntanl

S?=~^r-[tan2-tanl+tan3-tan2+'"+tan(n+l)-tann]-

ntanl

―^T-[tan(n+l)-tanl]-(n+1)-

tanltanl

18.如圖，平面ABC。_L平面DBNM,且菱形ABC。與菱形DBNM全等,且NMOB=/D4B,

G為MC中點.

(1)求證：GB〃平面AMN；

(2)求二面角A-MN-8的余弦值.

解：(1)證明：連接AC,交DB于E,連接GE,

在△AMC中，G,E分別是CM,C4中點，AGE//AM,

：GE(t平面A〃N,AMu平面AMN,；.GE〃平面4MN,

又菱形O8NM中，MN//BE,

同理可證BE〃平面AMN,

又；BECGE=E,BEu平面GBE,GEu平面GBE,

平面GBE〃平面AMN,

又：GBu平面GBE,

；.GB〃平面AMN.

(2)連接ME,由菱形ABC。與菱形。BMW全等，且NMDB=NDBA,

可得出40=48=80,DM=BD=MB,：.MELBD,

又\?平面ABCD_L平面MNBD,且平面ABCDA平面MNBD=BD,

，平面ABC。，

則以EA為x軸，EB為y軸，EM為z軸，建立空間直角坐標系，

令A(yù)B=2,則人(時，0,0),D(0,-1,0),

M(0,0,立)，B(0,1,0),N(O,2,?),

設(shè)平面AMN的一個法向量為二=(x,y,z)，

￥歲°，得，'-我X+V^Z=0

則由＜

ANn=0,^/§x+2y+yz=0

則可令x=l,得y=0,z=l,平面AMN的一個法向量為1=(1,0,1))

x軸，平面8MM可設(shè)平面8MN的一個法向量為、=(1,0,0)，

設(shè)二面角A-MN-B的平面角為6,

Icos8|=|cos\m，n/'I=~^=^',

又；二面角4-MN-B為銳二面角，

二面角A-MN-B的余弦值為返.

2

19.已知正三角形A8C,某同學從A點開始，用擲骰子的方法移動棋子，規(guī)定：①每擲一

次骰子，把一枚棋子從三角形的一個頂點移動到另一個頂點；②棋子移動的方向由擲骰

子決定，若擲出骰子的點數(shù)大于3,則按逆時針方向移動：若擲出骰子的點數(shù)不大于3,

則按順時針方向移動.設(shè)擲骰子“次時，棋子移動到A,B,C處的概率分別為：P“(A),

P?(B),P?(C),例如：擲骰子一次時，棋子移動到A,B,C處的概率分別為Pi(A)

=0,P1(B)=｝Pl?號

(1)擲骰子三次時，求棋子分別移動到A,B,C處的概率尸3(A),尸3(B),Pi(C)；

(2)記P"(A)=斯，Pn(B)—bn,Pn(C)=Cn,其中斯+兒+Cn=1,bn—Cn,求08.

解：(1)?.?設(shè)擲骰子〃次時，棋子移動到A,B,C處的概率分別為：P?(A),P?(B),

Pn(C),

P3⑻嗎中吟《

P3<C)=(14)X1T

(2).bn~Cnt即d-1=C"-I,〃22,

又％節(jié)(&1+21)'

時b=77(a1+c1)=r-(ai+b<)?

n2k]^n-1z2n-1nT/

又?:an-i+bn-i+cw-i=L可得2bn+bn-1=1,

由%專蔣*?=得(％1,),

可得數(shù)列｛bnf｝是首項為1，公比為[的等比數(shù)列，

bW”尸,即左卷得(蔣)口

11

「111Tl1n-1

=l-2b=1-2[-Z-+7--(-5-)]=萬[1-(-不)],

11口JbNoN

故七嚙?

20.已知橢圓E：￥三-1心>1>>0)的焦距為2&，點P(0,2)關(guān)于直線y=x的對

稱點在橢圓E上.

(1)求橢圓E的方程；

(2)如圖，橢圓E的上、下頂點分別為4,B,過點P的直線/與橢圓E相交于兩個不

同的點C,D.

①求△C。。面積的最大值；

②當A。與BC相交于點。時，試問：點。的縱坐標是否是定值？若是，求出該定值；

若不是，說明理由.

解：（1）因為點P（0,2）關(guān)于直線y=x的對稱點為（2,0）,

且（2,0）在橢圓E上，所以4=2,

又2c=2我，.?.?=\傷，

則按=〃2-Q=4-2=2,

22

所以橢圓E的方程為工■上=1

42

(2)①設(shè)直線/的方程為y=fcc+2,C(xi,yi),D(x2,”)，

'y=kx+2

點O到直線/的距離為2消去y整理得：(1+2R)/+8丘+4=0,

由△>(),可得

r8k4

KXi+x=------7,x,x=-----

?l+2k"?l+2kJ

,?SAC0D4-|CD|d=P^⑶-x21石

4t

設(shè)t=J2k2-l(t>0)，則SacoD-

t2+2

當且僅當弋=、歷即k=土當時等號成立，

：./\COD的面積的最大值為加，

②由題意得，AD：y=^——x+y[2,BC："x-加，

x2X1

2&kxix2+2y2(x1+x2)+2(x2-xi)

聯(lián)立方程組,消去x得y=

2(x2-xj)+V2(xj+x2)

又\*x\+x2=-2區(qū)1X2,解得y=L

故點。的縱坐標為定值1.

21.已知函數(shù)/(x)=2x-alnx+^a,(〃WR).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)令g(x)=f(x)-sirtG若存在xi,X2E(0,+8),且加士冗2時，g(xi)=g(X2),

<2

證明：Xjx2^a.

解：(1)/(x)的定義域為(0,+8),

f'(x)=2」■衛(wèi)衛(wèi)，當〃W0時，f(x)>0

XX

當心0時，由/(無)>0得x>1,由/(X)<0得0<x<5,

.?.當aWO時，f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

當。>0時，/(x)在(0,方)上單調(diào)遞減，在令，XQ)單調(diào)遞增.

(2)證明：g(x)=2x-alnx-s\nx+4a9

Tg(xi)=g(X2)，-alnx\-siari=2x2-alnxi-sinx2,

:.a(/TUI-Inxi)=2(xi-%2)-(sinxi-sinxz),

令〃(x)=x-siar,則"(x)=1-cosx^O,

：.h(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

不妨設(shè)xi>X2>0,,:h(xi)>h(X2),

**.xi-sinxi>X2-sinx2?*.-(sinxi-sin%2)>X2-XH

A2(xi-xz)-(sinxi一sig)>2(xi-%2)+(X2-xi)=xi-X2，

x「X2

(Inxi-Inxi)>x\-%2>:.------------,

lnx?-lnx2

下面證明^―「>