2020-2021學(xué)年寧夏銀川市興慶區(qū)長慶某中學(xué)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（附答案詳解）

2020-2021學(xué)年寧夏銀〃|市興慶區(qū)長慶高級中學(xué)高二（下）

期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.用輾轉(zhuǎn)相除法求得168與486的最大公約數(shù)（）

A.3B.4C.6D.16

2.不等式|%+2|45的解集是（）

A.{x\x<1或%>2)B.{%|-7<%<3}

C.{x|-3<x<7}D.{x|-5<%<9}

3.將曲線y=sin2x按照伸縮變換二后得到的曲線方程為（）

1.c

A.y=3sinxB.y=3sin2xC.y=3sin|xD.y=-sin2x

73

4.觀察如圖所示的等高條形圖，其中最有把握認(rèn)為兩個分類變量”,y之間有關(guān)系的

是（）

[Z□曲

匚“

A.B.

B

0為先

x=i--

5.曲線的參數(shù)方程是；，2您是參數(shù)，tK0），它的普通方程是（）

-y1一一

A.(x-l)2(y—1)=1

1

-1D.yf+1

C.y=(15

6.下列四個命題：①在回歸模型中，預(yù)報(bào)變量y的值不能由解釋變量元唯一確定；②

若變量X,y滿足關(guān)系y=-0.1x+1,且變量y與Z正相關(guān)，則x與z也正相關(guān)；③

在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高；⑷以

模型y=cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)2="曠，將其變換后得到

線性方程z=0.3%+4,貝ijc=e4>k=0.3.

其中真命題的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

7.通過隨機(jī)詢問110名不同的我校學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動，得到如下的列聯(lián)表：經(jīng)計(jì)

算K2的觀測值k。7.8.參照附表，得到的正確結(jié)論是（）

附表

男女總計(jì)

愛好402060

不愛好203050

總計(jì)6050110

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

A.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”

B.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”

C.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”

D.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”

8.程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著仇章算術(shù)少中的“更相減損術(shù)”，執(zhí)

行該程序框圖，若輸入的小6分別為91,39,則輸出的a=（）

A.11B.12C.13D.14

9.以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)

系中取相同的長度單位.己知直線/的參數(shù)方程是為參數(shù)），圓C的極

坐標(biāo)方程是p=4cos。，則直線/被圓C截得的弦長為（）

A.V14B.2V14C.V2D.2夜

10.對于實(shí)數(shù)x,y,若-W2,S2,則—2y+1］的最大值為（）

第2頁，共15頁

A.2B.4C.5D.6

11.中國最早的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》里提

到了七衡，即七個等距的同心圓.七衡的直徑和周長

都是等差數(shù)列，最里面的一圓叫內(nèi)一衡，外面的圓

依次叫次二衡，次三衡，…設(shè)內(nèi)一衡直徑的,衡間

距為g則次二衡直徑為次三衡直徑

為由+2d,…，執(zhí)行如圖程序框圖，則輸出的7:中

最大的一個數(shù)為()

A.A

B.T2

C.T3

D.T4

12.函數(shù)/(x)的定義域?yàn)锳,若存在非零實(shí)數(shù)f,使得對于任意％GC(C￡4)有％+tEA,

且f(x+t)W/(x),則稱/"(x)為C上的，度低調(diào)函數(shù).已知定義域?yàn)閇0,+8)的函數(shù)

/(x)=~\mx-3|>且/(x)為[0,+8)上的6度低調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍

是()

A.[0,1]B.口+8)

C.(-oo,0]D.(-oo.O]U[l,+oo)

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.把二進(jìn)制數(shù)110011⑵化為十進(jìn)制數(shù)是：.

14.下面程序的運(yùn)行結(jié)果是.Ii=l

S=。

WHILEi<4

S=S*i+l

i=i+l

WEND

PRINTS

END

15.若直線y=x+b與曲線1Z繪，(。為參數(shù)，且一”"方有兩個不同的交點(diǎn)，則

(y-SLTlu//

實(shí)數(shù)匕的取值范圍是

16.中國古代十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法，在世界數(shù)學(xué)史上是一個偉大的創(chuàng)造.算籌實(shí)際上是

一根根同樣長短的小木棍，用算籌表示數(shù)的方法如圖：例如：163可表示為

“一J.三”，27可表示為“=.現(xiàn)有6根算籌，用來表示不能被10整除的兩

位數(shù)，算籌必須用完，則這樣的兩位數(shù)的個數(shù)為.

123456789

-===11111

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心坐標(biāo)為C(25)，半徑R=而，求圓C的極坐標(biāo)方

程.

18.求不等式2<|2x+3|S4的解集.

19.在印度“新冠疫情”的傳播速度很快，這已經(jīng)成為全球性的威脅，為了考察某種新

冠疫情疫苗的效果，現(xiàn)隨機(jī)抽取100只小鼠進(jìn)行試驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表：

感染未感染合計(jì)

服用104050

未服用203050

合計(jì)3070100

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附.K2=__N(AD-BC)2__

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>fc0)0.1000.0500.0250.010

k。2.7063.8415.0246.635

根據(jù)上表，有多大的把握認(rèn)為“小動物是否感染與服用疫苗有關(guān)”.

20.已知函數(shù)f（x）=|x-2|—|x+3|.

（1）求不等式/（x）<3的解集；

（2）若不等式f（x）<a2-6a解集非空，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

21.2013年，首都北京經(jīng)歷了59年來霧霾天氣最多的一個月.經(jīng)氣象局統(tǒng)計(jì)，北京市

從1月1日至1月30日這30天里有26天出現(xiàn)霧霾天氣.陰境空氣質(zhì)量指數(shù)（4Q/）

技術(shù)規(guī)定（試行）》將空氣質(zhì)量指數(shù)分為六級：其中，中度污染（四級），指數(shù)為151-

200；重度污染（五級），指數(shù)為201-300；嚴(yán)重污染（六級），指數(shù)大于300.下面表

1是該觀測點(diǎn)記錄的4天里,AQ/指數(shù)M與當(dāng)天的空氣水平可見度y（千米）的情況，

表2是某氣象觀測點(diǎn)記錄的北京1月1日到1月30日A。/指數(shù)頻數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，

表1：AQ/指數(shù)例與當(dāng)天的空氣水平可見度y（千米河青況

A。/指數(shù)900700300100

空氣可見度（千米）0.53.56.59.5

表2：北京1月1日至lj1月30日4。/指數(shù)頻數(shù)統(tǒng)計(jì)

AQ/指數(shù)[0,200](200,400](400,600](600,800](800,1000]

頻數(shù)361263

(1)設(shè)變量乂=擊，根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；

(口)根據(jù)表2估計(jì)這30天4。/指數(shù)的平均值.

(用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式b=誓號智,a=y-bx)

22.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)M坐標(biāo)是(3,5曲線C的方程為p=2&sin(0+》以極點(diǎn)為

坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，斜率是-1的直線/經(jīng)過點(diǎn)M.

(1)寫出直線/的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)求證直線/和曲線C相交于兩點(diǎn)A、B,并求的值.

第6頁，共15頁

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：486=168x2+150,

168=150x1+18,

150=18x8+6,

18=6X3,

故168與486的最大公約數(shù)為6,

故選：C.

本題考查的知識點(diǎn)是輾轉(zhuǎn)相除法，根據(jù)輾轉(zhuǎn)相除法的步驟，將168與486代入易得到答

案.

對任意整數(shù)a,b,b>0,存在唯一的整數(shù)q,r,使。=匕勺+「，其中0Wr<b,這個

事實(shí)稱為帶余除法定理，若c|a,c\b,則稱c是小b的公因數(shù).若"是小〃的公因數(shù)，

且“可被“，6的任意公因數(shù)整除則稱d是a,b的最大公因數(shù).當(dāng)d20時，d是a,b

公因數(shù)中最大者.若“，匕的最大公因數(shù)等于1,則稱。，人互素.累次利用帶余除法可

以求出m6的最大公因數(shù)，這種方法常稱為輾轉(zhuǎn)相除法.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查不等式的解法，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

利用絕對值表達(dá)式的解法求解即可.

【解答】

解：不等式|x+2|W5,等價于—5WX+2W5,可得：—7WxW3.

不等式+2|<5的解集是：口|一7SxS3).

故選：B.

3.【答案】A

【解析】解：???伸縮變換

1/1,

:?X=/，y=-y,

代入曲線y=sin2x可得y'=3sinx',即y=3sinx.

故選A.

利用代入法，即可得到伸縮變換的曲線方程.

本題考查代入法求曲線方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ).

4.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，在等高的條形圖中，當(dāng)與，&所占比例相差越大時，越有把握

認(rèn)為兩個分類變量x,y之間有關(guān)系，

分析選項(xiàng)可得：。選項(xiàng)中，%2所占比例相差最大，

故選：D.

根據(jù)題意，由等高條形圖的意義分析可得答案.

本題考查等高條形圖的應(yīng)用，涉及分類變量關(guān)系強(qiáng)弱的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：?.?曲線的參數(shù)方程是[?是參數(shù)，t^o),

(y=1一尸

ly=1—t2,

???[FT)\"將兩個方程相乘可得，

(1-y=t2

(x-1)2(1-y)=1,

.v_MV)

,,y(l-x)Z，

故選B.

由題意知％=1-3可得X—1=-3將方程兩邊平方，然后與、一1=一嚴(yán)，相乘消

去，即可求解.

此題考查參數(shù)方程與普通方程的區(qū)別和聯(lián)系，兩者要會互相轉(zhuǎn)化，根據(jù)實(shí)際情況選擇不

同的方程進(jìn)行求解，這也是每年高考必考的熱點(diǎn)問題.

6.【答案】C

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【解析】解：下列四個命題：①在回歸模型中，預(yù)報(bào)變量y的值不能由解釋變量x唯一

確定；根據(jù)回歸模型中的變量關(guān)系，正確.

②若變量x,y滿足關(guān)系y=-O.lx+1,且變量y與z正相關(guān)，則x與z也正相關(guān)；應(yīng)

該是負(fù)相關(guān).故錯誤.

③在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高；即越

接近于回歸直線的距離越小，故正確.

④以模型丁=。6-去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)z="y,將其變換后得

到線性方程z=0.3%+4,貝l]c=k=0.3.故正確.

故選：C.

直接利用回歸直線的方程的應(yīng)用，相關(guān)的變量關(guān)系的應(yīng)用，殘差圖的應(yīng)用求出結(jié)果.

本題考查的知識要點(diǎn)：回歸直線的方程的應(yīng)用，相關(guān)的變量關(guān)系的應(yīng)用，殘差圖的應(yīng)用，

主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型.

7.【答案】A

【解析】解：產(chǎn)=】】°xy°x2°)z。78>6635,

60X50X60X50

即有99%以上的把握認(rèn)為“愛好體育運(yùn)動與性別有關(guān)”.

故選:A.

根據(jù)參考公式計(jì)算K2的觀測值，并與附表中的數(shù)據(jù)對比，即可作出判斷.

本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查對數(shù)據(jù)的分析與處理能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：模擬程序的運(yùn)行，可得

a=91,b=39

滿足aHb,滿足a>b,可得：a=91-39=52,

滿足a￥b,滿足a>b,可得：a=52-39=13,

滿足a不匕，且不滿足a>b,可得：b=39-13=26,

滿足且不滿足a>b,可得：b=26-13=13,

此時，不滿足aRb,退出循環(huán)，輸出的〃值為13,

故選：C.

由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量。的值，模擬

程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.

本題考查的知識點(diǎn)是程序框圖，當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時，常采用模擬循環(huán)的方

法解答，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法,

考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.

先求出直線和圓的直角坐標(biāo)方程，求出半徑和弦心距，再求弦長.

【解答】

解：直線/的參數(shù)方程是二:[；(t為參數(shù))，化為普通方程為x-y-4=0；

圓C的極坐標(biāo)方程是p=4cos。，即p2=4pcos。,化為直角坐標(biāo)方程為/+y2=4%,

即Q—2)2+y2=4,表示以(2,0)為圓心、半徑〃等于2的圓.

弦心距d=|2~^41=V2<r,

V2

二弦長為24八—"=2<4—2=

故選D

10.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查絕對值三角不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

通過|x-2y+l|=|x-l-2(y-1)|利用絕對值三角不等式求解最值即可.

【解答】

解:因?yàn)閨x-2y+1|=|x-1-2(y-1)|<|x-1|+2|y-1|<2+2x2=6.

當(dāng)且僅當(dāng)|x-l|=2,|y—l|=2且(x_l)(y_l)<0,即]或二時，取等

號.

故選：D.

第10頁，共15頁

11.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的

結(jié)論，是基礎(chǔ)題.

由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量式的值，模擬

程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.

【解答】

解：模擬程序的運(yùn)行，可得

i=l時，7\=a^a7=+6d)=al+6da1,

2

i=2時，T2=a2a6=(a1+d)(ax+5d)=底+6dar+5d,

2

i=3時，T3=a3as=(ax+2d'){a1+4d)=a：+6dax+8d,

22

i=4時，T4=a4a4=(%+3d)=研+6dar+9d,

可得：T4>T3>T2>Tt.

故選：D.

12.【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)低調(diào)函數(shù)定義，函數(shù)/'(>)=—-且f(x)為［0,+8)上的6度低調(diào)函數(shù)可轉(zhuǎn)化

為一|m(x+6)-3|<-\mx-3|在［0,+8)上恒成立，從而可得結(jié)論.

本題考查對題中新定義的正確理解，考查不等式恒成立問題，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵.

【解答】

解：根據(jù)題意，-|m(x+6)-3|S-3|在［0,+8)上恒成立

m(x+6)-3>-mx+3或，m(x+6)-3<mx-3在［0,+0o)上恒成立

m>1或m<0

故選O.

13.【答案】51

【解析】解：1??110011(2)=1X2°+1X2+1X24+1X25=51

故答案為：51

根據(jù)所給的二進(jìn)制的數(shù)字，寫出用二進(jìn)制的數(shù)字的最后一位乘以2的0次方，倒數(shù)第二

位乘以2的1次方，以此類推，寫出后相加得到結(jié)果.

本題考查進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)化，本題解題的關(guān)鍵是用二進(jìn)制的最后一位乘以2的0次方,

注意這里的數(shù)字不用出錯.

14.【答案】10

【解析】解：模擬程序的運(yùn)行過程，如下；

i=1,S=0

滿足條件i<4,執(zhí)行循環(huán)體，5=1,i=2

滿足條件i<4,執(zhí)行循環(huán)體，5=3,i=3

滿足條件i<4,執(zhí)行循環(huán)體，5=10,i=4

此時，不滿足條件i<4,退出循環(huán)，輸出S的值為10.

故答案為：10.

根據(jù)題意，模擬程序語言的運(yùn)行過程，即可得出程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果.

本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序的運(yùn)行過程，是基礎(chǔ)題目.

15.【答案】（-72,-1]

【解析】

解：曲線需（。為參數(shù)，且心化為：

x2+y2=1（%>0）,

在同一坐標(biāo)系中畫出兩個方程的圖象，

直線y=x+b與曲線號Z黑（。為參數(shù)，且冷W”

舁有兩個不同的交點(diǎn)，

由圖像可知，實(shí)數(shù)6的取值范圍是（-四,-1].

故答案為：（-企,一1].

【分析】

由題意求出曲線的普通方程，結(jié)合直線與曲線的圖形，求出滿足題意的b的范圍即可.

本題是中檔題，考查參數(shù)方程與普通方程的求法，考查數(shù)形結(jié)合的思想，直線的截距的

應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

第12頁，共15頁

16.【答案】16

【解析】解：根據(jù)題意，現(xiàn)有6根算籌，可以表示的數(shù)字組合為1、5,1、9,2、4,2、

8,6、4,6、8,3、3,3、7,7、7；

數(shù)字組合1、5,1、9,2、4,2、8,6、4,6、8,3、7中，每組可以表示2個兩位數(shù)，

則可以表示2X7=14個兩位數(shù)且均不能被10整除，

數(shù)字組合3、3,7、7,每組可以表示1個兩位數(shù)，則可以表示2xl=2個兩位數(shù)且均

不能被10整除,

則一共可以表示14+2=16個兩位數(shù)；

故答案為：16.

根據(jù)題意，分析可得6根算籌可以表示的數(shù)字組合，進(jìn)而分析每個組合表示的兩位數(shù)個

數(shù)，由加法原理分析可得答案.

本題考查排列、組合的應(yīng)用，關(guān)鍵是理解算籌的定義，考查學(xué)生合情推理能力，屬于中

檔題.

17.【答案】解：將圓心C（2,g）化成直角坐標(biāo)為（1,遮），半徑R=b，（2分）

故圓C的方程為（x-I/+（y_V3）2=5.（4分）

再將C化成極坐標(biāo)方程，得（pcos。-I）2+（psinO->/3）2=5.（6分）

化簡，得p2-4pcos（8—朗+l=0,此即為所求的圓C的方程.（10分）

【解析】先利用圓心坐標(biāo)與半徑求得圓的直角坐標(biāo)方程，再利用pcos。=%,psinO=y,

p2=M+y2,進(jìn)行代換即得圓。的極坐標(biāo)方程.

本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，即利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用

pcosO=%,psinO=y,p2=x2+y2,進(jìn)行代換即可.

18.【答案】解：由2<\2x+3|<4,可得2<2%4-3<4或一4<2x4-3<-2.

解得—x<［或—<x<—|,

即不等式的解集為［―：,—|）u（―

【解析】去絕對值解不等式即可.

本題主要考查絕對值不等式的解法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

2

19.【答案】解：K=I°OX(I°X3O-4OX2O)2=&?4,762>3,841,

50x50x30x7021

根據(jù)臨界值表可得，犯錯誤的概率不超過0.05,

即有95%的把握認(rèn)為“小動物是否感染與服用疫苗有關(guān)”.

【解析】根據(jù)參考公式計(jì)算K2的觀測值，并與附表中的數(shù)據(jù)對比，即可作出判斷.

本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查對數(shù)據(jù)的分析與處理能力，屬于基礎(chǔ)題.

20.【答案】解：(1)由己知得|x-2|—|x+3|W3,

當(dāng)xW—3時，2—x+x+3W3,解集為空集，

當(dāng)一3<%<2時，2-x-(x+3)W3,解得-2<x<2,

當(dāng)x22時，%-2-(x4-3)<3,解得X22,

故所求不等式的解集為［-2,+oo)；

,5,x<-3

(2)因?yàn)?(x)=-2x-l,-3<x<2,

-5,x>2

所以一5<f(x)<5,即f(x)的最小值為一5,

要不等式/(%)<-6a解集非空，需/(Wmin<a2-6a,

從而得a?—6a+5>0>

解得a<1或a>5,

所以a的取值范圍為(一8,1)u(5,+8).

【解析】本題考查絕對值不等式的解法，屬于中檔題.

(1)通過討論x的范圍，去掉絕對值符號，然后求解不等式的解集；

(2)去掉絕對值，轉(zhuǎn)化為求解人乃的最小值，然后求解即可.

21.【答案】解：(I)由久=總結(jié)合圖