概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學課件4.3-4協(xié)方差與相關系數(shù)

前面我們介紹了隨機變量的數(shù)學期望和方差，對于多維隨機向量，反映分量之間關系的數(shù)字特征中，最重要的就是協(xié)方差與相關系數(shù)?！?.3

協(xié)方差與相關系數(shù)定義1

設X與Y是兩個隨機變量，且EX，EY均存在，則稱E(X-EX)(Y–EY)為X與Y的協(xié)

方差，記作COV(X,Y)一、協(xié)方差1.基本概念概率論與數(shù)理統(tǒng)計§4.3協(xié)方差與相關系數(shù)2.簡單性質a,b是常數(shù)3.計算協(xié)方差的一個簡單公式性質1：若X與Y獨立，則概率論與數(shù)理統(tǒng)計§4.3協(xié)方差與相關系數(shù)4.隨機變量和的方差與協(xié)方差的關系若兩兩獨立,，上式化為概率論與數(shù)理統(tǒng)計§4.3協(xié)方差與相關系數(shù)例5

設隨機向量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為：求cov(X,Y)？概率論與數(shù)理統(tǒng)計§4.3協(xié)方差與相關系數(shù)二、相關系數(shù)為隨機變量X和Y的相關系數(shù)

.定義2

設(X,Y)是二維隨機向量,它們的方差

D(X),D(Y)存在,且D(X)>0,D(Y)>0,稱

概率論與數(shù)理統(tǒng)計§4.3協(xié)方差與相關系數(shù)Cauchy-Schwarz不等式：設有R.V.X，Y，且存在，則定義3

若，則稱隨機變量X與Y是不相關的。否則稱X與Y有(線性)相關關系.性質2：若隨機變量X與Y相互獨立，則X與Y是不相關的；反之若隨機變量X與Y是不相關的，未必有X與Y相互獨立。定理2

設X與Y是任意兩個隨機變量,且存在，則例5

設隨機向量(X,Y)等可能地取(-2,0),(0,-2),

(2,0),(0,2)四個點，試判斷X與Y是否相互獨立？X與Y是否不相關？概率論與數(shù)理統(tǒng)計§4.3協(xié)方差與相關系數(shù)定理3

的充分必要條件是存在常數(shù)a，b使得從上述定理可以知道：相關系數(shù)刻劃了X和Y間“線性相關”的程度.X與Y不相關；X與Y之間具有完全的線性相關.概率論與數(shù)理統(tǒng)計§4.3協(xié)方差與相關系數(shù)

注意:

相關系數(shù)是隨機變量之間線性關系強弱的一個度量(參見如下的示意圖).概率論與數(shù)理統(tǒng)計§4.3協(xié)方差與相關系數(shù)N(0,16)，且X與Y的相關系數(shù)為設2)求X與Z的相關系數(shù)例8

設隨機變量X、Y分別服從正態(tài)分布N(1,9)，1)求EZ及DZ；概率論與數(shù)理統(tǒng)計§4.3協(xié)方差與相關系數(shù)例7已知隨機變量Z服從()上的均勻分布，且X=sinZ，Y=cos(a+Z),

求X與Y的相關系數(shù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計§4.4矩

協(xié)方差矩陣一、

矩

協(xié)方差矩陣定義1設X和Y是隨機變量，若存在，稱它為X的k階原點矩。稱它為X的k階中心矩。稱它為X和Y的k+l階混合原點矩。稱它為X和Y的k+l階混合中心矩。若存在，若存在，若存在，概率論與數(shù)理統(tǒng)計§4.4矩

協(xié)方差矩陣設n維隨機變量的二階混合中心矩都存在，稱矩陣為n維隨機變量的協(xié)方差矩陣二、n維正態(tài)分布

定義1

若二維隨機變量的聯(lián)合概率密度為其中是實數(shù),則稱服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布,記作稱上述的為二維正態(tài)概率密度.概率論與數(shù)理統(tǒng)計§4.4矩

協(xié)方差矩陣

可以證明,若則

也就是說,二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍然為正態(tài)分布,而且其邊緣分布不依賴于參數(shù).因此可以斷定參數(shù)描述了與之間的某種關系!概率論與數(shù)理統(tǒng)計§4.4矩

協(xié)方差矩陣二維正態(tài)分布的5個參數(shù)的概率意義是：定理1二維隨機向量(X，Y)服從正態(tài)分布，則X

與Y相互獨立的充分必要條件是：X與Y是不相關的。注意：一般地兩個隨機變量相互獨立，則這兩個隨機變量是不相關的，反之不相關的隨機變量未必相互獨立，而二維正態(tài)分布卻是：兩個隨機變量相互獨立的充分必要條件是：兩個隨機變量是不相關的。概率論與數(shù)理統(tǒng)計§4.4矩

協(xié)方差矩陣利用協(xié)方差矩陣，二維正態(tài)分布的密度函數(shù)可表示為：進一步，n維正態(tài)分布的密度函數(shù)為其中，是協(xié)方差矩陣。概率論與數(shù)理統(tǒng)計§4.4矩

協(xié)方差矩陣n維正態(tài)分布具有以下重要性質：（1）n維隨機變量服從n維正態(tài)分布的充要條件是的任意線性組合服從一維正態(tài)分布.(其中不全為零)（2）若服從n維正態(tài)分布，設是的線性函數(shù)，則服從k維正態(tài)分布。（3）設服從