專題05一元二次方程（講義）（原卷版）中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專題05一元二次方程1．能根據(jù)一元二次方程的特征，選擇配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；2．會用一元二次方程根的判別式判斷方程是否有實(shí)根及兩個(gè)實(shí)根是否相等，會將一元二次方程根的情況與一元二次方程根的判別式相聯(lián)系；3．知道利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可以解決一些簡單的問題；4．能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義檢驗(yàn)方程的解是否合理，建立模型觀念。考點(diǎn)1：一元二次方程的有關(guān)概念一元二次方程的概念：通過化簡后，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．

2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

注：判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程時(shí)，首先觀察其是否是方程，否則一定不是一元二次方程；其次再將整式方程整理化簡使方程的右邊為0，看是否具備另兩個(gè)條件：①；②.對有關(guān)一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個(gè)特點(diǎn)，不要忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為0．考點(diǎn)2：一元二次方程的解法1.基本思想一元二次方程一元一次方程2.基本解法直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法．注：解一元二次方程時(shí)，根據(jù)方程特點(diǎn)，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開平方法和因式分解

法，再考慮用公式法．考點(diǎn)3：一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系1.一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即.（1）當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程實(shí)數(shù)根2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.注：1.一元二次方程的根的判別式正反都成立．利用其可以解決以下問題：（1）不解方程判定方程根的情況；（2）根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；（3）解與根有關(guān)的證明題．2.一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：（1）已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；（2）已知方程，求含有兩根對稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；（3）已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程．考點(diǎn)4：列一元二次方程解應(yīng)用題1.列方程解實(shí)際問題的三個(gè)重要環(huán)節(jié)：一是整體地、系統(tǒng)地審題；二是把握問題中的等量關(guān)系；三是正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性.2.利用方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.3.解決應(yīng)用題的一般步驟：審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰)；驗(yàn)(檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問題有意義）；答(寫出答案，切忌答非所問).4.常見應(yīng)用題型數(shù)字問題、平均變化率問題、利息問題、利潤(銷售)問題、形積問題等.注：列方程解應(yīng)用題就是先把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（列方程），然后由數(shù)學(xué)問題的解決而獲得對實(shí)際問題的解決.【題型1：一元二次方程的概念】【典例1】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）若是關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根，則m的值為．1．（2012上·江蘇常州·九年級階段練習(xí)）關(guān)于的一元二次方程有一根為0，則．2．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）若關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)解是，則的值是．3．（2023·江蘇·模擬預(yù)測）若是關(guān)于的一元二次方程的解，則的值為．4．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的方程的一個(gè)根為3，則m的值為．【題型2：一元二次方程的解法】【典例2】（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）（1）解方程：

（2）解不等式組：1．（2012上·山東臨沂·九年級階段練習(xí)）方程的解為．2．（2012·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）解方程：．3．（2023·江蘇無錫·無錫市民辦輔仁中學(xué)校考一模）（1）解方程：；（2）解不等式組：．4．（2023·江蘇蘇州·?？级＃┙夥匠蹋海绢}型3：一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系】【典例3】（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程的兩根之和為．1．（2023·江蘇鹽城·?？级＃┮阎?、是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．2．（2023上·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）設(shè)、是方程的兩個(gè)根，則．3．（2023·江蘇宿遷·?？既＃┰O(shè)，是一元二次方程的兩個(gè)根，則．4．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考二模）若方程的兩根為，，則的值為．【題型4：一元二次方程的應(yīng)用】【典例4】（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，在打印圖片之前，為確定打印區(qū)域，需設(shè)置紙張大小和頁邊距（紙張的邊線到打印區(qū)域的距離），上、下，左、右頁邊距分別為．若紙張大小為，考慮到整體的美觀性，要求各頁邊距相等并使打印區(qū)域的面積占紙張的，則需如何設(shè)置頁邊距？

1.（2023·江蘇鹽城·校聯(lián)考二模）我國黨的二十大報(bào)告指出從2020年到2035年基本實(shí)現(xiàn)社會主義現(xiàn)代化，從2035年到本世紀(jì)中葉把我國建成富強(qiáng)民主文明和諧美麗的社會主義現(xiàn)代化強(qiáng)國．2021年我國約為115萬億元，如果以后每年按相同的增長率增長，2023年我國約達(dá)135萬億元，將增長率記作x，可列方程為（

）A． B．C． D．2．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）在“雙減政策”的推動下，某初級中學(xué)學(xué)生課后作業(yè)時(shí)長明顯減少．2022年上學(xué)期每天作業(yè)平均時(shí)長為，經(jīng)過2022年下學(xué)期和2023年上學(xué)期兩次調(diào)整后，2023年上學(xué)期平均每天作業(yè)時(shí)長為．設(shè)這兩學(xué)期該校平均每天作業(yè)時(shí)長每期的下降率為x，則可列方程為．3．（2018上·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價(jià)1元，商場平均每天可多售出2件．(1)若某天該商品每件降價(jià)3元，則商場日銷售量增加___________件，當(dāng)天可獲利___________元？(2)設(shè)每件商品降價(jià)x元，則商場日銷售量增加___________件，每件商品，盈利___________元（用含x的代數(shù)式表示）；(3)在上述銷售正常情況下，每件商品降價(jià)多少元時(shí)，商場日盈利可達(dá)到2000元？4．（2011·江蘇南京·統(tǒng)考中考模擬）某經(jīng)銷店為廠家代銷一種新型環(huán)保水泥，當(dāng)每噸售價(jià)為260元時(shí)，月銷售量為45噸，每售出1噸這種水泥共需支付廠家費(fèi)用和其他費(fèi)用共100元．該經(jīng)銷店為擴(kuò)大銷售量、提高經(jīng)營利潤，計(jì)劃采取降價(jià)的方式進(jìn)行促銷，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每噸售價(jià)每下降10元時(shí)，月銷售量就會增加7.5噸．(1)填空：當(dāng)每噸售價(jià)是240元時(shí)，此時(shí)的月銷售量是______________噸；(2)該經(jīng)銷店計(jì)劃月利潤為9000元而且盡可能地?cái)U(kuò)大銷售量，則售價(jià)應(yīng)定為每噸多少元？1．將方程化為一般形式后，二次項(xiàng)系數(shù)為1，則常數(shù)項(xiàng)為（

）A．2 B． C．5 D．2．用配方法解方程，配方正確的是（

）A． B． C． D．3．一元二次方程根的情況是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無法確定4．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則m的值可以是（

）A．0 B． C． D．5．喜迎國慶佳節(jié)，某商品原價(jià)300元，連續(xù)兩次降價(jià)后售價(jià)為225元，下列所列方程中，正確的是（）A． B．C． D．6．若是關(guān)于的一元二次方程，則．7．一元二次方程有一個(gè)根為，則．8．已知是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，且，則該一元二次方程是．9．若是一元二次方程的一個(gè)根，則．10．《中秋帖》是晉朝書法家王獻(xiàn)之的作品，如圖，在一幅長為，寬為的《中秋帖》矩形書法作品的四周鑲上相同寬度的金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，設(shè)金色紙邊的寬為，如果要使整個(gè)掛圖的面積是，那么x滿足的方程是.

11．運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?1)(2)12．解下列一元二次方程：(1)；(2)；(3)．13．嘉淇同學(xué)解方程的過程如下表表示．解方程：．解：，……第一步，……第二步，．……第三步(1)嘉淇同學(xué)是用（“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）求解的，從第步開始出現(xiàn)錯誤．(2)請你用不同于（1）中的方法解該方程．14．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著《田畝比類乘除算法》中記載了這樣一道題：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長多闊幾何．”其大意為：一個(gè)矩形的面積為864平方步，長和寬共60步，問長比寬多多少步？請你解答上面的問題．15．某商場銷售某款上衣，剛上市時(shí)每件可盈利100元，銷售一段時(shí)間后開始滯銷，經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)后，每件盈利81元，平均每天可售出20件．(1)求平均每次降價(jià)盈利減少的百分率；(2)為盡快減少庫存，商場決定再次降價(jià)．每件上衣每降價(jià)1元，每天可多售出2件．若商場每天要盈利2940元，每件應(yīng)降價(jià)多少元？1．已知函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)和，則的值等于（）A．22 B．20 C．17 D．02．若是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿足不等式，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（公元250年前后）在《算術(shù)》中就提到了一元二次方程的問題，不過當(dāng)時(shí)古希臘人還沒有尋求到它的求根公式，只能用圖解等方法來求解．在歐幾里得的《幾何原本》中，形如的方程的圖解法是：如圖1，以和為兩直角邊作，再在斜邊上截取，則的長就是所求方程的正根．若關(guān)于的一元二次方程，按照圖1，構(gòu)造圖2，在中，，連接，若，則的值為（）A．3 B．4 C．6 D．84．定義：若兩個(gè)一元二次方程有且只有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，我們就稱這兩個(gè)方程為“同伴方程”．例如和有且僅有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根．所以這兩個(gè)方程為“同伴方程”，若關(guān)于的方程的參數(shù)同時(shí)滿足和．且該方程與互為“同伴方程”，則的值為（

）A．1或 B． C．1 D．25．對于一元二次方程，下列說法：①若，則；②若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；③若是方程的一個(gè)根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則，其中正確的（）A．只有①② B．只有①③④ C．只有②③ D．只有①②④6．對于一切不小于的自然數(shù)，關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根為，（），則．7．已知：拋物線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，若兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是分別為、，若，則的取值范圍是．8．已知關(guān)于x的一元二次方程的根是，，的根是，，（其中，，），如果，則.9．圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，分別垂直于x軸、y軸，點(diǎn)D在位于右側(cè)的反比例函數(shù)的圖象上，，分別垂直于x軸、，若四邊形為正方形，則這個(gè)正方形的面積等于．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)A，B分別落在y軸、x軸的正半軸上，，．若反比例函數(shù)經(jīng)過C，D兩點(diǎn)，則k的值為．11．已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：無論為何值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(2)若該方程的兩個(gè)根為和，且滿足，求的值．12．今年4月，多國禽流感大暴發(fā)，大量蛋雞被撲殺，導(dǎo)致世界級的“雞蛋荒”，若某國有一只蛋雞患有禽流感，經(jīng)過兩輪感染后共有64只蛋雞患病．(1)每輪傳染中平均每只患病蛋雞傳染了幾只健康的蛋雞？(2)如果不及時(shí)控制，那么三輪傳染后，患病的蛋雞會不會超過500只？13．某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出件，每件盈利元．為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，商場采取了降價(jià)措施．假設(shè)在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價(jià)每降1元，商場平均每天可多售出2件，設(shè)襯衫的單價(jià)降了x元．每天的銷售量/件每件襯衫的利潤/元降價(jià)前降價(jià)后(1)完成下列表格（用含x的式子填空）．(2)當(dāng)襯衫的單價(jià)降多少元時(shí)，商場銷售這批襯衫每天可盈利元，且對消費(fèi)者更有利？(3)能否通過降價(jià)使商場銷售這批襯衫每天盈利元？14．已知：如圖所示，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動．當(dāng)、兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，則同時(shí)停止運(yùn)動．(1)如果、分別從，同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，的長度等于？(2)如果、分別從，同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，與相似？15．閱讀理解：一位同學(xué)將代數(shù)式變形為，得到后分析發(fā)現(xiàn)，那么當(dāng)時(shí)，此代數(shù)式有最小值是4．請同學(xué)們思考以下問題：(1)已知代數(shù)式，此代數(shù)式有最值（填“大”或“小”），且值為．(2)已知代數(shù)式，此代數(shù)式有最值（填“大”或“小”），且值為．(3)通過閱讀材料分析代數(shù)式的最值情況，寫出詳細(xì)過程及結(jié)論．1．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）2020年一2022年無錫居民人均可支配收入由5.76萬元增長至6.58萬元，設(shè)人均可支配收入的平均增長率為x，下列方程正確的是（

）A． B．C． D．2．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，則的值可以是（

）A． B． C．0 D．13．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）李師傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若從1月到3月，每月盈利的平均增長率都相同，則這個(gè)平均增長率是（

）A．10.5% B．10% C．20% D．21%4．（2021·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）在中，，，，點(diǎn)P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則取得最小值時(shí)，下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)P是三邊垂直平分線的交點(diǎn) B．點(diǎn)P是三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)C．點(diǎn)P是三條高的交點(diǎn) D．點(diǎn)P是三條中線的交點(diǎn)5．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線、與雙曲線分別相交于點(diǎn)．若四邊形的面積為4，則的值是（

）

A． B． C． D．16．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）若一元二次方程x2＋x－c＝0沒有實(shí)數(shù)根，則c的取值范圍是．7．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中提出了如下問題：今有戶不知高、廣，竿不知長短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬：有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺：豎放，竿比門高長出2尺：斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少？則該問題中的門高是尺．8．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它是由4個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成．如圖，直角三角形的直角邊長為a、b，斜邊長為c，若，則每個(gè)直角三角形的面積為．

9．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）若（為實(shí)數(shù)），則的最小值為．10．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，．過點(diǎn)作，延長到，使，連接．若，則