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專題38概率【考查題型】【知識(shí)要點(diǎn)】知識(shí)點(diǎn)一確定事件與隨機(jī)事件事件類型的種類:①必然事件:在一定條件下,有些事情我們事先肯定它一定發(fā)生,這些事情稱為必然事件。
②不可能事件:在一定條件下,有些事情我們事先肯定它一定不會(huì)發(fā)生,這些事情稱為不可能事件。③隨機(jī)事件:在一定條件下,許多事情我們無(wú)法確定它會(huì)不會(huì)發(fā)生,這些事情稱為隨機(jī)事件。【備注】必然發(fā)生的事件發(fā)生的可能性最大,不可能發(fā)生的事件發(fā)生的可能性最小,隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大有小,不同的隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小可能不同。知識(shí)點(diǎn)二頻率與概率概率的概念:某種事件在某一條件下可能發(fā)生,也可能不發(fā)生,但可以知道它發(fā)生的可能性的大小,我們把描述事件發(fā)生的可能性的大小的量叫做概率。概率的計(jì)算:一般地,如果在一次試驗(yàn)中,有n種可能的結(jié)果,并且它們發(fā)生的可能性都相等,事件A包含其中的m中結(jié)果,那么事件A發(fā)生的概率為(),其中P(必然事件)=1,P(不可能事件)=0,0<P(隨機(jī)事件)<1.所以有:P(不可能事件)<P(隨機(jī)事件)<P(必然事件)。利用列舉法求概率1)直接列舉法求概率當(dāng)一次試驗(yàn)中,可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè),并且各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等時(shí),通常采用直接列舉法。2)列表法求概率當(dāng)一次試驗(yàn)要設(shè)計(jì)兩個(gè)因素,并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí),為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果,通常采用列表法。3)樹(shù)狀圖法求概率當(dāng)一次試驗(yàn)要設(shè)計(jì)三個(gè)或更多的因素時(shí),用列表法就不方便了,為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果,通常采用樹(shù)狀圖法求概率。利用頻率估計(jì)概率實(shí)際上,我們可以通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn),用一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率去估計(jì)它的概率。用頻率估計(jì)概率,雖然不像列舉法能確切地計(jì)算出隨機(jī)事件的概率,但由于不受“各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等”的條件限制,使得可求概率的隨機(jī)事件的范圍擴(kuò)大。通常,在多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)中,一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)在某一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng),并且隨著試驗(yàn)次數(shù)增多,擺動(dòng)的幅度會(huì)減小,這個(gè)性質(zhì)稱為頻率的穩(wěn)定性.【注意事項(xiàng)】概率是頻率的穩(wěn)定值,而頻率是概率的近似值。考查題型一判斷事件類型典例1(2022·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題)彩民李大叔購(gòu)買(mǎi)1張彩票,中獎(jiǎng).這個(gè)事件是(
)A.必然事件 B.確定性事件 C.不可能事件 D.隨機(jī)事件變式11.(2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題)下列成語(yǔ)所描述的事件屬于不可能事件的是(
)A.水落石出 B.水漲船高 C.水滴石穿 D.水中撈月變式12(2022·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題)下列事件中,屬于必然事件的是(
)A.拋擲硬幣時(shí),正面朝上B.明天太陽(yáng)從東方升起C.經(jīng)過(guò)紅綠燈路口,遇到紅燈D.玩“石頭、剪刀、布”游戲時(shí),對(duì)方出“剪刀”變式13(2022·江西·統(tǒng)考中考真題)某醫(yī)院計(jì)劃選派護(hù)士支援某地的防疫工作,甲、乙、丙、丁4名護(hù)士積極報(bào)名參加,其中甲是共青團(tuán)員,其余3人均是共產(chǎn)黨員.醫(yī)院決定用隨機(jī)抽取的方式確定人選.(1)“隨機(jī)抽取1人,甲恰好被抽中”是__________事件;A.不可能
B.必然
C.隨機(jī)(2)若需從這4名護(hù)士中隨機(jī)抽取2人,請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖法或列表法求出被抽到的兩名護(hù)士都是共產(chǎn)黨員的概率.考查題型二判斷事件發(fā)生可能性的大小典例2(2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題)如圖,一張圓桌共有3個(gè)座位,甲、乙,丙3人隨機(jī)坐到這3個(gè)座位上,則甲和乙相鄰的概率為(
)A. B. C. D.變式21(2021·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題)一只不透明的袋子中裝有3個(gè)黑球和2個(gè)白球,這些除顏色外無(wú)其他差別,從中任意摸出3個(gè)球,下列事件是確定事件的為(
)A.至少有1個(gè)球是黑球 B.至少有1個(gè)球是白球C.至少有2個(gè)球是黑球 D.至少有2個(gè)球是白球變式22.(2022·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題)某校九年級(jí)選出三名同學(xué)參加學(xué)校組織的“法治和安全知識(shí)競(jìng)賽”.比賽規(guī)定,以抽簽方式?jīng)Q定每個(gè)人的出場(chǎng)順序,主持人將表示出場(chǎng)順序的數(shù)字1,2,3分別寫(xiě)在3張同樣的紙條上,并將這些紙條放在一個(gè)不透明的盒子中,攪勻后從中任意抽出一張,小星第一個(gè)抽,下列說(shuō)法中正確的是(
)A.小星抽到數(shù)字1的可能性最小 B.小星抽到數(shù)字2的可能性最大C.小星抽到數(shù)字3的可能性最大 D.小星抽到每個(gè)數(shù)的可能性相同考查題型三根據(jù)概率公式計(jì)算概率典例3(2022·廣東·統(tǒng)考中考真題)書(shū)架上有2本數(shù)學(xué)書(shū)、1本物理書(shū).從中任取1本書(shū)是物理書(shū)的概率為(
)A. B. C. D.變式31(2022·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題)從下列一組數(shù)﹣2,π,﹣,﹣0.12,0,﹣中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù),這個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)的概率為()A. B. C. D.變式32(2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題)不透明袋中裝有除顏色外完全相同的個(gè)白球、個(gè)紅球,則任意摸出一個(gè)球是紅球的概率是(
)A. B. C. D.變式33(2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題)無(wú)色酚酞溶液是一中常見(jiàn)常用酸堿指示劑,廣泛應(yīng)用于檢驗(yàn)溶液酸堿性,通常情況下酚酞溶液遇酸溶液不變色,遇中性溶液也不變色,遇堿溶液變紅色.現(xiàn)有5瓶缺失標(biāo)簽的無(wú)色液體:蒸餾水、白醋溶液、食用堿溶液、檸檬水溶液、火堿溶液,將酚酞試劑滴入任意一瓶液體后呈現(xiàn)紅色的概率是(
)A. B. C. D.變式34(2022·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題)如圖,任意將圖中的某一白色方塊涂黑后,能使所有黑色方塊構(gòu)成的圖形是軸對(duì)稱圖形的概率是(
)A. B. C. D.考查題型四根據(jù)概率求數(shù)量典例4(2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題)一個(gè)不透明的箱子中有5個(gè)紅球和若干個(gè)黃球,除顏色外無(wú)其它差別.若任意摸出一個(gè)球,摸出紅球的概率為,則這個(gè)箱子中黃球的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____個(gè).變式41(2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題)一個(gè)不透明的口袋中裝有5個(gè)紅球和個(gè)黃球,這些球除顏色外都相同,某同學(xué)進(jìn)行了如下試驗(yàn):從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球記下它的顏色后,放回?fù)u勻,為一次摸球試驗(yàn).根據(jù)記錄在下表中的摸球試驗(yàn)數(shù)據(jù),可以估計(jì)出的值為_(kāi)________.摸球的總次數(shù)10050010002000…摸出紅球的次數(shù)19101199400…摸出紅球的頻率0.1900.2020.1990.200…變式42(2022·四川廣元·統(tǒng)考中考真題)一個(gè)袋中裝有m個(gè)紅球,10個(gè)黃球,n個(gè)白球,每個(gè)球除顏色外都相同,任意摸出一個(gè)球,摸到黃球的概率與不是黃球的概率相同,那么m與n的關(guān)系是________.考查題型五幾何概率典例5(2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題)如圖,在的長(zhǎng)方形網(wǎng)格飛鏢游戲板中,每塊小正方形除顏色外都相同,小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn),扇形OAB的圓心及弧的兩端均為格點(diǎn).假設(shè)飛鏢擊中每一塊小正方形是等可能的(擊中扇形的邊界或沒(méi)有擊中游戲板,則重投1次),任意投擲飛鏢1次,飛鏢擊中扇形OAB(陰影部分)的概率是(
)A. B. C. D.變式51(2022·遼寧朝陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題)如圖所示的是由8個(gè)全等的小正方形組成的圖案,假設(shè)可以隨意在圖中取一點(diǎn),那么這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率是()A. B. C. D.1變式52(2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題)將一枚飛鏢任意投擲到如圖所示的正六邊形鏢盤(pán)上,若飛鏢落在鏢盤(pán)上各點(diǎn)的機(jī)會(huì)相等,則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為(
)A. B. C. D.變式53(2021·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題)以下轉(zhuǎn)盤(pán)分別被分成2個(gè)、4個(gè)、5個(gè)、6個(gè)面積相等的扇形,任意轉(zhuǎn)動(dòng)這4個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)各1次.已知某轉(zhuǎn)盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),指針落在陰影區(qū)域的概率是,則對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)盤(pán)是()A.B.C.D.變式54(2021·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題)如圖,將一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體表面涂上顏色,再把它分割成棱長(zhǎng)為1的小正方體,將它們?nèi)糠湃胍粋€(gè)不透明盒子中搖勻,隨機(jī)取出一個(gè)小正方體,只有一個(gè)面被涂色的概率為(
)A. B. C. D.變式55(2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題)如圖,已知⊙是小正方形的外接圓,是大正方形的內(nèi)切圓.現(xiàn)假設(shè)可以隨意在圖中取點(diǎn),則這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率是_________.考查題型六列舉法求概率典例6(2022·安徽·統(tǒng)考中考真題)隨著信息化的發(fā)展,二維碼已經(jīng)走進(jìn)我們的日常生活,其圖案主要由黑、白兩種小正方形組成.現(xiàn)對(duì)由三個(gè)小正方形組成的“”進(jìn)行涂色,每個(gè)小正方形隨機(jī)涂成黑色或白色,恰好是兩個(gè)黑色小正方形和一個(gè)白色小正方形的概率為(
)A. B. C. D.變式61(2022·廣西貴港·中考真題)從,,2這三個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)不同的數(shù),作為點(diǎn)的坐標(biāo),則該點(diǎn)落在第三象限的概率是___.考查題型七列表法求概率典例7(2022·山西·中考真題)“二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶,被國(guó)際氣象界普為“中國(guó)第五大發(fā)明”,小文購(gòu)買(mǎi)了“二十四節(jié)氣”主題郵票,他要將“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四張郵票中的兩張送給好朋友小樂(lè).小文將它們背面朝上放在桌面上(郵票背面完全相同),讓小樂(lè)從中隨機(jī)抽取一張(不放回),再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張,則小樂(lè)抽到的兩張郵票恰好是“立春”和“立夏”的概率是(
)A. B. C. D.變式71(2022·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題)為做好疫情防控工作,某學(xué)校門(mén)口設(shè)置了,兩條體溫快速檢測(cè)通道,該校同學(xué)王明和李強(qiáng)均從通道入校的概率是(
)A. B. C. D.變式72(2022·遼寧朝陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題)某社區(qū)組織A,B,C,D四個(gè)小區(qū)的居民進(jìn)行核酸檢測(cè),有很多志愿者參與此項(xiàng)檢測(cè)工作,志愿者王明和李麗分別被隨機(jī)安排到這四個(gè)小區(qū)中的一個(gè)小區(qū)組織居民排隊(duì)等候.(1)王明被安排到A小區(qū)進(jìn)行服務(wù)的概率是.(2)請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求出王明和李麗被安排到同一個(gè)小區(qū)工作的概率.變式73(2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題)從甲、乙、丙、丁4名學(xué)生中選2名學(xué)生參加一次乒乓球單打比賽,求下列事件發(fā)生的概率.(1)甲一定參加比賽,再?gòu)钠溆?名學(xué)生中任意選取1名,恰好選中丙的概率是;(2)任意選取2名學(xué)生參加比賽,求一定有乙的概率.(用樹(shù)狀圖或列表的方法求解).變式74(2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題)2022年3月23日下午,“天宮課堂”第二課開(kāi)講,航天員翟志剛、王亞平、葉光富相互配合進(jìn)行授課,激發(fā)了同學(xué)們學(xué)習(xí)航天知識(shí)的熱情.小冰和小雪參加航天知識(shí)競(jìng)賽時(shí),均獲得了一等獎(jiǎng),學(xué)校想請(qǐng)一位同學(xué)作為代表分享獲獎(jiǎng)心得.小冰和小雪都想分享,于是兩人決定一起做游戲,誰(shuí)獲勝誰(shuí)分享,游戲規(guī)則如下:甲口袋裝有編號(hào)為1,2的兩個(gè)球,乙口袋裝有編號(hào)為1,2,3,4,5的五個(gè)球,兩口袋中的球除編號(hào)外都相同.小冰先從甲口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球,小雪再?gòu)囊铱诖须S機(jī)摸出一個(gè)球,若兩球編號(hào)之和為奇數(shù),則小冰獲勝;若兩球編號(hào)之和為偶數(shù),則小雪獲勝.請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法,說(shuō)明這個(gè)游戲?qū)﹄p方是否公平.考查題型八樹(shù)狀圖法求概率典例8(2022·北京·統(tǒng)考中考真題)不透明的袋子中裝有紅、綠小球各一個(gè),除顏色外兩個(gè)小球無(wú)其他差別,從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球,放回并搖勻,再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)小球,那么第一次摸到紅球、第二次摸到綠球的概率是(
)A. B. C. D.變式81(2022·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題)班長(zhǎng)邀請(qǐng),,,四位同學(xué)參加圓桌會(huì)議.如圖,班長(zhǎng)坐在⑤號(hào)座位,四位同學(xué)隨機(jī)坐在①②③④四個(gè)座位,則,兩位同學(xué)座位相鄰的概率是(
)A. B. C. D.變式82(2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題)如圖所示的電路圖,同時(shí)閉合兩個(gè)開(kāi)關(guān)能形成閉合電路的概率是()A. B. C. D.1變式83(2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題)一只不透明的袋子中裝有3個(gè)大小、質(zhì)地完全相同的乒乓球,球面上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3,攪勻后先從袋子中任意摸出1個(gè)球,記下數(shù)字后放回,攪勻后再?gòu)拇又腥我饷?個(gè)球,記下數(shù)字.(1)第一次摸到標(biāo)有偶數(shù)的乒乓球的概率是______;(2)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表等方法求兩次都摸到標(biāo)有奇數(shù)的乒乓球的概率.變式84(2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題)“石頭、剪子、布”是一個(gè)廣為流傳的游戲,規(guī)則是:甲、乙兩人都做出“石頭”“剪子”“布”3種手勢(shì)中的1種,其中“石頭”贏“剪子”,“剪子”贏“布”,“布”贏“石頭”,手勢(shì)相同不分輸贏.假設(shè)甲、乙兩人每次都隨意并且同時(shí)做出3種手勢(shì)中的1種.(1)甲每次做出“石頭”手勢(shì)的概率為_(kāi)________;(2)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法,求乙不輸?shù)母怕剩疾轭}型九游戲公平性典例9(2021·山東青島·統(tǒng)考中考真題)為踐行青島市中小學(xué)生“十個(gè)一”行動(dòng),某校舉行文藝表演,小靜和小麗想合唱一首歌.小靜想唱《紅旗飄飄》,而小麗想唱《大海啊,故鄉(xiāng)》.她們想通過(guò)做游戲的方式來(lái)決定合唱哪一首歌,于是一起設(shè)計(jì)了一個(gè)游戲:下面是兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán),每個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)被分成面積相等的幾個(gè)扇形.同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán),若兩個(gè)指針指向的數(shù)字之積小于4,則合唱《大海啊,故鄉(xiāng)》,否則合唱《紅旗飄飄》;若指針剛好落在分割線上,則需要重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán).請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法說(shuō)明這個(gè)游戲是否公平.變式91(2021·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題)現(xiàn)有A,B兩個(gè)不透明的袋子,A袋的4個(gè)小球分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4;B袋的3個(gè)小球分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3.(每個(gè)袋中的小球除數(shù)字外,其它完全相同.)(1)從A,B兩個(gè)袋中各隨機(jī)摸出一個(gè)小球,則兩個(gè)小球上數(shù)字相同的概率是;(2)甲、乙兩人玩摸球游戲,規(guī)則是:甲從A袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球,乙從B袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球,若甲、乙兩人摸到小球的數(shù)字之和為奇數(shù)時(shí),則甲勝;否則乙勝,用列表或樹(shù)狀圖的方法說(shuō)明這個(gè)規(guī)則對(duì)甲、乙兩人是否公平.變式9(2021·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題)一個(gè)不透明的袋子中裝有4個(gè)只有顏色不同的小球,其中2個(gè)紅球,2個(gè)白球,搖勻后從中一次性摸出兩個(gè)小球.(1)請(qǐng)用列表格或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法列出所有可能性;(2)若摸到兩個(gè)小球的顏色相同,甲獲勝;摸到兩個(gè)小球顏色不同,乙獲勝.這個(gè)游戲?qū)住⒁译p方公平嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.考查題型十用頻率估計(jì)概率典例10(2021·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題)在一次心理健康教育活動(dòng)中,張老師隨機(jī)抽取了40名學(xué)生進(jìn)行了心理健康測(cè)試,并將測(cè)試結(jié)果按“健康、亞健康、不健康”繪制成下列表格,其中測(cè)試結(jié)果為“健康”的頻率是(
).類型健康亞健康不健康數(shù)據(jù)(人)3271A.32 B.7 C. D.變式101(2021·山東青島·統(tǒng)考中考真題)在一個(gè)不透明的袋中裝有若干個(gè)紅球和4個(gè)黑球,每個(gè)球除顏色外完全相同.搖勻后從中摸出一個(gè)球,記下顏色后再放回袋中.不斷重復(fù)這一過(guò)程,共摸球100次.其中有40次摸到黑球,估計(jì)袋中紅球的個(gè)數(shù)是__________.變式102(2021·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題)社團(tuán)課上,同學(xué)們進(jìn)行了“摸球游戲”:在一個(gè)不透明的盒子里裝有幾十個(gè)除顏色不同外其余均相同的黑、白兩種球,將盒子里面的球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色,再把它放回盒子中,不斷重復(fù)上述過(guò)程.整理數(shù)據(jù)后,制作了“摸出黑球的頻率”與“摸球的總次數(shù)”的關(guān)系圖象如圖所示,經(jīng)分析可以推斷盒子里個(gè)數(shù)比較多的是___________(填“黑球”或“白球”).變式103(2021·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題)一個(gè)口袋中有紅球、白球共20個(gè),這些球除顏色外都相同,將口袋中的球攪勻,從中隨機(jī)摸出一個(gè)球,記下它的顏色后再放回口袋中,不斷重復(fù)這一過(guò)程,共摸了300次球,發(fā)現(xiàn)有120次摸到紅球,則這個(gè)口袋中紅球的個(gè)數(shù)約為_(kāi)___.變式104(2021·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題)“網(wǎng)紅”長(zhǎng)沙入選2021年“五一”假期熱門(mén)旅游城市.本市某景點(diǎn)為吸引游客,設(shè)置了一種游戲,其規(guī)則如下:凡參與游戲的游客從一個(gè)裝有12個(gè)紅球和若干個(gè)白球(
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