第20講期末復習（講義）

第20講期末復習本節(jié)主要針對八年級下學期的知識點進行總結，主要有一次函數(shù)．代數(shù)方程．四邊形和概率初步，特別是四邊形章節(jié)是本學期的重難點，要求同學們可以和三角形全等的知識結合起來，需要添加輔助線，綜合性較強，也是中考的熱門考點之一．一、選擇題1.如果函數(shù)y=kx+2的圖象不經過第三象限，那么k的取值范圍是（ ）A．k＞0 B．k≥0 C．k＜0 D．k≤0【難度】★【答案】D【解析】因為一次函數(shù)y=kx+2的圖象不經過第三象限，所以圖像經過第一、二、四象限或第二、四象限，∴k≤0．故選D．【總結】本題主要考查一次函數(shù)圖象在坐標平面內的位置與k、b的關系．2.點A（3，a）和點B（2，b）在關于x的函數(shù)的圖像上，則a和b的大小關系是（）A．a>b B．a<b C． a=b D．無法確定【難度】★【答案】B【解析】因為0，所以關于x的函數(shù)的值隨著x的增大而減小，因為32，所以ab，故選B．【總結】本題主要考查一次函數(shù)圖象的性質．3.下列方程中，是分式方程的為（）A． B． C． D．【難度】★【答案】A【解析】A．，分母中含有未知數(shù)的字母，所以它是分式方程，故本選項正確；B．由，得，是無理方程，不是分式方程，故本選項錯誤；C．，分母中不含有未知數(shù)的字母，所以它不是分式方程，故本選項錯誤；D．由原方程，得（x1）=2，分母中不含有未知數(shù)的字母，所以它不是分式方程；故本選項錯誤；故選A．【總結】考本題考查了分式方程的定義．4.下列二元二次方程中，沒有實數(shù)解的方程是（ ）A．x2+（y1）2=0 B．x2（y1）2=0C．x2+（y1）2=1 D．x2（y1）2=1【難度】★【答案】C【解析】A通過分析，即得x=0，y=1，故本選項錯誤；B通過解方程得：x2=（y1）2，可推出x=0，y=1，另外還有其他得解，故本選項錯誤；C通過分析，x2=（y1）21，等式不成立，本方程無解，故本選項正確；D項通過解方程得：其中一組解為x=0，y=0，故本選項錯誤，故選C．【總結】本題主要考查分析解答高次方程，關鍵在于正確的對方程進行分析．5.某工程隊修一條長為360米的公路，實際每天比原計劃多修2米，結果提前6天完成任務，設原計劃每天修x米，則可列方程為() A． B． C． D．【難度】★【答案】B【解析】設原計劃每天修x米，根據(jù)題意，可列方程：，故選B．【總結】考察了分式方程在工程問題中的運用，．6.下列判斷中，不正確的是（）A．如果，則 B． C． D．【難度】★【答案】D【解析】向量是矢量單位，如果向量相等，則包含方向和長度兩個方面均是相等的故A對，B、C分別是向量的結合律和交換律，D選項應該是，故錯誤的選D．【總結】考察了向量的簡單運算．7.下列事件中，是必然事件的是（）A．購買一張彩票中獎一百萬元；B．打開電視機，任選一個頻道，正在播新聞；C．在地球上，上拋的籃球會下落；D．擲兩枚質地均勻的正方體骰子，點數(shù)之和一定大于6【難度】★【答案】C【解析】必然事件是一定條件下必然出現(xiàn)的現(xiàn)象，A、B、D都是不能確定的現(xiàn)象．【總結】本題考察了必然事件的概念，注意進行分析．8.如果關于x的分式方程有增根，那么m的值為（）A．1或2 B．1或2C．1或2D．1或2【難度】★★【答案】C【解析】可轉化為，原分式方程的增根是，分別將代入，得：．【總結】本題考察了增根的概念及分式方程的解法．9.如果點C、D在線段AB上，，那么下列結論中正確的是（ ）A．與是相等向量 B．與是相等向量C．與是相反向量 D．與是平行向量【難度】★★【答案】D【解析】解：∵點C、D在線段AB上，，∴．A．與方向相反；B．與方向相反；C．相反向量是方向相反，模相等的兩向量，而＞；D．與共線，是平行向量，故本選項正確．故選D．【總結】此題考查了平面向量的知識，解此題的關鍵是熟記相等向量、相反向量與平行向量的定義與數(shù)形結合思想的應用．10.拋擲兩枚硬幣，則正面全都朝上的概率是（）A． B． C． D．【難度】★★【答案】D【解析】該事件發(fā)生的可能性如右圖所示：A代表正面朝上，B代表反面朝上，共四中可能，兩次都是正面朝上的概率是．【總結】考察了隨機事件發(fā)生的可能性，用樹形圖表示簡單明了．11.如果直線y=2x+m與兩坐標軸圍成的三角形面積等于m，求m的值（）A．±3 B．3 C．±4D．4【難度】★★【答案】D【解析】一次函數(shù)與坐標軸所圍成的三角形的面積和k、b的關系是，在本題中k=2，b=m，代入上式即可求出m=4，故選D．【總結】考察了一次函數(shù)與坐標軸所圍成的三角形的面積問題，注意數(shù)形結合的運用．12.在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，要使四邊形ABCD是平行四邊形應符合下列條件中的（）A．AB//CD，BC=AD； B．AB=CD，OA=OC；C．AB//CD，OA=OC； D．AB=CD，AC=BD．【難度】★★【答案】C【解析】由AB//CD，OA=OC，得△AOB≌△COD，得AB=CD，又因為AB∥CD，所以ABCD是平行四邊形，故選C．【總結】考察了平行四邊形的判定定理的運用．13.下列命題中錯誤的是()A．矩形的兩條對角線相等B．等腰梯形的兩條對角線互相垂直C．平行四邊形的兩條對角線互相平分D．正方形的兩條對角線互相垂直且相等【難度】★★【答案】B【解析】等腰梯形的性質有：同一底上的內角相等，對角線相等，沒有對角線互相垂直的性質，故錯誤的選B．【總結】本題考察了等腰梯形的性質及特殊的平行四邊形的性質，注意仔細辨析．14.如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，AC⊥BD，BO=DO，那么下列條件中不能判定四邊形ABCD是菱形的是（）A．∠OAB=∠OBA B．∠OBA=∠OBC C．AD∥BC D．AD=BC【難度】★★【答案】A【解析】A．∵AC⊥BD，BO=DO，∴AC是BD的垂直平分線，∴AB=AD，CD=BC，∴∠ABD=∠ADB，∠CBD=∠CDB，∵∠OAB=∠OBA，∴∠OAB=∠OBA=45°，∴∠ABD=∠ADB=∠CBD=∠CDB=45°，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴AB=BC=AD=CD，∠BAD=90°，∴四邊形ABCD是正方形形，故此選項錯誤；B．∵AC⊥BD，BO=DO，∴AC是BD的垂直平分線，∴AB=AD，CD=BC，∴∠ABD=∠ADA，∠CBD=∠CDB，∵∠OBA=∠OBC，∴∠ABD=∠ADB=∠CBD=∠CDB，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴AB=BC=AD=CD，∴四邊形ABCD是菱形，故此選項正確；C．∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵∠AOD=∠BOC，BO=DO，∴△AOD≌△BOC，∴AB=BC=CD=AD，∴四邊形ABCD是菱形，故此選項正確；D．∵AD=BC，BO=DO，∠BOC=∠AOD=90°，∴△AOD≌△BOC，∴AB=BC=CD=AD，∴四邊形ABCD是菱形，故此選項正確．故選：A．【總結】此題主要考查了菱形的判定與性質，熟練地掌握菱形的判定，注意與矩形、正方形、平行四邊形的判定進行比較，是提高同學們綜合能力的關鍵．15.順次聯(lián)結等腰梯形各邊中點所得到的四邊形一定是()A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【難度】★★【答案】B【解析】順次聯(lián)結等腰梯形四邊的中點得到的是菱形，根據(jù)中位線的性質得到．【總結】考察了中位線的性質及菱形的判定．16.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，BC=BD，∠A=100°，則∠C=()A．80° B．70° C．75° D．60°【難度】★★【答案】B【解析】在△ABD中，AB=AD，∠A=100°，∴∠ADB=∠ABD=40°，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=40°，又∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=70°．【總結】本題考察了等腰三角形的性質及三角形的內角和定理的綜合運用．17.如圖，在周長為20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于點O，OE⊥BD交AD于E，則△ABE的周長為（ ）A．15cmB．20cm C．5cmD．10cm【難度】★★【答案】D【解析】∵OE⊥BD，OB=OD，∴BE=DE，∴．【總結】考察了平行四邊形的性質及線段垂直平分線性質的綜合運用．18.如圖，平行四邊形ABCD和平行四邊形AEDB的邊DC和ED在同一直線上則下列說法中錯誤的個數(shù)是()；②；③；④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【難度】★★【答案】B【解析】向量包含兩部分，相等向量是長度和方向都是一致的情況下才成立的，故①②都是正確的，③中，④與只是長度相同，方向不同，故均錯誤，因此選B．【總結】本題主要考察了向量的基本概念及簡單運算．19.在1、2、3三個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，其中確定事件是（）A．抽取的數(shù)是素數(shù) B．抽取的數(shù)是合數(shù)C．抽取的數(shù)是奇數(shù) D．抽取的數(shù)是偶數(shù)【難度】★★【答案】B【解析】A是隨機事件，故選項正確；B是不可能事件，故是確定事件；C是隨機事件；D是隨機事件．故選B．【總結】本題主要考查了隨機事件的定義，理解定義素數(shù)、合數(shù)的概念是關鍵．20.在一個凸多邊形中，它的內角中最多有n個銳角，則n為（）A．2 B．3 C．4 D．5【難度】★★【答案】B【解析】根據(jù)任意凸多邊形的外角和是360°，可知它的外角中，最多有3個鈍角，則內角中，最多有3個銳角．【總結】本題主要考察了內角與其相鄰的外角是鄰補角，由于外角和是不變的，所以分析內角的關系可以從外角的情況入手，難度適中．二、填空題1.（1）方程的解是_________________；（2）方程的解是__________________；（3）方程組的解是____________．【難度】★【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）∵所以原方程的解為：；（2）兩邊同時平方，原方程可轉化為，經檢驗當時，原方程不成立，為方程的增根，故的解為；（3）方程組，由①，得：x=1+y，代入②，得：2y=4，解得原方程組的解為：．【總結】本題主要考察的是代數(shù)方程的一般解法，相對基礎，注意無理方程解完要檢驗．2.（1）若分式的值為0，則_________________；（2）方程，若用換元法設，原方程可變形為___________．【難度】★【答案】（1）2；（2）．【解析】（1）若分式的值為零，分母不能為零即x≠1，由，解得：，故x=2；（2）可以轉化為．【總結】本題考察了分式方程的基本解法，屬于基礎題型．3.某企業(yè)的年產值兩年內從1000萬元增加到1440萬元，如果這兩年中每年的增長率相同，在求這兩年中每年的增長率時，如果設這兩年中每年的增長率為x，那么可以列出的方程是_____________．【難度】★【答案】1000（1+x）2=1440．【解析】企業(yè)的年產值兩年內從1000萬元增加到1440萬元，這兩年中每年的增長率相同，設這兩年中每年的增長率為x，那么可以列出的方程是1000（1+x）2=1440．【總結】此題主要考查了方程在實際問題中的應用，解題的關鍵是正確理解題意，然后根據(jù)題目的數(shù)量關系列出方法解決問題．4.（1）若直線與直線平行，則；（2）若點（，）在一次函數(shù)的圖像上，則；（3）一次函數(shù)，的值隨值的增大而________．(填“增大”、“減小”或“不變”)．【難度】★【答案】（1）k=2；（2）a=10；（3）增大．【解析】（1）直線與直線平行則k值相等，即k=2；（2）由題意，得：a=33+1=10；（3），k0，則隨著x的增大y的值逐漸增大．【總結】本題主要考察了一次函數(shù)的性質的運用．5.（1）如果一個多邊形的每個外角都等于，那么這個多邊形的邊數(shù)是______；（2）如果一個多邊形的內角和是1800°，則該多邊形的對角線有_________條．【難度】★【答案】（1）5；（2）54.【解析】（1）多邊形的外角和是360°，每個外角都是72°，則邊數(shù)是360°72°=5；（2）多邊形內角的公式（n2）n=1800°，n=12，故多邊形對角線的條數(shù)是．【總結】本題主要考察了多邊形的內角和外角的相關公式的運用．6.如圖，一次函數(shù)的圖象經過，兩點，則的解集是_____．【難度】★★【答案】x3．【解析】從圖像中易得當x3時，y0即的解集是x3．【總結】本題考察了一次函數(shù)與不等式的關系，要學生比較熟悉圖形．7.（1）如圖（1），平行四邊形ABCD中，設，則；ABCD（2）如圖（2），梯形中，∥，，，，請用向量表示向量________________．ABCD【難度】★★【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根據(jù)向量的三角形法則，得：，∵，∴；（2）由，得：．【總結】本題主要考察了向量的加減運算在幾何圖形中的運用．8.（1）菱形的兩條對角線長分別是6和8，則菱形的面積為；（2）在矩形ABCD中，AB=，BC=4，∠B與∠C的平分線相交于點P，如果點P在這個矩形的內部（不在邊AD上），那么的取值范圍為【難度】★★【答案】（1）24；（2）．【解析】（1）對角線互相垂直的四邊形的面積是兩條對角線乘積的一半，即面積為=24；（2）因為四邊形ABCD是矩形，BF和CP分別平分∠ABC和∠BCD，則△BPC是等腰直角三角形，過P作PE⊥BC，則PE=BE=BC=2，由點P在這個矩形的內部（不在邊AD上）則a>2，又因為三角形ABF也是等腰直角三角形，所以AF=AB=a<4，綜上．【總結】本題主要考察了平行四邊形的性質，注意數(shù)形結合思想的運用．三、解答題1.解下列關于x方程（組）：（1）； （2）解方程：；（3）解方程組：．【難度】★★【答案】（1）x=1；（2）x=3；（3）．【解析】（1）原方程兩邊同時平方，得，解此方程，得：，經檢驗當時原方程無意義，是方程的增根，所以的解是x=1；（2）原分式方程可轉化為，解此方程得：，經檢驗x=2時原分式方程無意義，所以的解為x=3；（3），由①得x+y=0，x2y=0與②構成如下的方程組，解以上方程組得原方程組的解為：．【總結】本題考察了分式方程、無理方程及二元二次方程組的解法，注意分式方程和無理方程解完要檢驗．2.某文具廠加工一種學習用具2500套，在加工了1000套后，采用了新技術，使每天比原來多加工25套，結果提前了3天完成任務．求該文具廠原來每天加工多少套這樣的學習用具．【難度】★★【答案】100．【解析】設原來每天加工x套，新技術革新后每天加工x+25套，根據(jù)題意可列方程，解得：x=100，經檢驗x=100是原方程的解且符合題意．故該文具廠原來每天加工100套文具．【總結】本題考察了分式方程的應用，找出題目中的等量關系是列方程的關鍵．3.如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，設，（1）試用向量表示下列向量：=__________；=__________；（2）求作：、．（保留作圖痕跡，寫出結果，不要求寫作法）．【難度】★★【答案】（1）；（2）.【解析】（1）；；（2），作圖如圖所示：其中表示；表示．【總結】本題考查了平面向量的加減運算，屬于基礎題，注意平面向量定義及平行四邊形法則的熟練運用．4.已知：直線且與坐標軸圍成的三角形中有一個內角為30°，求此直線的表達式．【難度】★★【答案】．【解析】由題意得一次函數(shù)的圖像，如右圖所示兩種情況如圖（1），得B（，0），將B點代入一次函數(shù)的解析式，得；如圖（2），得B（，0）將B點代入一次函數(shù)解析式，得；綜上，此直線的表達式為．【總結】本題考察了一次函數(shù)解析式的求法及直角三角形性質的綜合運用，注意分類討論．5.如圖，在△ABC中，AB=BC，BD是中線，過點D作DE∥BC，過點A作AE∥BD，AE與DE交于點E．求證：四邊形ADBE是矩形．【難度】★★【解析】∵D是AC的中點，∴AD=CD，∵AE∥BD，DE∥BC，∴∠EAD=∠BDC，∠ADE=∠DCB，∴△ADE≌△DCB，∴AE=DB，∴四邊形ADBE是平行四邊形，∵AB=CB，AD=CD，∴BD⊥AC，即∠ADB=90°，∴平行四邊形ADBE是矩形．【總結】本題考察了等腰三角形的性質，平行四邊形的判定及矩形的判定定理的綜合運用．6.已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，點E、F在邊BC上，BE=CF，EF=AD．求證：四邊形AEFD是矩形．【難度】★★【解析】∵在梯形ABCD中，AD∥BC，又∵EF=AD，∴四邊形AEFD是平行四邊形．∴AE∥DF，∴∠AEF=∠DFC．∵AB=CD，∴∠B=∠C．又∵BE=CF，∴△ABE≌△DCF．∴∠AEB=∠DFC，∴∠AEB=∠AEF．∵∠AEB+∠AEF=180°，∴∠AEF=90°，∴四邊形AEFD是矩形．【總結】考察了梯形的性質與矩形判定定理的綜合運用．7.如圖，四邊形ABCD中，E為AB邊上一點，且都是等邊三角形，點P、Q、M、N分別是AB、BC、CD、DA的中點，試判斷四邊形PQMN是怎樣的特殊四邊形，并證明你的結論．【難度】★★【解析】連接AC和BD．∵△ADE和△BCE都是等邊三角形，點P、Q、M、N分別為AB、BC、CD、DA的中點，∴MN∥AC，且，PQ∥AC，且MN=PQ=AC，MQ=BD∴MN∥PQ，MN=PQ，∴四邊形PQMN是平行四邊形．∵△ADE和△BCE都是等邊三角形，∴AE=AD=DE，EC=EB=BC，∠DEA=∠CEB=60°，∴∠AEC=∠DEB=60°+∠DEC=120°，∴△AEC≌△DEB，∴AC=BD，∵MN=AC，MQ=BD，∴MN=MQ，∴四邊形PQMN是菱形．【總結】本題考察了菱形的判定定理及中位線性質定理的綜合運用．8.（浦東四署2019期中26）在平面直角坐標系中，直線AB：與直線AD：交于點A，直線AB與x軸交于點B，直線AD與x軸交于點D，與y軸交于點C.（1）求交點A的坐標；（2）若在直線AB上存在一點P，使得的面積是的面積的2倍，求點P的坐標；（3）在平面直角坐標系中，是否存在點M，使得以點A、B、C、M為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】A（1，4）；（2）P（1，8）或P（7，8）；（3）；【解析】（1）設直線AB與AC交于點，由，解得，；（2）設點，由題意可知B（3，0），D（1，0），因為的面積是的面積的2倍，所以，，；（3）.9.（普陀2018期中25）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l1經過點A（5，6）且與直線l2：平行，直線l2與x軸、y軸分別交于點B、C．

（1）求直線l1的表達式及其與x軸的交點D的坐標；

（2）判斷四邊形ABCD是什么四邊形？并證明你的結論；

（3）若點E是直線AB上一點，平面內存在一點F，使得四邊形CBEF是正方形，求點E的坐標，請直接寫出答案．【答案與解析】解：（1）設直線l1的表達式是，∵直線l1經過點A（5，6），∴，得，即直線l1的表達式是，當y=0時，得x=9，即點D的坐標為（9，0）；

（2）四邊形ABCD是矩形，證明：∵直線l2：，直線l2與x軸、y軸分別交于點B、C兩點，

∴點B（4，0），點C（0，6），∵點A（5，6），點D（9，0），∴AD==2，

BC==2，∴AD=BC，∵AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AB=，BD=4（9）=13，AD=2，∴AB2+AD2==132=BD2，∴∠DAB=90°，因為四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是矩形；

（3）E1（2，4），E2（10，4），∵點A（5，6），點B（4，0），設過點A、B的直線解析式為y=kx+b，，得，即直線AB的解析式為，∵點E在直線AB上，

∴設點E的坐標為，∵四邊形CBEF是正方形，點B（4，0），點C（0，6），

∴EB=EC，BC==，∴EB=，∴，

解得，a=2或a=10，∴當a=2時，，當a=10時，=4，∴點E1（2，4），E2（10，4）．10.（靜安2018期末26）在矩形ABCD中，AB＝1，對角線AC、BD相交于點O，過點O作EF⊥AC分別交射線AD與射線CB于點E和點F，聯(lián)結CE、AF．（1）如圖，求證：四邊形AFCE是菱形；（2）當點E、F分別在邊AD和BC上時，如果設AD＝x，菱形AFCE的面積是y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍；（3）如果△ODE是等腰三角形，求AD的長度．【答案與解析】解：（1）①證明：如圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，OB＝OD，∴∠EDO＝∠FBO，在△DOE和△BOF中，，∴△DOE≌△BOF，∴EO＝OF，∵OB＝OD，∴四邊形EBFD是平行四邊形，∵EF⊥BD，OB＝OD，∴EB＝ED，∴四邊形EBFD是菱形．（2）由題意可知：AC＝，OA＝OC＝，∵cos∠DAC＝，∴AE＝，∴y＝AE?CD＝，∵AE≤AD，∴≤x，∴x2≥1，∵x＞0，∴x≥1．即y＝（x≥1）．（3）①如圖2中，當點E在線段AD上時，ED＝EO，則Rt△CED≌Rt△CEO，∴CD＝CO＝AO＝1，在Rt△ADC中，AD＝．如圖3中，當?shù)腅在線段AD的延長線上時，DE＝DO，∵DE＝DO＝OC，EC＝CE，∴Rt△ECD≌Rt△CEO，∴CD＝EO，∵∠DAC＝∠EAO，∠ADC＝∠AOE＝90°，∴△ADC≌△AOE，∴AE＝AC，∵EO垂直平分線線段AC，∴EA＝EC，∴EA＝EC＝AC，∴△ACE是等邊三角形，∴AD＝CD?tan30°＝，綜上所述，滿足條件的AD的值為或．11.（金山2018期中27）如圖，平面直角坐標系中，直線經過點，點B是第一象限的點且，過點B作軸，垂足為C，CB=1.（1）求直線的解析式和點B的坐標；（2）試說明：；（3）若點M是直線AD上的一個動點，在x軸上存在另一個點N，且以O、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點N的坐標.【答案】（1），；（2）證明如下；（3）；【解析】解：（1）把代入中，得，解得，所以一次函數(shù)的解析式為：，軸，，，，解得（負值舍去）；（2），，，，，，；（3）.12.（楊浦2019期中27）如圖，直線圖像與y軸、x軸分別交于A、B兩點（1）求點A、B坐標和∠BAO度數(shù)（2）點C、D分別是線段OA、AB上一動點（不與端點重合），且CD=DA，設線段OC的長度為x,,請求出y關于x的函數(shù)關系式以及定義域（3）點C、D分別是射線OA、射線BA上一動點，且CD=DA，當ΔODB為等腰三角形時，求C的坐標（第（3）小題直接寫出分類情況和答案，不用過程）【答案】(1)、，；（2）；（3）；【解析】解：（1）一次函數(shù)，令，得，得；令，得，，所以OA=3，OB=，在中，，，，；(2）過點D作軸于H，因為AO=3,CO=x，所以AC=3x，因為AD=CD，，所以是等邊三角形，所以，易得：，所以，所以；（3）當OD=DB時，C（0，0）；當BD=OB時，；當OD=OB時，.13.（松江2019期中26）已知一次函數(shù)的圖像與軸、軸分別交于點B、A.以AB為邊在第一象限內作等腰直角三角形ABC，且∠ABC=90°，BA=BC，作OB的垂直平分線l,交直線AB與點E，交x軸于點G.（1）求點的坐標；（2）在OB的垂直平分線l上有一點M,且點M與點C位于直線AB的同側，使得QUOTE，求點M的坐標；（3）在（2）的條件下，聯(lián)結CE、CM，判斷△CEM的形狀，并給予證明.【答案】(1)C（6，2）;(2)M(1,7);(3)等腰直角三角形.【解析】解：（1）如圖1，過點C作x軸的垂線，交x軸于點H，∵，∴A（0，4），B（2，0），∵BA=BC，∴（ASA），∴BH=AO=4,CH=OB=2，∴C（6，2）（2）如圖2，由題意可知點G（1，0），點E（1，2），∵AB=BC=，∴，∵，而，設M（1，a）,則，解得a=7,則M(1,7)；（3）如圖3，聯(lián)結CM,CE，由于點E(1,2),C(6,2),M(1,7)，則CE=5,EM=5,CM=，可得：，CE=EM，∴是等腰直角三角形.14.(長寧2018期末24)在平面直角坐標系中，過點（4，6）的直線y=kx+3與y軸相交于點A，將直線向下平移個單位，所得到的直線l與y軸相交于點B．

（1）求直線l的表達式；

（2）點C位于第一象限且在直線l上，點D在直線y=kx+3，如果以點A、B、C、D為頂點的四邊形是菱形，求點C的坐標．

【答案】（1）；（2）（2，2）或；【解析】解：（1）將點（4，6）代入直線y=kx+3，可得，∴，

將直線向下平移個單位，得到直線l的表達式：；（2）由題可得A（0，3），，設，當AB∥CD時，AB2=BC2，即，解得t1=2，t2=2，又∵t＞0，∴C（2，2）；當AB，CD為菱形的對角線時，AC2=BC2，,

解得，∴C．綜上所述，點C的坐標為（2，2）或.

15．（青浦2018期末24）如圖，平面直角坐標系xOy中，直線與x軸、y軸分別交于點A．B．（1）求△AOB的面積；（2）點P是y軸上的點，在坐標平面內是否存在點Q，使以A．B．P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）Q1（﹣2，0），Q2（2，4），Q3（2，﹣4），Q4（2，）；【解析】解：（1）對于直線，令x＝0得到y(tǒng)＝，令y＝0，得到x＝2，∴A（2，0）．B（0，），∴OA＝2，OB＝，∴S△AOB＝?OB?OA＝．（2）存在．①當AB是菱形的邊時，如圖所示，在菱形AP1Q1B中，Q1O＝AO＝1，所以Q1點的坐標為（﹣2，0），在菱形ABP2Q2中，AQ2＝AB＝4，所以Q2點的坐標為（2，4），在菱形ABP3Q3中，AQ3＝AB＝2，所以Q3點的坐標為（2，﹣4），②當AB為菱形的對角線時，如圖所示的菱形AP4BQ4，設菱形的邊長為x，則在Rt△AP4O中，，即，解得x＝，所以Q4（2，）．綜上可得，平面內滿足條件的Q點的坐標為：Q1（﹣2，0），Q2（2，4），Q3（2，﹣4），Q4（2，）．16．（青浦2018期末25）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，點P、Q分別是AB邊和CD邊上的動點，點P從點A向點B運動，點Q從點C向點D運動，且保持AP＝CQ．直線l為線段PQ的垂直平分線，與邊BC交與點E設AP＝x．（1）當直線l經過點B時，求x的值；（2）求BE的長（用含x的代數(shù)式表示）；（3）連接EP、EQ，設△EPQ的面積為y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出它的定義域．【答案】（1）；（2）；（3）y＝x2﹣x+（≤x≤）；【解析】解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝8，BC＝AD＝6，∵AP＝CQ＝x，∴BP＝DQ＝8﹣x，連接BQ，當直線l過點B時，直線l必過點D，∵l是PQ的垂直平分線，∴BQ＝BP，∴DQ＝BQ＝8﹣x，在Rt△BCQ中，根據(jù)勾股定理得，（8﹣x）2﹣x2＝36，∴x＝；（2）如圖2，連接PE，QE，∴PE＝QE，在Rt△PBE中，PE2＝（8﹣x）2+BE2，在Rt△ECQ中，QE2＝x2+（6﹣BE）2，∴（8﹣x）2+BE2＝x2+（6﹣BE）2，∴BE＝；（3）連接PE，QE，PF，QF，由（2）知，BE＝，∴CE＝BC﹣BE＝，同（2）的方法得，DF＝，AF＝，∴y＝S梯形BCPQ﹣S△BEP﹣S△ECQ＝（8﹣x+x）×6﹣（8﹣x）×﹣x×＝x2﹣x+∵點E在線段BC上，∴0≤BE≤6，∴0≤≤6，∴≤x≤，即：y＝x2﹣x+（≤x≤）．17.(奉賢2018期末24)如圖，一次函數(shù)y=2x+4的圖象與x，y軸分別相交于點A，B，以AB為邊作正方形ABCD（點D落在第四象限）．

（1）求點A，B，D的坐標；

（2）聯(lián)結OC，設正方形的邊CD與x相交于點E，點M在x軸上，如果△ADE與△COM全等，求點M的坐標．

【答案】（1）A（2，0），B（0，4），D（2，2）；（2）M（5，0）；【解析】解：（1）∵一次函數(shù)y=2x+4的圖象與x，y軸分別相交于點A，B，∴A（2，0），B（0，4），∴OA=2，OB=4，如圖1，過點D作DF⊥x軸于F，∴∠DAF+∠ADF=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°，∴∠DAF+∠BAO=90°，∴∠ADF=∠BAO，

在△ADF和△BAO中，，∴△ADF≌△BAO（AAS），∴DF=OA=2，AF=OB=4，

∴OF=AFOA=2，∵點D落在第四象限，∴D（2，2）；（2）如圖2，過點C作CG⊥y軸于G，連接OC，作CM⊥OC交x軸于M，同（1）求點D的方法得，C（4，2），

∴OC==2，∵A（2，0），B（0，4），∴AB=2，∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB=2=OC，∵△ADE與△COM全等，且點M在x軸上，∴△ADE≌△OCM，

∴OM=AE，∵OM=OE+EM，AE=OE+OA，∴EM=OA=2，∵C（4，2），D（2，2），∴直線CD的解析式為y=2x6，令y=0，∴2x6=0，∴x=3，∴E（3，0），∴OM=5，∴M（5，0）．

18．（靜安2018期末25）如圖，在直角坐標平面內，直線y＝﹣x﹣4與x軸、y軸分別交于點A、B，點C在x軸正半軸上，且滿足OC＝OB．（1）求線段AB的長及點C的坐標；（2）設線段BC的中點為E，如果梯形AECD的頂點D在y軸上，CE是底邊，求點D的坐標和梯形AECD的面積．【答案】（1）5，C（2，0）；（2）D（6，0），20；【解答】解：（1）令x＝0，得到y(tǒng)＝﹣4，∴B（0，﹣4），令y＝0，得到x＝﹣3，∴A（﹣3，0），∴AB＝＝5，∵OC＝OB，點C中x軸的正半軸上，∴C（2，0）（2）∵AC＝AB＝5，EC＝BE，∴AE⊥BC，∵CE是梯形AECD的底，∴AD∥CE，∴△AOD∽△COB，∴，∴，∴OD＝6，∴D（6，0），∵BC＝2，AD＝3，AE＝，∴S梯形AECD＝×AE＝20．19．（閔行2018期末26）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，BC＝10，對角線AC、BD相交于點O，且AC⊥BD，設AD＝x，△AOB的面積為y．（1）求∠DBC的度數(shù)；（2）求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）如圖1，設點P、Q分別是邊BC、AB的中點，分別聯(lián)結OP，OQ，PQ．如果△OPQ是等腰三角形，求AD的長．【答案】（1）45°；（2）；（3）【解析】解：（1）過點D作AC的平行線DE，與BC的延長線交于E點．∵梯形ABCD中，AD∥BC，AC∥DE，∴四邊形ACED為平行四邊形，AC＝DE，AD＝CE，∵AB＝CD，∴梯形ABCD為等腰梯形，∴AC＝BD，∴BD＝DE，又AC⊥BD，∴∠BOC＝90°∵AC∥DE∴∠BDE＝90°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠DBC＝45°．（2）由（1）可知：△BOC，△AOD都是等腰直角三角形，∵AD＝x，BC＝10，∴OA＝x，OB＝5，∴y＝?OA?OB＝?x×5＝x（x＞0）．（3）如圖2中，①當PQ＝PO＝BC＝5時，∵AQ＝QB，BP＝PC＝5，∴PQ∥AC，PQ＝AC，∴AC＝10，∵OC＝5，∴OA＝10﹣5，∴AD＝OA＝10﹣10．②當OQ＝OP＝5時，AB＝2OQ＝10，此時AB＝BC，∠BAC＝∠BCA＝45°，∴∠ABC＝90°，同理可證：∠DCB＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，不符合題意，此種情形不存在．③當OQ＝PQ時，AB＝2OQ，AC＝2PQ，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°＝∠BOC，顯然不可能，綜上所述，滿足條件的AD的值為10﹣10．20.（靜安2019期末26）如圖，點P是邊長為2的正方形ABCD對角線上一個動點（P與A不重合），以P為圓心，PB長為半徑畫圓弧，交線段BC于點E，聯(lián)結DE，與AC交于點F.設AP的長為x，的面積為y.（1）判斷的形狀，并說明理由；（2）求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出定義域；（3）當四邊形PBED是梯形時，求出PF的值.【答案】（1）等腰直角三角形；（2）；（3）；【解析】解：（1）是等腰直角三角形，理由如下：在正方形ABCD中，AD=AB，，又因為AP=AP，所以（SAS），所以BP=DP，由題意得，PB=PE，所以＝PD，過點P作，與BC、AD分別交于點G、H，因為PB=PE，所以BG=EG，因在正方形ABCD中，，所以四邊形ABGH是矩形，所以AH=BG，AB=GH，所以AB=GH=AD.因為在中，，所以AH=PH，所以AH=PH=BG=EG，因PG=GHPH，DH=ADAH，所以PG=DH；又，所以（SAS），所以，所以，所以是等腰直角三角形．（2）在中，AP＝x，，在中，，